第二章 数据分布的特征量数1

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kechengjiaoxue@163.com密码：20092009在期末考试后，学生、家长、教师、学校领导等各类人士都会关心学生考试成绩，那么，他们通常会关心哪些问题？假如你是班主任，你将如何回答他们的问题？第二章数据分布的特征量利用特定的算式或对数据结构进行必要的统计处理而确定出一些能够反映与描述一批数据的全貌及特征的量数，称为数据分布的特征量。常用的特征量：中心测度

平均数；中位数；众数变化测度全距；方差与标准差；四分位数和四分位距；极值形态测度偏度；峰度（一）中心测度

中心测度是指刻画数据集中趋势的数字，用来描述数据的中心位于何处。最常用的中心测度为平均数、中位数和众数，其中平均数和中位数只适用于定量数据，而众数既适用于定量数据，也适用于定性（分类）数据。（1）算术平均数（M）μ——总体算术平均数

——样本算术平均数算术平均数的特性所有观察值关于平均数的偏差和为零，即对极值非常敏感。所有观察值关于平均数的偏差平方和最小。

算术平均数的计算利用原始数据进行计算利用频数分布表计算

算术平均数的优缺点优点

——反应灵敏

——严密确定

——简明易懂

——适合代数运算

——受抽样变动的影响较小缺点

——易受极端数值的影响

——一组数据中某个数值的大小模糊不清或不够确切时无法计算算术平均数的几个特殊优点只知一组观察值的总和及总次数就可以求出算术平均数。用加权法可以求出几个平均数的总平均数。用样本数据推断总体集中量时，算术平均数最接近于总体集中量的真值，它是总体平均数的最好估计值。在计算方差、标准差、相关系数以及进行统计推断时，都要用到它。（2）加权平均数加权平均数是不同比重数据（或平均数）的平均数。用表示。其计算公式有两种形式

（3）中位数定义：中位数是把按从小到大（从大到小）排列的一组数据一分为二的数值。中位数的计算：

1.用原始数据计算（分奇数个数据和偶数个数据）

2.利用次数分布表计算48个学生数学分数次数分布表分数频数累积频数45-50-55-60-65-70-75-80-85-90-95-1202387775613358162330374248总和48利用次数分布表计算中位数（1）计算公式(由小向大计算)

表示中位数所在组的下限；

N表示总频数；中位数所在组的频数；表示小于中位数所在组下限的频数综合。中位数的优缺点与应用优点：不易受极端值影响缺点：不适合代数计算应用条件：一组数据中有特大或特小两极端数值时；一组数据中两端数据或个别数据不确切、不清楚时；当需要快速估计一组数据的代表值时；数据资料属于等级性质时。（4）众数众数的概念

理论众数是指与频数分布曲线最高点相对应的横坐标上的一点。

粗略众数是指一组数据中频数出现最多的那个数。众数的计算方法（1）用观察法直接寻找众数

在频数分布表中,频数最多一组的组中值就是粗略众数。当两个相邻的组的频数都是最多时，那么两分组的分组点就是众数。（2）皮尔逊的经验法

当频数分布呈正态或接近正态时，皮尔逊发现众数近似地等于3倍的中位数减去2倍的算术平均数。众数的计算方法众数的适用情况当需要快速而又粗略地找出一组数据的代表值时。当需要利用算术平均值、中位数、众数三者关系来粗略判断频数分布的形态时。利用众数帮助分析解释一组次数分布是否确实具有两个次数最多的集中点时。平均数、中位数、众数三者之间的关系例：某地抽出100户家庭．经调查发现，有20户是两口人，40户是三口人，40户是四口人。如果将数据排队，则有：

例：1975年美国7800万

男性年收入的直方图常用中心测度概括测度特点使用注意事项众数适合于描述分类变量或称名变量的趋中程度

不准确、信息量有限、易产生误导中数如果需要知道数据分布的中点或者数据分布明显偏态时，优先使用。对存在的极端高或极端低的数值不敏感平均数是最经常使