2023版高考数学一轮总复习9-3双曲线及其性质习题

9.3双曲线及其性质

基础篇固本夯基

考点一双曲线的定义及标准方程

1.(2020天津,7,5分)设双曲线C的方程为(a>0,b>0),过抛物线∕=4x的焦点和点(0,b)

arIr

的直线为1.若C的一条渐近线与1平行，另一条渐近线与1垂直,则双曲线C的方程为()

22

c∙τ-y2=ιDn.X-y-=1Λ

答案D

2.(2020浙江,8,4分)已知点0(0,0),A(-2,0),B(2,0),设点P满足IPAl-IPBI=2,且P为函数

y=3√4-N图象上的点，则IOPl=()

A.?B.当C.√7D.√Tθ

25

答案D

3.(2021豫南九校4月联考,7)若双曲线mχ2-4yz=4的左、右焦点分别为Fr也过Fl的直线交

双曲线的左支于A,B两点,若AAEB的周长是18,IABI=5,则实数m=()

A.1B.2C.3D.4

答案A

4.(2018天津理,7,5分)已知双曲线5号1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于X轴

的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d∣和d2,且

d∣+dz=6,则双曲线的方程为()

答案C

5.(2021云南师大附中第六次月考,9)设F”F2是双曲线的两个焦点,点P在双曲线

4«5

C上,P在X轴上的射影Q位于线段FFz上,且IPQr=IF@∙EQl,则∣PFj+∣PFj=()

A.4B.6C.2√l0D.40

答案C

6∙（2022届河南平顶山月考，11）已知R、区为双曲线的左、右焦点,P为双曲线右支

上异于顶点的任意一点,若A为APFFz内切圆上一动点，当AFl的最大值为4时,aPFE的内

切圆半径为（）

ʌ-?B*e,ɪD,∣

答案C

7.（2021南昌一模,11）许多建筑融入了数学元素,更具神韵,数学赋予了建筑活力,数学的美

也被建筑表现得淋漓尽致.已知图1是单叶双曲面（由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形）型建

筑,图2是其中截面最细附近处的部分图象,上、下底面与地面平行.现测得下底直径

AB=20√瓦米,上底直径CD=20立米,AB与CD间的距离为80米,与上、下底面等距离的G处的

直径等于CD,则最细部分处的直径为（）

A.10米B.20米C.10“米D.10遥米

答案B

8.（2022届甘肃靖远开学考，15）已知双曲线（m>0）的渐近线方程为y=+√2x,%、E,

4m

分别是C的左、右焦点,P为C右支上一点.若∣PE∣=m-l,则4PFE的面积为.

答案2回

考点二双曲线的几何性质

1.（2022届甘肃嘉峪关第一中学开学考,3）如果双曲线专售1的离心率为等,那么称该双曲

arIr2

线为黄金分割双曲线,简称为黄金双曲线.现有-黄金双曲线C：言∙-（=l（b>0）,则该黄金双

曲线C的虚轴长为（）

Λ.2B.4C.√2D.2√2

答案D

2.（2022届陕西渭南月考,5）已知双曲线C⅛-⅞=l（a>0,b>0）的右焦点到它的一条渐近线的

arIr

距离为4,且焦距为10,则C的离心率为（）

2

B-IC-

答案C

3.（2022届云南大理模拟,5）双曲线。•今1（a>0）的离心率为手,过双曲线右焦点F作一条直线

垂直于双曲线的一条渐近线,垂足为A,设0为坐标原点，则i0A∣=（）

A.1B.√2C.2D.4

答案C

4.（2021全国甲，5,5分）已知F”R是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且

NEPF2=60°,IPKl=31PFzI,则C的离心率为（）

AEB.零C.√7I）.√13

答案A

5.（2019天津,5,5分）已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为1.若1与双曲线:J=I（a>0,b>0）

的两条渐近线分别交于点A和点B,且IABI=4∣0Fl（O为原点），则双曲线的离心率为（）

Λ.√2B.√3C.2D.√5

答案D

6.（2020课标∏,8,5分）设0为坐标原点，直线x=a与双曲线C⅛-⅛=l（a>0,b>0）的两条渐近

线分别交于D,E两点.若AODE的面积为8,则C的焦距的最小值为（）

A.4B.8C.16D.32

答案B

7.（2019课标III,10,5分）双曲线。:9夺1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,0为坐标

原点.若IPOl=IPFl,则aPFO的面积为（）

A.—B.-C.2√2D.3√2

42

答案A

8.（2020课标m,11,5分）设双曲线（3:。4>11>0飞>0）的左、右焦点分别为F“F”离心率为

右.P是C上一点，且若APFE的面积为4,则a=（）

FIP±F2P.

Λ.1B.2C.4D.8

答案A

3

9.（2018课标1,ll,5分）已知双曲线C::y2=l,0为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线

与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若aOMN为直角三角形,则IMNl=（）

Λ.∣B.3C.2√3D.4

答案B

10.（2022届广西玉林第H^一中学月考，10）已知双曲线［-白l（a>0,b>0）的左、右焦点为F∣,F?,

aLT

在双曲线上存在点P满足21房+的IWl万片I,则此双曲线的离心率e的取值范围是

（）

ʌ.l<e≤2B.e22C.l<e≤√2D.e≥√2

答案B

11.（2022届新疆克拉玛依模拟，10）己知F为双曲线M（b〉0）的左焦点，圆

Q:（x-3）2+y2=6与双曲线M的渐近线有且仅有2个不同的公共点，则下列说法正确的是（）

A.点F到渐近线的距离为倔

B.双曲线M的渐近线方程为x±2y=0

C.双曲线M的虚轴长为2

D.双曲线M的离心率为遥

答案D

12.（2022届江西景德镇模拟,9）已知双曲线C:（a>0,b>0）,直线1过双曲线的右焦点且

斜率为，直线1与双曲线C的两条渐近线分别交于M、N两点（M点在X轴的上方），且条2,

则双曲线C的离心率为（）

Λ.2B.∣√3C.√2D.√3

答案B

13.（2021河南、山西4月联考，10）已知双曲线U<⅜l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为F∣,P

aLT

2

为双曲线C上的一点,若线段PF1与y轴的交点M恰好是线段PF1的中点,丽∙W=∣b,其中0

为坐标原点,则双曲线的渐近线方程为（）

A.y=±；XB.y=±xC.y=±V5xD.y=±2x

答案B

4

14.（2021长春第一次质检，11）已知双曲线E:《-21（a>0,b>0）与斜率为4的直线相交于A、

srtr

B两点,且弦AB的中点为（2,1）,则双曲线E的离心率为（）

A.√2B.√3C.2D.√5

答案B

15.（2021全国乙，13,5分）已知双曲线C1-y2=ι（∏1>0）的一条渐近线为√5χ+my=0,则C的焦距

Ol

为.

答案4

16.（2020课标［,15,5分）已知F为双曲线C⅛-⅛l（a>O,b>0）的右焦点,A为C的右顶点,B

为C上的点,且BF垂直于X轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为.

答案2

17.（2022届陕西洛南中学月考，16）已知双曲线<4=l（a>0,b>0）的左,右焦点分别为

F∣（-c,O）,R（c,O）,过Fl的直线1与圆clx-gcj+Vq相切,与双曲线在第四象限交于一点M,

且有MF2±X轴,则直线1的斜率是双曲线的渐近线方程为.

答案-γ=y=±x

考点三直线与双曲线的位置关系

1.（2022届广东省实验中学月考,3）若直线y=kx+2与双曲线x2-y⅛6的右支交于不同的两点，

则k的取值范围是（）

儿（岑平）“。书

CT，。）DTf

答案D

2.（2022届河北大名一中月考,8）过点A（l,1）作直线1与双曲线X2-4=I交于P,Q两点,使得

A是PQ的中点,则直线1的方程为（）

A.2χ-y-l=0B.2x+y-3=0

C.x=lD.不存在

答案D

5

3.(2022届合肥第六中学开学考，11)已知双曲线与-白1的左,右焦点为F“F*过R的直线交

双曲线于M,N两点(M在第一象限)，若AMFE与^NFE的内切圆半径之比为3：2,则直线MN

的斜率为()

A.√6B.2√6C.√3D,2√3

答案B

4.(2022届河南省实验中学期中,20)已知双曲线C=⅛l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为区、

fΓtr

2

F2,双曲线的C的右顶点A在圆Oιx+y⅛l上,且丽∙⅛-l.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)动直线1与双曲线C恰有1个公共点,且与双曲线C的两条渐近线分别交于点M、N,问

Δ0MN(0为坐标原点)的面积是不是定值?若为定值,求出该定值;若不为定值,试说明理由.

解析(D设Fl(-c,0),F?(c,0),因为A(a,0),所以诵=(-c-a,0),丽=(c-a,0),又

2222222

AFx∙J¾=a-c=-l,且a+b≈c,所以b=l,由题意得a=l,所以双曲线C的标准方程为x-y=l.

(2)由题意知，当动直线1的斜率不存在时，Lx=±l,MN=2,SAoMHgXlX2=1.当动直线1的斜

率存在时,且斜率k≠±-^±l,不妨设直线Ly=kx+m,联立

a

KU"3=(l*)χ2-2mkχ-∏M=0,

A=(-2mk)2-4(l-W)(-Bi，-1)=。,化简得kJ∏12+l,不妨令直线1与双曲线C的渐近线方程为y=x

交于点M,联立:「=『二空’故点M3摄)，同理可得,N(-狼，为,所以

JI-A,

IMNrJ(e+VY+(七-捻Y卫需,又因为原点0到直线1：kx-y+m=O的距离d/,所

以又22所以

SΔ0MN⅛IMNid=π*,k=m+1,SΔOMN~-1.

，I1t∖I∖Ilxi

综上,Δ0MN的面积是为定值,定值为1.

综合篇知能转换

考法一求双曲线的标准方程

1.(2020山西晋城一模，10)已知双曲线C：5~4=l(a>0,b〉0)的两个顶点分别为

erIr

Λl(-a,0),A2(a,0),P,Q的坐标分别为(0,b),(0,-b),且四边形A1PA2Q的面积为2√2,四边形

AFAA内切圆的周长为蜉ɪɪ,则C的方程为()

6

W.2

A.j-yt)=1B.x'-γ=l或万-y=1

C∙⅛D∙x号或衿1

答案B

2.(2021四川南充二模，10)双曲线U<~⅛l(a>0,b>0)的离心率e邛,右焦点为F,点A是双

artr3

曲线C的一条渐近线上位于第一象限内的点，ZAOF=ZOAF,AAOF的面积为3百,则双曲线C

的方程为()

A.⅛lB,⅛l

3612186

C.—=lD.⅛-yj=l

933J

答案C

3.(2021呼和浩特二模，15)已知双曲线C:±T：l(a>0,b>0)过点(3,访)，其左焦点为F”过

aCr

FI的直线1与C的左支交于点P,Q,点M在y轴上,且丽•碌0,疑-4诚0为坐标原点，则C

的标准方程为.

答案⅛1

4.(2022届河南部分重点中学月考，14)定义：以双曲线的实轴为虚轴,虚轴为实轴的双曲线

与原双曲线互为共轨双曲线.已知双曲线C：t-yJl(m>0)的一条渐近线过点⑵4),则C的共

m

轨双曲线的标准方程为.

答案y2-≠-i

4

5.(2021新高考I,21,12分)在平面直角坐标系xθy中，已知点F,(-√17,0),F2(√17,0),点M

满足IMF1I-IMF2I=2.记M的轨迹为C.

(1)求C的方程；

(2)设点T在直线Xw上,过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点,且

∣TA∣∙∣TB∣=∣TP∣∙ITQ求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

解析(1)由题意知IFEl=2√17,因为IMF--1MFJ=2<∣F,F2∣=2√l7,所以结合双曲线定义知，

点M的轨迹C是以R、握为焦点的双曲线的右支.

7

设其方程为小a1(a>。,b>0,x,a),则2a=2,2c=2√∏,解得a=l,c=√∏厕

b2=c2-a2=(√17)2-l2=16,所以M的轨迹C的方程为x2-⅛=l(x≥l).

16

⑵如图，设τQ,m),直线AB的方程为y-m=k(尸9,

y=k∖(『J+m,

由,

、y=i(x》1),

22

得(16-APX+(A^-2k1m)χ--yA^+k∣m-m-16=0,

设A(X],y∣),B(X2,y2),

Ll府-2〃Im⅛+∕z？-A1m+16

贝IJX1÷X2=⅛Γ.XiXL『6

则ITAI="7^3,TBl=尸%(x2-3

所以∣TA∣∙∣TB∣=(1+Ap(χ,-p∙(X2-1小黑呻.

设直线PQ的方程为y-m=k2(χ-0,

同理得ITPl∙TQl上号警

与T6

因为ITAl∙ITBI=ITPI∙∣TQ∣,

(渥+⑵(1+年)(/+⑵(1+写)

所以

#T6芍T6

所以挽即K竭，由题意知LWk,,所以k∣+"0,即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之

Aj-IoAz-Ib14

和为0.

一题多解(2)设T6,m),直线AB的倾斜角为θ„直线PQ的倾斜角为θ2,由题不妨设

力=3∙ɪTB=t2∙-ɪ,t1>0,t2>0,则IT^=3"元I=t2.

8

设A(x,y),因为为=t∣•备,所以y-m)=3(cosθ1,sinθl),W.

x=∣+tlcos01,y=m+t1sinθ1,

又因为点A在双曲线上,

2

2

所以16θ+^iɑos%)-(m+t1sinθ1)=16,即

(16cos^θ∣-sin^θ,)]+(16CoSθ1-2msinθ,)t∣-(m'+12)=0.

2

同理可得(16CoS2θ1-sinθ∣)%+(16CoSθ1-2msinθ1)t2-(ι∕+12)=0.

22

所以t1,t2即为方程(16COS20I-Sin*θɪ)t+(16cosθ1-2msinθɪ)t-(m+12)=0的两个根,

则ITAl.ITB∣=t,Vl6J⅛ffι,

同理ITPl.∣TQ-C

Iocos4^2-sln02

结合ITAl∙ITBI=ITPI∙∣TQ∣,得cos?。尸CoS2(½,

又因为AB与PQ是不同直线,

π

所以cosθ1=-cosθ2,于是θj+θ2=,则kAB+kPQ=O,

即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.

易错警示解答本题第（D问时,容易出现所求C的方程为（令1的错误结果,从而致使第⑵

间直接做错.

考法二求双曲线的离心率（或其范围）

1.（2022届湘豫名校联盟11月联考,9）如图，已知双曲线C:«=l（a>0,b>0）的左、右焦点

o'tΓ

分别为3、F2,过点&作直线1交双曲线C的右支于A,B两点.若IABl=IAF11,且4F∣ABs^FzFB

则双曲线C的离心率为（）

C2

Λ.2B.√15J2D.4

答案A

9

2.（2022届长春月考，11）设R、Fz是双曲线C:5-21（a>0,b>0）的左、右焦点,0是坐标原点.

atr

过Fz作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若IPFJ=√7OP,则C的离心率为（）

A.√5B.2C.√3D.√2

答案B

3.（2022届河南省实验中学11月月考，12）己知双曲线4-⅛l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为

EE,过Fl的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P、Q,若点P是线段Fa的中点,且QFJQ&,

则此双曲线的离心率为（）

A.√6B.√5C.2D.√3

答案C

4.（2018课标III,11,5分）设F”F2是双曲线C:J-^=l（a>0,b>0）的左,右焦点,0是坐标原点.

过B作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若IPFJ=√5OP,则C的离心率为（）

Λ.√5B.2C.√3D.√2

答案C

5.（2021江西上饶重点中学摸底，10）已知F∣,R是双曲线9-。1匕>04〉0）的左、右焦点，点

P（x0,%）是双曲线右支上的一点,满足丽•丽=0,若x0∈ga,ga）,则双曲线的离心率的取值

范围为（）

N/B∙*）

C.律考）D.律考

答案C

6.（2021河南安阳二模，12）已知双曲线金21（a>0,b>0）过第一、三象限的渐近线为1,过右

焦点F作1的垂线,垂足为ʌ,线段AF交双曲线于B,若IBFI=21ABI,则此双曲线的离心率为

（）

A.√2B.√3C.√5D.√6

答案C

10

7.(2021山西名校4月联考，11)已知双曲线C:4d=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为

srIr

F1(-c,0),F2(c,0),点N的坐标为(-c,给.若双曲线C左支上的任意一点M均满足

MFj+∣MN∣>4b,则双曲线C的离心率的取值范围为()

A∙(4M

B.(√5,√13)

C