高中数学-化归与转化思想

考点回顾化归与转化的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题。化归转化思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中。转化有等价转化与不等价转化。等价转化后的新问题与原问题实质是一样的，不等价转则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正。应用化归转化思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化。常见的转化有：1、等与不等的相互转化等与不等是数学中两个重要的关系，把不等问题转化成相等问题，可以减少运算量，提高正确率；把相等问题转化为不等问题，能突破难点找到解题的突破口。2、正与反的相互转化对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较难的问题，可先攻其反面，从而使正面问题得以解决。3、特殊与一般的相互转化对于那些结论不明或解题思路不易发现的问题，可先用特殊情形探求解题思路或命题结论，再在一般情况下给出证明，这不失为一种解题的明智之举。4、整体与局部的相互转化整体由局部构成，研究某些整体问题可以从局部开始。5、高维与低维的相互转化事物的空间形成，总是表现为不同维数且遵循由低维想高维的发展规律，通过降维转化，可把问题有一个领域转换到另一个领域而得以解决，这种转化在复数与立体几何中特别常见。6、数与形的相互转化通过挖掘已知条件的内涵，发现式子的几何意义，利用几何图形的直观性解决问题，使问题简化。7、函数与方程的转化经典例题剖析例1、设，．（Ⅰ）令，讨论在内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当时，恒有．解析：（Ⅰ）讨论在内的单调性并求极值只需求出的导数即可解决；（Ⅱ）要证当时，恒有，可转化为证时，亦即转化为时恒成立；因，于是可转化为证明，即在上单调递增，这由（Ⅰ）易知。答案：（Ⅰ）解：根据求导法则有，故，于是，列表如下：20极小值故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值．（Ⅱ）证明：由知，的极小值．于是由上表知，对一切，恒有．从而当时，恒有，故在内单调增加．所以当时，，即．故当时，恒有．点评：对于证明在区间恒成立问题，常运用化归转化思想转化为证明在区间上恒成立，令，即可转化为在上，这样只需求出在区间上的最小值即可解决之。这种化归转化的思想方法在近几年高考中经常用到。例、设数列的首项．（1）求的通项公式；（2）设，证明，其中为正整数．解：方法二：由（1）可知，因为，所以 ．由可得，即 两边开平方得 ．即 为正整数．例、在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在椭圆上，则_____．例、若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为，则＝______解：不妨认为这个正四棱柱为正方体，与正方体的所有面成角相等时，为与相交于同一顶点的三个相互垂直的平面所成角相等，即为对角线与该正方体所成角.故.点评：象这种“特殊与一般的相互转化”在高考的选择题和填空题中经常应用例、已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：解析：（1）通过求导得出切线的斜率，从而由点斜式较易写出切线方程；（2）由（1）易得过点的曲线的切线方程，曲线有三条切线可转化为方程有三个相异的实数根，即函数有三个零点，故只需的极大值大于零且的极小值小于零。答案：解：（1）的导数．曲线在点处的切线方程为：，即．（2）如果有一条切线过点，则存在，使．若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根．记，则．当变化时，变化情况如下表：0＋0－0＋增函数极大值减函数极小值增函数由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则即 ．点评：将证明不等式的问题通过等价转化化归为函数的极值问题来讨论，这是近年来高考试题中常出现的一种类型。例、已知函数（Ⅰ）若，试确定函数的单调区间；（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；解析：（Ⅰ）求出的导函数，易得的单调区间；（Ⅱ）易知是偶函数，于是对任意成立可等价转化为对任意成立，进一步转化为在上的最小值大于零，从而求出实数的取值范围。答案：解：（Ⅰ）由得，所以． 由得，故的单调递增区间是， 由得，故的单调递减区间是． （Ⅱ）由可知是偶函数． 于是对任意成立等价于对任意成立． 由得． ①当时，． 此时在上单调递增． 故，符合题意． ②当时，． 当变化时的变化情况如下表：x－0＋单调递减极小值单调递增由此可得，在上，．依题意，，又．综合①，②得，实数的取值范围是．选择题：1.若函数的定义域为R，则实数的取值范围是A．B．C．D．2.函数的图象关于（）A、原点对称B、x轴对称C、y轴对称D、直线y＝x对称3.若、满足，则有A．最小值和最大值1B．最小值和最大值1C．最小值但无最大值D．最大值1，但无最小值4.若关于的不等式≤＋4的解集是M，则对任意实常数，总有：（）A、2∈M，0∈M；B、2M，0M；C、2∈M，0M；D、2M，0∈M．5.若不等式x2＋ax＋10对于一切x（0，）成立，则a的取值范围是_________6.若，则点的轨迹是A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线填空题：7.P（x，y）在直线x＋2y－3＝0上运动，则x2＋y2的最小值是________．8.在－6，4，－2，0，1，3，5，7这8个数中，任取两个不同的数分别作为虚数的实部和虚部，则所组成的所有不同虚数中，模大于5的虚数的个数是________．解答题：9.已知函数，．（I）求的最大值和最小值；（II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

解析答案：1.C解析：函数的定义域为R，对恒成立。当时有对恒成立，符合题意；当时，要使对恒成立，必须且，解得。综上，故选C.2.A解析：函数定义域满足，∴f(x)为奇数，∴选A．3.B解析：因、满足，故可设，，则＝，所以的最大值为1，最小值为，故选B。4.A解析：方法1：代入判断法，将分别代入不等式中，判断关于的不等式解集是否为；方法2：求出不等式的解集：≤＋4；故选A。5.解析：设f（x）＝x2＋ax＋1，则对称轴为x＝，若，即a－1时，则f（x）在〔0，〕上是减函数，应有f（）0－x－1；若0，即a0时，则f（x）在〔0，〕上是增函数，应有f（0）＝10恒成立，故a0若0，即－1a0，则应有f（）＝恒成立，故－1a0综上，有－a。6.C解析：由得，由双曲线的定义知点的轨迹是双曲线。故选C。7.解析：x2＋y2为原点与直线x＋2y－3＝0上的点距离的平方，其最小值为原点到直线x＋2y－3＝0距离的平方．8.32个解析：当a＝0时，b可取－6，7；当a≠0时，从－6，－4，－2，1，3，5，7中任取2个作为a、b，共个，其中不合格的是从－4，－2，1，3中任取2个共个．∴模大于5的不同虚数共2＋个．17.本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力．解：（Ⅰ）．又，，即，．（Ⅱ），，且，，即的取值范围是．高考数学试题十分重视