2023年高考数学三轮复习练三角函数与解三角形大题基础练（解析版）

［一专三练】

专题02三角函数与解三角形大题基础练-新高考数学复习

分层训练(新高考通用)

1.(2023•云南昆明•昆明一中校考模拟预测)在C中，内角48,C对应的边分别为

a,b,c,已知Ocos8=SinA.

(1)求3；

(2)若Q=6，c=3f求Z?的值.

【答案】(1)B=g(2)⅛=√3

【分析】(1)根据正弦定理边化角化简题中等式即可；(2)直接运用余弦定理即可求解.

【详解】(I)在ABC中，由正弦定理得"=2RsinA0=2Rsin8,

因为“cos8=GbSinA,代入化简得SinAcos8=百SinBSinA,

因为A∈(0,%),所以SinAH0,

所以tanB=且，又因为3e(0∕),所以8=！.

36

(2)在ABC中，由余弦定理得〃=/+。?一2αc∙cos8，

代入数据解得〃=3+9-2χ石χ3x3=3,6=√J.

2

2.(2023•江苏•统考一模)在CABC中，角A,B,C所对的边分别为α,b,c,

1+sin2A=(3tan8+2)cos2A.

(1)若C=芈，求tan8的值；

4

(2)若A=3,c=2,求ABC的面积.

【答案】(I)tan3=:

⑵¥

【分析】(I)根据三角恒等变换可得tan(A+：)=2tanB+2,结合条件可得关于tan8的

方程，进而即得；

(2)根据条件可得tanA=走，进而可得α=6=2叵，然后根据三角形面积的公式即

33

得.

【详解】(1)若C=1,则A+B=f,

44

因为1+Sin2A=(3tanθ+2)cos2A,cos2A≠0,

-r-.l÷sin2A(SinA+cosAysinA+cosAtanA+1(.C_

所f以ls-------=1~~--------ɪ=----------------=----------=tanA+—=3tanB+2,

cos2ACO5S"A-sinAcosA-sinA1-tanA(4)

所以tan(工-3)=3tanB+2=>---=3tanB+2,

∖2)tanB

解得tan8=g或τ,因为Be(O,弓)，

所以tan8=g；

(2)若A=B,由tan(A+g)=3tanB+2,可得警1l=3tanA+2,

k4；1-tanA

整理可得tan"=；,BfJtanA=+

√3

3,π

因为A=Be(O弓)，所以tanA=A==所以C=2π

√36-τ

3,

_C_2√3

所以43C是以C为顶角的等腰三角形，"="=；—n=~,

2cos-

6

所以ABC0∖l[fi]⅜!¾S=ɪ«Z>sinC=ɪ×××—=—.

223323

3.（2023•辽宁葫芦岛•统考一模）在/3C中，角4B,C所对的边分别为

a,b,c.Sin(A-B)=Sin(A+B)-sin(A+C),角A的角平分线交BC于点。，且b=3,c=6.

（1）求角A的大小;

（2）求线段AO的长.

【答案】（I）Aq

(2)2√3.

【分析】（1）由两角和与差公式化简求角即可；

（2）利用面积公式列方程解出线段AD的长.

【详解】（1）在，ABC中，由己知Sin（A-B）=Sin（A+B）-Sin（A+C）,可得:

则有：SinAcosB-CosAsinB=SinACoS8+CosAsinB—SinB,

即2cosAsin8-sinB=0

又sinB≠0,即有cosA=ɪ,

2

而Ae(0,π),所以Ag

（2）在43C中，由（1）知4=1，因为AO为角A的角平分线，

则有/B4f>=NCW=30。，

由SABC~SABD+S.ACD得:

Lχ3χ6χsin60°=-XAZ）X6xsin300+L3xAAχsin30°

222

解得AD=2√5,

所以线段AO的长为2√L

4.（2023•安徽安庆•统考二模）在一ABC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,J

A

2⅛sinC∙tan-=«.

2

（1）若角B=?,求角A的大小；

6

⑵若α=4,cos2A=—,求。.

8

【答案】⑴A=专

【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化结合三角恒等变换化简，即可得到结果；

（2）根据题意，由余弦定理，代入计算即可得到结果.

.A

asin—

【详解】（1）由于2bsinCtan-=α,⅛^2sinBsinC----⅞-=sinA,

2A

cos—

2

AA

即2sinBsinC—ɪ2∙=sinA,即2SmBsmCsmA=Sin4，

cos2-I+。。SA

2

P.A∈（0,π）,SinAWO,则2sinBSiner=I+cosA,即2sinBsinC=1-cos（β+C）,

所以cos（8-C）=l,由于一π<3-C<π,且B=g,故A=".

63

（2）由（1）知匕=c.

ɪ3

cos2A=2cos2A-I=-,A∈（θ,π）,.∙.cosA=±—

8v74

当A为锐角时，b2+b2-2b∙bcosA=41,:.b2=32,.∙.b=4y∣2.

当A为钝角时，b2+b2-2b-bcosA=42,.-.b2=-,.-.b=^-.

77

5.（2023•安徽合肥•校考一模）在AABC中，角A,B,C的对边分别为α,b,c,其面

积为S,且(C-I)(c+a)+abcosC=S,

3

(1)求角A的大小；

(2)若4cos8∙cosC=1,且α=2√5,求S的值.

【答案】(1)γ;(2)3√3

【分析】(1)边化角即可；(2)通过角得关系求出3,进一步即可获解

【详解】(1)

zz,,25/322入/2∖∣31,

(c-α)λ(c+α)λ+QOcosrC=-----S,:.c-a+ab×---------------=------×-bcs∖nA

32ah32

222

=C2一〃2+；(〃2+人2_02)=beSinA=g[b+c-a^=^-hcsinA

n.

所以cosA=="sinA,即tanA=Gr

3

0<A<π,.,.A=—

3

,

(2)A+B+C=π,.∖c=π-(A+B)9..cosC=cos[æ-(A+B)]=-∞s(A÷B)

cosC=-cosfB÷ɪ>l=-cosBcos—+sinfisinɪ=-sin3-LCOSB

I3)3322

&nB-'cos8

4cosBcosC=4cosB=-2cos2B÷26cosBsinB

=-l-cos2β+√3sin2β=2sin^2B-^j-l=I,Λsin^-ɪjɪl

r>zɜ2τΓ八∏2Cr>""(""7、Cr)""""n""

B+C=——:.0<B<-π2B----∈9-π:.2B--=—,B=一

336lk66J623

△A8C为等边三角形

所以S=Lα2χsinK=L12x且∙=ɜʌ/ɜ

2322

6.(2023•湖南长沙•雅礼中学校考模拟预测)已知锐角三角形ABC中角A,B,C所对

的边分别为mb,c,c+a=W百sinC+CoSC).

⑴求B；

(2)若α=2,求C的取值范围.

【答案】(1)§

⑵(1,4)

【分析】(1)利用正弦定理及正弦的两角和公式将c+a=16sinC+cosC),变形为

sinC=sinBsinC-cosBsinC,再化简可求解;

(2)由，L=，-->c=jsin£=2sin(^-i/?)=i+^g_［即可求解.

sinAsinCsinAsinAtanA

【详解】(1)由c+a=M√5sinC+CoSC)及正弦定理得

sinC÷sinA=ʌ/ɜsinBsinC+sinBcosC,

所以SinC=6sinBsinC+sinBcosC-sin(B+C)=sinBsinC-cosBsinC,

因为0<C<',所以SinCw0,所以J5sin8-cos8=l,从而Sin(Bπɪ

2

因为0<8<g,所以B-E=£,所以8=f.

2663

（2）由正弦定理得一，

sinAsinC

所以2sinC_2sin(A+B)_SinA+6CoSC_ɪʌ/ɜcosA_ɪ+y∣3

sinAsinAsinAsinAtanA

0<A<-

2

因为MBC是锐角三角形，所以

2τr

OcC=-Aq

~τ

解得m<A<1.

o2

因为y=tanx在（g,g［上单调递增，所以tanA>且.

（62J3

从而0<舍<3,所以l<c<4,即C的取值范围是（1,4）.

7.（2023•山东•烟台二中校联考模拟预测）已知平面四边形ABS中，AB//CD,

BC=上AD,ZBAD=2ZBCD.

(1)求NABC；

(2)若8=4,ZABD=ZADB,求四边形ABCQ的面积.

【答案】(I)NABC=I50。

(2)3√3

【分析】（1）在AABD和aBCD中，利用正弦定理和已知条件，建立等量关系:

。

SinNB4而BC‘从ll而r得到7.ιl飞sin2信ZBC万Z)=6∏-,求,x出,,l结,,果m;

sinNBCD

（2）利用条件得到为等边三.角形，进而求出/DBC=90。，再利用：角形面积公式

即可求出结果.

BDAD

【详解】（1）如图，在AABO中，由正弦定理可得

Sin/BADsinZABD

在中，由正弦定理可得常而BC

sinZBDC

因为AB〃皿所以ZAB"加。所以彩鬻=器

HL.,sin2Z.BCD

而BC=GAO,ΛBAD=2ΛBCD,故一-----

sinNBCD

又sin2ZBCD=2sinZBCDcosZBCD，所以得到cosNBCD=—

2

因为0°<NBCD<180°,故NBCZ)=30°,故NABC=I50。.

(2)因为NBW=2NBC3=60。，且NABZ)=NΛD3,

故AS=AZJ=BZ)，AιAβf)为等边三角形.

所以NDBC=ZABC-ZABD=150o-60o=90o,

因为C£）=4,ZBCD=30°,所以%>=2,

故梯形™面积S=SMS…”™+*2X4XSin6。。=35

8.（2023•安徽滁州•校考一模）在ABC中，b2+c2--bc=a2.

2

（1）求COSA的值；

（2）若B=2A,b=yfβ,求。的值.

【答案】（1）COSA=-;（2）2.

4

【分析】（1）利用余弦定理可求得CoSA的值；

（2）利用二倍角的正弦公式求出SinB的值，然后利用正弦定理可求得。的值.

【详解】（1）因为在ΛBCΦ,b2+c2=a2+^bc,所以,

2

,b2+c2-a2H屈bhC

cosA=---------------=-------

IbcIbc~~4~

(2)由(1)知，0<A<ɪ,所以SinA=JI-CoS?<=2

24

因为8=2A,所以SinB=Sin24=2sinAcosA=2×叵X旦=晅

444

/7√io

1>∙AVO×------

又因为B=J由正弦定理."=.：，可得一--------=2.

SinAsinβsιnB√15

~1~

9.（2023•山东荷泽•统考一模）如图,在平面四边形ABCQ中,

ZABC=Θ^<θ<τι).AB=BC=CD=X,ACLCD.

(1)试用夕表示3。的长；

⑵求AC2÷BD1的最大值.

【答案】(I)BD=2cosg

4

呜

【分析】⑴根据已知条件将NBa)用e表示,再在ABCD中利用余弦定理求解即可；

2

(2)在ΛABC中先用余弦定理将AC用6表示,再结合(1)的结论,利用二次函数的性质求解

最大值即可.

【详解】(1)ΛABC=Θ(0<^<π),AB=BC=CD^l,AC±CD,

：.ZBCA=---,则NBCO=N+NBC4=2+(£-g)=7t-g,

2222222

在ABCD中,BD-=BC2+CD2-IBCCDcosZBCD=2+2CoSg=21+2cos2τ)=4cos2.

o<e<兀，

.,.cos—>O,则BD=2cos-.

44

(2)在ΛBC中,ACJAB?+娟一2A8∙BCcosZABC=2-2COSa

•，.AC2+BD1=2-2cos^+2+2cos-=-4cos2-÷2cos-+6=-4fcos--ɪl+—,

222I24)4

Q

0<^<π.∙,∙O<cos-<1,

2

则当COSW=J时,取到最大值字.

244

故4。2+加2的最大值是2^5.

4

10.(2023•江苏•统考一模)在ABC中，角A,B,C的对边分别为α,b,c,

2c=⅛(sinA-cosΛ).

(1)若SinB=IOsinC,求SinA的值；

(2)在下列条件中选择一个，判断.ABC是否存在，如果存在，求b的最小值；如果不存

在，说明理由.

①..ABC的面积S=√∑+l；

②be=4近;

@«2+b2=c2.

【答案M呜4

(2)答案见解析

【分析】(1)在，ASC中用正弦定理将边转化为角化简，再根据同角的平方关系，结合

角A的范围即可得出结果；

(2)选①，根据面积公式结合题中等式可建立关于反SinA的等式，根据等式求出人的

最小值以及最小值时，ABC的边和角即可判断MBC是否存在；选②，将公=4&带入

题中等式可建立关于b,sinA的等式，进而求得。的最小值以及最小值时AABC的边和角

即可判断AABC是否存在；选③，根据a?+/=’?可知AABC为直角三角形且C=],

AB互余，结合正弦定理代入题中等式进行化简可得5=&sin(2A-：)显然不成立，

可得结果.

【详解】(1)解：因为SinB=IOSinC,在AABC中由正弦定理可得b=IOc，

代入2c=6(sinA-cosA)可得：SinA-COSA=(,

43

又sir?A+cos?A=I,所以SinA=M或SinA=-,

又因为A∈(0,π),所以SinA>0,故SinA=g；

(2)选①，因为S=；历SinA=&+1,所以bcsinA=2(夜+1),

所以2bcsinA=4(V∑+1),因为2c=Z?(SinA-COSA),

所以〃2(sinA-cosA)sinA=4(夜+1),

所以"M+∣)=,8(3)

(sinA-cosA)sinA2sin2A-2sinAcosA

8(√2+l)8(√2+l)

Tl

因7j2c=⅛(sinA-cosA)>0所以一<7t'

7Γ所以当代专,

所以2A+片2

2

即Ad时，(⅛)m,n=8,⅛n=2√2.

此时A=∙,fe=2√2.c=√2sin^,所以45C存在.

OO

选②，因为2。=/?3》4—8§4),bc=4√2»所以〃(sinA-COSA)=80.

2-8一_8√Σ

所以sinA-CosA&Sin(A-兀)，

因为2c=6(sinA-CoSA)>0,所以:<4<兀，

所以当A-：\,即A=.时，W)mto=8,%I=20,

ɜJT

此时A=),⅛=2√2.C=2,所以ABC存在.

4

选③，因为C为直角，所以A,8互余，且SinC=1,

由2c=b(sinA-cosA),在ABC中由正弦定理代入可得:

2sinC=sinB(sinA-cosA)=COSA(SinA-CoSA)=I(Sin2A-1-cos2A),

化简可知4sinC+l=5=√Σsin(2A-;)≤√Σ,等式矛盾，故这样的&A3C不存在∙

11.(2023•云南红河•弥勒市一中校考模拟预测)如图，在AABC中，角A,B,C的对

边分别为4,b,c,AB=6,AC=2&,BC=2√6,点。在边8C上，且NA£)C=60。.

⑴求cosB与小ABC的面积;

(2)求线段Ao的长.

【答案】⑴4；6√2

(2)4

【分析】(1)利用余弦定理COSB=ZiL互和面积公式S"C=JacsinB,代入求解,

2ac

ΔΓ)AR

(2)在AABO中利用正弦定理./“n=./so,代入计算.

SinZABDsin/ADB

【详解】(1)根据题意得：838=∕+C2"=R码+62_RG)=娓,则SinB=3

2ac2X2"X63ɜ

,

∙∙∆ΛBC的面积Sarγ=—^csinB=LX2∖∕6×6×—=6∖[2

abc223

(2)VZADC=60°t!J!∣JZAPB=120°

ADABABsinZABD

在AABO中由正弦定理可得AO==4

SinZABDSinZADBSinZADB

12.（2023•湖南株洲•统考一模）如图，在平面四边形ABCo中,

NDAB=NDCB=9。9ZABC=60,48=26,AO=4.

⑴求CoSNT>3C的值;

（2）求AC的长度.

【答案】（1）生旦

14

⑵历

【分析】（1）由勾股定理得到BD=2",从而求出SinNA82CoSNA8。，再利用余弦

差角公式进行计算；

（2）先求出BC=8Z>COSND8C=3√L再利用余弦定理求出答案.

【详解】（1）在4极）中，由勾股定理得BQ=JAB?+A4=2币,

SinZA即=丝=短,coSNAW=四=叵

BD7BD7

cosZDBC=Cos(60-ZABD)=cos60COSZABo+sin60SinZABD

L叵+与毡=诙

272714

(2)因为NDCB=90°,所以BC=BQ∙COS∕OBC=3√L

在一ABC中，由余弦定理得：AC=√AB2+BC2-2AB-BCcosZABC=√21.

13.（2023♦湖南永州•统考二模）己知ABC的内角A,B,C的对边分别为0,6,c,且向量

m=（2⅛-a,c）与向量”=（COSAcosC）共线.

⑴求C；

（2）若C=G,.ABC的面积为且，求α+b的值.

2

【答案】(I)C=I

(2)6Z+Z?=3

【分析】(1)由向量共线列出等式，用正弦定理和两角和的正弦公式化简，可求得角C；

(2)由面积公式解出时的值，再由余弦定理解得。+人的值.

【详解】(1)向量m=(2∕?-α,c)与向量〃=(COSACOSC)共线，有(2〃一α)cosC=CCOSA,

由正弦定理得2sinBcosC-sinAcosC=sinCcosA,

:・2sinBcosC=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)=sin(π-B)=sinB,

1ji

由0<5<兀，si∏B>O,.*.2cosC=1,cosC=—,XO<C<π,.*.C=—.

23

(2)E⅛(I)知C=女，，sinC=走，CoSC=',

322

SAIlLLabSmC=Labx®=®,得ab=2,

abc2222

22

由余弦定理：c=a+〃-2αZ?COSC=(o+b)~-3ab,

3=(6Z+⅛)2-6,解得a+Z?=3.

14.(2023•江苏连云港•统考模拟预测)已知二ΛBC的内角A,8,C的对边分别为〃力,G且

2sinC=sinB+∞sBtanA

⑴求A;

(2)若竺4+竺C=26SlnB，求ABC外接圆的半径R

ac3sinC

【答案】(I)A=

吗

win141

【分析】⑴将tanA写为一代入化简可得CoSA=，根据A∈(O,π).即可得A；

COSAZ

(2)由正、余弦定理可将"4+B≤=2^sinB化简为

ac3sinC

222222

b+c-a+a+b-c2^3b,进一步化简可得〃=且,结合A=J,再根据正弦定理即

2ahc2abc3c23

可得外接圆半径.

【详解】(I)解:因为2sinC=sinB+8sBtanA,

sinAsinBcosA+cosBsinA

所以2sinC=sin3+cosB×

CoSAcosA

_sin(B+A)_sinC

cosAcosA

所以2sinCcosA=sin。,因为C∈(O,π),

所以SinC>0,所以CoSA=g.又A∈(0,7t),

所以A=g;

cosΛcosC2V3sinB

（2）因为--------1--------=------ɪ------

ac3sinC

所以在ABC中,由正、余弦定理得:

⅛2+c2-a2a2+/-c2_2Λ∕3⅛

2abc2abc3c

所以型=2=退,故唯立,

Iabcac3c2

由正弦定理，==2/?得R=],

sinA2

所以ABC外接圆半径为g.

15.（2023•江苏泰州•泰州中学校考一模）C的内角A,B,C的对边分别为α,b,c,

已知一=SinC-Sin（A-B）.

⑴求A；

（2）设4=2,当人+&c的值最大时，求AABC的面积.

【答案】（Ir

4

【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和和三角函数公式化筒等式，即可得出A.

（2）根据正弦定理将〃+应C转化为关于B的三角函数式，利用三角变换和正弦函数的

性质可求其最值，从而求出力,c,即可求出A48C的面积

【详解】（1）由题意

在AA8C中，-=SinC-Sin（A-B）,A+B+C=π,

,一—T∕,bsinB

由正弦定理tπ得p，一==二

asɪnA

—=sinC-sin(A-B)

：.\A+B+C=π,整理得到2cosAsinB=吧O,

,.„sinA

⅛_sɪnB

asinA

而B为三角形内角，故sinB>0,故sin2A=l,而2Ae(0,2τt),

故2A=二即A=3

24

(2)由题意及(1)得

在AABC中，a=2,A=：,故外接圆直径2犬=—T=2近,

4sin一

故b+&c=2HsinB+&x2HsinC=2>∕2sinB+V2sinf

=2V2(sinβ÷sinB+cosB)=2λ∕2(2sinB+cosB),

=2V10sin(B÷^),

MΨcos^=^^-,sin^=-，旦，

55

因为BdO手(3π∖,.3π(3π5π)

,故8+夕€[夕,彳+夕上而彳+0e[w,彳卜

故Sin(B+e)的最大值为1,此时8+9=5，

+.2√5_.√5

故frSlnBβ=cosφ-—^―,cos8=sin9=—,

故b=26x巫=巫,

55

√23√53√10

Π.sinC=sinB+-n8+cos8)=----×------=--------

2510

故c=2√∑χ迎=出，

1()5

,∏I,_1,「14√lδ6√5√2_12

UlklJHScAAr=-besinA=-X-------X------X—=—•

abc225525

16.(2023•广东东莞•校考模拟预测)已知函数

/(x)=Sin[∙^-2x)-2sin[x-∙^cos[x+∙^∙).

⑴求f(x)的最小正周期及对称轴方程;

(2)x∈-ɪ时，g(x)=4(x)+b的最大值为7,最小值为I,求。，b的值.

t答案】(1)最小正周期为7=兀，对称轴方程为X=曰+三，ZeZ

⑵〃=4,〃=5或Q=Y,h=3

【分析】(1)使用两角和差的正余弦公式、二倍角公式、辅助角公式进行化简后，即可

求得最小正周期和对称轴方程;

(2)结合正弦函数的图象和性质，分别对a>0和α<0两种情况进行讨论即可.

【详解】(1)/(X)=

目

=JCoS2x-

sin2x-2——Sinx-

22J2

.8s2x+率3(Sin

X-cosx)(-cosX-SinX)

=ɪcos2x+ɪsin2x-(cos2x-sin2x)

=LCOS2x+立sin2x-cos2x

22

=—sin2x--!-cos2x

22

=叫2》用

Λ∕(x)=sin^2x-^J,则/(x)的最小正周期为7=苧=*

•.•丫=$皿》的对称轴为直线*=也+],k∈z,

TrττkττTT

.**由2x—=∕CJIΤ—,攵∈Z,解得X=----1—，%∈Z,

6223

.∙.∕(x)的对称轴方程为X=g+g,Λ∈z.

(2)g(x)=初(X)+〃=asin(2x-[J+b,

ππ,.∙.2x∈[-≡≡],Λ2x-≡∈[-^,-J],

√x∈,

~4623636

•∙sin(2x-—)∈[―1,—],

当”>0时，g(x)=qf(x)+b的最大值为gα+8,最小值为-α+6,

1,T

—a+b=7a=4

，由,2,解得

b=5

-a-3rb=∖

当“<0时，g(x)=W(x)+〃的最大值为-α+匕，最小值为gα+b,

-a+b=7

a=-4

・•・由<…'解得值3

珠三上所述，4=4,。=5或。=-4,b=3.

17.（2023•云南昆明•昆明一中校考模拟预测）在平面四边形ABCz）中，ZABD=p

AB=4,AD=2√3,对角线AC与BO交于点E,S.AE=2EC,DE=EB.

（1）求BQ的长；

⑵求CoSNAr）C的值.

【答案】（1）2

⑵一早

【分析】⑴利用正弦定理可直接求出24）8,再利用勾股定理可得结果.

（2）根据已知条件和第一问的结论可求出AC和/D4C的余弦值，再结合余弦定理求出

CD,进而求出/45C的余弦值.

【详解】（1）在AABD中，由正弦定理得.英八.=.丁，

sinZADBSinZ2ABD

4_2/

所以SinNWB-访,所以SinNADB=1,又因为0<ZAO5<τr,

T

TT,

所以NA£)8=5,所以8£>=〃B2-A£>2=2.

IJr

(2)在△">£中，DE=-BO=I,因为NAOE=一,

22

22

∕9fWΛE=∖∣DE+AD=√13，COSNOAE=笔=

ΛΛLΛɪɔ

在AACD中，AC=3AE=⅛^∙,AD=20COSNDAC=^,

2213

所以CZ52=AD2+AC2-2Af)∙AC∙cosNDAC=3,所以C。=2^1

42

所以…若密萨

7

18.（2023•安徽淮北•统考一模）设43C内角A,B,C的对边分别为"，。，J己

CSinCbsinB..

知-sinC=-----------smA,h=4.

a

(1)求角8的大小

⑵若C=乎求会的面积.

【答案】(I)B=I

(2)4+迪

3

【分析】(1)利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得;

(2)由正弦定理求出C,即可得到A,再由两角和的正弦公式求出sinA,最后由面积

公式计算可得.

・、口&〃■SE.CSlnC.CbsinB.

【详解】（1）解：因为-------SinC=-----------SinA,

aa

「2A2zy2+/*2-Z）21

由正弦定理可得J-c="-α,B[Jα2+c2-⅛2=αc则CoSB一+cJL

〃。Iac2

又3亡（0,兀），所以B=1.

（2）解：因为b=4,B=q,C=处,

33

4√6

√34√6

—得」-=工

即∙「Tx3-√2,

sinBsinC.兀sinCsmC=---=——

sin—42

3

Tr

所以C丁

571π兀兀兀兀.兀

所以SinA=Sin泊=sin—+—=sin—cos—+cos—sin—

464646

√2√3√21√6+Λ^

—___X___+___X_~,

22224

斫WC、•A_1/4√6√6+√2_.4√3

川I"以S——besinA=­×4×-----X-----------=4H---------

abrcγ22343

19.（2023•山东济南•一模）已知函数/（x）=2百SinXCOSX+sin2X-COS2X.

(1)求，(X)的单调递减区间；

(2)AABC中内角A,B,C所对的边分别为α,b,c,f(A)=2,b=3,c=2,求A的内角

平分线AO的长.

【答案】(1)kπ+^,kπ+^∙(LeZ)

3O_

⑵州

【分析】⑴利用倍角公式和辅助角公式得到，(X)=2sin(2x∖)进而求出单调递减

区间；

(2)先求出A='从而得到NBAo=Ne4。=9，由以谢+$人心=5”《；列出方程，求

JO

出AO的长.

【详解】(I)El¾/(ɪ)=2ʌ/ɜsinxcosx+sin2x-cos2x=ʌ/ɜsin2x-cos2x=2sin

jrτr3π

所以2&兀H—≤2.x≤2kjtH,k£Z、

262

Tr5π

解得EH—≤X≤EH,ΛeZ,

36

π5JT

所以“X)的单调递减区间为kπ+-,kπ^-,kwZ.

_5+O

(2)因为f(A)=2sin(2Aq)=2,所以Sin(2A-I)=L

因为Ae(O,π),所以2A-?e，m，乎],所以2A-冷=：,

6<66J62

所以A4,

Tr

故N84O=NCAO=-,

6

由题思知,SAABD+S4ACD=SAAfJC，

所以LAB∙ADsinZBAD+ɪADACsinZCAD=』AB∙AC∙sinZBAC,

222

]TT1jr1TT

β∣J-×2ADsin-÷-×3AZ)sin-=-×2×3sin-,

262623

所以AO=∙∣√5.

20.(2023•辽宁阜新•校考模拟预测)在AABC中，角A8,C所对的边分别是","c,若

4cos(B+C)+2cos2A=-3,

(1)求角4的大小；

(2)若α=Ji7,b+c=3>Λ,求△4BC的面积.

【答案】⑴三

⑵也

6

【分析】(1)根据诱导公式和二倍角的余弦公式求解;

(2)利用余弦定理和面积公式求解.

【详解】(1)因为CoS(B+C)=CoS(π-A)=-COSACOS2A=2cos?A-I,

所以TCoSA+4cos?A-2=-3即4cos2A-4cosA+l=O，

解得cosA=g,又因为Ae(O,兀)，所以A=*

(2)由余弦定理/=/十02-2⅛c∙cosA可得-历=17,

所以S+c)2-36c=17解得A=与，

所以SfBc=JbeSinA=坐.

26

21.(2023•山西临汾•统考一模)记ABC的内角AB,C的对边分别为α,6,c,已知

OCOSB=⅛(1+CoSA).

(1)证明：A=2B;

⑵若c=2b,a=6,求—ABC的面积.

【答案】(1)证明见解析

⑵也

2

【分析】(1)由正弦定理边化角计算可得结果.

(2)由余弦定理解三角形及三角形面积公式计算可得结果.

【详解】(1)证明：由“cosB=Ml+cos4)及正弦定理得：SinACoSB=Sin8(l+cosA),

整理得Sin(A—B)=sinB,.

因为ABG(O,兀)，

所以A—5∈(-π,π),

所以A-JB=B或(A-3)+8=n,

所以A=23或A=兀(舍)，

所以A=28.

fe+ct7

(2)由ΩCOSB=⅛(1+COSA)及余弦定理得:α(u+L*)=z,0+^^-^),

2ac2hc

整理得从=机.，

又因为C=2",α=√J,可解得6=l,c=2,

则储+〃=02,所以△ABC是直角三角形，

所以△4?C的面积为LH=YL

22

22.(2023•浙江•校联考模拟预测)如图，在AeC中,。为边BC上一点，Z)C=3,AD=5,

AC=I,ZDAC=ZABC.

⑴求-ADC的大小;

(2)求..ABC的面积.

【答案】(1)120。

⑵等6

【分析】(1)利用余弦定理，即可求得本题答案;

(2)结合正弦定理和三角形的面积公式，逐步求解，即可得到本题答案.

【详解】⑴在皿中’∞S^DC=⅛K⅛^=⅞⅛T=4

又0。VNAoCVI80。，所以NADC=I20。；

DC__AC

(2)在ZVlDC中,

sinZDAC~