高中数学必修2课时素养评价9-4向量应用

课时素养评价九向量应用(20分钟35分)1.如图,在重600N的物体上有两根绳子,绳子与铅垂线的夹角分别为30°,60°,物体平衡时,两根绳子拉力的大小分别为()A.300QUOTEN,300QUOTEN B.150N,150NC.300QUOTEN,300N D.300N,300N【解析】选C.作▱OACB,使∠AOC=30°,∠BOC=60°.在▱OACB中,∠ACO=∠BOC=60°,∠OAC=90°,||=||·cos30°=300QUOTEN,||=||·sin30°=300N,||=||=300N.2.在四边形ABCD中,若=(1,2),=(4,2),则该四边形的面积为 ()A.QUOTE B.2QUOTE C.5 D.10【解析】选C.因为·=0,所以AC⊥BD.所以四边形ABCD的面积S=QUOTE||||=QUOTE×QUOTE×2QUOTE=5.3.人骑自行车的速度是v1,风速为v2,则逆风行驶的速度为 ()A.v1v2 B.v1+v2C.|v1||v2| D.QUOTE【解析】选B.由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1+v2.注意速度是有方向和大小的,是一个向量.4.已知点O,A,B不在同一条直线上,点P为该平面上一点,且=,则 ()A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的反向延长线上C.点P在线段AB的延长线上D.点P不在直线AB上【解析】选B.由=,得2=3,即2()=,即2==,即=QUOTE,所以点P在线段AB的反向延长线上.5.正方形OABC的边长为1,点D,E分别为AB,BC的中点,则cos∠DOE=________.

【解析】以OA,OC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系,如图所示,由题意知:=QUOTE,=QUOTE,故cos∠DOE==QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE6.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,设AC=m,BC=n.若D为斜边AB的中点,求证:CD=QUOTEAB.【证明】以C为坐标原点,边CB,CA所在的直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图所示,由题意得,A(0,m),B(n,0),则=(n,m),因为D为AB的中点,所以DQUOTE,=QUOTE.所以||=QUOTE,||=QUOTE,所以||=QUOTE||,即CD=QUOTEAB.(30分钟50分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.点P在平面上做匀速直线运动,速度v=(4,3)(即点P的运动方向与v相同,且每秒移动的距离为|v|个单位).设开始时点P的坐标为(10,10),则5秒后点P的坐标为 ()A.(2,4) B.(30,25)C.(10,5) D.(5,10)【解析】选C.设运动5秒后点P在点M(x,y)处,则=5v,所以(x,y)=(10,10)+5(4,3)=(10,5).2.已知△ABC满足=·+·+·,则△ABC是 ()A.等边三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.钝角三角形【解析】选C.由题意得,=·+·+·=·(+)+·=+·,所以·=0,所以⊥,即CA⊥CB,所以△ABC是直角三角形.3.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D为AC中点,则cos∠BDC= ()A.QUOTE B.QUOTE C.0 D.QUOTE【解析】选B.如图建立平面直角坐标系,则B(0,0),A(0,8),C(6,0),D(3,4),所以=(3,4),=(3,4).又∠BDC为,的夹角,所以cos∠BDC==QUOTE=QUOTE.4.如图,在△ABC中,O为BC中点,若AB=1,AC=3,∠BAC=60°,则||= ()A.1 B.2 C.QUOTE D.5【解析】选C.根据题意,O为BC的中点,所以=QUOTE(+),||2=QUOTE(+2·+)=QUOTE(12+2×1×3×cos60°+32)=QUOTE,所以||=QUOTE.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.已知i,j,k为共面的三个单位向量,且i⊥j,则(i+k)·(j+k)的可能取值有 ()A.1QUOTE B.1QUOTE C.QUOTE1 D.QUOTE+1【解析】选ACD.由i⊥j得i·j=0,又i,j为单位向量,则|i+j|=QUOTE=QUOTE,则(i+k)·(j+k)=i·j+(i+j)·k+k2=(i+j)·k+1=|i+j|cos<i+j,k>+1=QUOTEcos<i+j,k>+1,由1≤cos<i+j,k>≤1,得(i+k)·(j+k)的取值范围是[1QUOTE,1+QUOTE].6.已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若△OAB为直角三角形,则a与b的关系有可能是 ()A.b=a B.b=a3+QUOTEC.b=a3QUOTE D.b=a3【解析】选BD.由题意,知=(0,b),=(a,a3),=(a,a3b).因为△OAB为直角三角形,所以①若⊥,则·=0,即a3b=0,当b=0时,点O与点A重合;当a=0时,点O与点B重合,故a3b≠0,即OA与OB不垂直.②若⊥,则·=0,即b(a3b)=0,又b≠0,故b=a3.③若⊥,则·=0,即a2+a3(a3b)=0,又a≠0,故a3+QUOTEb=0,即b=a3+QUOTE.故当△OAB为直角三角形时,有b=a3或b=a3+QUOTE.三、填空题(每小题5分,共10分)7.如图所示,在倾斜角为37°(sin37°≈0.6),高为2m的斜面上,质量为5kg的物体m沿斜面下滑至底部,物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍,则斜面对物体m的支持力所做的功为________J,重力所做的功为________J(g=9.8m/s2).

【解析】物体m的位移大小为|s|=QUOTE≈QUOTE(m),则支持力对物体m所做的功为W1=F·s=|F||s|cos90°=0(J);重力对物体m所做的功为W2=G·s=|G||s|·sin37°≈5×9.8×QUOTE×0.6=98(J).答案:0988.若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足3=0,则△ABM与△ABC的面积之比为________.

【解析】如图,D为BC边的中点,则=QUOTE(+).因为3=0,所以3=2,所以=QUOTE,所以S△ABM=QUOTES△ABD=QUOTES△ABC.答案:1∶3四、解答题9.(10分)一架飞机从A地向北偏西60°方向飞行1000km到达B地,因大雾无法降落,故转向C地飞行,若C地在A地的南偏西60°方向,并且A,C两地相距2000km,求飞机从B地到C地的位移.【解析】方法一:由题意得||=1000km,||=2000km,∠BAC=60°,所以||2=||2=+||22||·||·cos60°=20002+100022×2000×1000×QUOTE=3×106,所以||=1000QUOTE所以||2+||2=||2,所以∠ABC=90°.取AC的中点D,由||=2||且∠BAD=60°,知的方向为正南方向,有∠ABD=60°,于是∠DBC=30°.所以飞机从B地到C地的位移的大小为1000QUOTEkm方法二:建立如图所示的平面直角坐标系,并取a=500,则=(2acos150°,2asin150°)=(QUOTEa,a),=(4aco