2022-2023学年福建省漳州市高一年级下册期末考试数学试题【含答案】

2022-2023学年福建省漳州市高一下学期期末考试数学试题

一、单选题

1.已知集合”={-2,-1,0,1,2},7V={X|X2-X-6<0},贝eM”是“aGN”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用集合法判断.

【详解】解：因为集合河={-2,-1,0,1,2},2V={x|-2<x<3},

所以

所以“aeAf”是“acN”的充分不必要条件，

故选：A

2.若a为第二象限角，sina=cos2a,则sina=（）

A.-1或！B.1C.—D.。

222

【答案】D

【分析】由二倍角余弦公式和象限角的知识可解.

【详解】依题意，sina=cos2a,

得sina=l-2sin2a,解得sina=g,或sina=-l。

因为a为第二象限角，所以sina=；.

故选：D

3.如果一个复数的实部与虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z=（2-ai）i为“等部复数”,

则实数〃的值为（）

A.-1B.1C.2D.-2

【答案】C

【分析】根据复数乘法及新定义即可得参数值.

【详解】由题设z=2i+a为“等部复数”，即a=2.

故选：C

4.方程x+lnx-3=0的根所在区间为（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【答案】C

【分析】判断/（x）=x+lnx-3的单调性，结合零点存在性定理判断方程根所在区间.

【详解】由/（x）=x+lnx-3在定义域内递增,且/⑵=2+ln2-3=ln2-l〈定

/（3）=3+ln3-3=ln3>0,

所以，方程的根在（2,3）区间内.

故选：C

5.若机，〃是两条不同的直线，a,尸是两个不同的平面，则下列结论中正确的是（）

A.若mua,nup,alIp,则加〃“

B.若mVP,则加〃a

C.若aJ■夕，aPl/?=m,mln,则N_L/?

D,若/n_L〃，mLa,nVp,则a_L£

【答案】D

【分析】由平面的基本性质，结合线面、面面位置关系判断各项的正误.

【详解】A：若mua,nu0,al1/3,则加〃"或加"异面，错误；

B：若a_L/7,mVP,则/〃//a或"?ua,错误；

C：若a_L£,aV\P=m,mln,则"_L月或"uA或〃，夕相交，错误；

D：由W_LN,mVa,则〃〃a或〃ua,

若〃//a,nL/J,如下图，a内存在一条直线〃/〃，贝1"，夕，即a，尸，

若〃ua,〃1尸，由面面垂直的判定知：aX.fi,故正确.

故选：D

6.某高中的“篮球”“无人机”“戏剧”三个社团考核挑选新社员，已知高一某新生对这三个社团都很感

兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“篮球”“无人机”“戏剧”三个社团考核的概率依次为小7-

〃，且他通过每个社团考核与否是相互独立的，若三个社团考核他都能通过的概率为《，至少通过

7

一个社团考核的概率为正，则〃?+〃=()

7

A.1B.-C.-D.

348W

【答案】D

【分析】根据独立事件概率公式，列式求解.

【详解】由题意可知，

11_11

J44010

I(1A得1?

1

mn

107

即＜,解得:m-\-n=一

210

mn=­

5

故选：D

_AC______________

7.在ABC中，已知/C=4,向量而在向量就方向上的投影向量为同，BD=2DC，9.'\AC-BD=

()

A.12B.8C.6D.4

【答案】B

【分析】若由题设及向量数量积的几何意义可得荏万，再由丽=?(就-在)，

利用数量积的运算律求就.而即可.

【详解】如下图，若BEJ.4C,则存在前方向上的投影向量为I万Icos4/C

_AC_.

又向量荏在向量配方向上的投影向量为扇，则|<8|cos如C=l,即4E=1,

所以就屈=而|(衣_函=,兄_|刀.方=g(|否2_|^£||^C|)=8.

故选：B

8.设函数y=/(x),(XHO),对于任意正实数和三卜尸X?),都有XJ(XJ-：，(不)<0.已知函数

In再-Inx2

y=/(x+l)的图象关于点(T,o)中心对称，且/⑴=1,则不等式/(力4/的解集为()

A.[-l,O)U(O,l]B.[-1,0)31,+0

C.(-oo,-l]u(0,l]D.(-a>,-l]u[l,+oo)

【答案】B

【分析】先判断函数y=/(x)的奇偶性，构造函数g(x)=/g)，判断g(x)的单调性和奇偶性，分情

况讨论，利用单调性即可求解.

【详解】函数N=/(x+l)的图象关于点(-1,0)成中心对称，

故函数y=/(x)的图象关于点(0,0)成中心对称，即y=/(x)是奇函数.

记以刈=华声(-》)=告亭=8"),所以8(》)是偶函数,

X(一町

对于任意正数占,x?(x产Z),都有*/"')-：/(£)<0,

InXj-Inx2

/(xj/缶)

即小：凸—L<o,

Inx,-Inx2

当0<西<々时,则lnX1<lnx2，得g<i)>g(X2)，

当0<*2<玉时，则lnX]>ln.q，得g(*)<g(x?),

所以g(x)在(0,+8)单调递减，且g(l)=l,

g(x)是偶函数，故g(x)在(-8,0)单调递增，且g(-l)=l

当x>0时，/(x)<x3<=>g(x)<l=g(l)=>x>l,

当x<0时，/(x)<x3<=>g(x)>l=g(-l)=>-l<x<0,

故/(x)4d的解集为[_I,O)3L+8).

故选：B

【点睛】本题的关键是对已知不等式的变形，再结合问题，恰当的构造出不等式，从而结合函数的

奇偶性、单调性等求解.

二、多选题

9.i为虚数单位，复数z=-l+2i,下列说法正确的是（）

A.目=5B.三在复平面内对应的点位于第三象限

112.

C.—=-----1D.z2?>0

z55一

【答案】BC

__117

【分析】求出上|=斤=指判断A；求出三对应点坐标为（-1,-2）判断B；求出±=判断C；

z55

求出z2=—3—4i判断D错.

【详解】因为z=-l+2i,所以忖=后=有，A错；

因为z=-l+2i,所以1=_i_2i，对应点坐标为（T，-2）,位于第三象限，B正确；

11-l-2i12.

因为z=-l+2i,所以一=।一C正确；

z-1+21（-1+21）（-1-21）55

因为z=-l+2i,z2=（-l+2i）2=-3-4i,因为虚数不能比较大小，所以D错.

故选：BC.

10.已知函数/（x）=/sin（（yx+e）（其中/>0,（o>0,|夕|〈乃）的部分图象如图所示，则下列结

论正确的是（）

A.函数/（x）的图象的周期为7=万

B.函数道x）的图象关于点（?0）对称

C.函数火刈在区间［—g,上的最大值为2

36

D.直线y=l与夕=/口)(-2<》<二)图像所有交点的横坐标之和为g

12126

【答案】AC

【分析】先利用函数图象T,A,co,(p,从而求得函数解析式，然后利用零点，对称性及正弦三角形最

值求解得结果.

【详解】依题意，<T=W24-=5乃=971,得7=万，故A正确；

43124

0=生=2,A=2,则/(x)=2sin(2x+e),当》=生时，/(x)取最小值，

713

则2xg+e=5,得S=7，即/3=25泊,+£),

当x时，/佟］=25却2,2+勾=2血90,故B错误；

12"2/V12073

当xw［一(,.］,则-y,y，则一24/(x)«2,故C正确；

则2x+色［0,2句，设直线y=l与歹=〃x)(-*xw岩)图像所有交点的横坐标

为司,冗2,则2阳+/+2々+/=乃，解得再+工)=;，故D错误；

663

故选：AC.

11.已知x>0,歹>0,且x+2y+孙=6,则()

A.孙的最大值为&

B.X+N的最小值为4G3

++白的最小值为

C.

2

D.(x+2)?+(y+l)2的最小值为16

【答案】BCD

【分析】利用基本不等式有x+2y+孙=622同+孙，结合换元法解一元二次不等式求向范围，注

意所得范围端点取值判断A；由己知得(x+2)(y+l)=8,利用基本不等式判断B、C、D,注意最值取

值条件.

【详解】因为x>0,v>0,

所以x+2j，+9=622^^+个，仅当A/7=J^时，即x=2,y=l等号成立,

令t=a>Q,贝IJr+2伤-6=(f+34(f-伪40,故-3板

所以0</=历4正，即0<个42,仅当x=2/=l时右侧等号成立，

所以xy的最大值为2,A错误；

由x+2y+Ay=6,则孙+x+2y+2=(x+2)(y+l)=8,

所以x+y=(x+2)+(y+l)-3N2j(x+2>(y+l)_3=4^_3,

仅当x+2=y+l,即x=2近-2,y=2近-1时等号成立，故x+V的最小值为40-3，B正确；

由-1c+二722，二.—L,仅当一^-=——,即x=2应-2,y=2应T时等号成立，

x+2y+1y.r+2y+12x+2y+1，，

所以‘不+一三的最小值为正，C正确；

x+2y+l2

由(x+2)2+(y+l)2w2(x+2)(y+l)=16,仅当x+2=y+l,即x=2近-2/=2忘-1时等号成立，

所以(x+2)2+3+1)2的最小值为16,D正确.

故选：BCD

12.如图，正方体的棱长为1,E为线段4G(包含端点4，G)上动点，则下列

A.存在点E,使4B//CE

B.存在点E,使RELCE

C.存在点E,使CE与48所成的角为30。

D.三棱锥片-48G外接球的表面积为加

【答案】BCD

【分析】根据异面直线的定义可判断A；当E点与C点重合时，根据线面垂直的性质定理可判断B；

当E点为4G中点时，连接。C,所以〃C〃48,可得CE与。。所成的角即为CE与所成的角,

求出这个角可判断c；根据三棱锥片-48G与正方体力8co-44GR有相同的外接球求出外接球

的表面积可判断D.

【详解】对于A,当E点不与4点重合时，因为E任/田，CEc平面48G=E,42u平面4BC-

所以48与CE是异面直线;

当E点与4点重合时，48与CE是相交直线，故A错误;

对于B,当E点与G点重合时，因为GC,平面44GA，G〃u平面/4GA，

所以即.ELCE,所以存在点E,使Z\E_LCE,故B正确；

对于C,当E点为4G中点时，连接RC,所以D&//4B,

可得CE与。。所成的角即为CE与所成的角,

因为。C=&,D\E泻,GE=¥，所以CE2=G6+CC2=m，

由余弦定理得cosNDCE=DQ+CE2-DF.

2D[CxCE

因为0°<N2CE<180°,所以N0CE=3O°，

即存在点£,使CE与48所成的角为30。，故C正确;

对于D,三棱锥A-48G与正方体力88-44G。有相同的外接球,

2

因为棱长为1,所以82=后m=6,所以外接球的表面积为4兀=3兀，故D正确.

故选：BCD.

【点睛】关键点睛：本题的关键点是对于存在性问题可以取特殊点解题.

三、填空题

13.已知〃二(一2,1),b=(w,4),若贝1卜刀=.

【答案】-1/-0.5

2

【分析】根据题意，由平面向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.

【详解】因为£=(-2,1),1=(,〃,4),则[否=(—2—肛一3),且近,-可,

则—2x(―2—〃?)+1x(―3)=0,解得加=—

故答案为：-]

14.已知在一次随机试验E中，定义两个随机事件/,B,且尸(4)=04,P(与)=0.3,?(48)=0.3,

则尸(工+8)=.

4

【答案】0.8/-

【分析】利用概率的基本性质及事件的运算求概率即可.

【详解】由P(/+8)=RN)+CB)-a4B)=P(m+l-R^)-P(/8)=0.4+l-0.3-0.3=(H

故答案为：0.8

15.下图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2

是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三

个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3,若曲侧面三棱柱的高为10,底面任

意两顶点之间的距离为20,则其侧面积为.

【分析】根据莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到，求

得其周长，再根据曲侧面三棱柱的高为10求解.

【详解】解：由题意得：底面是由三段以20为半径，圆心角为W的圆弧构成,

所以底面周长为3乂$20=20兀，

又曲侧面三棱柱的高为10.

所以曲侧面三棱柱的侧面积为20兀xl0=200n,

故答案为：200兀

16.在小3C中，记角4B,。所对的边分别是〃，b,c,面积为S,则，一的最大值为______

a~+2hc

【答案】也

12

【分析】利用面积公式和余弦定理，结合均值不等式以及线性规划即可求得最大值.

u—besinA<

S21sin4

【详解】•••-----------=--------------------------------=-x

a2+2bcb2+c2-2bccosA+2bc2

—+—+2-2cos^

cb

IcinA

<—X------(当且仅当6=c时取等号).

4cosA-2

令sin4=y,cosA=x,

Sy

故x

a1+2bc-4x—2

因为/+/=[,且y>0,

故可得点(x,y)表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示:

由数形结合可知，当且仅当目标函数过点，坐］,即4=60。时，取得最小值-正,

I22)3

故可得Z=^W-制，

故可得Y—1

<-—X-

a2+2bc43-12

当且仅当工=60。/=°,即三角形为等边三角形时，取得最大值.

故答案为：—.

12

【点睛】本题主要考查利用正余弦定理求范围问题，涉及线性规划以及均值不等式，属综合困难题.

四、解答题

17.己知向量而=(2cosx,-2^cosx/7=(sinx,cosx).

(1)若而/历，且X为第二象限角，求tan[j_xj的值；

⑵若函数/(》)=丽•万+百，求函数/(x)的单调递减区间.

【答案】⑴-x/J

(2)居+衣兀,詈+衣兀(〃wZ).

【分析】(1)根据向量共线的坐标表示得到2cos2x+2、/5sinxcosx=0，即可求出tanx,再由同角

三角函数的基本关系及诱导公式计算可得;

(2)根据数量积的坐标表示及三角恒等变换变换公式化简得到/("的解析式，再由正弦函数的性

质计算可得.

【详解】(1)•丽=(2cosx,-2石cosx),方=(sinx,cosx)且历/用，

•二2cos2x+2^3sinxcosx=0,

,**x为第二象限角，，cosxw0,•t-cosx+V3sinx=0，贝!Jtanx=‘由，=一2/E

cosx3

(2),・•加=(2cosx,-26cosx)n=(sinx,cosx),

f(x)=wi+>/J=2cosxsinx-2^cos2x+枢

=sin2x-V3cos2x=2sin(2x-g],

由]+2EV2x-14与+2E(A:eZ),解得詈+E(%eZ),

，/(x)单调递减区间为工+E，詈

18.如图，三棱锥。-45C中，O,E,尸分别是/C,AD,8。的中点，G是OC的中点，AB=AC,

DB=DC.

B

(1)求证：AD1BC；

(2)求证：FG〃平面BOE.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)两个等腰三角形共底于8C,取其中点H可得4//18C、DH1BC,继而可得8c工平

面最终结论得证;

(2)连接X尸交BE于点构造平面NFG交平面于,△48。中由两条中位线的交点M可

AMAH

得芸=2,又线段/C上==2,则可证得“O/FG,最终结论得证.

MFOG

【详解】(1)证明：取中点“，连接4"，DH(如图)，

VAB=AC,DB=DC,//为8c中点，

AHVBC,DHIBC,

又,：AHcDH=H,///u平面/OH,DHu平面4DH,

BCl^ADH,

,/4Du平面49〃，

ADIBC.

(2)连接力产交BE于点M,连接。“(如图),

■:E,尸分别为4。，8。的中点，，朋•为△/5O的重心,

—=2,

MF

AnAM

••・。为，。中点，G为"中点，，而=标=2,

.■.MO//FG,

又：MOu平面BOE,FG<z平面BOE,

FG〃平面BOE.

19.某地区为了了解居民可支配收入增长情况，用抽样调查的方式随机抽取了一个100人的样本，

经统计，这100人在2021年的可支配收入（单位：万元）均在区间［4.5,10.5］内，现按［4.5,5.5）,

［5.5,6.5）,［65,7.5）,［7.5,8.5）,［8.5,9.5）,［9.5,10.5］分为6组,作出频率分布直方图如下图所示,

已知上述样本中居民可支配收入数据的第60百分位数为8.1.

（1）求“，b的值，并估计这100位居民可支配收入的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作

代表）

（2）以样本频率估计总体频率，若用分层随机抽样的方法从该地可支配收入在［7.5,8.5）和［8.5,9.5）两

区间内的居民里抽取5人复访，再从这5人中随机抽取2人作问卷调查，求参加问卷调查的2人来

自不同收入区间的概率.

【答案】（1）4=0.25,6=0.3,7.72

3

也.

【分析】（1）根据题意可得0.05+0.12+4+6+0.2+0.08=1,0.05+0.12+a+（8.1-7.5）x/>=0.6,即

可求解a,6的值，再根据平均数的估算公式即可求解；

（2）由在［7.5,8.5）和［8.5,9.5）两区间内的居民频率分别为0.3和0.2,可得抽取的5人中来自［7.5,8.5）

区间的有5、.小及二=3（人），设为/，B,C,来自［8.5,9.5）区间的有5、心^=2（人），设为

x,乃再用列举法即可求解概率.

【详解】（1）由频率分布直方图，可得0.05+0.12+4+6+0.2+0.08=1,

解得。+6=。55.①

因为居民收入数据的第60百分位数为8.1,

所以0.05+0.12+a+（8.1-7.5）xb=0.6,即a+0.6b=0.43,②

将①与②联立，解得a=0.25,b=0.3,

所以平均值为0.05x5+0.12x6+0.25x7+0.3x8+0.2x9+0.08x10=7.72；

（2）由样本频率估计总体频率，在［7.5,8.5）和［859.5）两区间内的居民频率分别为0.3和0.2,

n3

故抽取的5人中来自［75,8.5）区间的有5XR捐w=3（人），设为4B,C,

\J•JI\J•4

n2

来自［&5,9.5）区间的有5xm焉=2（人），设为x,夕，

则从5人中随机抽取2人的样本空间为

C=\^AB,AC,Ax,Ay,BC,Bx,By,Cx,Cy,xy］,

记。="参加问卷调查的2人来自不同收入区间”，

则。={Ax,Ay,Bx,By,Cx,Qj

所以尸（。）=喘qq,

3

所以参加问卷调查的两人来自不同收入区间的概率为

20.已知a,b,c分别为“8C的三个内角Z,B,C的对边，EL———=V3sinC+cosC.

a

⑴求角4

⑵若a=3,zu48c的外心为O,求|。8+2。。］的值.

【答案】⑴4

（2）曲+2困=3

【分析】（I）根据题意，由正弦定理的边角互化进行化简，然后结合三角恒等变换公式代入计算，

即可得到结果；

（2）根据题意，由正弦定理可得“8C的外接圆半径及，结合余弦定理可得cos/8OC,再由平面

向量的模长公式即可得到结果.

【详解】（1）由正弦定理得：Sing+S,inC=sinC+cosC

sinJ

即

sin（4+C）+sinC=sin/cosC+cos/sinC+sinC=vsinCsin+sinAcosC,

所以cos4sinC+sinC=V5sinCsinA

因为Cw(0,兀),所以sinCwO,所以cosN+l=>/JsinN

即VJsin力一cos4=2sin=1,所以5出(4_2)=；,

因为/«0,江所以/一9(4，乎］，所以4-5毛，故“毛

6\66J663

2R=a=3_2R

(2)设△力3C的外接圆半径为七则sin/一.)…,解得：R=6

sin—

3

所以|函=函=

----•!-----2-2

又因为困=3,所以』5℃」四鹫二」

所以

陛+2同=|研+《同西cosZBOC+4|dc|2=3+I2x(-g)+12=9

所以便+2因=3.

21.已知定义在R上的奇函数〃x)和偶函数g(x)满足/(x)+g(x)=2'.

/(X)

(1)求函数y=■”的值域；

(2)若存在xe1,2,使得不等式/■口卜8仁乂卜。成立，求实数a的取值范围.

【答案】⑴回一1<”1}

【分析】(1)根据奇偶性列方程组求函数解析式，应用反函数及指数函数性质求值域：

)历I,

(2)根据函数不等式能成立，参变分离将问题化为0</+*在/G；，丁上能成立，研究右侧最大

t[24

值，即可得范围.

【详解】(1)依题意知，对VxeR有/(—x)+g(-x)=—/(x)+g(x)=2-、，

联J"'"0？-*版俎，2，-2-/、2、+2T

联”|f(x)+g(x)=2、，解得〃x)=一~，g(x)=1—，

■/'(x)=4*-1解得4*=二>0,则

国一皿1-y

故函数夕=黯的值域为｛y|-i<y<

（2）依题意，存在xe1,2,使得不等式°（2、-2-、）-（22*+23）<0成立,

设Z=2'—2T,xwp2,则-y-,^，22x+2-2x=t2+2,

故存在,使得不等式“J+2=/+/成立,

24」tt

设/7（。=/+1乎4/42,只需a<A（/）max,

不妨设任意4出€［孝,0,且4j，

.」年）-/»&）=（口）（忙2）>o,即/，⑹>%）,

.•/⑺在小与6上单调递减，同理可证〃⑺在飞血中上单调递增,

又传卜手喏卜鲁，故g）的最大值啜,

・•・。〈芸，即实数”的取值范围是1-8,妾］.

60\607

22.如图，在三棱柱N8C-4AG中，平面/8C工平面/4GC,四边形/4GC是边长为4的菱形,

^AC=6（r,AB=BC=®点。为棱NC上动点（不与4C重合），平面耳8。与棱4a交于点

E.

B

⑴求证：BB//DE.

(2)若%=弓，求直线48与平面与瓦石所成角的正弦值.

AC4

【答案】(1)证明见解析；

⑵