第四章 随机变量的数学期望

第四章随机变量的数学期望第1页，课件共48页，创作于2023年2月§4.1数学期望

4.1.1概念例1、盒子中有6个球（如图），122333从中任取一球再放回，重复了三次，问三次抽到号码的平均值。第2页，课件共48页，创作于2023年2月定义4.1：设离散型随机变量X的分布列是，若级数收敛，则称随机变量X的数学期望存在，且称级数的和为X的数学期望，并记为EX，有时也称EX为X的均值。第3页，课件共48页，创作于2023年2月对连续型随机变量X的数学期望类似的可定义如下：定义4.2：如果连续型随机变量X具有密度函数f(x)，积分收敛，则称X的数学期望存在，否则称X的数学期望不存在。若X的数学期望存在，称积分值为X的数学期望，也记为EX。第4页，课件共48页，创作于2023年2月注1、若，仍称X的数学期望不存在。2、离散型取有限个值，连续型密度函数只在有限区间上积分，则X的期望一定存在。3、离散型只取非负值，连续型只在x>0时f(x)>0，则只需直接计算期望。第5页，课件共48页，创作于2023年2月4.1.2常见随机变量的数学期望（1）（0－1）分布p1-pP10X第6页，课件共48页，创作于2023年2月（2）二项分布B(n,p)第7页，课件共48页，创作于2023年2月（3）泊松分布P(λ)第8页，课件共48页，创作于2023年2月（4）几何分布G(p)第9页，课件共48页，创作于2023年2月（5）超几何分布H(N,M,n)第10页，课件共48页，创作于2023年2月（6）均匀分布U(a,b)第11页，课件共48页，创作于2023年2月（7）指数分布第12页，课件共48页，创作于2023年2月（8）正态分布N(μ,σ2)第13页，课件共48页，创作于2023年2月4.1.3随机变量函数的数学期望

定理4.1：设Y是随机变量X的函数，即（g

是连续函数），（1）若X是离散型随机变量，其分布律为而级数绝对收敛，则有第14页，课件共48页，创作于2023年2月（2）若X

是连续型随机变量，其密度函数为，若积分绝对收敛，则有第15页，课件共48页，创作于2023年2月定理4.2：设Z是二维随机变量（X，Y）的函数，即Z＝g（X，Y），则（1）若（X，Y）是二维离散型随机变量，有（2）若（X，Y）是二维连续型随机变量，有第16页，课件共48页，创作于2023年2月例1：设

X～B（n，p），求EX(X－1)。解：因X～B（n，p），则X的分布律为令Y＝g（X）＝X(X－1)第17页，课件共48页，创作于2023年2月例2、已知X～N(0,1)，求E(X4)第18页，课件共48页，创作于2023年2月例3、（X,Y）的联合密度函数为：求：EY第19页，课件共48页，创作于2023年2月例4：设随机变量（X，Y）服从二维正态分布，其密度为求

的数学期望。解：第20页，课件共48页，创作于2023年2月例5：设X、Y相互独立同服从标准正态分布N（0，1），求E（max｛X,Y｝）。解：由题设，(X，Y)的联合密度为第21页，课件共48页，创作于2023年2月（1）

EC＝C，(C为常数)（2）

E(CX)＝CEX，(C为常数)（3）

E(X+Y)＝EX＋EYE(aX+b)＝aEX＋b，

E()＝（4）若X、Y是相互独立的随机变量，则

E(X·Y)＝EX·EY。4.1.4数学期望的性质第22页，课件共48页，创作于2023年2月例6、盒中有N个球，其中M个黑球，N-M个白球，从中任取n个球，令X表示取得黑球的个数，求EX。第23页，课件共48页，创作于2023年2月§4.2随机变量的方差

4.2.1方差的定义

对随机变量的特征进行考察，除了数学期望外，还要考察X的可取值与EX的偏离情况，由于X－EX可正可负，因此用[X－EX]2

来考虑。

第24页，课件共48页，创作于2023年2月定义4.3：设X是一个随机变量，若(X－EX)2

的数学期望存在，则称E(X－EX)2为X的方差，记为DX或Var(X)，即DX＝E(X－EX)2

离散型随机变量：连续型随机变量：第25页，课件共48页，创作于2023年2月方差的计算公式：4.2.2几种常见的随机变量的方差（1）（0－1）分布p1-pP10X第26页，课件共48页，创作于2023年2月（2）二项分布：（3）泊松分布：（4）均匀分布：第27页，课件共48页，创作于2023年2月（5）指数分布：第28页，课件共48页，创作于2023年2月（6）正态分布：第29页，课件共48页，创作于2023年2月4.2.3方差的性质

（1）D(C)＝0，(C为常数)

（2）D(CX)＝C2DX，(C为常数)

（3）若X、Y是相互独立的随机变量，则

D(X+Y)=D(X-Y)＝DX＋DY（4）DX＝0第30页，课件共48页，创作于2023年2月例1、已知X～N(1,22)，Y～N(2,22)，且X、Y相互独立，求：X-2Y+3的数学期望和方差。

第31页，课件共48页，创作于2023年2月定理：切比雪夫不等式第32页，课件共48页，创作于2023年2月§4.3协方差与相关系数4.3.1协方差与相关系数的概念

我们在证明方差的性质时看到，当两个随机变量X和Y相互独立时，有但当X和Y不相互独立时，它们之间的关系呢？第33页，课件共48页，创作于2023年2月称

为

X、Y

的相关系数。定义4.4：设X、Y

是两个随机变量，称为随机变量X、Y

的协方差，记为即：第34页，课件共48页，创作于2023年2月相关系数的特征：是一个无量纲的量。它描述的是

X、Y

之间的线性相关程度。特殊的，当时，称X,Y不相关。结论：X、Y相互独立，则其一定不相关；但若X，Y不相关，却未必相互独立。第35页，课件共48页，创作于2023年2月4.3.2协方差与相关系数的性质1、协方差的性质:第36页，课件共48页，创作于2023年2月2、相关系数的性质:（1）||≤1;（2）||=1的充要条件为X与Y以概率1线性相关。即存在常数

a、b，a≠0，使第37页，课件共48页，创作于2023年2月例1、已知随机变量X,Y相互独立，且求

3X-Y与

X+Y的相关系数。第38页，课件共48页，创作于2023年2月独立与不相关的关系：X、Y相互独立，则其一定不相关；但若X，Y不相关，却未必相互独立。例2、已知（X,Y）的联合密度函数为：证明：X，Y不相关，X，Y不独立。第39页，课件共48页，创作于2023年2月§4.4矩、协方差矩阵4.4.1矩定义4.5：设X、Y是随机变量，

称为X的k阶原点矩

称为X的k阶中心矩称为X与Y的k+l阶混合中心矩第40页，课件共48页，创作于2023年2月4.4.2协方差矩阵设n维随机变量

X＝，记

称

为X的期望向量，记

为

Xi

与Xj

的协方差，则称n阶矩阵Σ为随机变量X的协方差矩阵。设n维随机变量

X＝，记

称

为X的期望向量，记

为

Xi

与Xj

的协方差，则称n阶矩阵Σ第41页，课件共48页，创作于2023年2月协方差矩阵的性质：（1）（2），即协方差矩阵Σ是对称的。（3）协方差矩阵Σ是非负定矩阵，即对任意的n维实向量

t

＝，有

t’Σt

（4）第42页，课件共48页，创作于2023年2月4.4.3n维正态分布定义4.6：若n维随机向量X＝的联合概率密度为其中x＝，μ＝，是n维实向量，Σ＝是n阶正定矩阵，|Σ|表示Σ的行列式，则称X服从n维正态分布，记为X～N（μ，Σn×n）。第43页，课件共48页，创作于2023年2月特殊的，n=2时，即：其中第44页，课件共48