2023年天津市和平区中考一模 数学 试卷（学生版+解析版）

天津市和平区2022-2023下学期中考一模数学试卷

温馨提示：本试卷分为第口卷（选择题）、第□卷（非选择题）两部分.第□卷为第1页至第

3页，第□卷为第4页至第8页.试卷满分120分.考试时间100分钟.祝你考试顺利！

第□卷

注意事项：

1.每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点.

2.本卷共12题，共36分.

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

Ltan30°的值等于（）

A.ɪB.立C.—D.√3

232

2.下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是（）

3.如图所示的几何体是由四个小正方体组合而成的，它的主视图是（）

,正面

A.D.

4.如图所示的几何体，它的俯视图是（）

正面

A.B.C.D.

5.如图，为测楼房5C的高，在距楼房50米的A处，测得楼顶的仰角为则楼房5C的高为（）

∣C

A50tanα米B.米C.50sinα米D.米

tanaSina

6.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A,B,C,。四个点均在格点上，AC与相交于点

则,ABE与λCDE的周长比为（）

B.4：1C.1：2D.2：1

7.已知甲、乙两地相距S（单位：km）,汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间/（单位：h）关

于行驶速度V（单位：km/h）的函数图象是（）

8.南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长阔

各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道它的长与宽的和是60步，问它的长和宽各

是多少步？”设矩形田地的长为X步，根据题意可以列方程为（）

AX2-60x-864=0B.X(X+60)=864C.X2-60Λ+864=0D.X(X+30)=864

9.正比例函数P=X的图象与反比例函数y=±的图象有一个交点的纵坐标是2,当一3<x<—1时，反比

X

k

例函数>=一的取值范围是（）

X

21

A——<y<——B.-4<y<--

3-33

124,

C.-<y<—D.-<y<4

3-33-

10.如图，已知，ABC中，NC43=20°,ZABC=30°,将.ABC绕点A逆时针旋转50。得到

AAB'C,以下结论中错误的是（）

A.CB'YBB'B.BC=B'CC.ACCB'D.ZABB'=ZACC

11.如图，一个大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为2的小正六边形ABCDEE的中心。重合，且

与边AB，C。相交于点G,H.图中阴影部分的面积记为S,三条线段GB,BC,CH的长度之和记

为/,在大正六边形绕点O旋转过程中，S和/的值分别是（）

D.S和/的值不能确定

是（）

A.1B.2C.3D.4

第□卷

注意事项：

1.用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）.

2.本卷共13题，共84分.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13.如图是一副普通扑克牌中的13张黑桃牌，将它们洗匀后正面向下放在桌子上，从中任意抽取一张，则

抽出的牌点数小于9的概率为□

14.在一个不透明口袋有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3,4.随机摸出一个球后不放

回，再随机摸出一个，则两次摸出的小球标号之和为5的概率为.

15.如图，UAOB的顶点。（0,0）,顶点A在第一象限，顶点B在y轴正半轴上，点C为。4上的一点，

AC:OC=1:2,过C作CDS交AB于点。，CD=2,则B点的坐标为.

16.已知直线y=E+6（k,人为常数，ZHO）与直线y=2x平行，且与直线y=3x+4交于y轴的同

一点，则此一次函数的表达式为.

17.如图，圆内接四边形ABC。，ZABC=ωo,对角线BD平分/ADC,过点B作BE〃CD交DA

的延长线于点E，若AD=2，OC=3,则BDE的面积为.

18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，。上的点A,圆心。均在格点上,

（1）OA=；

（2）若点C是（O上的一个动点，连接AC,将AC绕点C逆时针旋转90°得到CB,连0B,当线段

。8最长时，点C的对应点为点C',点8的对应点为点玄，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，

画出点C',B'，并简要说明点C',8'的位置是如何找到的（不要求证明）.

三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

19.解方程：

（1）解方程：（x—3）2=2x（3—x）；

（2）关于X的一元二次方程/一4了一2加+5=0有两个实数根％，巧，并且玉HX2∙

①求实数〃?的取值范围；

②满足XIX2+%+W=加2+6,求〃？的值.

20.二次函数y=0√+"+c（。，。，C为常数，fl≠0）的顶点坐标为4）,与X轴交于点A（3,θ）

和8,与y轴交于点c.

（1）求二次函数解析式和点C的坐标；

（2）一元二次方程OX2+bχ+c=o的根为；

（3）当0≤x≤3时，＞的取值范围是.

21.已知AB为（O的直径，C为。。上一点，AO和过点C的切线互相垂直，垂足为。,AZ）交。。于

（1）如图①，求证：AC平分NDW；

（2）如图②，过8作B/〃A。交0。于点尸，连接C/，若4。=46，QC=4,求Cb和。。半

径的长.

22.为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点A处测

得河北岸的树”恰好在A的正北方向.测量方案与数据如下表:

课题测量河流宽度

测量工具测量角度的仪器，皮尺等

测量小组第一小组第二小组第三小组

H

H_________________________旦

测量方案

示意图三

ABC

C

点B,C在点/的正东点、B,。在点Z的正东点8在点工的正东方向，点C在点/

说明

方向方向的正西方向

BC=54.8m,BD=20m,BC=84.8m,

测量数据ZABH=74。,NABH=74。,ZABH=74。,

ZACH=37°.NBCD=37。.ZACH=3T.

（1）第小组的数据无法计算出河宽；

（2）请选择其中一个方案及其数据求出河宽（结果保留小数点后一位）.参考数据：sin74o≈0.96,

cos74o≈0.28,tan74o≈3.49,sin37o≈0.60,cos37o≈0.80,tan37o≈0.75

23.共享电动车是一种新理念下的交通工具：主要面向3IOkm的出行市场，现有A,8两种品牌的共

享电动车，给出的图象反映了收费y元与骑行时间Xmin之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应％,

B品牌的收费方式对应内•

骑行时间∕min102025

A品牌收费/元8

8品牌收费/元8

(2)填空：

①8品牌10分钟后，每分钟收元

②如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均

行驶速度均为3(X)m∕min,小明家到工厂的距离为9km,那么小明选择品牌共享电动车更省

钱；

③直接写出两种品牌共享电动车收费相差3元时X的值是.

(3)直接写出,，为关于X的函数解析式.

24.在一次数学兴趣小组活动中，小明将两个形状相同，大小不同的三角板AQB和三角板Z)EB放置在平

面直角坐标系中，点。(0,0),A(0,3),NABO=30°,BE=3.

(1)如图①，求点。的坐标;

(2)如图②，小明同学将三角板OEB绕点3按顺时针方向旋转一周.

①若点。，E，。在同一条直线上，求点。到X轴的距离；

②连接。0,取。。的中点G,在旋转过程中，点G到直线AB的距离的最大值_____________(直接写

出结果即可).

25.已知：y=gf2+bx+c经过点A(-2,-1),β(0,-3).

(1)求函数解析式；

(2)平移抛物线使得新顶点P(m,n)(w>0).

□倘若S",PB=3,且在X=A的右侧，两抛物线都上升，求上的取值范围；

□尸在原抛物线上，新抛物线与>轴交于Q,NBPQ=I2()时，求P点坐标.

天津市和平区2022-2023下学期中考一模数学试卷

温馨提示：本试卷分为第口卷（选择题）、第□卷（非选择题）两部分.第□卷为第1页至第

3页，第□卷为第4页至第8页.试卷满分120分.考试时间100分钟.祝你考试顺利！

第□卷

注意事项：

1.每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点.

2.本卷共12题，共36分.

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

Ltan30°的值等于（）

A.ɪB.立C.—D.√3

232

【答案】B

【解析】

【分析】直接写出tan30°的值即可

【详解】解：tan30°=3,

3

故选：B

【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键.

2.下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是（）

【答案】A

【解析】

【分析】根据轴对称图形概念和中心对称图形的概念即可得到正确选项.

【详解】解：A、项是中心对称图形，不是轴对称图形，故A项符合题意;

B、项不是中心对称图形，是轴对称图形，故B项不符合题意；

C、项不是中心对称图形，不是轴对称图形，故。项不符合题意：

D、项不是中心对称图形，不是轴对称图形，故D项不符合题意；

故选A.

【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，理解轴对称图形概念和中心对称图形的概念是解

题的关键.

3.如图所示的几何体是由四个小正方体组合而成的，它的主视图是（）

【答案】B

【解析】

【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案.

【详解】该几何体的主视图为两列，第1列有1个小正方形，第2列有2个小正方形,

故选：B.

【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，熟练掌握知识点是解题的关

键.

4.如图所示的几何体，它的俯视图是（）

【答案】C

【解析】

【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中.

【详解】解：从上面看，可得选项C的图形.

故选：C.

【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图.

5.如图，为测楼房BC的高,在距楼房50米的A处，测得楼顶的仰角为明则楼房BC的高为（）

C

也米50“

A.5()tan4米B.C.50Sina米D.------米

tanaSina

【答案】A

【解析】

【分析】根据三角形三角函数的计算可以求得BcAC的关系，根据Ae即可求得BC的长度，即可解题.

【详解】解：在直角aABC中，sina=OG□cosa=4^∙

ABAB

□—=tana□

AC

□BC=AC∙tanα=50tanɑ□

故选A.

【点睛】本题考查了三角函数的定义，考查了三角函数在直角三角形中的运用，本题中计算BC口AC的关

系是解题的关键.

6.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A,B,C,。四个点均在格点上，AC与8。相交于点

则/ABE与&CDE的周长比为（）

B.4：1C.1：2D.2：1

【答案】D

【解析】

【分析】运用网格图中隐藏的条件证明四边形。C8Λ∕为平行四边形，接着证明，A6ES:C0E,最后利

相似三角形周长的比等于相似比即可求出.

【详解】如图：由题意可知，DM=3,BC=7>,

：.DM=BC，

而DM〃BC,

四边形DC8例为平行四边形，

/.AB//DC,

：.ZBAE=ZDCE,ZABE=NCDE,

，，ABESCDE,

c22

・^AKE:AB√2+4,2√5=2

2-

"C&CDE~^CD~√j=+2-ɪ?'

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关知识

并正确计算是解题关键.

7.已知甲、乙两地相距S（单位：km）,汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间/（单位：h）关

于行驶速度V（单位：km/h）的函数图象是（）

【解析】

【分析】根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断.

【详解】解：根据题意有：v∙f=s,

“=上，

V

故，与V之间的函数图象为反比例函数图象,

且根据实际意义v>o、r>0,

.∙.其图像在第一象限，故C正确.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后

利用实际意义确定其所在的象限.

8.南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长阔

各几何？”意思是''一块矩形田地的面积是864平方步，只知道它的长与宽的和是60步，问它的长和宽各

是多少步？”设矩形田地的长为X步，根据题意可以列方程为（）

A.X2-60x-864=0B.X（X+60）=864C.χ2-60Λ+864=0D.X（X+30）=864

【答案】C

【解析】

【分析】设长为X步，则宽为（60-x）步，根据矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于X的一元二

次方程，此题得解.

【详解】设长为X步，则宽为（60-x）步，

依题意得：X（60-x）=864,

整理得Y-60X+864=0:.

故选：C.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关

键.

k

9.正比例函数V=X的图象与反比例函数y=—的图象有一个交点的纵坐标是2,当一3<xv—1时，反比

X

例函数y=七的取值范围是（）

X

214

A---<y<—B.—4ZI<y<—

333

124

C.—<y<—D.—<y<4

333

【答案】B

【解析】

【分析】把y=2代入y=χ,求出交点的坐标，将此坐标代入反比例函数y=与，即可求出发的值，进而

X

求出x=-3,x=-l时〉的取值，再根据反比例函数的增减性求出y的取值范围.

【详解】解：把y=2代入y=χ,WX=2

k

将X=2,y=2,代入>=—中，得：々=2x2=4.

X

4

.∙.所求反比例函数的解析式为y=一.

X

4

当X=-3时，y=—；当x=—l时，y=-4.

3

∙.∙攵=4>0,

.∙.反比例函数在每个象限内y随X的增大而减少.

k4

.∙.当一3<x<-l时，反比例函数>=一取值范围是—4<y<-∙

X3ττ

故选:B.

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点及正比例函数与反比例函数的性质，关键是掌握用待定

系数法求解函数的解析式.

10.如图，已知中，ZCAB=20o,ZABC=30°,将,.ABC绕点Z逆时针旋转50。得到

∆AB'C',以下结论中错误的是（）

A.CB'±BB'B.BC=B'CC.ACCB'D.ZABB'=ZACC

【答案】A

【解析】

［分析］根据旋转的性质可得，BC=B'C',ZCAB'ɪZCAB=20o,ZAB'C'=ZABC=30°,再根据旋

转角的度数为50°,通过推理证明对四个结论进行判断即可.

【详解】解：匚MBe绕/点逆时针旋转50°得到A4B'C',

□NB4B'=50°,BC=B'C',WC=NABC=30。，故B结论正确，不符合题意；

□ZG4B=20o,

□ZB'AC=NBABr-ZCAB=30°.

QZAB,C'=ZB'AC.

□ACCB'.故C结论正确，不符合题意;

在，β45'中，AB=AB',ZBAB'=50°,

□ZAB'B=ZABB'=；(180°-50°)=65°.

□ZBB'C'=ZΛB'B+ZAB'C=65°+30°=95°.

□CB'与88'不垂直.故A结论错误，符合题意;

在AACC中，AC=AC',NCAC=50°,

□ZACC,=1(180°-50°)=65°.

□NABB'=NACC'.故D结论正确，不符合题意.

故选：A.

【点睛】此题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，还考查

了等腰三角形的性质、平行线的判定等知识.熟练掌握旋转的性质是解题的关键.

11.如图，一个大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为2的小正六边形ABCD所的中心。重合，且

与边A6，C。相交于点G,H.图中阴影部分的面积记为S,三条线段GB,BC,C”的长度之和记

为/,在大正六边形绕点。旋转过程中，S和/的值分别是（）

A.2√3,4B.√3.6C.4.√3D.S和/的值不能确定

【答案】A

【解析】

【分析】连接Q4、oaOB、OD,作OR垂足为R,证明C空;AoG,再利用平行四边形

的面积公式和正六边形的性质即可得到阴影部分的面积S和/的长度.

【详解】解：连接。4、OC.OB.OD,作ORLAB,垂足为R,

,/多边形ABCDEF是正六边形，

.∙.ZCOD=ZAOB=60°,

•：OA=OC,

.∙.,OAB和ACOD是等边三角形，

,.∙NeBA=I20。，

ΛOA//BC,OA=BC,

.∙.四边形OABC是平行四边形，

.∙.ZAOC=UOo,

「NHOG=120。，

.∙./HOC=ZAOG,

在C和一AoG中，

ZHOC=ZAOG

<OC=OA,

ZOCD=NOAB=60°

.∖^HOC^^GOA(ASA),

.∙.AG=CH,

∙,∙S阴=S四边形OABC=°R*AB,

,/OA=OB=AB=BC=2,

；•OR=QA∙sin600=2χ3=√L

2

=

,∙¾S四边形OAeC=OR-AB=2>/3,

'：I=GB+BC+CH,AB=GB+GA,

/.AB=GB+CH,

：.l=AB+BC,

'：AB=BC,

.∙.∕=2BC=4,

故答案为：A.

【点睛】本题考查了正多边形与圆，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，掌握全等三角形判定与性

质是解题的关键.

12.二次函数y=0χ2+0χ+c（a,b,C是常数，α≠0）的自变量X与函数值y的部分对应值如下表:

当t≤x≤l时，V有最大值为机，最小值为攵，此时，的取值范围是一3≤r≤-l.其中，正确结论的个数

是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】利用表格所给信息得出对称轴X=-I,由—3<χ<-l<O<w<曰<1，n<m,可判断对称轴

X=-I右侧，y随X增大而增大，进而可知α>0,m>0,c<0,进而可判断①②③；由对称轴X=-I可

知最小值为％，即x=—l时，当f≤x≤l时，最大值在x=f或X=I时产生，根据当尤=—3时，y=rn,

当x=l时，y=m,即可判断，的取值范围，进而可对④进行判断.

【详解】解：♦••当x=-3时，y=m,当X=I时，丁=加，

-3l

...函数丁=办2+法+。的对称轴为：x~~~^+—=-1，

即：————I,亦即A=2a>0,

2a

∙.∙-1<0<X2<X3<1,且当X=X3时，y="，当X=I时，y=m=a+b+c,

又•；”<加，

.∙.函数y=0√+bχ+c在对称轴X=-I右侧，y随X增大而增大，

.,.ɑ>0>则〃?>0,

a+b+c=3a+c>O,故②正确；

则U-S+，+C）=3=_3,故③正确；

aaa

当X=O时，y=c,则c<o,

：.abc<O,故①正确；

又：函数y=Gf2+∕λr+c的最小值为当x=-l时，y=k,

当r≤x≤l时，V有最小值为左，即X能取-1,

∙*∙t≤—1,

又∙.∙当x=—3时，y=m,当X=I时，y=

由在对称轴x=-ι左侧，y随X增大而减小，知：当x<—3时，y>m

，当r≤x≤ι时，y最大值为加，

Λ-3≤∕≤-l；故④正确；

故选：D.

【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确

定出对称轴是解题的关键.

第□卷

注意事项：

1.用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）.

2.本卷共13题，共84分.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13.如图是一副普通扑克牌中的13张黑桃牌，将它们洗匀后正面向下放在桌子上，从中任意抽取一张，则

抽出的牌点数小于9的概率为□

Q

【答案■

【解析】

【详解】分析：

由题意可知：在13张扑克牌中口点数小于9的共有8张，由此即可求出所求概率了.

详解口

□在13张扑克牌中口点数小于9的共有8张，

口从中任抽一张口抽出的扑克牌的点数小于9的概率为：

n_8

P（点效小于9>=—•

O

故答案为I-

13

点睛□知道“13张黑桃牌里点数小于9的有8张”是解答本题的关键.

14.在一个不透明口袋有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2,3,4.随机摸出一个球后不放

回，再随机摸出一个，则两次摸出的小球标号之和为5的概率为

【答案】-

【解析】

［分析］先利用树状图列出两次取出的小球标号和的所有可能情况数，再找出两次取出的小球标号的和等

于5的情况数，最后求出概率即可.

【详解】解：画树状图得：

开始

由树状图可知：共有12种等可能的结果，两次摸出的小球标号之和等于5的有4种情况，

41

.∙.两次摸出的小球标号之和等于5的概率是：—

123

故答案为：—.

【点睛】本题主要考查求随机事件概率的方法，利用树状图列出两次取出的小球标号和的所有可能情况是

解答本题的关键.

15.如图，_AoB的顶点0(0,0),顶点A在第一象限，顶点8在y轴正半轴上，点C为。4上的一点，

AC∙.OC=∖∙.2,过。作CB交AB于点。，CD=I,则B点的坐标为.

【答案】(0,6)

【解析】

【分析】由CD〃。B可证明，ADCABO,根据相似三角形的性质列出比例式求出OB的长即可得出结

论.

【详解】解：∙.∙CD"QB,

,

..i.ADCABO,

.DCAC

・・一，

BOAO

∙.∙AC:(9C=I:2,

••∙AJ=1—，

AO3

又CD=2,

21

/.---=—

BO3

BO-6，

：.3(0,6),

故答案为：(°,6)

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，求出8。=6是解答本题的关键

16.已知直线y=丘+6(k,b为常数,Z≠())与直线y=2x平行，且与直线y=3x+4交于y轴的同

一点，则此一次函数的表达式为.

【答案】y=2x+4

【解析】

【分析】根据直线y=履+人与直线y=2x平行得到女的值；再根据与直线y=3x+4交于y轴的同一点得

到b的值，进而得出函数的表达式.

【详解】解：••♦直线y=履+b(Z,b为常数，A≠0)与直线y=2x平行，

：.k=2,

•••直线＞=3x+4与y轴的交点坐标为(04),且直线y=6+6与直线y=3x+4交于y轴的同一点，

.∙.直线y=爪+6(k,人为常数，ZHO)与V轴的交点坐标为(0,4),

Z?=4,

直线V=履+6的解析式为：y=2x+4,

故答案为：y=2x+4.

【点睛】本题考查了平面直角坐标系内两条平行直线的函数解析式的性质，平面直角坐标系内直线与V轴

的交点问题，熟知两直线平行则左相等是解题的关键.

17.如图，圆内接四边形ABCr),ZABC=GDo,对角线Bo平分/ADC，过点8作5E〃C。交D4

的延长线于点E,若AD=2，DC=3,则89E的面积为.

E

A

D

【答案】竽

【解析】

【分析】首先证明NABC=NBaL=NB4C=60°,再过点N作AW_L8,垂足为点M,过点5作

BN上AC,垂足为点N.根据S四边形Ag=S.C+Sg),分别求出一ABC，ACO的面积，即可求得

四边形ABCO的面积，然后通过证得工£483二Z)CB,即可求得Z组的面积=四边形A88的面积.

【详解】•；四边形ABeD内接于圆，

ZABC+ZADC=180°,

,：ZABC=60°,

：.ZADC=I20。，

,/平分∕AΓ>C,

/.ZADB=ZCDB=60°,

：.ZACB=ZADB=60o,ZBAC=ZCDB=60°,

：.ZABC=ZBCA=ZBAC=60°,

.∙..ABC是等边三角形，

过点Z作AM_L8,垂足为点过点B作BNA.AC,垂足为点M

ZAMD=90°,

■：ZADC=UQo,

：.ZADM=GOo,

：.ZDAM=30°,

.∙.DM=-AD=l,AM=^AD--DM2=√22-l2=区

2

'：8=3,

/.CM=CD+DM=1+3=4,

FOgo∙AM=gx3xG=半

RtZVlMC中，ZAM£)=90°,

.∙.AC=yjAM2+CM2=√3+16=√19,

•••一ABC是等边三角形，

.∙.AB=BC^AC=√19,

22

•c_1/777√57-19√3

•∙SΛABC=5XS9x^-=4，

.∙.四边形ABC。的面积=上叵+述=至叵,

424

∙.∙BE//CD,

：.ZE+ZADC=ISOo,

,.∙ZAr)C=I20。，

.∙.NE=60°,

.∙.NE=NBDC,

•••四边形ABCD内接于O,

：.ZEAB=ZBCD,

在《£45和ADCB中，

ZE=ZBDC

<NEAB=NDCB,

AB=BC

「EAB2一DCB,

△%>£：的面积=四边形ABCO的面积=至8

4

故答案为：生8

4

【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解

题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.

18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，。。上的点A,圆心O均在格点上,

（1）OA=；

（2）若点C是O上的一个动点，连接AC,将AC绕点C逆时针旋转90°得到CB,连。8,当线段

OB最长时，点C的对应点为点C',点5的对应点为点玄，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，

画出点C',B'，并简要说明点C',B’的位置是如何找到的（不要求证明）.

【答案】□.√5□.作直径AQ的垂直平分线交半圆于E,连接EAEQ,则"在以E为圆心,

E4为半径的圆上运动，直径AQ的垂直平分线交E于B',过E作AB'的垂线交：。于C',当E,O,

?三点共线时，OA最长，则点夕即为所求.

【解析】

【分析】（1）先根据垂径定理确定圆心，连接。4，由勾股定理可求出。4的长；

（2）作直径A。垂直平分线交半圆于£,连接E4,EQ,则8'在以E为圆心，£8'为半径的圆上运动,

当E,O,?三点共线时，08’最长

【详解】解：（1）如图,

OA=OC=-Ji2+2r=√5>

故答案为：∖∣5;

（2）如图，点C',B',即为所画,

作直径AQ的垂直平分线交半圆于E,连接胡,EQ,则勿在以E为圆心，E4为半径的圆上运动，直径

AQ的垂直平分线交JE于9，过E作AB'的垂线交Oo于C',当E,0,9三点共线时，08’最长,

则点"即为所求.

理由如下：

由作图可得：EA=EQ,ZAEQ=90o,ZAEO=45°,

.∙.ZAB'O=NCBO=22.5°,

：.ZEAB'=45°-22.5o=22.5o=ZAB'O,

：.EA=EB1=EQ,

∙∙∙B'在以E为圆心，仍'为半径的圆上运动，CE是AB'的垂直平分线，

.∙.NBCE=ZACE=ZAQE=45o,CB'=CA,

ZACB'=90°,

当E,0,6'三点共线时，OB'最长，则点三即为所求.

故答案为：作直径A。的垂直平分线交半圆于E,连接E4,EQ则8'在以E为圆心，E4为半径的圆上

运动，直径AQ的垂直平分线交：E于B'，过E作AB'的垂线交（。于C',当E,O,8'三点共线时,

OB'最长，则点8'即为所求.

【点睛】本题主要考查了圆心的确定，垂径定理的应用，勾股定理以及在网格中确定三角形外接圆圆心,

正确作出图形是解答本题的关键.

三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

19.解方程：

（1）解方程：（x—3）2=2x（3—x）；

(2)关于X的一元二次方程/一4χ-2m+5=0有两个实数根王，4，并且XlHX2∙

①求实数〃?的取值范围；

②满足X1X2+X∣+工2=+6，求m的值.

【答案】(1)%=3,X2~ɪ

(2)0>ɪ；②m=1.

2

【解析】

【分析】(1)利用解一元二次方程的步骤即可得到未知数X的值；

(2)①根据一元二次方程根的判别式即可得到团的取值范围；②根据根与系数关系即可得到〃?的值.

【小问1详解】

解：(x-3)2=2x(3-X),

移项，得：(x—3『+2x(x—3)=0,

化简，得：3(x-3)(x-l)=0,

解得：％=3,x2=1,

【小问2详解】

解：①•••方程f—4x—2机+5=0有两个实数根为，演，并且XlHX2∙

b=F-4<zc=16-4(-2m+5)=8m-4>0,

1

../77>一,

2

②∙.∙方程X—4尤—2M+5=0有两个实数根为，々，并且XHX2，

.-4—2m+5CU

・・F+=—~=4,x∣•电=---j----=-2/71+5,

2

*.*x1x2÷x1+x2=m+6,

∙*∙-2m÷5+4=m2+6，

解得到：加=一3或1，

1

,.*m>—

2f

/.m=1,

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数关系，掌握根的判别式以及根与系数关系是解

题的关键.

20.二次函数y=α√+bχ+c(«,b,C为常数，α≠0)的顶点坐标为(1,4),与X轴交于点A(3,θ)

和8,与y轴交于点c.

(1)求二次函数解析式和点C的坐标；

(2)一元二次方程ox?+bχ+c=0的根为；

(3)当0≤x≤3时，V的取值范围是.

【答案】(1)y=-χ2+2x+3,C(0,3)

(2)x^——1,尤2=3

(3)0≤y≤4

【解析】

【分析】(1)岔气抛物线的对称性结合对称轴可求出点B的坐标，再运用待定系数法可求出抛物线的解析

式，再求出抛物线与y轴的交点C的坐标即可；

(2)由点48的横坐标可得出以2+bχ+c=o的解；

(3)抛物开口向下，当0≤x≤3时，结合函数图象可得出0≤y≤4

【小问1详解】

□二次函数的顶点坐标为(1,4),

口抛物线的对称轴为直线x=l,

□抛物线与X轴交于A8两点，

□点”与点8关于直线χ=l对称，

∙.∙A(3,0),

.∙.B(TO),

把(3,0),(-1,0),(1,4)分别代入y=0χ2+历c+c,得：

9a+3b+c=0

<a-b+c-0,

a+b+c=4

α=-1

解得，■b=2,

c=3

.♦y=-Jr2+2x+3,

当X=O时，y=3,

.∙.C(0,3)

【小问2详解】

∙.∙A(3,0),B(-1,O),

，方程Ox2+Zzx+C=θ的根为：Xl=-I,工2=3

故答案为：Xl=-I,Λ⅛=3;

【小问3详解】

Vd=-1<0,

...抛物线开口向下，如图，

由图象知，在0≤x≤3范围内，y有最大值为4,有最小值为0,

的取值范围为0≤y≤4,

故答案为：0≤yW4

【点睛】本题考查二次函数与图象与系数关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系.

21.已知AB为。。直径，C为O。上一点，Ao和过点C的切线互相垂直，垂足为。，Ao交OO于

点E.

(2)如图②，过8作6/〃Ap交'O于点尸，连接CT7,若AC=4有，Z)C=4,求CT7和二。半

径的长.

【答案】(1)见解析(2)CF=4√5;半径为5

【解析】

【分析】(1)连接OC根据切线的性质和已知求出OC〃4),求出NOG4=NC4O=NZMC,即可得

出答案；

(2)连接EC,BC,由勾股定理求出AO=8,证明ECDCA,求出OE=2，由勾股定理求出

CE=2√5.由AC平分/DW可得CB=26，由勾股定理得A3=1()，从而可求出圆的半径，再证明

CGF-BGC即可解决问题

【小问1详解】

解：连接OC

.∙.CDLOC,

又：CD,A。，

.∙.AD//OC,

：.ZCADZACO,

•：OA=OC,

：.ZCAO=ZACO,

.∙.ZCAD=ZCAO,

即AC平分NDW；

【小问2详解】

在RtaACD中，AC=4百,CO=4,NADC=90°,

.∙.AD=y∣AC2-CD2=8,

连接EC,BC,如图，

则ZOCB=ZOBC,ZOAC=ZOCA,

/W是。的直径，

..ZACB=ZACO+NBCo=90°,

.∙.ZOCA+ZABC=90°,

又8为Co的切线，

.∙.ZDCO=ZOCA+ZACD=90°,

.∙.ZABCZACD,

□四边形ABcE内接于。。，

../DEC=ZABC,

：.ZDEC=ZACD,

又No=NO，

.∙..DECDCA,

DEDC

"~DC~~DA'

:.CE=>JCD2+DE2=2√5,

Q/DAC=/BAC

BC=CE=2√5.，

∖AB=y∣AC2+BC2=10,

.∙√。的半径为5,

延长R5交。。于点G,

.∙.cr＞是（。的切线，

..OClCD,

QADlCD,

OC//AD,

∙.∙BF//AD,

:.AD//OC//BF

.GCOB

''~CD~^OA,

OA=OB,

..GC=CD=A.

在RlZ∖CBG中，CG=4,BC=2E

由勾股定理得，BG=y]BC2-CG2=^(2√5)2-42=2.

QOC=OB,

：.ZOCB=ZOBC,

又NC48+NA8C=90。，

.∙.NC48+NOCB=90°,

又NOCB+NBCG=9C,

NCAB=/BCG,

ZCFB=NCAB,

.-.ZCFB=ZBCG,

又NBGC=NCGF,

:.CGF-BGC

CGCF4_CF

---=----，即H:"=-/='

BGBC22√5

.∙.CF=4√5

【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的性质和判定，勾股定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的

关系的应用，相似三角形的判定与性质等知识，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键.

22.为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点A处测

得河北岸的树〃恰好在A的正北方向.测量方案与数据如下表：

课题测量河流宽度

测量工具测量角度的仪器，皮尺等

测量小组第一小组第二小组第三小组

H

H______________________H

测量方案F

示意图三

ABCCAB

C

点B,