2023-2024学年陕西省部分高二年级上册期末数学（理）模拟试题(含解析)

2023-2024学年陕西省部分高二上册期末数学（理）模拟试题

第倦

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的

22

1.椭圆C:上+匕=1的长轴为（）

43

A.lB.2C.3D.4

TT

2.在Z8C中，内角4民。的对边分别为a,b,c,若c=3,b=4,4=—,则。=（）

3

A.V13B.2V3C.5D.6

3.已知p:Wx>0,》2+3x>0;q:e凡》2+1=0.则下列命题中，真命题是（）

ALP"B「P'qC.P人'D.PM

4.如图，在四面体产力8c中，E是4cl的中点，BF=3FP，设P4=a,PB=b,PC=c，

则FE=（）

2x]x2x

cO；D.—Q——6+—C

343343

5.已知等比数列｛%｝的前〃项乘积为7；,若与=（,则%=（）

A.lB.2C.3D.4

6.已知双曲线《一《=l（a>0,b>0）的一条渐近线方程为3x+4y=0,则该双曲线的离

ab

心率是（）

455V5

A.-B.-C.-D.—

3342

7.已知空间三点力（2,1,—1）,8（1,0,2）,C（0,3,-1）,则C到直线48的距离为（）

A，V5B.2V2C.V6D.V19

8.已知数列｛/｝满足a“=a“_1+d,"2,neN,则“a,“一。.=2d"是"一〃=2”的（）

A.充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

9.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四

棱锥称为阳马.如图，在阳马P-ABCD中，P4J.平面ABCD,底面ABCD是正方形，瓦/

分别为的中点，点G在线段/尸上，4c与BD交于点、O,P4=4B=2,若OG〃

平面瓦C,则ZG=()

I2

10.设同<1,则——+——的最小值为()

1—ci1+a

A.V24—3B.-3--5/2C.1D.2

22

11.已知尸为抛物线C:，=一16y上一点，尸为焦点，过尸作。的准线的垂线，垂足为“,

若尸EH的周长不小于30,则点尸的纵坐标的取值范围是()

A.(-<»,-5]B.(-a),-4]C.(-oo,-2]

12.如图，平行六面体/8C。-的体积为

4872,ZA.AB=ZA.AD,AA,=6,4B=4D=4,且/。/台=名","/分别为

A.MN〃APB.MP〃平面BDN

C.DNA.A]CD.P到平面MVC的距离为生画

19

第I倦

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线

上.

13.已知双曲线C:——/=15>0）的焦距为10,则。=.

a

X+y—10,

14.若x/满足约束条件2x-y0,则2二y一1的最小值为.

X1,

15.如图，在直三棱柱/8C—4用G中，BB1=2,E,F分别为棱4B,4cl的中点,则

EF・BBi=.

16.已知椭圆C：、+/=i的左、右焦点分别为耳,写,尸为椭圆。上的一点，若

cos/£/^=-；,贝尸耳卜|巴矶=.

三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

已知抛物线C：歹2=-2川（P〉0）,4（-6,%）是抛物线。上的点，且[4目=10.

（1）求抛物线C的方程；

（2）已知直线/交抛物线C于",N两点，且的中点为（-4,2）,求直线/的方程.

18.（12分）

已知数列｛%｝的前n项和为S,,且S,,=〃（丁）.

（1）求｛可｝的通项公式；

(2)设求数列也｝的前〃项和却

19.(12分)

如图，在长方体/BCD—44G2中，48=40=6,44]=8.

(1)求异面直线NG与48所成角的余弦值；

(2)求直线/C与平面46。所成角的正弦值.

20.(12分)

ABC的内角4民C的对边分别为a,b,c,已知g=sinC-sin(/-8).

(1)求〃；

(2)设。=2,当b+J5c的值最大时，求Z3C的面积.

21.（12分）

如图，在四棱锥尸-48c。中，Z8CQ是边长为2的菱形，且

/DAB=602PA=PD=M,PB=372,E,F分别是BC,PC的中点.

(1)证明：平面尸平面。EF.

(2)求二面角Z—P3—C的大小.

22.（12分）

已知双曲线。：马一捺=1（4>0/>0）的右焦点为（近,0）,渐近线方程为y=±3x.

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）设。为双曲线C的右顶点，直线/与双曲线C交于不同于。的瓦E两点，若以EF为

直径的圆经过点0,且。GJ•跖于点G,证明：存在定点〃，使|G〃|为定值.

答案和解析

1.D椭圆C：工+匕=1的长轴为4.

43

2.A由余弦定理可得/=b2+c2-2bccosZ=13，所以a=JB.

3.C由题意可得P为真命题，4为假命题.故。入为真命题.

4.B因为E是ZC的中点，BF=3FP，所以

FE=FP+PE=一一PB+-(PA+PC}=-a一一b+-c.

42、-42

5.A因为(=4，所以%为。5=1.因为%%=4：，所以4=1.

6.C因为3-3=1(。>0,b>0)的渐近线方程为bx+ay=0,所以

7.B

1,—1,3),C8=(1,—3,3),|J^=M,COS/Z8C=「=坦

'''，厂।网闻VHXV19V19

smZABC=率,C到直线AB的距离为Hd'sin/NBC=2JI.

V1911

8.C因为a,”-%=(〃?-〃”=2d,所以〃?一〃=2或d=0,故"%-%=2d”是

“/〃-〃=2”的必要不充分条件.

9.C以点/为坐标原点，的方向分别为x/，z轴的正方向建立空间直角坐标系

(图略)，则。(1,1,0),C(2,2,0),E(0,1,1)1(1,0,1),EF=),EC=(2,1-1).

.',、[x-y=0,•.7.

设平面的法向量为心=(“,z),则(-令x=l,得〃2=(1,1,3).

设G(0,0,a),则。d=(—1,—l,a).因为0G〃平面瓦C,所以odi〃；，则od：〃；：0,

22

即—1x1—lxl+3a=0,解得。=—,故4G=—.

33

.1+a2(1-a)

10.A1।2J(1।2](j+")=I，1+。&+|，当且仅

1—d1+42\1—Cl1+(7J

当匕£二2(1—4),即a=3—2j5时，等号成立.

\-a1+。

1LA如图，设点尸的坐标为（他,〃），准线y=4与丁轴的交点为/,则

\PF\=\PH\=4-n,\FH\=J\AF|2^\AH|2=四+/=〃4-16〃=4"二，所以

PE"的周长为4"二+2(4-〃).设函数/(〃)=4，匚1+2(4-〃乂〃0),则/(〃)

为减函数，因为/(一5)=30,所以/(〃)30的解为〃一5.

n

12.D因为46=/。=4,且/£%8=—,所以四边形N8CZ）的面积为

3

4x4xsin-=8V3.

3

因为平行六面体-4gGQ的体积为48近，所以平行六面体/8CO-4氏C;2的

高为"唱=276.因为=/Z/0,所以《在底面的投影在AC上.设4在底面的

8V3

投影为O,则A,O=2指，因为44=6，所以。/=-4。2=«2—（2府=26.

因为NC=4JJ=2。/，所以。为4c的中点.以。为坐标原点，0403,04的方向分别

为x,y,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则

^（2A/3,0,0）,C（-2^3,0,0）,5（0,2,0）,Z）（0,-2,0）,M（^1,0）,

__••••.、_

4（0,0,2咐,N卜36,0,&）,P（-36,—1,2&）.MN=（T/一1,6）/尸=（―58-1

•••,、••▼、--，.、

2&）,A]C=（~2也,0,~2MP=N0,-2,2&\DN=卜3枢,2,芯、MC=卜3a-1,0）

（0,4,0）,57V=（-3^,-2,^6）.

因为痴方，所以“N与/尸不平行，故N错误.

设平面3DN的法向量为加=（占,%,zj,

则[.k-3伍-2乂+扁=0,

DB•m=4y}=0,

令斗=夜，则”7=（后,0,3）.因为加尸.加=—4jixJI+0+2#x3=2##0,所以

儿。与平面8DN不平行，故8错误.

，-V、，,_

因为0N-4c=(―3Vi)x(―28)+0+显卜2〃)=6H0,

所以加与4d不垂直，故。错误.

设平面"NC的法向量为〃=(马,％/2),

则辰腺-噜f+湿2=上令得工回3行1）.

n-MC=-3y/3x2-y2=0,一''

A

—4^/3xV2+（-2）x3,\/6j+

生酸，所以P到平面MVC的距离

因为

V5719

为生昼，故D正确.

13.276a2+l=25.解得a=2指或。=一2«（舍去）.

14.—1作出可行域(图暗)，当直线y=x+z经过点(1,0)时，z=y—x取最小值，最小值

为-1.

▼▼八▼▼八▼▼八▼▼「▼▼八

15.4取的中点G,连接FG,EG.EFBB]^(EG+GFj-EG=EG^4.

16.3因为

COS/FPF-MlMzlW.（归用+归用）2一2|3|•飓|一12_2_J_

'2附|归周2附|・匹|阿|•陀|3

，所以|PEH咋1=3.

17.解：（1）因为|/同=6+々=10,

所以P=8,

故抛物线C的方程为V=—16X.

（2）易知直线/的斜率存在，设直线/的斜率为左,加（七,,）,"（々,8），

y：=-16x15

则〈

y\=-16X2,

、Vi-816

两式相减得乂一货=一16（玉一X2）,整理得=--------

X\-x2凹+为

因为MN的中点为（T,2）,所以左=之三及=一手=一4,

X]X?I

所以直线/的方程为y—2=-4（x+4）,即4x+y+14=0.

[x8

18.解：(1)当〃=1时，%=£=--=4.

112

当〃2时，叫=吟上9，

所以丁-*^=〃+3,

因为〃=1也满足，所以通项公式为4=”+3.

1111

（2）因为女

anan+l(〃+3)("+4)n+3〃+4'

1111n

所以11-1+1_1++

4556〃+3及+44〃+44〃+16

19.解：以Z为坐标原点，/氏4。,所在直线分别为x轴，V轴，z轴建立如图所示的

空间直角坐标系，则

8（6,0,0）,D（0,6,0）,C（6,6,0），4（0,0,8），C（6,6,8）,4CI=£6,8）ZC=0,6,O）BD=（-6,6,0）

,48=（6,0,—8）.

设平面46。的法向量为〃=(x,y,z),

■、••7、

攵畋一6x+6y=。,令2=3,得二（a。）

则

n-AXB=6x-8z=0,

(l)设异面直线NG与48所成的角为a，

则cosa小网阳,/⑻卜称fL而为=甯

即异面直线NG；与AyB所成角的余弦值为Z叵.

170

(2)设直线ZC与平面48。所成的角为夕,

则加…(瑞

4域4_484屈

Acin6yf2xy[4l~41

即直线/c与平面43。所成角的正弦值为拽2.

41

20.解：(1)由三角形的性质和正弦定理可知

—=[.叔=sinC-sin（/-3）=sin（4+6）-sin（/-6）=2cosAsinS,

其中sinffwO,所以2sirt4cos=sin24=1,

因为Z£（0"）,所以2/£（0,2）），故2力=1,4=7.

（2）由正弦定理有b+42c=2"2叵=2s吟2A/^£C=26stnB+4sinC，

asinJ

且

2V2sin5+4sinC=2V2sin5+4sin3乃R=2V2(2sin5+cos5)=2V10sin(5+^?),

4

其中tan。

2

所以当sin（6+0）=l时，b+有最大值，此时sin5=cos°=2^,cos8=，

所以sinC=sin(4+8)=sin^—+5sin5+cosB)=-------，

2、710

由正弦定理有二="_,故b=±叵，

SIIL4sin55

所以c1A-104厢3V1012

助以3仃「=—a/?sinC=-x2x------x-------=一•

ABC225105

21.(1)证明：取ZD的中点G,连接PG,BG,BD.

因为PZ=P£>,所以尸G_L4D.

在中，AB=AD=2,NDAB=60",

所以ABD为等边三角形,

所以8G_L4。.因为BGcPG=G,所以ZD_L平面08G.

因为瓦E分别是BC,尸。的中点，

所以PB〃EF,DE〃GB,

所以平面尸8G〃平面。EE,所以ZO_L平面0EE.

因为ZDu平面尸40,所以平面平面。E/L

（2）解：由（1）知工。，平面尸86.因为尸/=尸。=加,尸8=3立，所以可求得四棱

锥。一488的高为太

以G为坐标原点，G7：G£的方向分别为x，N轴的正方向建立空间直角坐标系，则

尸（0,-鱼佝,4（1,0,0）,5（0,A0）,C（-2,^,0）.

p,

AP=(-1,-5研BP=(0,-26,=(-2,0,0).

记平面P48的法向量为〃=(w，必,zj,

则＜攵^^-Xj-yf^y、+y/Sz^—0,

n-BP--2^3j^|+、=0,

令必=加,得"=（茄，/,2）.

记平面P8C的法向量为加=（%2，%/2）＞

则,，敷——2x:0，令y,=VL得加二（0,四,2）.

m-BP=-232+-=0，

因为cos（〃,机＞=曲步=2微a=-y，且二面角Z—尸3—C为钝角,

3

所以二面角Z—P3—C为一万.