新教材苏教版高中数学选择性必修第二册 练习 10 空间向量与垂直关系

10空间向量与垂直关系

目录

☆【题型一】空间向量与线线垂直..................................................................ɪ

☆【题型二】利用基向量法证明线线垂直............................................................2

☆【题型三】利用坐标法证明线线垂直..............................................................3

☆【题型四】空间向量与线面垂直..................................................................6

☆【题型五】利用直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直证明线面垂直...................7

☆【题型六】利用直线的方向向量与平面的法向量平行证明线面垂直...................................10

☆【题型七】空间向量与面面垂直.................................................................14

☆【题型八】利用两平面的法向量垂直证明面面垂直.................................................14

☆【题型九】将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直证明面面垂直.........................17

☆【题型一】空间向量与线线垂直

【例题】若直线人的方向向量为m=(1,3,2),直线/2上有两点N(l,0,l),8(2,-1,2),则两直线的位置关系

是.

【答案】/11/2

【详解】在=(1,-1,1),“「港=1X1-3X1+2X1=O,因此/」日

【变式训练】

1.设∕∣的一个方向向量为α=(l,3,-2),/2的一个方向向量为力=(-4,3,m),若人上心，则加等于()

A.1B.-eɪD.3

22

【答案】B

【详解】因为∕I~L∕2,所以"仍=0,即1X(—4)+3X3+(—2)X"z=0,

所以2〃?=9—4=5,即m=~.

2

2.如图，以1.平面/8CO,四边形力8C。为正方形，E为CO的中点，尸是4。上一点，当8凡LPE时，—

FD

等于()

【答案】B

【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形/88的边长为1,PA=a,则8(1,0,0),∆G*ɪ,0),

ʃ''一").因为B尸,尸E,

设尸（O,y,O）,则成=（一1,%O）,PE=

0,2,°）是ND的中点,

即源病=(-1区+尸0,解得y=t即F=1.

☆【题型二】利用基向量法证明线线垂直

【例题】证明：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也

和这条斜线垂直.(三垂线定理)

已知I：如图，05是平面ɑ的斜线，。为斜足，ABla,4为垂足，CDUa,且C

求证：CDLOB.

【分析】要证CZ)J_O3,只要证无J_砺，即证而.9=0.

【详解】证明因为CD_LQ4,所以丽.刀=0，

因为Cz)Ua,所以Z3_LCZ),CD-Afi=O.

又方+质=砺，所以无・丽=丽•(8+万)=丽赤+而万=0,

故CZ)Lo8.

【总结】利用向量方法证明线线垂直的方法

(1)坐标法：建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出两直线方向向量的坐标，然后通过数量积

的坐标运算法则证明数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直.

(2)基向量法：利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律，结合图形，将两直线所在的向量用

基向量表示，然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0,从而证明两条直线的方向向

量互相垂直.

【变式训练】

1.如图，在四棱锥P-/8C。中，.平面/88,四边形/88是矩形，H=/8=1,点尸是PB的中点,

点E在边BC上移动.求证：无论点E在边8C上的何处，都有PELNF.

【详解】证明•；点E在边BC上，.∙.可设陵=2比，

―►―►―►—►—►1->—>1-A-►—►—►-►

于是PEZ/=(以+48+附∙j(4P+∕8)=j(H+∕8+zl8C)∙(Z8+4P)

■-►―►—►—►―►—►—►—►―►―►—►-►

=^PAAB+PA∙AP+ABAB+AB∙AP+λBOAB+λBC∙AP)

=∣×(O-l+l+O+O+O)=O,

因此成J_万

故无论点E在边8C上的何处，都有PELNF.

2.如图，在直三棱柱Z8C-48∣C∣中，ZACB=90°,ZBAC^30o,BC=l,AAi=a,M是棱CG的中

点，求证：A∖BA.AM.

【详解】证明A^B=AB-AA∖,AM^AC+~AA∖,

2

,,——*-—►­►—►1—►—►——►—►1—►—*■

t^A∖B'AM=AB'AC-∖--AB-AA∖-ACAA∖—AAɪAAɪ.

22

因为48_L/4MCj_4小,

所以就•筋尸0,ACAAi=O9

故施•俞=2X3XCOS30O-』X#X#=0,所以∕∣8,∕Λ∕.

2

☆【题型三】利用坐标法证明线线垂直

【例题】如图，在四棱锥尸一/88中，Rɑ平面/8C。，四边形N8C。是矩形，PA=4B=1,点F是PB

的中点，点E在边BC上移动.求证：无论点E在边8C上的何处，都有PE，/反

'B

'E

D匕

【详解】证明以/为原点，以“O,AB,/尸所在直线分别为X轴，y轴,Z轴建立空间直角坐标系,

设Zo=。，则/(0,0,0),尸(0,0,1),5(0,1,0),CQl,0),于是/°’5'3

在BC上，二设E(m,1,0),

C.PE^nΛ,-1),万=9'?3

.,.PEAF=0,C.PELAF.

：.无论点E在边BC上何处，总有PELAF.

【变式训练】

1.在正方体/8Cz)-48∣GO∣中，E为/C的中点，求证:

G

A1

A

⑴g_L/C；

(2)BDJEBι.

【详解】证明以。为原点，DA,DC,。。所在直线分别为X轴、y轴、Z轴，建立的空间直角坐标系.

°),5.(1,1,.),

设正方体的棱长为1,则3(1,1,0),Dl(0,0,1),√l(l,0,0).C(0,1,0),Γ

(1)∙.∙苑=(一1,-1,1),就=(-1,1,0),

ΛβθJ∙iC=(-l)×(-l)+(-l)×1+1×0=0.

J.^BD∖^AC,.,.BD↑±AC.

(2)L=(—1,-1,1),防=(?2'ɪ],

二旃.防=(_i)x，+(_i)xL+ixi=o,

C.~BD∖VEB∖,C.BD∖LEB∖.

2.已知在棱长为a的正方体OABC-OiAiB↑C↑中，E,尸分别是AB,BC上的动点，且AE=BF,求证：//JLCIE

【详解】证明以。为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则4(α,0,a),Ci(0,a,a).

设ZE=BF=x,贝IJ

E(a,x,0),F(a-x,a,0).

.".√4∣F=(­x,a,一a),C∖E-{a,x—a,一a).

∖"A∖F∙CιE=(­x,a,—”>(α,X—4,—〃)=—αx+αx-02+α2=0,

：.AtFlC^E,即小F_LCiE

3.如图，在正方体AS。-4S∣GR中，CA和。G相交于点。，求证：AOLAxB.

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明两直线垂直;

【详解】证明：如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2,

则Z(2,0,0)、O((U,1)、4(2,0,2)、8(2,2,0),所以Nð=(-2,1,1),还=(0,2,-2),

所以瓦•福=-2x0+lx2+lx(-2)=0,所以而J_福，即NOJ>48

☆【题型四】空间向量与线面垂直

【例题】在4/8C中，A(∖,-2,-1),8(0,-3,1),C(2,一2,1).若向量“与平面/8C垂直，且∣"∣=∖5I,

则n的坐标为.

【答案】(-2,4,1)或(2,-4,-1)

【详解】根据题意，得/8=(—1,—1,2),4C=(l,0,2).设a=。，y,z),

,Jn与平面N8C垂直，

T

n-AB=0,-χ-y+2z-0,

即可得

"∙∕C=0,X+2z=0,

I=3I,.".∖∣x2-∖-y2^∖-z2—y∣2Λ,

解得y=4或y=-4.

当y=4时，x——2,z—1；当N=-4时，x—2,z--l.

的坐标为(一2,4,1)或(2,—4,—1).

【变式训练】

=Q'"'-1J(Λ∈R),若/_La,则实数%的值

1.己知直线/的方向向量为e=(—1,1,2),平面a的法向量为〃

为

【答案】苫

【详解】因为/La,所以e与〃平行,

则存在实数m使得e=mn,

即(—1,1,2)=〃?GLJ,

_m

~}1~2'G__l

『2)

可得所以

1=λm

9"7=-2.

2=­m,

2.若直线/的一个方向向量为a=(l,0,2),平面a的一个法向量为"=(—2,0,-4),则()

A.l∕/aB.l.La

C.∕⊂。D./与α斜交

【答案】B

【详解】V∕ι=(-2,O,-4)=-2(1,0,2)=-2α,.∖n∕∕a,Λ∕±α.

3.已知"=(α+6,a-b,2)是直线/的一个方向向量，"=(2,3,1)是平面ɑ的一个法向量，若/_La,则α,

b的值分别为.

【答案】5)-1

【详解】''lLa,'.u∕∕n,,"'I~-=-,.∖a=5,b=~∖.

231

☆【题型五】利用直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直证明线面垂直

【例题】证明：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面.（直线与平面

垂直的判定定理）

已知：如图，ι∏ζ∑a,"uα,men=B,llm,IVn.求证：/J_a.

【分析】根据定义，要证明直线与平面垂直，只要证明该直线垂直于平面内任意一条直线.由于机，〃

是平面ɑ内两条相交直线，所以平面内任意一个向量都可以用直线〃?，〃上的非零向量线性表示.向量的垂

直关系可以通过它们的数量积为0来推得.

【详解】证明如图，在α内任意作一条直线g,在直线/,加，n,g上分别取非零向量7，m>n>g.

因为直线与〃相交，所以向量〃不共线.

由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数组（XJ）,使得£=x而+y5,

所以/∙g=∕∙（χ加）=χ∕∙加+M•〃.

因为7ɪn>所以7.加=0,7.n=0.可得∕∙g=0,即/j_g.

因为/垂直于ɑ内的任意一条直线，所以7_La.

【例题】在正方体∕88-44G2中，已知E,尸分别为6g,CA的中点，求证：。尸，平面NOE.

【分析】要证明0∣∕7∙L平面/OE,只要证明口厂垂直于平面E内两条相交直线.为此，可以建立

适当的空间直角坐标系，通过向量的坐标运算，根据数量积是否等于0来判断垂直关系.

【详解】证明不妨设正方体的棱长为1,以｛刀,反,万瓦｝为单位正交基底,

建立如图所示的空间直角坐标系。一肛Z,

则E=(1,0,0),西=(0,0,1),而=(0,；,0),瓦=[1,1,3

因为——。尸∙二—Q尸_——。〃=(0,5I,0)_(0z,0,1)x=(0,I5，—1),

所以而.即=lx0+0xg+0x(-I)=0,可得*J"次.

因为荏=万一次

---------Ilzx———

所以力E∙AF=0X0+1XQ+∕X(-1)=0,可得DFl4E.

又因为ZDcZE=Z,所以。R_L平面工力E.

【总结】用向量法证明线面垂直的方法

(1)证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直.

(2)证明直线的方向向量与平面的法向量平行.

【变式训练】

I.如图所示，正三棱柱/8C-4囱G的所有棱长都为2,。为CG的中点.

求证:48i_L平面小8D

【详解】证明如图所示，取BC的中点。，连接力。，因为4/8C为正三角形,

Z

所以40_L8C.

因为在正三棱柱Z8C-48∣G中，平面/8C_L平面BCel以，所以《OJ_平面8CC∣S.

取3G的中点0∣,以O为坐标原点，

以励,而，S分别为X轴、y轴、Z轴的正方向建立空间直角坐标系,

则8(1,0,0),Z)(-l,l,0),4(0,2,√3),4(0,0,√3),3(1,2,0).

所以丽=(1,2,-√3),而=(-1,2,√3),砺=(-2,1,0).

因为相∙丽=1X(-1)+2X2+(一√5)X3=0.

∑β↑βZ)=l×(-2)+2×l+(-√3)×0=0.

所以石_L而，Λβ^±BD,BPASι±βΛt,ABi±BD,

又因为84CBO=B,所以“8」平面48D

2.如图所示，在正方体∕8CO-48GD∣中，E,尸分别是B8∣,AS的中点.求证：EF_L平面BMc

【详解】证明建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为2“,

则A(2a,0,0),C(0,2a,0),B∖(2a,2a92a),E(2a92a,a),F(a,a,2a).

；・EF=(Cι,a,2α)-(2α,2a,a)=(~a9—α,α),

AB↑=(2a,2a,2a)-(2a90,0)=(0,2α,20),

AC=(0,2α,0)-(2α,0,0)=(-2α,2a90).

^EFAB↑=(-a,-α,α)∙(0,2α,2a)=(-a)×0+(-α)×2α+a×2a=0,

EF-AC-(一a,一a,α)∙(—la,la,0)=2a2—2/+0=0,

：.EFLAB\,EFLAC.

又/S∩ZC=/,AB∖,/Cu平面BMC,

.∙.EF"L平面B∖AC.

3.如图，已知正方形/88和矩形/CEF所在的平面互相垂直，AB=∖∣2,4F=1,M是线段EF的中点.

(1)求证：4M〃平面BDE；

(2)求证：平面BDF.。1

【详解】证明(1)以C为坐标原点，CDC8,CE所在直线为Xj,z轴的正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系，设4CCBD=N,连接NE,则知点[5'T>E(0,0,1).

J也_也]-

所以/M=l2,2"J.所以N£=4W.而NE与NM不共线，所以NE〃4W.

又因为NEU平面BDE,ZM。平面BDE,所以力〃〃平面BDE.

ɪl

(2)由(1)知/M=I2'2"

因为。点坐标为(啦，0,0),尸点坐标为(市，√2,1),所以力>=(0,√LD-

所以病历=×Λ^+1×1=0,所以4W_LOE

同理可证

又因为。FnBF=F,DEBFU平面BDF,所以AML平面BDF.

☆【题型六】利用直线的方向向量与平面的法向量平行证明线面垂直

【例题】如图所示，正三棱柱/8C—48IG的所有棱长都为2,。为CG的中点.

求证:48i_L平面/18D

【详解】证明如图所示，取BC的中点0,连接/0,因为aZBC为正三角形,

所以/OLBC

因为在正三棱柱N8C—∕∣8C∣中，平面N8C_L平面8CG8∣,所以4。，平面8CC∣8ι.

取SG的中点。，以。为坐标原点，

—►”一■—，mA

以。8,OO∣,04分别为X轴、y轴、Z轴的正方向建立空间直角坐标系,

则8(1,0,0),D(-l,l,0),小(0,2,√3),/(0,0,√3),囱(1,2,0).

所以丽=(1,2,-√3),就=(—1,2,√3),砺=(-2,1,0).

设平面小8。的法向量为〃=(x,y,z),

nɪBAI,n-BA∣=—x+2y+λ∕5z=O,

贝--BP'-

nA-BD,∖∕ιBb=-2x+y=0,

令x=l得平面48。的一个法向量为〃=(1,2,-√3),

又［81=(1,2,—Λ∕5),所以“=力囱，即/81〃”.

所以N8i_L平面A∖BD.

【变式训练】

o

1.如图，在平行六面体/8。M囚GOi中，AB=AD=AAl=1,ZA1AB=ZA1AD=ZBAD=60,求证：直

线小C，平面8DDι8∣.

【详解】证明设法=α,I2>=b,刀ι=c,贝∣J{α,b,c}为空间的一个基底,

且4C=«+〃-c,BD=h-a,BB∖=c.

因为N8=NZ)=∕∕ι=1,AA∖AB-ZA}AD-NBAD=60。,所以a2-b2-c2-l,ab=bc-ca=^.

在平面8。。向上，取彷，乐I为基向量，

则对于平面上任意一点P,存在唯一的有序实数对(九")，使得而=%筋+"赤I.

所以，Zb痂=∕U7∂访+"Zt•砺ι="α+6-c)∙3-α)+4(α+5-c∙)∙c=0.

所以永是平面3。。山ι的法向量.

所以小C_L平面BDDB.

2.如图，在三棱锥P-N8C中，AB=AC,。为BC的中点，Poj_平面N8C,垂足。落在线段ZO上.已

知8C=8,PO=4,AO=3,OD=2.

(1)证明:APLBC-,

(2)若点M是线段4P上一点，且ZM=3,试证明，平面8MC.

【详解】证明(1)由题意知ZO∙LBC,如图，以O为坐标原点，

以过。点且平行于BC的直线为X轴，OD,。尸所在直线分别为y轴，Z轴建立空间直角坐标系。一中z.

则4(0,—3,0),5(4,2,0),C(-4,2,θ).P(OQM).于是开=(0,3,4),病=(—8,0,0),

：.AP-BC(0,3,4)-(-8,0,0)=0,

ΛAPIBC,EPAPlBC.

(2)：M是N尸上一点，且ZΛ∕=3,：.AM=-AP,.∙.√i⅛=(0'ΓWl

.∙.∕°‘^?9,施=H-p5,诙=&9,

设平面BVC的法向量为”=(α,b,c),

n-BM=O,(°ɪ,D,≡=∣∕l,

则._令6=1,则”=

nCM=O,

.∖AM∕∕n,...NA/,平面8Λ∕C.

3.如图，已知正方形/8C。和矩形NCE尸所在的平面互相垂直，AB=0AF=I,〃是线段E尸的中点.求

证：NM，平面8AF.

【详解】证明以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

他也1]

则z(∕,√i,O),B(0,&O),O(√2,0,0),F(√2,√2,1),以2'2*J

ɪ),5>=(0,√2,1),访=M，-√2,0).

设"=(x,y,Z)是平面8。尸的法向量,

nBD='∣2χ-'∣2y=0,

∙∖∖F=y,

则""L筋，"，而，所以

即!?=-y∣2y,

∕rDF-y∣2y+z-0,

取V=1,得x=l,z--y∕2.∣jl∣]n-(l,l,一S).

因为布=1一巧，^rɪ)

所以"=一/命，得〃与初共线.

所以/ML平面BDF.

4.如图，四棱锥尸一/8。的底面ZBC。是边长为1的正方形，P£>_L底面/88,且PZ)=1,若E,F，分

别为P8,/D的中点，则直线E尸与平面尸8C的位置关系是

【答案】垂直

【详解】以。为原点，DA,DC,。尸所在直线分别为X轴、V轴、Z轴建立空间直角坐标系,

则M?3E°'°],

,,

.∙.jεF=(0~2-3平面尸8C的一个法向量”=(0,1,1).

"∕EF=--n,：.EF//n,...E尸_1_平面尸8C.

2

☆【题型七】空间向量与面面垂直

【例题】1.若平面α,夕的法向量分别为。=(2,-1,0),6=(—1,-2,0),贝IJa与4的位置关系是()

A.平行B.垂直

C.相交但不垂直D.无法确定

【答案】B

【详解】仅6=—2+2+0=0,：.alb,Λα±A

【变式训练】

1.两平面α,£的法向量分别为"1=(3,—1,z),"2=(—2,—y,1),若a_L夕，则y+z的值是()

A.-3B.6C.-6D.-12

【答案】B

【详解】Vni-(3,—1,z),"2=(—2,—y,D分别为α,S的法向量且a_L£,.∙."ιl,"2,即"「"2=0,

/.-6+y+z=0,Λy+z=6.

2.已知平面ɑ的法向量为α=(l,2,-2),平面夕的法向量为6=(—2,-4,k),若aL仇则《等于()

A.4B.-4C.5D.-5

【答案】D

【详解】Vα±A：.a±b,.∖ab=-2S-2k=0.：.k=~5.

☆【题型八】利用两平面的法向量垂直证明面面垂直

【例题】在四棱锥S-NBS中，底面488是正方形，AS1^ABCD,ɪAS=AB,E是SC的中点.求

证：平面8。EJ_平面ABCD.

【详解】证明设ZS=Z8=1,建立如图所示的空间直角坐标系，

则8(1,O,O),£>(O,1,O),A[0,O,O),C(l,1,0),5(0,0,1),£?3

连接4C,交BD干点、O,连接OE,则点。的坐标为E'

易知行=(0,0,1),δ⅛=(°,0,3

设平面8。£的一个法向量为"ι=(x,"z).

易知访=(一1,1,0),^=(^2'P3

'-χ-∖-y-0,

“1A.BD,mBD=Q,

一则即1,1,1ʌ

---XH--VH--z=0.

n∖LBE,n∖BE-0,.222

令X=1,可得平面8。£的一个法向量为"∣=(1,1,0).

：NS_L平面ABCD,

平面N8C。的一个法向量为"2=为=(0,0,1).

Vm„2=0,平面8。E，平面ZBCD

【总结】利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径:

一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；

二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直.

【变式训练】

1.在三棱柱∕8C-48∣G中，44iJ_平面∕8C,ABlBC,AB=BC=2,AAi=↑,E为8历的中点，求证:

平面/EG_1_平面AAlCiC.

【详解】证明由题意知直线/8,BC,8由两两垂直，以点8为坐标原点,

分别以历1,BC,8S所在直线为X轴，y轴，Z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则4(2,0,0),∕∣(2,0,l),C(0,2,0),C.(0,2,1),jɑ'0'3

故而=(0,0,1),k=(一2,2,0),TG=(-2,2,1),AE=H°，B

设平面44∣GC的法向量为"ι=(x,y,z),

n∖'AA∖=0,(z=0.

则,即,

nlAC=0,∖-2x+2y^0.

令X=1,得y=l,故〃I=(1,1,0).

设平面ZEG的法向量为〃2=(〃，b9c),

—2α+2b+c=0,

nrAC↑=0,

则._即

-2a+~c=0.

nyAE=O,2

令c=4,得〃=1,b=-1.故〃2=(1,—1,4).

因为Win2=1×1+1×(-1)+0×4=0,

所以〃I_L〃2.所以平面平面AA∖C∖C.

2.如图所示，△45。是一个正三角形，EcL平面力3C,BD//CEf且CE=CA=2BD,〃是£4的中点.求

证：平面。E4_L平面EC4

【详解】证明建立如图所示的空间直角坐标系C一孙z,不妨设。=2,则CE=2,BD=T,

贝IJC(0,0,0),NM,∣,0),8(0,2,0),£(0,0,2),Z)(0,2,1).

所以法=(S,1,-2),%=(0,0,2),ED=(0,2,-1).

分别设平面Eal与平面。£4的法向量是"∣=(x∣,力，z∣),n2=(x2,y2,z2),

/ι∣∙EA=0,f∖∕3xι+vɪ—2z∣=0,k,∣=一ʌ/ɜɪɪ)

则,即「解得F

m-CE=0,Dzi=O,E