2022-2023学年内蒙古兴安盟重点中学八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年内蒙古兴安盟重点中学八年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.将一块含30。角的三角板和一把直尺如图放置，若41=69。，贝此2的度数是（

A.41°

B.51°

C.61°

D.71°

2.已知一个三角形的周长为偶数，其中两条边长分别等于4sl和9on,则第三边的长可能是（）

A.4cmB.6cmC.9cmD.13cm

3.如图所示，两个正方形的边长分别为a和b,如果a+力=8,ab=AD

14,那么阴影部分的面积是（）

A.12

B.18

C.22

D.112

4.万程3%T=27,2%=犷一1,则久一y=（）

D2

A.1B.0C.1.5

5.若多项式/-ax+12可分解为（％-3）（%+b）,贝Ija+b的值为（

D7

A.—11B.—3C.3

6.计算（一3）-1的结果是（）

1D1

A.B.-3C.33-

7.已知关于x的分式方程隼-二彳=1无解，则m的值是（）

A.1B.1或2C.0或2D.0或1

8.如图，已知=30。，点P在N20B内部，点B与点P关于08对称，点P2与点P关于。4对称，则P「

0,P2三点所构成的三角形是（）

A.含30。角的直角三角形

B.等边三角形

C.顶角是30。的等腰三角形

D.由点P的位置而定

9.通过光的反射定律知道，入射光线与反射光线关于法线成轴对称（图1）.在图2中，光线自点P射入，经镜

面EF反射后经过的点是（）

10.已知在四边形ACDB中，AB//CD,点P在4B,CD之间，E为4B上一点，F为CD上一点，PG^^EPF

交AC于点G,PH//CD交4C于点H.下歹!J结论：①乙BEP+KPFD=24EPG,@\^BEP-^PFD\=

2AHPG,③NEPG—NHPG=NPFD.其中正确的结论共有个.（）

A.0B.1C.2D.3

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

11.一个多边形的内角和与外角和的差为900。，则它是边形.

12.正九边形每个内角的度数都是其相邻外角度数的5倍，贝阮=—

13.已知（2x+1）°=1,贝辰的取值范围是.

14.如图，AA8C中，乙4=23。，NB=57。，以点4为圆心，8C长为半径作

弧；以点B为圆心，AC长为半径作弧，两弧相交于点。，贝亚DBC的度数为

15.如图，点P是正方形A8CD的对角线8。上一点，PE18C于点E,PF1CD于点

F,连接E,F.给出下列五个结论：①力P=£T;@PD=EC-,@Z.PFE=/.BAP-.

④A4PD一定是等腰三角形；⑤4P1EF.其中正确结论的序号是.

三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本小题8分）

如图，在△48C中，N4CB=90。，D为BC上一点,且4C=BD,过。作DE18C,连接BE,CE,且BE=

AB.

(1)求证：4ABem4BED；

(2)若S"CE=18,CD=2,求AC的长.

17.（本小题8分）

证明命题：三角形的外角和等于360。（要求画出图形、写出已知、求证、证明）.

18.（本小题8分）

数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，整式乘法中也可以利用图形面积来论证数量

关系，现用砖块相同的面（如材料图，长为a,宽为6的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些

拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题.

(1)图1中空白面积为S],根据图形中的数量关系，用含a、b的式子表示S1；

(2)图3中空白面积为S3,根据图形中的数量关系，用含a、b的式子表示S3；

(3)图1,图2中空白部分面积S1、S2分别为19、68,求ab值.

19.(本小题8分)

翻开史书，中华文化灿烂的历史展现在眼前，尤其是红色革命文化的精神，值得人们传承和弘扬，一部部

红色典籍更是每个时代都需要的精神食粮.某学校计划开设阅读课让同学们学习革命文化，便购买了《红岩

以和淋海雪原》供学生阅读，首次购买书籍的单价及花费如表：

值岩》褥海雪原》

单价(元/本)Xx—3

购买花费(元)675540

已知首次购买到的两种书籍数量相等.

(1)求学校购买的两种书籍的单价各为多少元？

(2)首次购书之后，学校发现学生对革命文化有了更深入的了解，现打算再次购买500本，这一次学校共花

费6600元，那么这次购买怫海雪原》多少本？

20.(本小题8分)

在△ABC中，AB=AC,BD平分N4BC,交4C于点D,BD=AD.

(1)如图1,求NB4C的度数；

(2)如图2,E是2B的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F,连接4兄求证：AF=AB+BC.

B

图1图2

21.(本小题8分)

【阅读理解】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题:

如图1,AABC中，若4B=8,AC=6,求BC边上的中线4。的取值范围.小明在组内经过合作交流，得

到了如下的解决方法：延长4。至U点£,使。E=4。，请根据小明的方法思考:

⑴由已知和作图能得到△4DCmAEDB的理由是

A.SSSB.SASC.AASD.HL

(2)求得4D的取值范围是.

A.6<AD<8B.6<AD<8C.1<AD<7D.1<AD<7

【感悟】

解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和

所求证的结论集合到同一个三角形中.

【问题解决】

(3)如图2,4D是A4BC的中线，8E交4C于E,交4D于尸，且4E=EF.求证：AC=BF.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解:如图,

由题意得：ZC=90°,=30°,

•••Z-A=60°,

•・・Z1=69°,

.・.z3=Z1=69°,

z4=180°-z3-z4=51°,

.・.z2=Z4=51°.

故选：B.

由题意可求得N4=60。，再由对顶角相等得43=N1,Z2=Z4,由三角形的内角和即可求解.

本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是明确三角形的内角和为180。.

2.【答案】C

【解析】解：设第三边长为尤cm,

则由三角形三边关系定理得9一4<x<9+4,即5<x<13.

•••一个三角形的周长为偶数，

•••%=7或9或11.

二只有9cm符合题意.

故选：C.

已知三角形的两边长分别为4cm、9cm,根据在三角形中任意两边之和〉第三边，任意两边之差（第三边；

即可求第三边长的范围.

本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答

此题的关键.

3.【答案】B

【解析】解：由图可知，

五边形4BGFD的面积=正方形力BCD的面积+梯形OCGF的面积,

即五边形2BGFD的面积=a2+^a+b)b=至等±Q,

阴影部分的面积=五边形2BGFD的面积-△48。的面积-△BCF的面积

即阴影部分的面积=2a2+ab+必_a^_ab=2a2+帖+廿一。2一篇=《应，

22222

•••a+6=8,ab=14,

・•・a2+b2=(a+b}2-2ah=82-2x14=64-28=36,

・•・阴影部分的面积为之叱=生=18.

22

故选：B.

由图可得五边形4BGFD面积为正方形4BCD的面积加上梯形DCGF的面积，根据阴影部分面积为五边形面

积减去空白部分两个三角形面积列式计算即可求得面积为贮土Q,再根据a+6=8,ab=14构造a?+b2=

2

(a+bp—2ab,即可求解.

本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，根据题意列出阴影部分面积的表达式是解决本题的关

键.

4.【答案】A

【解析】解：•・・3%-1=27,2%=4、T,

.・.3%T=33,2、=22。-1),

x-1=3,x=2(y—1),

解得：%=4,y=3,

故％—y=4—3=1.

故选：A.

直接利用塞的乘方运算法则得出工的值，进而得出答案.

此题主要考查了幕的乘方运算，正确将已知变形是解题关键.

5.【答案】C

【解析】解：•・,多项式％2一Q%+12可分解为(%-3)(%+b),

：—a=-3+b,12=-3b.

.・.b=—4,a=7.

••・a+b=—4+7=3.

故选：c.

根据十字相乘法的分解方法和特点可知：-a=-3+b,12=-3b.

本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键.

6.【答案】A

【解析】解：原式=—%

故选：A.

根据负整数指数幕的意义即可求出答案.

本题考查负整数指数幕的意义，解题的关键是正确理解负整数指数幕的意义，本题属于基础题型.

7.【答案】B

【解析】解：方程两边同时乘以x-l,得7nx=

移项、合并同类项，得（爪-1）乂=1,

•••方程无解，

x=1或m—1=0,

■■■m—1=1或m=1,

m=2或m=1,

故选：B.

先解分式方程得（爪-1）久=9,再由方程无解可得zn-1=3或=1,求出m即可.

本题考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法，注意对方程增根的讨论是解题的关键.

8.【答案】B

【解析】【分析】

此题考查了轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂

直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等.

根据轴对称的性质，结合等边三角形的判定求解.

【解答】

解：连接「止2.

•••P为乙4。8内部一点，点P关于。B、。4的对称点分别为P1、P2,

OP=0P1=OP2且4P1OP2=2乙AOB=60°,

：・△0Plp2是等边三角形，

OA

尸2

即点P1，0,P2三点所构成的三角形是等边三角形.

故选:B.

9.【答案】B

【解析】解：如图，过点P,点B的射线交于一点。,

法线K

图11

故选：B.

利用轴对称变换的性质判断即可.

本题考查轴对称变换的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

10.【答案】C

【解析】解：@AB//CD,PH“CD,

：.AB//PH,4PFD=乙FPH,

.­.乙BEP=乙EPH,

：./.BEP+APFD=4EPH+4EPH=Z.EPF,

：.PG^^EPF,

.­.乙EPF=2/.EPG,

：.乙BEP+乙PFD=2乙EPG,

故①选项是正确的；

②由①知，乙BEP=乙HPE,4PFD=乙FPH,

•••\^BEP-/.PFD\=\^HPE-AFPH\,

•••乙HPE=乙GPE一乙HPG,

乙FPH=乙GPF+乙HPG,

•••\^BEP-/.PFD\=\^HPE-AFPH\

=\Z.GPE-乙HPG-(4GPF+NHPG)|

=\^GPE-乙GPF-2^HPG\,

乙GPE=Z.GPF,

・•.I乙BEP-Z-PFD\=I-2/-HPG\=2Z.HPG,

故②选项是正确的；

③由①知，

•••乙EPG—乙HPG=AHPE,

乙HPE=乙BEP,

.­.乙EPG-A.HPG=乙BEP丰APFD,

故③选项是错误的.

故选：C.

根据题意，画出正确的图形，根据平行线的性质、角的和与差推理即可.

本题考查的是平行线的性质以及角的和与差，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，以及找到各角的和与

差.

11.【答案】9

【解析】解：设这是一个九边形，则

180(n-2)-360=900,

解得n=9.

答：它的边数是9.

故答案为：9.

需先根据已知条件，再根据多边形的外角和是360。，解出内角和的度数，再根据内角和度数的计算公式即

可求出边数.

本题主要考查了多边形内角与外角，在解题时要根据外角和的度数以及内角和度数的计算公式解出本题即

可.

12.【答案】12

【解析】解：设多边形的每个外角为九，则其内角为5n，

n+5n=180°,

解得：n=30°,

即这个多边形的边数为：360。+30。=12.

故答案为：12.

正九边形每个内角的度数都是其外角度数的5倍，利用内外角的关系得出等式，即可求得多边形的外角的度

数，进而利用外角和求出加

本题主要考查了多边形的内角与外角的关系以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变

化而变化.

13.【答案】%*-1

【解析】解：根据题意知：2x+l大0.

解得光力一看

故答案为：xK—去

根据零指数塞的定义知：2x+140.

本题主要考查了零指数塞.注意：0°1.

14.【答案】34。或80°

当点。在力B上方时，由作图可知，BC=AD,AC=BD,

在AABC和AB/W中，

BC=AD

AC=BD,

AB=BA

：.^ABC=LBADASS'),

：.AABD=^BAC=23°,

•••/.ABC=57°,

AADBC=AABC-乙ABD=57°-23°=34°,

当点。在力B下方时，同理可求ADBC=80°

故答案为：34。或80。.

由作图可知，BC=AD,AC=BD,根据“SSS”定理证得△4BC三△BAD,由全等三角形的性质求出

AABD,即可求出NDBC的度数.

本题考查作图-基本作图，全等三角形的性质和判定等知识，解题关键是理解题意，△ABC三ABAD,属于

中考常考题型.

15.【答案】①③⑤

【解析】解：延长FP交48于点N,延长4P交EF于点M.

•••四边形4BCD是正方形.

•••乙ABP=乙CBD

又•••NP1AB,PE1BC,

••・四边形BNPE是正方形，4ANP=4EPF,

NP=EP,

：.AN=PF

在△47。与4FPE中，

NP=EP

•••UNP=4EPF,

、AN=PF

.•.△2NPmA"E(SaS),

AP=EF,NPFE=NBAP(故①③正确)；

AAPN与4FPM中，乙APN=乙FPM,乙NAP=4PFM

■■/-PMF=乙ANP=90°

.■.AP1EF,(故⑤正确)；

P是BD上任意一点，因而A4PD是等腰三角形和PD=EC不一定成立，(故②④错误)；

故正确的是：①③⑤.

故答案为：①③⑤

可以证明AAMP三AFPE,即可证得①③是正确的，根据三角形的内角和定理即可判断⑤正确；根据P的

任意性可以判断②④的正确性.

本题主要考查了正方形的性质，正确证明△川VPmAFPE,以及理解P的任意性是解决本题的关键.

16.【答案】⑴证明:••・DE1BC,

乙BDE=90°,

在Rt△4BC和Rt△BED中，

(AB=BE

14c=BD'

：.RtAABC=RtABED(HL)；

(2)解：MABCm4BED,

BC=DE,

S^BCE=18，CD—2,

1

：.^BC-DE=18,

BC2=9,

CB=3（负值舍去），

■■.BD=BC-CD=3-2=1,

AC=1.

【解析】(1)根据HL可证明AABC三ABE。；

(2)求出BC=3,则可得出答案.

此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据HL证明RtAABC三RtABED解答.

17.【答案】解：如图，已知：AABC^,ADAC,乙BCF,乙ABE是△夕

ABC的三个外角，夕'、

求证：ADAC+^BCF+AABE=360°,/X.

证明：ADAC=^ABC+^ACB,^ABE=ABAC+AACB,Z.BCF=EB

乙ABC+Z-BAC,

Z-DAC+Z-BCF+Z-ABE=Z-ABC+乙ACB+Z-BAC+Z-ACB+Z-ABC+Z-BAC,

ADAC+乙BCF+^ABE=l^ABC+乙ACB+ABAC)=2x180°=360°.

三角形的外角和等于360。.

【解析】由题意画出图形，由三角形的外角的性质即可得到乙D2C+zBCF+N2BE=2(NABC+NaCB+

NB4C)=2x180。=360。，从而证明问题.

本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理，关键是掌握三角形外角的性质.

18.【答案】解：(1)S]=(a+6)2-3ab=a2+b2-ab；

(2)由图形，得S3=(3a+b)(a+2b)—7ab=3a2+7ab+2b2—7ab=3a2+2b2；

(3)S1=(a+6)2—3ab=a2+b2—ab—19①，

22

S2=(2a+b)(a+2b)—5ab=2a+2b-68②，

:.②一①x2,得ab=15.

【解析】(l)Si等于大正方形的面积减去3个小长方形的面积；

(2)先用a,b表示S3即可;

(3)先用a,b表示Si、52，再整体求解.

本题考查了完全平方公式的几何背景，数形结合思想是解题的关键.

19.【答案】解：（1）由题知，学校购买《红岩》的单价为x元/本，

购买淋海雪原》的单价为0-3）元/本，x>3,

根据题意，得：经=”，

xx—3

解得x—15,

经检验，x=15是原分式方程的解，且符合题意，

15-3=12（元/本）.

答：学校购买《红岩》的单价为15元/本，《林海雪原》的单价为12元/本；

（2）设购买淋海雪原》山本，0WMW500,则购买德C岩）（500—爪）本，

根据题意，得：12m+15（500-m）=6600,

解得7n=300.

答：这次购买游海雪原以300本.

【解析】（1）根据表中数据列出分式方程，解方程并检验结果即可；

（2）设购买淋海雪原》山本，根据题意列方程求解即可.

本题主要考查了分式方程的应用和一元一次方程的应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出方程.

20.【答案】（1）解：设NA8。=x°,

■■BD平分N48C,

•••乙DBC=x0,

•・•AB=AC,

Z.C=Z.ABC=2x°,

又•・•BD=AD,

・,•Z-A=%0,

又•・•乙BDC=NZ+4ABD,gP2x0=4/+%。，

・•・（BDC=Z.C=2x°,

BD=BC,

在△ABC中，/-A+AABC+ZC=180°,

•••x+2x+2x=180,

解得％=