1.2数列的函数特性6常见考法归类

1.2数列的函数特性6种常见考法归类课程标准学习目标了解数列是一种特殊函数．了解数列的函数特性、数列的通项公式．(数学抽象)知识点01数列与函数可以把一个数列视作定义在正整数集(或其子集)上的函数，因此可以用图象(平面直角坐标系内的一串点)来表示数列，图象中每个点的坐标为(k，ak)，k＝1，2，3，….注：(1)数列是以正整数作为自变量的特殊函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法，即用共性来解决特殊问题．(2)要注意数列的特殊性(离散型)．因为数列的定义域是N＋(或它的有限子集{1，2，…，n})，所以数列的值域是一系列孤立的实数组成的集合．【即学即练1】(多选题)下列说法中正确的是()A．数列a，a，a，…是无穷数列B．数列{f(n)}就是定义在正整数集N＋或它的有限子集{1，2，3，…，n}上的函数值C．数列0，－1，－2，－3，…不一定是递减数列D．已知数列{an}，则{an＋1－an}也是一个数列【解析】A，D显然正确；因为数列{f(n)}是定义在正整数集N＋上或它的有限子集{1，2，3，…，n}上的函数an＝f(n)，当自变量从小到大依次取值时，对应的是一列函数值，所以B项不正确；对于C，数列只给出前四项，后面的项不确定，所以不一定是递减数列．故选ACD.答案：ACD知识点02数列的增减性1．递增数列：一般地，一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即an＋1>an，那么这个数列叫作递增数列．2．递减数列：如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即an＋1<an，那么这个数列叫作递减数列．3．常数列：如果数列{an}的各项都相等，那么这个数列叫作常数列．注：数列增减性与函数增减性的区别数列是一种特殊的函数，其定义域是N＋(或N＋的有限子集)，自变量的取值是离散的，而函数的定义域通常是连续的，所以数列与函数的增减性有所不同．例如，函数f(x)＝x2－2x在其定义域上没有增减性．只能说f(x)在(－∞，1)上减少，在(1，＋∞)上增加，但对于数列{an}，若an＝n2－2n，则其一定是递增数列．【即学即练2】若数列an是递增数列，则an的通项公式可能是（A．an=−1C．an=2【答案】A【分析】根据数列通项公式的函数性质即可判断.【详解】对于A，∵an=−1n对于B，an=n2−8n=(n−4)2当n>4时，数列an对于C，an=1对于D，an=−n故选：A【即学即练3】已知数列{an}的通项公式为an＝neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n，则数列{an}中的最大项为()A.eq\f(8,9)B．eq\f(2,3)C.eq\f(64,81) D．eq\f(125,243)【解析】法一(作差比较法)：an＋1－an＝(n＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n＋1－neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n＝eq\f(2－n,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n，当n<2时，an＋1－an>0，即an＋1>an；当n＝2时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n>2时，an＋1－an<0，即an＋1<an.所以a1<a2＝a3，a3>a4>a5>…>an，所以数列{an}中的最大项为a2或a3，且a2＝a3＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(8,9).故选A.法二(作商比较法)：eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n＋1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n＋1,n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n)＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))，令eq\f(an＋1,an)>1，解得n<2；令eq\f(an＋1,an)＝1，解得n＝2；令eq\f(an＋1,an)<1，解得n>2.又an>0，故a1<a2＝a3，a3>a4>a5>…>an，所以数列{an}中的最大项为a2或a3，且a2＝a3＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(8,9).故选A.【即学即练4】已知数列{an}的通项公式为an＝2n2＋tn＋1，若{an}是单调递增数列，则实数t的取值范围是()A．(－6，＋∞) B．(－∞，－6)C．(－∞，－3) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，＋∞))【解析】法一：因为{an}是单调递增数列，所以对于任意的n∈N*，都有an＋1>an，即2(n＋1)2＋t(n＋1)＋1>2n2＋tn＋1，化简得t>－4n－2，所以t>－4n－2对于任意的n∈N*都成立，因为－4n－2≤－6，所以t>－6.故选A.法二：设f(n)＝2n2＋tn＋1，其图象的对称轴为n＝－eq\f(t,4)，要使{an}是递增数列，则－eq\f(t,4)<eq\f(1＋2,2)，即t>－6.故选A.知识点03数列的周期性周期数列的常见形式①利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数；②相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差；③相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列．【即学即练5】数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq\f(1,1－an)(n∈N*)，则a2018＝()A．－2 B．－1C．2 D．eq\f(1,2)【解析】数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq\f(1,1－an)(n∈N*)，∴a2＝eq\f(1,1－2)＝－1，a3＝eq\f(1,1－－1)＝eq\f(1,2)，a4＝eq\f(1,1－\f(1,2))＝2，…，可知此数列有周期性，周期T＝3，即an＋3＝an，则a2018＝a672×3＋2＝a2＝－1.故选B.【即学即练6】数列{an}满足an＋1＝eq\f(1,1－an),a8＝2，则a1＝________.【解析】将a8＝2代入an＋1＝eq\f(1,1－an)，可求得a7＝eq\f(1,2)；再将a7＝eq\f(1,2)代入an＋1＝eq\f(1,1－an)，可求得a6＝－1；再将a6＝－1代入an＋1＝eq\f(1,1－an)，可求得a5＝2；由此可以推出数列{an}是一个周期数列，且周期为3，所以a1＝a7＝eq\f(1,2).【即学即练7】已知数列an满足a1=2，an+1=A．−6 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】由题知数列an是以a【详解】解：因为an+1所以an+2所以an+4所以数列an是以a因为a1所以a2=−3，a3=−所以a1所以a1故选：D题型一：根据图象判断数列的增减性例1．（2023·全国·高二随堂练习）已知下列数列的通项，画出数列的图象，并判断数列的增减性．(1)；(2)．【答案】(1)数列为递减数列，图见解析(2)数列为递增数列，图见解析【分析】描点法作图，根据及图像可判断【详解】（1），且，，数列为递减数列，如图：（2），，数列为递增数列，如图：变式1．（2023·全国·高二随堂练习）已知数列的通项公式是，画出该数列的图象．并根据图象，判断从第几项起，这个数列是递增的．【答案】见解析【分析】利用描点法画图，结合图象分析单调性即可.【详解】列表如下：12345678……303028241810012……作图如下：如图所示，易知数列首项与第二项相同，从第二项开始每一项都大于前一项，即从第二项开始递增.变式2．【多选】（2024上·云南昭通·高二昭通市第一中学校联考期末）已知函数，设数列的通项公式为，则对于数列，下列说法正确的是（

）A．该数列的图象是二次函数的图象B．该数列是递减数列C．该数列从第3项往后各项均为负数D．该数列有两项为1【答案】BC【分析】由数列图象、二次函数图象特点判断A；根据二次函数的单调性判断B、C、D.【详解】对于A：由数列图象各点为离散的（非连续），故数列的图象不是二次函数的图象，错；对于B：由题设，对应二次函数开口向下，在上递减，对；对于C：由，结合数列单调递减，故从第3项往后各项均为负数，对；对于D：由C分析知：只有，错.故选：BC【方法技巧与总结】画数列图象通常用描点法，与画函数图象的描点法有类似之处，其步骤是：(1)列表；(2)描点．但要注意描点后不能连线，这是由于数列的定义域是N＋.题型二：判断数列的增减性例2．（2023上·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考阶段练习）下列数列是递减数列的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用函数方法依次判断每个选项数列的增减性得到答案.【详解】对选项A：为递增数列；对选项B：为递减数列；对选项C：，先增后减数列；对选项D：，先减后增数列.故选：B.变式1．（2023下·高二课时练习）写出数列，…的一个通项公式，并判断它的增减性．【答案】（答案不唯一），是递减数列【分析】通过观察得出数列的一个通项公式，利用差比较法判断出增减性.【详解】数列为，所以数列的一个通项公式为，由，所以，所以是递减数列.变式2．（2023上·江苏·高二专题练习）已知数列的通项公式（），试判断该数列的增减性，并说明理由．【答案】递减数列，理由见解析【分析】计算，化简判断符号，得数列的单调性.【详解】数列为递减数列．理由如下：，因为在上是递减的，所以当时，，又，，所以，数列是递减数列．【点睛】可以用作差法比较和的大小来判断数列的单调性.变式3．（2023上·甘肃白银·高二甘肃省靖远县第一中学校联考期中）若数列不是单调递增数列，但数列是单调递增数列，则称是T数列．下列数列不是T数列的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，由T数列的定义，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】当时，是单调递减数列，，因为，当时，单调递增，所以是单调递增数列，所以是T数列，故A错误；当时，易知不是递增数列，因为，所以是单调递增数列，所以是T数列，故B错误；因为，所以是递减数列，因为，且是单调递增数列，所以是T数列，故C错误；当时，，所以不是单调递增数列，不是T数列，故D正确.故选：D变式4．（2023上·高二课时练习）判断下列数列的单调性：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)单调递减(2)单调递增(3)单调递增(4)单调递减【分析】数列是特殊的函数，所以可以根据函数的单调性判断数列的单调性，（1）（2）（3）由对应的函数单调性判断即可，（4）利用作差比较法判断.【详解】（1）根据函数单调递减知，单调递减，所以数列是单调递减数列.（2）由为增函数知，单调递增，所以数列是单调递增数列.（3）由在上单调递增知，单调递增，所以数列是单调递增数列.（4）因为，所以，当，时，，所以，即，所以，所以数列是单调递减数列.【方法技巧与总结】判断数列增减性的方法(1)根据给出的通项公式画出图象，观察图象的变化趋势；(2)作差法：用数列的后一项减去前一项，an－an－1(n≥2，n∈N＋)或an＋1－an，若结果为正，则是递增数列，若结果为负，则是递减数列；(3)作商法：在确定an为正或为负的情况下，作商，比较商值与1的关系，从而确定数列的单调性；(4)借助数列通项公式对应函数的单调性进行判断.题型三：根据数列的单调性求参数例3．（2024上·上海·高一校考期末）若（为正整数）是严格减数列，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，转化为对于恒成立，进而得到对于恒成立，即可求解.【详解】由数列是严格减数列，所以对于恒成立，又由，可得，即对于恒成立，又由，所以.故选：C.变式1．（2023上·浙江·高三校联考阶段练习）已知，则“”是“数列是递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条C．充要条件件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】作差，利用二次函数性质可判断充分性；取可判断必要性.【详解】充分性：，因为的对称轴为，所以在单调递增，所以的最小值为，因为，所以，所以，即数列是递增数列.“”是“数列是递增数列”的充分条件.必要性：显然，当时，为递增数列.“”是“数列是递增数列”的不必要条件.综上，“”是“数列是递增数列”的充分不必要条件.故选：A变式2．（2023下·广西桂林·高二统考期末）数列的通项公式为，那么“”是“为递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】当时，可得，知充分性成立；由数列单调性可知，从而得到，由此可得，知必要性不成立，由此可得结论.【详解】当时，，数列为递增数列，充分性成立；当数列为递增数列时，，恒成立，又，，必要性不成立；“”是“为递增数列”的充分不必要条件.故选：A.例4．（2023上·湖北荆州·高三公安县车胤中学校考阶段练习）已知数列通项公式为，若对任意，都有则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分段情况下，对任意，都有，只需保证每一段递增，且，结合数列的单调性求解.【详解】当时，，由，得，即，∵且，，∴，解得.当时，单调递增，若对任意，都有，则且，即且，解得，则实数的取值范围是.故选：B.变式1．（2023上·四川·高三校联考阶段练习）已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用一次函数与指数函数的性质，结合数列的增减性得到关于的不等式组，解之即可得解.【详解】因为数列是递增数列，且，所以，解得，则的取值范围是．故选：D．【方法技巧与总结】由数列单调性求参数取值范围时，特别要注意结合相邻项的关系，得到关于参数和的不等量关系式，再通过分离参数得出参数的范围.题型四：数列中的最值例5．【多选】（2023上·山东枣庄·高二滕州市第一中学新校校考阶段练习）已知在数列中，，则数列的最小项是（

）A．第1项 B．第2项 C．第3项 D．第4项【答案】BC【分析】根据二次函数的性质求得正确答案.【详解】依题意，，函数的开口向上，对称轴为，由于，所以当或时，取得最小值.故选：BC变式1．（2023·全国·高二随堂练习）已知，画出该数列的图象，并求数列的最小项．【答案】详见解析【分析】利用描点法画图，结合图象求数列最小项即可.【详解】列表如下：12345678……101924252215411……作图如下如图所示，当时，，是数列最小项.变式2．（2023上·高二课时练习）已知数列的通项公式是，判断该数列的单调性，并求出这个数列的最小项．【答案】答案见解析【分析】写出通项公式的分段形式，直接判断数列单调性，进而确定最小项.【详解】令，则，故时，所以，故该数列的先递减后递增，又，故数列最小项为第三、四项为.变式3．（2023下·辽宁辽阳·高二统考期末）在数列中，，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】，利用对勾函数的单调性，可得，从而可得答案.【详解】由题意可得．根据对勾函数与复合函数的单调性，在上递增，在上递减，所以在中，，当时，，；当时，．因为，所以，所以的最大值是．故选：D.变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式为，其最大项和最小项的值分别为（）A．1， B．0， C．， D．1，【答案】A【分析】利用的单调性可得答案.【详解】因为，所以当时，，且单调递减；当时，，且单调递减，且，所以最小项为，最大项为.故选：A.变式5．（2023上·湖北省直辖县级单位·高二校考期中）已知数列的通项公式为，则数列中的最大项的项数为（

）A．2 B．3 C．2或3 D．4【答案】C【分析】利用差比较法确定正确答案.【详解】；；，，当时，，所以，所以数列中的最大项的项数或.故选：C变式6．（2023下·上海虹口·高二上外附中校考期中）已知数列，下列说法正确的是（

）A．有最大项，但没有最小项 B．没有最大项，但有最小项C．既有最大项，又有最小项 D．既没有最大项，也没有最小项【答案】C【分析】将分奇偶项分别作差，判断出奇数项和偶数项的单调性，从而可得结果.【详解】数列,当时，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，故此时有最大项为；当时，，，，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，故此时有最小项为，综上，既有最大项，又有最小项.故选：C变式7．（2023上·高二课时练习）已知数列的通项公式为，试判断数列的单调性，并判断该数列是否有最大项与最小项．【答案】详见解析【分析】由判断判断单调性后即可得最值.【详解】解：，当时，，即，当时，，即，当时，，即，所以在时单调递增，在时单调递减；所以数列的最大项为，又，当，，所以数列的最小项为.变式8．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，，则数列的最大项的值是．【答案】4【分析】根据已知条件判断出和的大小，得出数列的单调性即可求解.【详解】根据以及，可知，所以①，则②，由②①得，即，因为，所以与同号，又因为，且，所以，所以数列为单调递减数列，所以因此数列的最大项是，其值是4．故答案为：4.【方法技巧与总结】1．数列{an}中，若存在m∈N＋，对任意n∈N＋都有am≥an恒成立，则am为数列{an}中的最大项；若存在t∈N＋，对任意n∈N＋都有at≤an恒成立，则at为数列{an}中的最小项.2．求数列的最大(小)项，其实质就是求相应函数的最大(小)值，但要注意数列中的n∈N＋.3．求数列最大(小)项的方法主要有两种：(1)根据数列{an}的增减性求最大(小)项；(2)利用不等式组an−1≤a题型五：数列中的恒成立问题例6．（2023·高二课时练习）数列的通项公式为，(1)若恒成立，求实数的取值范围；(2)数列仅第7项最小，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）是关于的二次函数，求出对称轴，找到对称轴与角标的关系，求得结果；（2）与（1）类似，注意对称轴与角标的关系中的等号问题.【详解】（1）由，，对称轴，因为不等式恒成立，所以，所以.（2）由，对称轴，因为数列仅第7项最小，所以，解得.变式1．（2023·全国·高三对口高考）若不等式对于任意正整数恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】对分奇偶讨论，利用最值求解即可得解.【详解】当为正奇数时，，即恒成立，因为，所以，所以，所以；当为正偶数时，恒成立，因为，所以，所以,所以.综上所述：.故选：D变式2．（2023下·江西南昌·高二南昌市铁路第一中学校考阶段练习）已知数列的通项公式为，若满足，且，对任意恒成立，则实数的取值范围是.【答案】【分析】利用等差数列前项和公式与二次函数的关系即可得到不等式组，解出即可.【详解】由题意，数列的通项公式为，满足，且，对任意恒成立，当时，显然不合题意，根据二次函数性质可得，解得，实数的取值范围是，故答案为：.变式3．（2022下·浙江杭州·高二统考开学考试）通项公式为an＝an2＋n的数列{an}，若满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，且an＞an＋1对n≥8恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题设条件判断出，再结合对称轴可得实数a的取值范围.【详解】因为，则，故，而对任意的恒成立，故且，即，故选：A.题型六：数列的周期性例7．（2023上·贵州六盘水·高三校联考阶段练习）已知数列满足，，则（

）A．2 B． C． D．2023【答案】A【分析】由递推式得到数列的周期，利用周期性确定.【详解】由，，，……，所以是周期为3的数列，故.故选：A变式1．（2023上·北京丰台·高三统考期中）数列满足，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意，列出数列的前几项，得到数列为周期数列，然后根据周期性求.【详解】因为数列满足，所以，，，，则是以4为周期的周期函数，所以，故选：C.变式2．（2023上·高二课时练习）已知数列，若，，且（为正整数），则数列的第项为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据递推关系式可证得数列是以为周期的周期数列，得到；由递推关系求得即可.【详解】，，，数列是以为周期的周期数列，，又，，，，，.故选：D.变式3．（2023上·江苏无锡·高三统考开学考试）已知数列满足．若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】逐项计算找到数列的周期即可.【详解】由题意，，，，，…故数列周期为4，则.故选：B【方法技巧与总结】解决此类题目的一般方法根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和．一、单选题1．（2023下·海南儋州·高二校考期中）下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（）A．1，，，，… B．，，，C．，，，，… D．1，，，…，【答案】C【分析】由无穷数列的概念，数列的单调性利用排除法判断．【详解】A，B都是递减数列，D是有穷数列，只有C符合题意．故选：C．2．（2023上·福建龙岩·高二福建省连城县第一中学校考阶段练习）设数列中，，（且），则（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】通过递推式求出数列的周期，然后利用周期性求值即可.【详解】因为，（且），所以，，，，，，所以数列是周期为3数列，所以.故选：C.3．（2023·贵州·清华中学校联考模拟预测）数列的通项公式为，则“为递增数列”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据为递增数列，得到，进而求出，得到答案.【详解】，为递增数列，故，故，由于，故，因为，，故“为递增数列”是“”的必要不充分条件.故选：B4．（2023下·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期中）已知在数列中，，，则数列的周期为

（

）A．3 B．6 C．9 D．15【答案】B【分析】构造数列，通过正切函数的周期性可得.【详解】由联想到两角和的正切公式，把换为，则，，，；所以，即.所以数列的周期为6.故选：B.5．（2023下·江西九江·高二校考阶段练习）已知数列中，，它的最小项是（

）A．第四项 B．第五项 C．第六项 D．第四项或第五项【答案】D【分析】利用二次函数的图象与性质即可得到答案.【详解】因为，所以设，其对称轴为，且开口向上，又因为，所以的最小项为第四项或第五项.故选：D.6．（2023上·江苏·高三校联考阶段练习）已知数列满（），且对任意，恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据数列单调性结合二次函数的性质分析求解.【详解】由题意可知：，且开口向上，对称轴为，可得，解得，所以实数的取值范围为.故选：D.7．（2023上·江苏南京·高三南京市江宁高级中学校联考期中）已知数列通项公式为，若对任意，都有，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据数列的单调性，即可根据对恒成立，以及求解.【详解】当时，恒成立，所以对恒成立，故，又当时，为单调递增的数列，故要使对任意，都有，则，即，解得，综上可得，故选:C8．（2021·陕西西安·统考一模）对于数列，若存在正整数，使得，，则称是数列的“谷值”，k是数列的“谷值点”．在数列中，若，则数列的“谷值点”有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个【答案】B【分析】由数列通项公式写出前n项，结合数列“谷值点”的定义判断{an}的“谷值点”.【详解】由an＝，则，，，当时恒有，则，此时递增，综上，故数列的“谷值点”为2、7，共2个.故选：B.二、多选题9．（2023上·甘肃临夏·高二校考期末）下列数列的通项公式中，是递增数列的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根据数列单调性定义，验证的正负即可.【详解】对于A，，数列为递减数列，A错误；对于B，，数列为递增数列，B正确；对于C，，数列为递增数列，C正确；对于D，，，当为偶数时，，数列不是递增数列，D错误.故选：BC.10．（2024·全国·模拟预测）数列中，若存在最大值，则数列的通项可以是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根据数列的单调性和正负变号的位置并结合的性质逐项分析即可.【详解】对A，若，则，无最大值，所以A错误；对B，若，则，，，，所以当时，，又，，所以当时，有最大值，所以B正确；对C，若，则单调递减，又，，，所以当时，有最大值，所以C正确；对D，若，则，，，，所以当时，，又，所以当或2时，有最大值，所以D正确．故选：BCD．11．（2023上·山东潍坊·高三统考期中）已知正项数列满足：，则（

）A． B．是递增数列C． D．【答案】BCD【分析】利用递推公式计算，由结果判断是递增数列，再把的结果进行放大和缩小可判断C,D选项.【详解】由得，即，解得，因为正项数列，所以，故A错误；因为，又正项数列，所以，即，因此是递增数列，故B正确；由上可知，，所以，即，故C正确；因为，即，所以，，，…，，因此，，即，故D正确.故选：BCD.12．（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）已知数列的通项为，，则（

）A．数列的最小项为 B．数列的最大项为C．数列的最小值为－0.8 D．数列的最大值为2.4【答案】BCD【分析】由判断选项AB，由判断选项CD.【详解】解：，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减，又，，，所以数列的最大项为，无最小项，故A错误，B正确；，当时，单调递减，；当时，各项为正且单调递减，所以数列的最小值为，数列的最大值为，故CD正确，故选：BCD13．（2023上·江苏·高二淮阴中学校联考阶段练习）设是无穷数列，若存在正整数，使待对任意，均有，则称是“间隔递增数列”，是数列的“间隔数”，下列选项正确的是（

）A．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B．已知，则数列是间隔递增数列C．已知，则数列是间隔递增数列且最小间隔数是2D．已知，若数列是间隔递增数列且最小间隔数是3，则【答案】BCD【分析】根据间隔递增数列的定义，通过计算，根据其正负取值情况来判断各个选项.【详解】对于A：设等比数列的公比为，则，因为，所以当时，，故A错误；对于B：，对于函数，明显其在上单调递增，则，当，即时，，B正确；对于C：，当为奇数时，，存在，使成立，当为偶数时，，存在，使成立，综上，数列是间隔递增数列且最小间隔数是2，故C正确；对于D：若数列是间隔递增数列且最小间隔数是3，则对恒成立，即，解得，又该不等式的解为所以，解得，可以得到，D正确；故选：BCD.三、填空题14．（2023上·河南濮阳·高二范县第一中学校联考阶段练习）已知数列，，为递减数列，则的取值范围是．【答案】【分析】根据递减数列的定义列出不等式，解不等式即可.【详解】由题意可知，解得，故答案为：15．（2024上·天津南开·高二统考专题