2023年湖北省重点学校高一（下）期中联考数学试卷（含解析）

2023年湖北省重点学校高一（下）期中联考数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知全集U=4U8={%6N|0<x+1<6},A={1,2},若AnB=0,则B=（）

A.{0,3,4}B.{0,1}C.{-1,0}D.{2,3,4}

2.已知复数2=当（其中i是虚数单位）是实数，则实数a的值是（）

A.-1B.2C.3D.4

3.zsABC中内角4,B,C所对的边分别是a,b,c,（a+匕+c）（a+c-b）=3ac,sinB=

2sinAcosC,那么△48（7是（）

A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

4.函数f（x）=2sin（a）x+w）3>0,\（p\<今的最小正周期为兀，将f（x）的图象向右平移汐

单位长度后，得到一个偶函数的图象，则（）

A.9=gB.W=*C.<p=-^D.cp=-

5.△4BC的斜二测画法的直观图为△A'B'C,A'B'=4,B'C=3,乙4'B'C'=o则^ABC的

面积为（）

A.3B.C.6AT6D.12G

6.△力BC中内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若△ABC的面积为欧旺4,则tanC=（）

4

A.与B.?C.1D.C

7.在△ABC中，AB=AC=2,BC=2口，。为BC的中点，将△4CZ）绕4。旋转至4P。，使

得BP=C，则三棱锥P-ABD的外接球表面积为（）

A.曳旦B,旦豆C.77rD.87r

36

8.在△4BC中，4。为BC上的中线，G为AABC的重心，M,N分别为线段AB,AC上的动点，

且M,N,G三点共线，若祠=2；布，AN=nAC，贝取+4〃的最小值为（）

A.|B.3C.2D.I

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.如图，点4,B,C,P,Q是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足PQ〃平面4BC的有（）

10.下列各式中，值是:的是（）

A.cosxcos（x+/）+sinxsin（x+货B.tanl0°4-tan350+tanl00tan35°

ptan22.5°D2-COS2200

"1—tan222.5°■3-sM50°

11.已知诃=(|,一§,将近绕坐标原点。分别旋转-60。，60。，120。到OP。OP2,。。3的

位置，则()

A.点P】的坐标为(噜之”萨)B.IPPJ=\PP2\

C.西•西=前•西D.西•西〈丽•西

12.欧拉公式e诂=cosO+isin。其中(e=2.718…，i为虚数单位)由瑞士著名数学家欧拉发

现，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉

为“数学中的天桥”,根据欧拉公式，下列结论中正确的是()

A.忸a+叼=1B.e吟。)=i.的

Qe/—eia=D./（以+e）=elQcosa+el^0+^sina

三、填空题(本大题共4小题，共20.()分)

13.已知(2-i)z=i2023(i为虚数单位)，则z=.

14.己知正四棱台的上底边长为2,下底边长为4,侧棱长为3.则四棱台的高为.

15.在△ABC中，内角4,B,C所对的边分别是a,b,c,若4=竽，a=7,b=3,则角4的角

平分线4D=.

16.已知/(%)=V_5cos23x+sina)xcos(ji)x(a)>0),如果存在实数x。，使得对任意的实数%,

都有/(&)</(x)<f(Xo+2023兀)成立，则®的最小值为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知复数z=m—1+(m2+m—2)i(m6R),且z-i为纯虚数.

(1)求实数m；

(2)若|3|=|Z|,3—5=2i，求复数®.

18.(本小题12.0分)

已知向量入族满足|矶=1,b=

(1)若|五+2石|=3，求|22-3亩的值；

(2)若五.①一万)=0，求d在不上的投影向量的坐标.

19.(本小题12.0分)

如图所示，BD为平面四边形ABCD的对角线，设=2,sin乙4BD=「sin乙4DB，△BCD为

等边三角形，记NBAD=0(0<8<7r).

(1)当BO=2，万时，求AAB。的面积；

(2)设S为四边形4BC0的面积，用含有。的关系式表示S,并求S的最大值.

20.(本小题12.0分)

已知函数/0)=3(23%+中)(3>0,|如<》再从条件①、条件②、条件③这三个条件

中选择两个作为一组已知条件，使/(乃的解析式唯一确定；

条件①"(x)的最小正周期为兀；条件②4(0)=0；条件③：/(x)图象的一条对称轴为x=皋

(1)求/(X)的解析式；

(2)存在X6［一号］使得不等式/(久-今+cos(3XY)<m成立，求实数m的取值范围.

21.(本小题12.0分)

如图，在正四棱锥P-4BCD中4B=2,P4=4,丽=2而，N、E、F分别为P。、BC、CO中

点.

(1)求证：EF〃平面PMN；

(2)三棱锥N-MCD的体积.

22.（本小题12.0分）

已知△ABC中，AB=2,AC=3,JP=^BC,Q是边4B（含端点）上的动点.

⑴若亚=|福。点为AP与CQ的交点，请用福前表示和

（2）若点Q使得前1万，求cos/BAC的取值范围及S-QC的最大值.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：由题意可得：l/={xe/V|0<x+l<6]={0,1,2,3,4),

因为U=4UB,AQB=0,A={1,2],所以8={0,3,4}.

故选:A.

根据题意求全集U,再结合集合的交集和并集分析求解.

本题考查集合的运算，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解：因为2=瑞=渭黠宗=等+等i是实数,

1十，IQi—+□□

则呼=0,解得a=4.

故选：D.

利用复数的除法化简复数z,根据复数的概念可得出关于a的等式，解之即可.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

3.【答案】A

22

【解析】解:由(a+b+c)(a+c—b)=3acf整理得Q?+c-6=ac,

所以C°SB=七&Q=L因为86(0,兀)，所以B=?,

2ac2o

又因为sbiB=2sinAcosC,即8=2a•e士必一巴

2ab

可得a2=c2,解得a=c,又B=全

所以三角形ABC是等边三角形.

故选：A.

根据余弦定理求得cosB=得到B=£再由sinB=2sin4cosc结合正、余弦定理，求得a?=c2,

ZJ

即可求解.

本题主要考查三角形的形状判断，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：由题得最小正周期7=等=兀，可得3=2,所以f(x)=2s讥(2x+s).

f(x)的图象向右平移器个单位长度后为偶函数y=2sin(2x-^+0)的图象，

故一日+9=上兀+?,：keZ.

JNk€Z,.(p=knO+

\(p\<p•1•<p=

故选：D.

根据最小正周期求出3=2,写出平移后的解析式，根据其为偶函数得到-W+。=kn+l，k&Z,

根据"的范围即可得到答案.

本题主要考查三角函数的图象与性质，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】解：由已知可知，SAA，B，C，=gx4X3x^=3,

SAA'B'C'_

由:3解得SMBC=

SAABCS^ABC

故选：B.

根据直观图和原图的面积关系，即可求解.

本题主要考查斜二测画法，考查运算求解能力，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】解：在△ABC中，由余弦定理得°?=a?+从一2abeosC,

又S^ABC=^absinC=。%二,

所以讥C=2abe:sC,即觉几C=COSC,

24

所以ttmC=1.

故选：C.

利用余弦定理及三角形面积公式，再结合条件即可求出结果.

本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解:如下图所示:

圆柱为。2的底面圆直径为2r,母线长为九，则。1。2的中点。到圆柱底面圆上每点的距离都相等,

则。为圆柱。1。2的外接球球心.

翻折前，在A/IBC中，AB=AC=2,BC=2g。为BC的中点，贝1BC,

且4D=VAB2-BD2=V22-3=1.

翻折后，则有4D1BD,ADLPD,

又因为BCnPD=D,BD、PDu平面PBD,所以，ZD_L平面PBD,

由已知BD=PD=q,BP=R，满足B£)2+p/)2=Bp2,

则小PB。是斜边长为，石的等腰直角三角形，

将三棱锥4-PBC置于圆柱。1。2上，使得△PBD的外接圆为圆。2，

所以，△PBD的外接圆直径为2r=V-6>

所以，三棱锥P-48。的外接球直径为2R=JAZ)2+⑵/=Jp+(Q)2=

则R=?，

因此，三棱锥P-48。的外接球表面积为4TTR2=47rx(?)2=77r.

故选：C.

推导出平面PBD,计算出△PBD的外接圆的直径2r,可得出三棱锥P-力BD的外接球直径为

2R=J（2「）2+m,再利用球表面积公式可求得结果.

本题考查球的表面积相关知识，属于中档题.

8.【答案】B

【解析】解：由题意在△力BC中，AD为上的中线，G为△ABC的重心,

且宿=4赤不7=〃痔0<A,（1<1,

故尼=|荷=,x：（存+就）=<（而+而）=沼福+工前），

33ZJJAfl

11

由于M,N,G三点共线，故寸3/1+5鼠〃=1,

故）+4〃=6+4〃）6+&=（+既+喜2|+2］答4=3,

当且仅当砥，时，结合热+/=1，即;1=1,〃=:时等号成立，

故；1+4〃的最小值为3.

故选:B.

根据向量的线性运算表示出布=9（；祠+工前），利用M,N,G三点共线可得［+［=1,继而

将;I+4〃化为（4+4〃扃+》结合基本不等式即可求得答案.

本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量共线的充要条件，基本不等式的性质，主要考查学

生的理解能力和计算能力，属于中档题.

9.【答案】BD

【解析】解：对于4由PQ为上底面的面对角线，PQ与下底面过B的面对角线平行，

所以PQ与平面4BC相交，故A错误；

对于8,由中位线定理可得PQ〃AC,PQ<4平面4BC,ACu平面4BC,可得PQ〃平面ABC,故8

错误；

对于C,取中点。，连接CB,DQ,CP,可得截面为正六边形ABDQPC,即有PQu平面4BC,故C

错误；

对于D,连接BD,设4B与PD的交点为连接CH,由中位线定理可得CH〃PQ,

而PQC平面ABC,CHu平面4BC,则PQ//平面4BC,故O正确.

故选：BD.

结合线面的位置关系以及线面平行的判定定理确定正确选项.

本题主要考查空间中直线和平面的位置关系，属于基础题.

10.【答案】ACD

【解析】解：cosxcos(x+•+sinxsin(x+g)=cos(x—%=cosg=A正确;

tan10°+tan35°+tanl0℃an35°=tan(10°+35°)(1—tanl00tan35°)+tanl0°tan35°=

tan45°=1,B不对；

tan22.5°12tan22.5°1A.ro1

匚就吟=2匚蒜*=/加45=?C正确;

2-CW2。。_2-比舞_/3-SE50。)。正确

3—si九50°3-sin50°3-sin50°2

故选：ACD.

利用两角差的余弦公式，诱导公式，二倍角公式即可逐个选项判断.

本题主要考查了和差角公式的应用，属于基础题.

I1.【答案】BCD

【解析】解：•••丽=(|,一§,

•••I研=J1)2+(一a2=1，

对于选项4设点P,P]所对应的任意角为分别为a,4,

则由三角函数的定义可知cosa=sina=a=a-

55rJ

..,n.1.G4+3C

・•・sina1=sm(a--)=-sina———cosa=-----——，

,14~3.3+4C

cos%=cos(a--)=-cosa——^-sina=------——‘

.•・由三角函数的定义可知Pl的坐标为（-匕萨，-窄W）,故A错误;

对于选项B-.由题意可知：乙P[OP=乙P20P=60°,OP=0P1=0P2,

即APiOP,APzOP为正三角形，可得|PPil=IPP2I，故8错误;

对于选项C：由题意可得：Z.P1OP2=/.P3OP=120°,OP=0Pr=0P2=OP3=1,

所以的•电=前・西=lxlxcosl20o=-：,故C正确；

对于选项D：由题意可得：乙P1OP3=180°,/.P2OP=60°,OP=OP[=0P2=0P3=1,

所以。P；­OP；=1x1xCOSH-—1,OP-OP；=1x1xcos60°=

即函.砾〈丽.丽,故。正确.

故选：BCD.

对于4根据两角和差公式运算求解；对于8：根据几何性质分析判断；对于C、D：根据数量积

的定义分析判断.

本题考查平面向量的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题.

12.【答案】ABD

【解析】解：对于4,由欧拉公式可知，忸吟+叼=|cos(y+0)+isin(y+0)|=\sin6-icos6\=

7sin20+(—cos0')2=1,

故选项A正确；

对于B：由欧拉公式可知，=cos(^—9)+isin(^—O')=sind4-icosd^

因为eie=cos6—isind'

2,

所以i.ei0=icosO—isin6=sin0+icos0

所以e吗-6)=i.e；。，故选项B正确；

对于C：因为e’e—eia=cos0+isind—(cosa+isina')=(cos。—cosa)+i(s讥8—sina),

e«"a)=cos(0—a)+isin(Jd-a),

所以选项C错误；

对于。：因为？@+。)=cos(a+8)+isin(a+6),

/(。+引=cos(6+今+isin(d+今=—sind4-icosd,

则eicosa+e"*2)si?ia

=(cos。+isind)cosa+{-sind+icosO^sina

=cosdcosa—sinGsina4-i^sindcosa+cosdsina)

=cos(0+a)+isin(O+a),

所以/(。+。)=/9cosce+e'"2)si7ia，则选项。正确.

故选：ABD.

根据题中欧拉公式结合复数，诱导公式，三角恒等变换化简整理可判断.

本题考查欧拉公式，考查运算求解能力，属于中档题.

13.【答案】j-|i

【解析】解：由严的计算规律，可得一。23=1505X4+3=f

匚匚i、i-1-i(2+i)1-2112.

''以Z=有=(2-i)(2+t)=~5~=5~51'

故答案为：|i.

先求得j2023=i505x4+3=T,结合复数的运算法则，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

14.【答案】V-7

【解析】解：正四棱台对角面等腰梯形的高即为该正四棱台的高，

因为正四棱台的上底边长为2,下底边长为4,侧棱长为3,

则该四棱台对角面等腰梯形的上下底边长分别为2日,44，腰长为3,

因此等腰梯形的高为J32_(注吗I=

所以四棱台的高为

故答案为：，万.

根据给定条件，求出正四棱台的对角面等腰梯形的高即可作答.

本题主要考查了正四棱台的结构特征，属于基础题.

15.【答案】y

【解析】解：由正弦定理得空；=名,

3空

nZ力=

7-si3

Z.B,NC都是锐角,

cosB=热，sinC=sin(^—B)=sincosB—cossinB—

sin乙4Z)C=sin(B+Z.DAB)=sin©+B)=亨

在△4“中，由正弦定理得：黑=缶,

故答案为：学

O

运用正弦定理和两角和差公式求解.

本题主要考查了正弦定理的应用，考查了两角和的正弦公式，属于基础题.

16.【答案】嬴

【解析】解：因为/(x)=(1+cos2a>x)+2sin2a)x=gsin2a>x+三cos2a)x+三

=sin(2<ox+1)+三，

如果存在实数与，使得对任意的实数出,都有f(x0)W/(x)<f(x°+2023兀)成立，

则/(&)是函数f(x)的最小值，/(%o+2023兀)是函数f(x)的最大值，

因为3>0,若使得3最小，则函数的最小正周期取最大值，

且函数/■(%)最小正周期的最大值为2x2023TT=40467T,

故23的最小值为^1则3的最小值为,X=1

2023’乙乙U乙。4046

故答案为：嬴

利用三角恒等变换化简函数/(x)的解析式，分析可知〃%0)是函数的最小值，/(x0+2023兀)是

函数f(x)的最大值，求出函数f(x)最小正周期的最大值，可求得3的最小值.

本题考查了三角函数最值的问题，属于中档题.

17.【答案】解：(1)因为z-i=-(m2+m-2)+(m-l)i为纯虚数,

鲁黑/。，故…；

所以

(2)由(1)有z=—3,所以同=3,

令3=a+bi(a,b€R),a>=a-bi>则co-3=2bi=2i,

所以｛醛片久解得益y

故3=+2\/~2+I.

【解析】(1)利用复数的乘法化简复数z,根据复数的概念可得出关于小的等式与不等式，解之即

可;

(2)根据复数的模公式以及共辗复数求解即可.

本题主要考查纯虚数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题.

18.【答案】解：(1)由题得|瓦=2，

|a+2b|2=a2+4a-K+4b2=4a-b+17=9>

a-b=—2-

|2a-3b|=J4片一12五•方+9片=74+24+36=8：

(2)a-(a-b)=a2-a-K=1-a-K=0.

a-h=1，

•••|a|cos<a,K)==p

••・投影向量坐标为2x东=(；,?),

・•・投影向量坐标为G，?).

【解析】(1)由已知求出五不=-2,再利用向量模的公式求解;

(2)由已知求出己不=1，再利用投影向量的公式求解.

本题主要考查投影向量的公式，属于基础题.

19.【答案】解：(1)AB=2,sin乙4BD=V3sin乙4D8，

.•・在△4BD中，由正弦定理得*=坐黑=，^,即AD=q4B=2C，

ABs\nZ.ADB

••・由余弦定理得,。$。=黑送=-?,

又,:0<。<兀，:.sin9=g,

S^ABD=1x2x2-\/-3x；=>/~3,即△48。的面积为

(2)在4ABD中，由余弦定理得cos。=芫密譬，

vBD2=16—8V-3cos0，

•••S=1x2x2yTlsine+|xBD2

=2y]~^sinQ—6cos9+4A/~^

=4>f^sin(6(-^)+4<3,

-.-0<e<ir,6-|e(-2,y),

二当。一E=*即0=:时，Smax-8V-3,

故S的最大值为8「.

【解析】(1)利用正弦定理可得40=2/口，再利用余弦定理求出cos。，即可得出答案；

(2)利用余弦定理可得的2=16-8口皿。，求出S=4<3sin(0-=)+4「，再利用正弦型的

图象和性质，即可得出答案.

本题考查解三角形和三角函数的性质，考查转化思想和函数思想,考查逻辑推理能力和运算能力，

属于中档题.

20.【答案】解：(1)选①③，

因为7=*=兀，所以3=1,

2d)

所以fQ)=cos(2x+(p),

又因为x=W为对称轴，所以学+0=上兀,

JJ

而即I所以w=，所以/(%)=cos(2%+，)；

(2)令y=/(%一今+cos(eox-.

=2cos2(%-*)+cos(x—^)—1,

令t=cos(x-以。<t<1),

因为y=2产+t_1在［0刀上单增，

所以当£=0时,ymin=-1,

m>—1.

【解析】(1)要使/(X)解析式唯一，可选①③，结合周期公式、对称轴处满足的性质求解；

(2)原不等式左边可化为关于cos(x-+的二次式的形式，然后借助于二次函数的单调性求最值,

得到TH的范围.

本题考查三角函数的性质以及解析式的求法，不等式恒成立问题的解题思路，属于中档题.

21.【答案】解：(1)证明：连接BD,

•.•四边形4BC。为正方形，E、F分另IJ为BC、C0中点，

EF//BD,

又B,D,N,P,M五点共面，EFC平面PMN,8Du平面PMN,

•••EF〃平面PMN,

(2)在正四棱锥P-力BCD中，连接BD,AC交于点。，连接P。，

则P。，平面4BCD,又BOu平面力BCD,所以P。1B0,

所以尸。=7PB2-BO2=J16-(V-2)2=V-14>

^P-ABCD=5s⑦ABCD，PO=§X2X2XV14=--—，

因为两=2而，N为PD中点.

[12

所以为-MCD=^M-CDN~2^M-PCD=2X3X“B-PCD

11127-14

=J^B-PCD=3Vp-BCD=^^P-ABCD=-g-，

故％-MCD=空巴

【解析】(1)通过证明EF〃BD得到EF〃平面PMN；

(2)先求得Vp-.BCD，通过体积转化得%-MC。=2%