2023-2024学年浙江省温州市高二年级上册数学期末统考试题含解析

2023-2024学年浙江省温州市高二上数学期末统考试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设｛%｝是公比为4的等比数列,则“q“”是“｛4｝为递增数列”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2.下列结论正确的个数为()

1191

①若y=ln2,则y片一；②若/(刈==，贝!)/'(3)=——；③若y=2工，贝！|y'=x2-；④若y=log?x,贝U丁=:丁

2x27xln5

A.4B.3

C.2D.l

3.已知实数a,分满足a<h,则下列不等式中恒成立的是()

,,11

A.a<b"B.—>-

ab

C.Ia|<屹ID.2"<2〃

4.某公司有320名员工，将这些员工编号为1,2,3,…，320,从这些员工中使用系统抽样的方法抽取20人进行“学

习强国”的问卷调查，若54号被抽到，则下面被抽到的是()

A.72号B.150号

C.256号D.300号

5.直线/的方向向量为7〃=(1,0,-1),且/过点A。,1,1),则点P(L—L—1)到/的距离为()

A-^2B.亚/

C.屈D.20

6.复数,+=的共朝复数的虚部为()

1+212

11

A.—B.——

1010

33

C.—D.——

1010

7.已知函数/(x)=xsinx,/'(x)为〃尤)的导数，则广)

A.-l

71

C.一D.1+—

22

8.已知两条异面直线的方向向量分别是“二（3,1,2）,v=（3,2,-l）,则这两条异面直线所成的角。满足（）

A.sin8=—B.sin6=一

414

八1八9

C.cos，=—D.cos〃=——

414

9.若直线2x+6y—1=0与直线mr—2y+7=0垂直，贝!|m=()

A6B.4

2

C.----D.—2

3

10.若函数/（力=-$4+尤3+|了2+炉-1在[—2,2]上为单调增函数，则m的取值范围（）

A.[-2,*»）B.[5,+oo）

C.（-co,-3]D.（-oo,-5]

11.ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若c=5cosA,贝！IABC一定是（）

A.等腰三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

12.已知三棱锥P—ABC的各顶点都在同一球面上，且24,平面ABC,若该棱锥的体积为友，AB=2,AC=1,

3

ZBAC=60°,则此球的表面积等于（）

A.5nB.8"

C.16乃D.20乃

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知点/（。力）在直线3x-4y-10=0上，则行方的最小值为.

14.已知5件产品中有2件次品、3件合格品，从这5件产品中任取2件，求2件都是合格品的概率.

15.在一例中，"=6,—季一，的夕卜接圆半径为日则边c的长为一.

3_

16.设a为第二象限角，若sina=y,则sin2cr=

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）（1）某校运动会上甲、乙、丙、丁四名同学在100m、400m、800m三个项目中选择，每人报一项，共有

多少种报名方法?

（2）若甲、乙、丙、丁四名同学选报100m、400m、800m三个项目，每项均有一人报名，且每人至多报一项，共有

多少种报名方法？

（3）若甲、乙、丙、丁名同学争夺100m、400m、800m三项冠军，共有多少种可能的结果？

18.（12分）在平面直角坐标系内，已知ABC的三个顶点坐标分别为4（0,2）,6（4,0）,。（私0）

（1）求边的垂直平分线所在的直线/的方程；

（2）若ABC面积为5,求点C的坐标

22

19.（12分）已知椭圆C：I+1=1（。〉6〉0）的上顶点在直线3x+百y—3=0上，点4（—2,1）在椭圆上.

（1）求椭圆C的方程；

（2）点P,。在椭圆C上，且APLAQ,AG±PQ,点G为垂足，是否存在定圆恒经过A,G两点，若存在，求

出圆的方程；若不存在，请说明理由.

22

20.（12分）双曲线C：，-2=1（。〉0力>0）的离心率为2,经过C的焦点垂直于x轴的直线被C所截得的弦长

为12.

（1）求C的方程；

（2）设A,3是C上两点，线段A3的中点为4（5,3）,求直线A5的方程.

-3-1

21.（12分）已知命题。：方程炉—〃a+1=0有实数解，命题q：Vxe-1,-,77i>|x|.

（1）若。是真命题，求实数M的取值范围；

（2）若尸为假命题，且4为真命题，求实数加的取值范围.

22

22.（10分）已知耳，居分别是椭圆C:=+[=l（a〉6〉0）的左、右焦点，点M是椭圆。上的一点，且

ab

TT

NRMF?=3，=F[MF2的面积为1.

（1）求椭圆。的短轴长；

（2）过原点的直线/与椭圆C交于A3两点，点P是椭圆。上的一点，若4E钻为等边三角形，求。的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】当［时，」不是递增数列；当•」且•一时，：：是递增数列，但是［不成立，所

以选D.

考点：等比数列

2、D

【解析】根据常数函数的导数为0,可判断①；根据塞函数的求导公式，可判断②；根据指数函数以及对数函数的求

导公式，可判断③④.

【详解】由y=ln2得：y'=0,故①错误；

1?2

对于/（幻==，rw=--,故/'（3）=-二，故②正确；

对于丁=2",则y'=21n2,故③错误；

对于y=log,x,则,故④错误，

xln2

故选：D

3、D

【解析】利用特殊值排除错误选项，利用函数单调性证明正确选项.

【详解】。=一1,0=1时，a<b,但/=/,所以人选项错误.

。=-18=1时，a<b,但所以B选项错误.

ab

。=一13=1时，a<b,但同=网，所以C选项错误.

y=2,在R上递增，所以。<〃02"<2"，即D选项正确.

故选:D

4、B

【解析】根据系统抽样分成20个小组，每组16人中抽一人，故抽到的序号相差16的整数倍，即可求解.

【详解】•••用系统抽样的方法从320名员工中抽取一个容量为20的样本

320

——=16,即每隔16人抽取一人

20

：54号被抽到

...下面被抽到的是54+16x6=150号，而其他选项中的数字不满足与54相差16的整数倍，故答案为：B

故选：B

5、C

【解析】利用向量投影和勾股定理即可计算.

【详解】•••4(1,Ll)，

AAP=(O,-2,-2)

又加=(1,0,—1),

APrn2r-

AP在加方向上的投影AP-cosAPw=H=五

到/距离d=7lAP|2-(V2)2=后工=V6

故选：C.

6、B

1,11

【解析】先根据复数除法与加法运算求解得一：+-=-+—i,再求共轨复数及其虚部.

l+2i2510

1il-2iil-2ii2-4i+5i2+i11.

［详解］解：彳=—^+彳=一^+彳=———=£+61，

T1+W21+2+-21)2521010510

所以其共轨复数为!其虚部为-工

51010

故选:B

7、B

【解析】由导数的乘法法则救是导函数/'(X)后可得结论

(7r\jrjrjr

【详解】解：由题意，/'(x)=sinx+xcosx,所以/［不［=51115+3853=1.

故选:B

8、D

【解析】利用向量夹角余弦公式直接求解

【详解】解：两条异面直线的方向向量分别是"=(3,1,2),v=(3,2,-1),

这两条异面直线所成的角e满足：cos0=|cos<v>|=产岛=•=-

I//I,Ivl,1471414

故选：D

9、A

【解析】由两条直线垂直的条件可得答案.

【详解】由题意可知2机—12=0,即加=6

故选：A.

10、B

【解析】用函数单调性确定参数，使用参数分离法即可.

【详解】/(%)=-^4+x3+|x2+mx-l,在［—2,2］上是增函数，

即/'(%)=一炉++9%+加2。恒成立,rn>x3-3x2-9x;

设g(x)=%3-3x2-9x,g(x)=3x2-6x-9=3(x+l)(x-3)；

.•.尤e［—2,-1］时，g(x)是增函数；

xe［—1,2］时，g(x)是减函数；

故xe［-2,2］时,^(%)=g(-1)=5,：.m>5；

故选:B.

11,C

【解析】利用余弦定理角化边整理可得.

7,22_2

【详解】由余弦定理有c=6x,整理得匕2=/+C2,故ABC一定是直角三角形.

2bc

故选：C

12、D

【解析】由条件确定三棱锥P-ABC的外接球的球心位置及球的半径，再利用球的表面积公式求外接球的表面积.

【详解】由已知A6=2,AC=1,NH4c=60。，可得三棱锥的底面是直角三角形，NACB=90°,由平面ABC

可得就是三棱锥外接球的直径，SA,„C=-x2xlxsin60°=—，VSh^-x—xPA=^~,即巴4=4,

△ABC223323

则PB=VPA2+AB2=275,故三棱锥外接球的半径为A/5，所以三棱锥外接球的表面积为S=4江=20万

故选：D.

【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定

有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于

球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、2

【解析】由已知可用。表示6,代入所求式子后，结合二次函数的性质可求

【详解】解：由题意得34-46=10,即。="吧，

2,2(46+10)22562+806+100

所以/+//=------—+b=----------,

99

Q

根据二次函数的性质可知，当6=-《时，上式取得最小值4,

故1片+方的最小值2

故答案为：2

3

14、—##0.3

10

【解析】列举总的基本事件及满足题目要求的基本事件，然后用古典概型的概率公式求解即可.

【详解】设5件产品中的次品为对名，合格品为伪为2/3，

则从这5件产品中任取2件，有as,ah,岫2,<2区,c^bi,a2b2,a2b3,1)®,b®,b2b3共10个基本事件，

其中2件都是合格品的有44力也力2&共3个基本事件，

3

故2件都是合格品的概率为历

3

故答案为：—.

15、瓜

【解析】由面积公式求得sinC=@,结合外接圆半径，利用正弦定理得到边c的长.

2

【详解】S4“=La6sinC=3sinC=hy5,从而sinC=X3,由正弦定理得：,解得：°=而

ABC222一

2

故答案为：底

24

16>-----

25

【解析】先求出costz,再利用二倍角公式求Sin2a的值.

3

【详解】因为a为第二象限角，若sina=g,

4

所以cosa=-g.

24

所以sin2a=2sinacosa=-石.

24

故答案为----

25

【点睛】本题主要考查同角三角函数的平方关系，考查二倍角的正弦公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,

属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)81种；(2)24种;(3)64种

【解析】(1)利用分步计数原理可求报名方法总数.

(2)利用分步计数原理可求报名方法总数.

(3)利用分步计数原理可求报名方法总数.

【详解】(1)要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，4人都报完才算完成，

所以按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有3x3x3x3=81(种)报名方法

(2)每项限报一人，且每人至多报一项，因此100m项目有4种选法，400m项目有3种选法，800m项目只有2种选

法.根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法有4x3x2=24(种)

(3)要完成的是“三个项目冠军的获取”这件事，因为每项冠军只能有一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成,

所以应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步，而每项冠军的得主有4种可能结果，所以共有4x4x4=64(种)可能

的结果

18、⑴2x-y-3=0；⑵(9,0)或(-1,0)

【解析】(1)由题意直线的斜率公式，两直线垂直的性质，求出/的斜率，再用点斜式求直线/的方程

(2)根据ABC面积为5,求得点C到直线？的距离，再利用点到直线的距离公式，求得加的值

【详解】解：⑴4。,2),5(4,0),

二A3的中点〃的坐标为A(2,l),

设AB边的垂直平分线所在的直线I的斜率为k,

贝!ILw"=-1，

:.k=2,

可得/的方程为y—1=2(X—2),

即2x_y_3=0

•••AB边的垂直平分线所在的直线/的方程2x-y-3=0

(2)AB边所在的直线方程为x+2y-4=0.

|AB|=7(0-4)2+(2-0)2=2A/5,

,,|m-4||m-4|

设AB边上的高为乙即点C到直线l的距离为d=

ABVI2+2275

ABC=1|ABp=5=1-2x/5-6?=5,

解得“=技

解得7"=9或7〃=一1,

二点。的坐标为(9,0)或(-1,0)

22

19、(1)—+^=1；

63

(2)存在，定圆(x+g)+(y—g)=|-

L41

【解析】⑴由题可得回—3=0，4+-^=1,即求；

a'b"

2I

(2)由题可设直线PQ的方程，利用韦达定理及条件可得直线恒过定点。则以A。为直径的圆适合题意,

即得.

【小问1详解】

由题设知，椭圆上顶点为(0,b),且在直线3x+Gy-3=0上

•••扬-3=0，即6=君

又点4-2,1)在椭圆上，

41/—

；・靛+乒=1解得a-A/6，

22

...椭圆C的方程为土+乙=1;

63

【小问2详解】

设P(H%),当直线PQ斜率存在，设直线PQ为：y=kx+m

工+21=1

联立方程彳63，化简得(2左2+1)X2+4Q〃X+2(7〃2_3)=0

y=kx+m

.4km2(/n2-3)

.•为+%=-对，…2=2.+1，

VAP±AQ,：.APAQ=O

又•••"=(芯+2,%_1),AQ=(x2+2,y2-l)

•••AP-AQ=(玉+2)(9+2)+(%—1)(%—1)

=(X]+2)(x2+2)+{kxi+m-l)(kx?+m-1)

=(1+1之)&.%+*m—左+2)(芭+%)+m~-2m+5

2

=(1+左2)%+(km-k+2)(%j+x2)+m-2m+5=0

4km2(m2-3)

将X1+x-代入,

22k2+12r+1

化简得3m2-8Am—2m+4左2—1=o,即[3m-(2k-1)]x[m-(2k+1)]=0

2k-l

则租=2k+1或加二-----，

3

①当相=2左+1时，直线R2：y=4x+2)+l恒过定点(―2,1)与A点重合，不符题意.

r\1-1。[O1

②当冽二飞~一§时，直线尸。：y=左(冗+])-§恒过定点(一3，-耳)，记为点。，

41

・・・AG，P。，・••以为直径，其中点(=5)为圆心的圆恒经过4G两点，

则圆方程为：(x+g)+(y—g)=|；

f22

当直线PQ斜率不存在，设方程为％=乙P(t,s),Q。,—s),且L+L=1

63

AGLPQ

•.AP=(%+2,s—1),AQ=(1+2,—s—1),

31

/.AP-AQ=t2+4/+4—xj2+1=—+4,+2=5(3t+2)(，+2)=0,

2221

解得％=-耳或，=—2(舍去)，G(——,1),取。以AD为直径作圆,

圆方程为：(x+g)+(y—g)=|恒经过&G两点，

综上所述，存在定圆［x+gj+(y—g)=|恒经过4G两点.

21

【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是证明直线PQ恒过定点。结合条件可得以A。为直径的圆，适

合题意即得.

22

20、(1)---匕=1

412

(2)y-5x-22

【解析】(1)根据已知条件求得由此求得。的方程.

(2)结合点差法求得直线A5的斜率，从而求得直线的方程.

【小问1详解】

因为C的离心率为2,所以1+弓=2,

Va

222

可得/=3•将j=JQ2+/代入靛_3=1

b2b2

可得)=±幺，由题设幺二6.解得。=2,

aa

b1=12,Z?=2^/5,

22

所以c的方程为L—匕=1.

412

【小问2详解】

2222

设B(x2,y2),则々—长=1,=

因此上江―才一式=0,即-々)_(…)(…2)=o.

412412

因为线段A5的中点为M(5,3),所以为+々=10,

%+%=6,从而入二"=5,于是直线A5的方程是y=5x—22.

3

21、(1)mN2或mW-2；(2)-<m<2

【解析】(1)由方程有实数根则A20,可求出实数机的取值范围.

(2)4为真命题，即加可乂厘从而得出机的取值范围，由(1)可得出〃为假命题时实数机的取值范围.即可得出答案.

【详解】解：