2024年新高考数学一轮复习：重难点突破二 函数的综合应用（解析版）

重难点突破02函数的综合应用

目录

题型一：函数与数列的综合

题型二：函数与不等式的综合

题型三：函数中的创新题

题型七：函数的旋转问题

题型八：函数的伸缩变换问题

题型九：V型函数和平底函数

方法技巧总结

1、高考中考查函数的内容主要是以综合题的形式出现，通常是函数与数列的综合、函数与不等式的综

合、函数与导数的综合及函数的开放性试题和信息题，求解这些问题时，着重掌握函数的性质，把函数的

性质与数列、不等式、导数等知识点融会贯通，从而找到解题的突破口，要求掌握二次函数图像、最值和

根的分布等基本解法；掌握函数图像的各种变换形式(如对称变换、平移变换、伸缩变换和翻折变换等)；

了解反函数的概念与性质；掌握指数、对数式大小比较的常见方法；掌握指数、对数方程和不等式的解法；

掌握导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的定义、求导公式与求导法则、复合函

数求导法则及导数的几何意义，特别是应用导数研究函数的单调性、最值等.

2、函数=的图象与性质

/=1

分奇、偶两种情况考虑：

比如图(1)函数/(力=国+卜_1|+卜_3|,图(2)函数g(x)=k|+kT+|x_2|+k+l|

(1)当“为奇数时，函数=的图象是一个“V”型，且在“最中间的点”取最小值;

(2)当〃为偶数时，函数/(x)=f|x-⑷的图象是一个平底型，且在“最中间水平线段”取最小值;

/=1

若为等差数列的项时，奇数的图象关于直线x=%,对称，偶数的图象关于直线『=年中;」中

对称.

3、若“力为［九〃］上的连续单峰函数，且/(,M)=/(n),x0为极值点，则当k,b变化时，

g(尤)=|〃x)-丘叫的最大值的最小值为火〃)丁明|,当且仅当2=0力=，"”题)时取得.

必考题型归纳

题型一：函数与数列的综合

例1.(2023•全国•高三专题练习)已知数列｛xj满足占=1,2—=加(1+%)5eN*),设数列｛五｝的前“

项和为S“，则以下结论正确的是()

A.B.^,-2x„+l<x„x„+1

C.2jx”+z>x”+i+1D.S”+5>2

【答案】B

【解析】2%=加(1+占)(冷河)，把玉=1代入递推可得：%„>0,

令/(幻=工-历*+1),x>0,贝ljr(x)=」一>0,/(X)在(0,+8)单调递增，

X+1

.../W>/(0),即当x>0时，恒有网l+x)<x成立，

X”>0,2x,„,=/n(l+x„)<x„,x„>2x»|>x“+i,故选项A错误;

乂2A7<2嘉7„x,+i+l,，选项C错误；

,c、,„+x)2x-(2+x)/H(1+x)2+x_2x，八.

nnnn[nln(｝+xx)]

(X“-2x,„,)-x„x„+1=x„-/"(1+X“)-”2=--------2―-=—^-^Y-"，0<x„„1,

2

Orr?Y

令y=T；-/〃(i+x),0<A；,1,则y'=-；--T---<o,...函数y=-^-历(1+幻在(0,1]上递减，

x+2(x+2Y(x+\)x+2

z.y<X0)=0,

•••(乙一2七加)一%〃七十1<0,故选项5正确；

又由%>2怎+|可得当+]<*,*=1,.,.怎£丁(当旦仅当〃=1时取"="),可得

S"'T+(+…+击=2一(；)'"<2‘

・••S/5<2,故选项。错误,

故选B.

例2.(2023,全国•高三专题练习)已知函数F(x)="-1,数列例“｝的前几项和为S”,且满足

4=；，4血=/&)，则下列有关数列仅“｝的叙述正确的是()

A.。5<14%-3aliB.%”4C.aw>1D.5I(X)>26

【答案】A

【解析】由f(x)=e*-x-l=x,解得x=()或x=x。，

由零点存在性定理得x=%e(1,2),

.•.当/<与时，«„+1-«„=^-2a„-l<0,数列单调递减，

q=不<X。，.'.%=/(4)<6F)=—<XQt同理，%<"2=/("|)<彳，

迭代下去，可得0<%<4-<…数列单调递减，

故选项B和选项C都错误；

「*1

乂0<an<%_]<...<4=〃一]一1<1.7—1.5=0.2,

.•.就<994+4=20.3,故D错误;

对于A,|4%-3at|>|3x0.5-4x0.21=0.7,

而/<%<02<0.7,

.•・％<|4%一3%故A正确.

故选A.

例3.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=e*-x-l,数列｛%｝的前"项和为，且满足0=；,

。向=/(。“)，则下列有关数列仅“｝的叙述正确的是()

A.B.〃6<%C.51(X)<26D.a5>\4a2-3a｝\

【答案】C

【解析】对于A选项，<杼'-|=：，故A错误；

,on

对于8选项，由e*..x+l知，a„+1=/(«„)=e--a„-1..0,

故他,｝为非负数列，又-—a“=e"-"

设g(x)=e'-2x-l(x>0),贝ljg'(x)=e'-2,

易知g(x)在［0,历2)单调递减，在(/〃2,e)上单调递增，

所以<1-2加2=g(x)m„<g(0)=0,

又0<4=g</〃2,所以。2一4<0,从而4向-4“<0,

所以｛七｝为递减数列，且须以；,故B错误：

对于C选项，

因为数列｛《,｝为递减数列，当〃>2时，有《,</<；，

c1I11101

5ia)=fli+a2+6l3+---+ai«><2+4+4+,"+4=-4-<26,

131

故C正确；对于。选项，因为见<：，而|4a2-34l=|4%-]|>；,故。错误.故选C.

变式1.(2023•全国•高三专题练习)已知数列｛6｝满足：a„>0,且a；=3d+「2a,“〃eN*),下列说法

正确的是()

A.若.=；,则一>%B.若q=2,则421+1m)

_a

C.%+a542a3D.|a„+2-«,1+l|>-y|«»+i„\

【答案】B

【解析】a；=3*「2*(〃eN*),故a；-1=-2a,加-1,(a“+1)(%-1)=(31+1)(.-1).

«„>0,故a“+l>0且3%+l>0,于是(4-D与(--1)同号,

即&-1)(%-1)>0.

对选项A：若4=g,则4-l=-g<0,则4一1<0,

片-。3=2%“(4”一1)<0,所以％<%+1,错误；

对选项B：4=2,4-1=1>0,则4.一1>0,即““>1,

于是a；-a：*i=2a,­)>0,gpan>an+l,数列仅“｝单调递减，％<q=2,

422a向，7(a„+1-a„)<0,故427(%-4)+2-,即普斗

4T3〃用+17

故〃〃-IN（'）,故，正确;

3x—1

对选项C：考虑函数f（x）=j3f-2x,x>|>0,

yj3x2-2x

函数单调递增，结合丫=工的图像，如图所示:

由图可知当>0时，数列［4-q.J递减，

a｝-a2+a2-a3>a3-a4+a4-as,所以6-a,>%-%,即《+%>2%,不正确；

对选项D：设a“M=x,则/=斤云，限="'产,

|«n+2-4/2今—一41,即|，+"；标-J邛卜一收司,

等价于2+2®/9X2-6X>2V1+3X2（3X-1）,化简得x2-2x+l<0,

而》2-2x+140显然不恒成立，不正确；

故选：B.

变式2.（2023・陕西渭南•统考二模）已知函数/（x）=sinx+lnx,将〃x）的所有极值点按照由小到大的

顺序排列，得到数列｛七｝,对于V〃wN.,则下列说法中正确的是（）

A.mt<xn<（H+l）7tB・一当<兀

C.数列.是递增数列D.〃⑸）<T+ln也普

【答案】D

【解析】/（力的极值点为f'（x）=cosx+-在（0,+8）上的变号零点.

即为函数y=COSX与函数y=-J图像在（0,+巧交点的横坐标.

又注意至IJxe（O,X）时，一1<0,ZeN时，cos（兀+2航）=一1<——?—,

'x兀+2E

IT

keN*，*e[]U[-+2左"，/+2好J时，cosx>0.

据此可将两函数图像画在同一坐标系中，如下图所示.

，冗1

A选项，注意到ZeN时，八5+2E）=G二］>。

,广仃+2内）=-1+-----------<0,

一+2E、7n+2E

2

'3—~-->0

—+2人兀

2

结合图像可知当〃=2%-1,4eN*,xe〃」冗，九冗三（（〃一1）兀，〃叮）.

n—〃-i尸，mt）.故A错误;

当〃=2左，AeN'，xne

53

B选项，由图像可知七>Q五，&<：兀，贝IJ&一%>31，故B错误；

C选项，%-包产表示两点（七,0）与，〃-；［”，0］间距离，由图像可知，

随着〃的增大，两点间距离越来越近，即｛%,一汽史｝为递减数列，故C错误;

D选项，由A选项分析可知，工2“w（（2〃_1）JT,4〃；1,〃€N*,

1T

又结合图像可知，当XE&n，2B时，COSX>-L即此时用［x）>。，

</x

'（4,_1）、

得“X）在不〃，2兀上单调递增，

\/

则/⑸）</产泮>-in生产，故D正确.

故选：D

变式3.（2023•上海杨浦•高三复旦附中校考开学考试）无穷数列｛4｝满足：0<q<l,且对任意的正整

数〃，均有eJ=（3-a,,）e""，则下列说法正确的是（）

A.数列｛《,｝为严格减数列B.存在正整数小使得4<0

C.数列｛%｝中存在某一项为最大项D.存在正整数〃，使得

【答案】D

【解析】因为e%=（3-qje"”>0,所以3-%>0,所以4<3,

a

由e"-'=（3-a„）e"可得""=（3-。“），则an+l-a„=ln（3-a„）,

则有4用=4,+ln（3-a0），

设函数/（x）=x+ln（3-x）,0<x<3,

当0<x<2时，f'（x）>0,当2<x<3时，f'（x）<0,

所以/（©在（0,2）单调递增,（2,3）单调递减,

所以/（x）4f（2）=2,

因为0<4<1,所以外=/（4）€（0,2）,6=/（%）£（0,2）,

以此类推，对任意〃eN*,0<q,<2,故B错误；

所以4+1=/3"）=《+如（3-《）>%，故A错误;

因为。,用>耳，所以数列｛4｝中不存在某一项为最大项，C错误:

因为0<4<1,所以生=/（4）=4+ln（3-q）>ln3>l,

34

=f(③)=。)+ln(3—tz))>l+ln2>5>-,

3

4

所以存在正整数小使得D正确.

题型二：函数与不等式的综合

例4.（2023•全国•高三专题练习）关于x的不等式（x-l）99994叫户94x+1,解集为.

【答案】［一1，+8）

【解析】由题设，（X-1）W99-（2X）9999<X+1,而y=x，999在R上递增，

当x-l>2x即X<—1时，5-9""-Qxy噂AOAx+l,原不等式不成立;

当x—lM2x即xN-l时，。-1）9期-（2欠）9"9404犬+1,原不等式恒成立.

综上，解集为卜1,内）.

故答案为：［-1,+8）

例5.（2023•全国•高三专题练习）意大利数学家斐波那契（1175年~1250年）以兔子繁殖数量为例，引人

数列：1,1,2,3,5,8,,该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即为+2=4向+。“（〃€川），故此数列

称为斐波那契数列,又称“兔子数列”,其通项公式为勺=加2)设”是不等式

logja+6）"一（1-行）［>〃+5的正整数解，贝IJ〃的最小值为.

【答案】8

［解析］由+—6）［>〃+5,得logj（l+石）”一（1一后）［一〃>5,

n

得log2[(1+V5)-(1-V5)"]-log22">5,得log(1+石)：(1-石)>5,

75o10z、

则片〉g,显然数列｛《,｝为递增数列且所以数列阈亦为递增数列,

由q=%=1,得4=4+=2,4==3，=43+=5,4=%+05=8,

a-,=a5+a6=13,a8=tz6+a7=21,

产,10

因为姆=13?=169<彳=204.8,=212=441>y=204.8,

所以

使得a：>三成立的〃的最小值为8.

故答案为：8.

例6.(2023・辽宁•高三校考阶段练习)已知函数“X)=--+x+2,若不等式-4'+1)+f(m-2X)>5

2+1

对任意的x>0恒成立，则实数优的最小值为.

【答案】叵1

【解析】因为“X”(-3七+X+2+备-x+2=5,

所以了㈤图象关于点(01)对称,

2lln2_4t+(2-ln2)2r+l

又/(©=1一>0

(2X+1)2(2V+1)2♦

所以/(X)在R上单调递增,

f(m-4x+\)+f(m-2')>5等价于f(m-4x+l)+f(m-2X)>f(m-2x)+f(2x-m),

即/(w-4v+l)>f(2*-/n)恒成立,

2*_]

所以m•4'+122、一%，即加2-------(x>0)恒成立,

4+1

令2"-\=t。>。)，可得加2----~f~=――-——,

、口寸(什1)2+1r+2什2

1_1_1_五-1

而产+2什2=11二-公强，当且仅当，=夜时取等号，

t

所以机2叵1,即实数胆的最小值为立二1.

22

故答案为：立二L

2

变式4.(2023・全国•模拟预测)已知函数“X)是定义域为R的函数，/(2+A-)+/(-X)=0,对任意不，

x2e[l,+oo)(%1<^),均有/(9)一/(演)>0,己知〃，人("/6)为关于x的方程x2-2x+/-3=0的两个解,

则关于，的不等式〃。)+/。)+〃。>()的解集为()

A.(-2,2)B.(-2,0)C.(0,1)D.(1,2)

【答案】D

【解析】由/(2+x)+〃-x)=0,得/⑴=0且函数,f(x)关于点(1,0)对称.

由对任意演，x,e[l,-K»)(Xj<x2),均有/(々)一/&)>0,

可知函数/(x)在[1,+8)上单调递增.

乂因为函数/(x)的定义域为R，

所以函数/（X）在R上单调递增.

因为a,为关于x的方程V—2x+*—3=0的两个解，

所以八=4-4（产-3）＞0,解得-2＜/＜2,

且。+。=2,即力=2—。.

X/（2+x）+/（-x）=0,

令x=-a,则〃4）+/（b）=0,

则由%）+/1,）+/1⑺＞0,得〃。＞（）=/（1）,

所以/＞1.

综上，/的取值范围是（1,2）.

故选：D.

题型三：函数中的创新题

例7.（2023•重庆渝中•高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）帕德近似是法国数学家亨利•帕德发明的用有

理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数成，“，函数/（x）在x=0处的［〃［,〃］阶帕德近似定义为：

R（x）=2+：x++＞：”,且满足:F（o）=R（o）,r（o）=/?,（o）,r（o）=r（o）,尸…（0）=/?""+"＞（0）.已

l+b|X++bnx

ax

知“Mlna+D在x=。处的［1,1］阶帕德近似为注:

f"(x)=[f\x)],f\x)=[尸(切']⑷(尤)=[/(切'J⑸(x)=[7,4)(x)]\

（1）求实数。，b的值;

⑵求证：（x+切/\）＞1；

I

X+-

（3）求不等式0+_L2的解集，其中e=2.71828.

<e<1+xI

-2ab

【解析】⑴因为R"）=盘'所以"、）=,R"(x)

(1+6x)~(l+6x)j

W(X+1),则小)=+，r(x)=-

(X+1)2'

由题意知，尸(o)=R'(o),r(o)=/r(o),

a=11

所以-lab=-\'解得"=1'b=2

（2）由（1）知，即证（x+；

ln,4>1,

令，=1+—，则r>0且

X

即证]£（0,1）（1，内）时才三丁标>1,

记9（r）=lnf-^^,re（O.l）（l,4w）,

贝I]^（r）=--4=（：T）>o,

,（用）（+1）

所以奴f）在（0,1）上单调递增，在（1,«»）上单调递增，

当fe（O,l）时9（。<9（1）=0,即inf<*U，即#^ylnr>l成立，

当rw。,一）时夕（。>夕（1）=0,即inr>坐?，即#^ylnt>l成立,

综上可得/«（）』）

所以卜+g}n[l+成立，即（x+b）/（力>1成立.

（3）由题意知，欲使得不等式（1+1）'<€<[1+!）””成立，

则至少有1+—>0，即x>0或x<-l,

X

首先考虑e<（l+L]）该不等式等价于in（l+「p>l，即（x+g）n（l+£）>l,

又由（2）知卜+g>n（l+g）>l成立，

所以使得e<（l+；p成立的x的取值范围是（F，T）5°，田），

再考虑(1+/),<e,该不等式等价于xln(l+£)<l,

记力(x)=lnx-x+1,XG(0,1)(1,+co),

则，(x)=g-l=±w,所以当0<xvl时〃(x)>0,X>1时/?'(x)<0,

所以//(x)在(0,1)上单调递增，在(l,+o。)上单调递减，

所以〃(x)<〃(l)=。，即Inxvx-1,XG(O,1)(l,+oo),

所以x€(-oo,-l)u(0,+oo),

当xe(O,+<»)时由+,可知xln[l+：)<l成立，

当xe(yo,-l)时由ln[l+g)<T，可知xln(l+J)<l不成立，

所以使得(1+£]<e成立的x的取值范围是(0,y)，

综上可得不等式(1+」J<e<(1+的解集为(°，口)-

例8.(2023・上海黄浦・上海市敬业中学校考三模)定义：如果函数y=〃x)和y=g(x)的图像上分别存

在点M和N关于x轴对称，则称函数y=/(x)和y=g(x)具有C关系.

⑴判断函数"X)=log2(8x2)和8(》)=噬了是否具有(;关系；

(2)若函数/(x)=a4=1和g(x)=-x-l不具有C关系，求实数。的取值范围；

(3)若函数/(%)=xe'和g(x)=msinx(m<())在区间(0,兀)上具有C关系，求实数机的取值范围.

【解析】(析—与g(x)是具有C关系,理由如下：

根据定义，若f(x)与g")具有C关系，则在〃x)与g(x)的定义域的交集上存在x,使得

/(x)+g(x)=0,

因为〃力=1喝(8/)，g(x)=bg「,x>0,

22

所以/(x)+g(x)=log,(8x)+logIx=log28+log2x-log2x=log,x+3,

2

令/(x)+g(x)=0,即log2X+3=0,解得x=；,

8

所以/(X)与g(x)具有c关系.

(2)令e(x)=/(x)+g(x),

因为/(x)=WxT,g(x)=-x-l,所以夕(x)=ajx-l-x-l(x21),

令f=>/x-l(tN0),则x=『+i,^y=(p^x)=at-[t~+\)-\=-r+at-2,

因为〃x)与g(x)不具有C关系，所以夕(x)在[0,+-)上恒为负或恒为正，

又因为y=—/+n-2开口向下，所以丫=一产+3-2在[0,+8)上恒为负，即-2+。—2<0在[。,+8)上

恒成立，

当f=0时，一/+〃-2=-2<0显然成立;

2

当，>0时，:在[0,+8)上恒成立，

因为f+1=2&,当且仅当，=：,即.=血时，等号成立，

所以=2&,所以q<20,

\t/min

综上：a<2V2)即“€卜8,2枝).

(3)因为〃*)=旎"和g(x)=3inx(7n〈0),

令//(x)=/(x)+g(x),则/z(x)=+msinx,

因为〃x)与g(x)在(。㈤上具有。关系，所以人⑴在(0,兀)上存在零点，

因为/i'(x)=(x+l)ev+zncosx,

当一1K〃7Vo且/£(0,兀)时，因为(％+l)e*>1,|tncosx\<\m\<1,所以〃'(x)>0,

所以〃(%)在(0,71)上单调递增，则"(x)>/1(0)=0,

此时力(可在(0,兀)上不存在零点，不满足题意；

当机<一1时，显然当XW｝兀,寸，h，M>0,

当x€(0,3时，因为死)在„上单调递增，且力'(0)=1+机<0,呜卜信+1产>0,

故"(x)在(0皮)上存在唯一零点，设为a,则〃'(a)=0,

所以当xe(0,a),/z'(x)<0；当xw1片),〃'(幻>0；又当xe],兀)时，h'(x)>0,

所以力⑴在(0,a)上单调递减，在(%兀)上单调递增，人(可在(0")上存在唯一极小值点a,

因为〃(0)=0,所以〃(a)<0,

乂因为人(n)=兀e">0,所以又囚在(0,兀)上存在唯零点夕,

所以函数〃x)与g(x)在(0,兀)上具有C关系，

综上：m<-l,即6«Y>,T).

例9.(2023・重庆•高三统考阶段练习)悬索桥(如图)的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链

(工x\

线.1691年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为y=]e;+e;,其中c•为参数.当。=1时，该方程就是

双曲余弦函数cosh(x)=,类似的我们有双曲正弦函数sinh(x)=三匚.

⑴从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数y=cosh(2x)+sinh(x)的最小值;

①[cosh(x)]2-[sinh(切=1;

②sinh(2x)=2sinh(x)cosh(x)；

③cosh(2x)=[cosh(力丁+[sinh⑺1.

71

⑵求证：VXG-71.-,cosh(cosx)>sinh(sinx).

【解析】（1）证明：选①,

2

ev+e-veY-e-ve_2x4.-e-2x+.2ce_2x+.e__2x-2.

[cosh(x)]'一[sinh(x)丁=-----------------------------------=1；

2244

产—e-219上,一心）伫+右）

选②,sinh(2x)=—=2sinh(x)cosh(x)*

22x2

_v、2/

产+e-2”

选③,cosh(2x)=——+=[cosh(x)]2+[sinh(x)了.

22，

e2x+e~2x

y=cosh(2x)+sinh(x)=+e’e,4>/=sinh(x)=^-^

2

因为函数y=]、y=-2二均为R上的增函数，故函数y=sinh(x)也为R上的增函数,

^t=sinh(x)=^^eR,则产=匚言二所以cosh(2x)=2r+l,

所以y=2产+f+l=2,+g[+^>^,当且仅当.=一；时取"=”,

7

所以y=cosh(2x)+sinh(x)的最小值为管.

O

jrcosx.-cosxsinx_-sinx

(2)证明：VxG-^，―,cosh(cosx)>sinh(sinx)<=>--------------->--------------

,〜-cosA-,^-cosx、"nx-sinx

u>e十e>e—eA，

当xw［一万,0］时，ec»x+e-cosx>0)sinx<0<-sinx,所以e'”，

所以esinx-e-sinA<0-所以ecosv+e_cosx>esinx-e**成立；

当xe(0,3时，则/，且正弦函数y=sinx在(0m上为增函数，

cosx=sin^-x^>sinx,所以e™8*之e""",-e-sin1<0<e,

sinx

所以6^+e-8sx>e-e』”成立，

冗

综上，Vxw-zr,—,cosh(cosx)>sinh(sinx),

变式5.(2023•广东深圳•高三深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习)布劳威尔不动点定理是拓扑学里

一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹・布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连

续实函数/(x),存在一个点%,使得/(%)=%,那么我们称该函数为“不动点”函数，而称与为该函数的一

个不动点.现新定义：若％满足〃毛)=-不，则称与为/(x)的次不动点.

⑴判断函数/(q=丁-2是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点；若不是，请说明理由

(2)己知函数g(x)=gx+l,若。是g(x)的次不动点，求实数。的值：

(3)若函数/?(x)T°gi(4'j2)在［0,1］上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数6的取值范围.

2

【解析】(1)依题意，设%为“X)的不动点，即/5)=%，于是得x：-2=x0,解得=2或％=-1,

所以f(x)=d-2是“不动点”函数，不动点是2和T.

112

(2)因g(x)=-x+1是“次不动点”函数，依题意有g(a)=-a，即-«+1=一。，显然a40,解得〃=-§,

2

所以实数。的值是

(3)设以〃分别是函数〃(》)=蜒:(4'一。2)在［0,1］上的不动点和次不动点，且孙〃唯一，

由力(加)=机得：log；(4'"-%-2'")=/n,即4"‘一儿2"'=(g)M,整理得：〃=2'"—

令/(m)=2"-F，显然函数9(m)在［。/］上单调递增，则。(〃”而n=奴°)=°，夕(Mmax=〃)="则

7

4

由人(〃)=-〃得：1。82(4"一力2")=-%即4"_»2"=2",整理得：b=2"-l,

2

令〃(〃)=2"—1,显然函数"⑺在［0,1］上单调递增，“5濡=〃(0)=0,"(〃)3=〃(1)=1,则0^41,

综上得:O<Z><1,

所以实数匕的取值范围[0,1].

题型四：最大值的最小值问题(平口单峰函数、铅锤距离)

例10.(2023•浙江绍兴•高三浙江省柯桥中学校考开学考试)已知函数/(力=尸-6/+公+。],对于任意的

实数。，从总存在为目0,3],使得/(%)2加成立，则当相取最大值时，a+b=()

A.7B.4C.TD.-7

【答案】A

【解析】由/(x)=,-6/+奴+4，^/(x)=|x3-6x2+9x-[(9-a)x-/>]|,

设g(x)=x3-6x2+9x,贝!Ig(x)=3x2-12x+9=3(x-l)(x-3),

g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，

g(0)=g(3)=0,

设〃(x)=(9-a)x—6,

画出函数的图像如图

对任意的实数。，6,总存在毛e[0,3],使得/(X。)2加成立，

等价于求/(X)最大值中的最小值，

由图像可知当。=9力=-2时，冽取得最大值2,此时a+b=7,

故选：A

4

例11.(2023•湖北•高三校联考阶段练习)设函数/(x)=x+7以-"若对任意的实数mb,总存在为e[l,3]

使得/(不)2根成立，则实数加的最大值为()

A.-1B.0C."4—D.1

3

【答案】C

【解析】由已知得，*《[“xLLx

设构造函数g(x)=：+&满足g(l)=g⑶，即4+4=g+3/l,解得2

则函数/(力可以理解为函数g(x)=：+gx与函数Mx)=g+“x+匕在横坐标相等时，纵坐标的竖直距离,

•••g(l)=g(3)=?,且g(x)，+3=2j生”=季(当且仅当彳=若时取等号)，

3x3Vx33

...若设直线4的方程为y若，直线4的方程为y=¥，由此可知当*=0,直线Mx)=b位于直线乙和

168月QAn

直线4中间时，纵坐标的竖直距离取得最大值中的最小值，故[/(耳"向】_了一丁=三”，

=-^—3

所以实数机的最大值为互速.

3

故选：C.

例12.(2023・全国•高三专题练习)设函数，(x)=}",若对任意的正实数“，总存在不«1,4],使得

八为)之〃?，则实数，〃的取值范围为()

A.(-=o,0]B.(-oo,l]C.D.(-oo,3]

【答案】D

【解析】对任意的正实数。，总存在%e[l,4],使得f(x)1mx,X6[l,4].

4

令〃(x)=--or,4>0,.二函数"(X)在xe[l,4]单调递减，

x

WU)inax=W(1)=4-a,”(X)min=U(4)=1一4々.

①a.4时，0..4—。>1一4〃，则/(幻四=4〃-1..15.

②4>々>1时，4-«>0>l-4n,4一々+1—牝=5-5〃<0,贝U/(幻四=4a-1>3.

③一<4,1时，4一4-a+1-4tz=5—5〃..0,则/(x)x=4—a.3.

41nll

④0<%!时，4-6?>1-4«>0,则/(x).=4—.

44

综上①②③④可得：/(幻皿之3,即如,3.

，实数机的取值范围为(,，3].

故选：D.

r—9

变式6.(2023•全国•高三专题练习)已知函数=---ax-b,若对任意的实数a,〃，总存在毛£[-1,2],

x+2

使得成立，则实数"?的取值范围是()

A.卜8,；B.1-8,；C.18,gD.

【答案】B

【解析】由存在玉＞€［-1,2］,使得/(%)..“成立，故〃?W/(X)mx，

乂对任意的实数"，。，相＜/*)2,则根4"(X)maJmi„，

x—2x—2函数g(x)=M

---ax-b=---(ax+b)可看作横坐标相同时,

x+2x+2

与函数Mx)=or+b图象上的纵向距离的最大值中的最小值,

又g(-l)=-3,g⑵=0,作示意图如图所示:

设A(T,-3),B(2,0),则直线A8的方程4：y=x-2,设/2：V=x+m与g(x)相切,

y—2

则：----=X+〃?，得/++l)x+2(/77+1)=0,有△=(〃7+1)2-8(〃7+1)=0,

x+2

得加=一］或加=7,由图知，切点c(o,-1),则小丁二不―1，

当直线以幻与4,4平行且两宜线距离相等时，即恰好处于正中间时，

函数g(x)与力。)图象上的纵向距离能取到最大值中的最小值，

此时/2(X)=X后，"(x)J„=|T-(-|)l=g，故施4；.

故选：B

变式7.(2023・高一课时练习)已知函数〃力=以+：+/。,无/?),当xe1,2时，设“X)的最大值为

M(a,b),则M(a,b)的最小值为()

A.-B.-C.gD.1

842

【答案】B

【解析】函数〃x)=如+1+。(。，。€用，当xe［；,2］时，f(x)的最大值为"(a,/?),

X1

可得M{a,b)>/(2)=|2a+b+；|,M(a,b)>f(g)=\^a+b+2\,M(a,b)>/(I)=|a+b+11,

12

可得5M3））+3加（44）+加34）之

336—33311

屋〃+勾+'4+为+二”〃7£

3363332

即2M(a㈤2；,即有M(a,。)之；，则M3,。)的最小值为;,

故选：B

变式8.(2023•江西宜春•校联考模拟预测)己知函数〃x)=lnx+g-ax-6(a/€R),且x°w[l,e],满足

\nx0+—=e-\,当xe士与时，设函数的最大值为M(a,6),则用(a⑼的最小值为()

X()Le

【答案】D

【解析】设g(x)=lnx+，(x>。)，贝！lg〈x)=，--T=;^-(^>0),

XXXX

当Ovxvl时，g'(x)<o,g(x)为减函数,

当X>1时,g'(x)>0,g(x)为增函数,所以g(x)m-g6=l，

且lnx()+,=eT,显然

玉)

在%0上,当4=0时，/(x)=|g(x)-目，

当=g时，==当〃=刍时取等号;

22v7222

当时，㈤=。-1>等，所以MS，。).,.：等，

此时点（：,e-1）（1,1）,（x。,e-1）到直线y=b的距离都是等,

当"