2023-2024学年湖北省襄阳市高二年级下册开学考试数学模拟试题1（含答案）

2023-2024学年湖北省襄阳市高二下册开学考试数学模拟试题

一、单选题

1.已知函数/(x)=∕+hιr,若妈川+2鼠二/⑴=_2,则m=()

A.—1B.—2C.—3D.—5

【正确答案】B

【分析】求出尸(X)=〃a"-+一,再利用导数的定义可得r(ι)=τ,进而代入r(x)求解即

可

【详解】因为/(x)=∕+lnr,贝IJr(X)=侬"一+%所以

Um""2©)一/。)..""2AX)T⑴=2/⑴7,故/'(1)=7,故机+1=7,解

得加=—2

故选：B.

2.己知平面ɑ的一个法向量7=(-2,-2,1),点A(T,3,2)在α内，则平面外一点P(-2,l,2)到

平面ɑ的距离为()

Q

A.4B.2C.-D.3

3

【正确答案】B

∖n-PA∖

【分析】利用点P到平面α的距离公式〃=%√即可得解.

H

【详解】因为P(-2,l,2),A(T,3,2),

所以PA=(1,2,0),

又7=(-2,-2,1)是平面ɑ的一个法向量,

∖n∙PA[∣-2-4÷0∣6

所以「至恒的距离为"=T=*m=j2∙

故选：B.

3.若双曲线C『Igo)的一条渐近线被圆(x-2),+y2=4所截得的弦长为华，则

双曲线C的离心率为()

c

A∙巫B.叵∙I

33D3

【正确答案】C

【分析】首先确定双曲线渐近线方程，结合圆的方程可确定两渐近线截圆所得弦长相等；利

用垂径定理可构造方程求得〃的值,进而根据离心率e可求得结果.

【详解】由双曲线方程得：渐近线方程为y=±5χ:

由圆的方程知:圆心为（2,0）,半径厂=2；

y=]χ与y=-∙^χ图象关于X轴对称，圆的图象关于X轴对称,

两条渐近线截圆所得弦长相等，

不妨取>=3χ,即办—2y=0,则圆心到直线距离“=,

2√α+4

二弦长为2万彳=2、4-*-="，解得："=]，

Va2+452

双曲线离心率e=J+；J+4=∣.

故选：C.

4.已知数列｛%｝满足“向一为=2〃-11,且4=10,则的最小值是（）

A.-15B.-14C.-11D.-6

【正确答案】A

【分析】根据已知条件得出最小项为4,利用迭代的思想即可求得4.

【详解】’.∙4"+∣-α,,=2"-ll,，当"≤5时，an+l-an<0,当〃>5时，antl-an>0,

：.q>a2>a3>a4>a5>a6<a7<ai<--,显然α,的最小值是

又4+∣-α,,=2"-ll,Λα6≈01+(iz2-0l)+(¾-¾)+(¾-03)+(α5-α4)+(06-05)

=10+(-9)+(-7)+(-5)+(-3)+(-1)=-15,即见的最小值是T5.

故选：A

5.已知圆勒^+丫2-入+25=0与圆6父+/+外-4=()的公共弦所在直线恒过定点尸且

点尸在直线加r-ay-2=0上（zn>0M>0）,则〃明的最大值是（）

【正确答案】D

【分析】根据圆Ci和C?的方程得到公共弦所在的直线方程，可得点P(2,-2),进而可得

m+n=∖,再利用基本不等式即可得到的最大值.

2

【详解】由圆C1√+y-kx+2y=0,圆C2：x?+y?+0-4=0,

得圆G与圆C?的公共弦所在直线方程为:MX+y)-2y-4=0,

,[x+y=0(x=2.、

由，'4n'解得即尸2,—2,

[一2>-4=0[y=-2

又P(2,—2)在直线〃优一九〉一2二0上,

2/?7+2/7—2=0,即优+〃=1,

所以加〃4(*丫=工，当且仅当〃?=〃=1时等号成立，

I2J42

二〃附的最大值为，.

4

故选:D.

6.设A，4分别为椭圆Uy2+K=ι(0<”<ι)的上、下顶点，若在椭圆C上存在点P,满足

n

NAIPA2=120。，则实数”的取值范围为()

ʌ-(或b∙H.

C∙MD.加

【正确答案】A

【分析】求出点A,A2的坐标，设点P(X。,%),利用余弦定理建立关系，结合椭圆范围求解

作答.

【详解】依题意,A(0,1),A2(0,-1),设点解%,%),O<∣xo∣≤√^,W=I-K■,

n

IPAI=&+(%-1)2,1尸41=&+(%+1)2,1A41=2，4%中，由余弦定理得：

222

IPA11+∣PAI+∣PAIl^4I=IAAI,整理得2片+2y：+2+，（片+y：+1y—4y：=4,

则[（1」）*+2]2-4（1」片）=4（1」）2只，化简得：3（l-⅛x≡=4,即（1-%∙”≥J

nnnnn3

于是得I-W"+l≥0,即5-3）5—1）≥O,ffijθ<n<l,解得0<〃41，

333

所以实数〃的取值范围为（0,g].

故选：A

7.如图，在平行六面体ABC。-ABIGA中，Λ/是ACI与片口的交点，若43=α,AD=b»

χ

AAi=c,SMB=xa+yb+zc,则∙+y+z等于（）

A.IB.—C.0D.—1

2

【正确答案】D

【分析】以｛"*,c｝为一组基底可表示出M8,从而求得MN*的值，进而得到结果.

【详解】

MB=MB,+B1B=^DtBt-AAt=^DB-AAi=|（AB-AD）-Λ4,

=-AB--AD-AA.=-a--b-c,

2222

故选：D.

8.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.用他的名字定

义的函数称为高斯函数/(x)=[x],其中国表示不超过X的最大整数，已知数列｛4｝满足

IOOO

，的前“项和，则

q=2,a2=6,all+2+5all=6a,,+l,若以=［噫4用］,为数列[S2raJ

⅛∣,

（）

A.999B.749C.499D.249

【正确答案】A

【分析】构造法判断｛%小叫为等比数列，｛%M-5%｝为常数列，进而可得。用=5"+1,再

由〃<logs(5"+l)<”+l,结合新定义有2=〃，最后利用裂项相消法求，烹丫的前〃项

和.

【详解】由限+5an=6an+t,得an+2-an+l=5(¾+l-⅛),又见-4=4,

所以数列｛%”-q｝是以4为首项，5为公比的等比数列，则%M-4=4∙5∙T①，

a+5a6a5a5a

由n+2n=¾+1得：,,+2-^1÷.=,^~,,，又%一5%=-4，

所以数歹UK,-5απ｝是常数列，则%-50,,=T②，

由①②联立得。向=5"+L

πM

因为5"<5"+1<5X5",所以Iog55"<log5(5+l)<Iog5(5x5"),即〃<Iog5(5+l)<n+l,

所以2=[loga]=[Iog（5"+川=",故翳=/黑）=IOOO

5n+l5n77+1

3），则[SM]=999.

所以S24=l∞θ+•••+10001-

2020242025

故选：A

二、多选题

9.公差为"的等差数列｛a,J满足生=5,4+4=30,则下面结论正确的有()

A.J=2B.an=2n+∖

,的前〃项和为而可

【正确答案】ABD

【分析】根据等差数列的通项公式求得卜结合等差数列的性质即可判断A、B；

利用裂项相消求和法即可判断C、D.

【详解】由题意得，

M=5,+"=5

[¾+¾=30,12%+12"=3(√

解得[?=：，所以4=2〃+1,故A、B正确：

[a=2

得-1=2n[2n+2)=4n(n+1),

11111

故21=d/4.1、----17)，故C错误；

an-14"("+l)4n∕t+l

所以数列｛—7｝的前〃项和为

an-1

IIll11、1八1、n一一

-τz(l-τ∙+τ∙-τ++---------7)=Ta------7)=77—TT»故D正确.

4223nn÷l4〃+14(〃+1)

故选：ABD.

10.如图，平行六面体ABCD-AgGA,其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6,且它

们彼此的夹角都是60,下列说法中正确的是()

A.∣AC1∣=6λ∕δ

B.AC11BD

C.向量BC与AA的夹角是6。.

D.异面直线8。与AC所成的角的余弦值为好.

3

【正确答案】AB

【分析】根据题意，引入基向量，分别用基向量表示A6,3D,4C,AA,3A,AC,利用向量

求长度的计算公式，计算可得A正确；利用向量证垂直的结论，计算可得B正确；利用向

量求夹角公式，计算可得CD错误.

【详解】设AB=a,AD=b,A4,=c,因为各条棱长均为6,且它们彼此的夹角都是60,

所以。力=h.c=CQ=6χ6XCOS60=18,

因为AG=α+h+c,所以,

IAC]∣=J(α+b+c)=Ja2+/+>2+2"∙∕+2b∙)+2c∙α=13x36+3x2x18=ðʌ/ð，故A正

确;

由BD=b-a，所以AG∙BD=(Q+b+，•伍一〃)=/一。?+。/?-C∙4=36-36+18-18=0,

所以AG~L8D,故B正确;

因为4C=6-c,且网牛6,所以

(b-c∖c

b-c-c218-36所以其夹角为故错误;

COSBCAA=⅛~r-ɪ,120,C

li1-CHd6x6

因为BDl=c-d+b,AC=a+b,

∣BDl∣=J(C-4+"=√36+36+36-2×18-2×18+2×18=6√2.

∣ACj=J(a+bf=√36+36+2×18=6√3,

BDl∙AC=(右一。+〃)•(〃+人)=/?2-6f2+c∙^+c∙Z?=36-36+18+18=36,

3

(c-a-rb∖(a+b∖36λ∕6

所以8SB0,AC=^-----疔一吊，六,二=一，故D错误.

∣c-6f+∕2∣∙∣6f+/?|6√2×6√36

故选：AB.

S28

ɪɪ.己知S“为等差数列｛%｝的前"项和，4=1,TT=-,记2=(-1)"%=JgqJ,其

d5ɪɔ

中国是高斯函数，表示不超过X的最大整数，⅛∏[∣g0.9]=0,[Ig99]=l,则下列说法正确

的是()

111n

R----1-------1—∙H------=--------

A.an=n

5,其S,,n+∖

,

C.b]+AT-----FbiQQ=5050D.c1+c2+c3÷∙∙∙+CiooO=1893

【正确答案】ACD

【分析】根据等差数列的前〃项和公式和等差中项，可嵋再根据5和等差数列

通项公式，可求出等差数列｛为｝的公差为d,进而求出““=〃，即可判断选项A正确；根据

%=〃可得S,,=""，即--二]再利用裂项相消法即可求出1+!+…+2，

2

进而判断B是否正确；根据/=〃可得%,=4/,b2,,.l=-(2rt-l),可证数列｛5+处.J是

首项为3,公差为4的等差数列，又4+"+…+%10相当于数列｛%,+%/前50项和，由此

即可求出结果，进而判断C是否正确；根据q=〃可得q,=[lg"],分别求出正自然数〃在区

间[1,9],[10,99],[100,999]中的通项公式，以及”=1000时的值，+c2+c3+-+c,000,

即可判断D是否正确.

(a1÷α7)×7

【详解】由S"为等差数列也,｝的前〃项和，所以能=7~=等=看，即幺=4；

S5(4+%)X55a315的ɜ

2

又4=1,设等差数列｛a,,｝的公差为d,所以肾=K⅛=g,所以4=1，

所以故A正确；

由选项A可知SL号,所以台岛=211

nπ+l

，11ICLI

所以—I-----1-----1——2÷1_1+1.11__L

Sl52SdI22334nn+1

=21^⅛念,故B错误;

由选项A可知d=(T)"/,所以处=4心V∣=-(2∏-l)2,

所以三+⅛,-ι=4n2-(2n-l)2=4∕7-l,即数列｛邑+邑-｝是首项为3,公差为4的等差数列,

所以4+伪+…+AoO=(A+包)+(4+d)+∙∙∙+(%+⅛o)

=(3+4X50-1)x50=5050|故C正确；

2

由选项A可知c“=[lgα,,]=[lgn],

当〃且1,9]且〃∈N*时,c„=0；

当n∈[10,99]且"EN"时，c“=l；

当”[100,999]且〃eN*时，C“=2；

当"=IOOO时，%=3；

所以j+C2+C3+…+qωo=9x0+90*1+900x2+3=1893,故D正确.

故选:ACD.

12.已知抛物线C：V=2pχ(p>0)与圆O：Y+yJ5交于A,B两点，且|知=4,直线

/过C的焦点尸，且与C交于M,N两点，则下列说法正确的是()

A.若直线/的斜率为乎，贝IJlMNl=8

B.∣MF∣+2∣NF∣的最小值为3+2夜

c.若以心为直径的圆与y轴的公共点为(o,等)，则点”的横坐标为g

D.若点G(2,2),则AGAW周长的最小值为3+石

【正确答案】BCD

【分析】首先求出抛物线的解析式，设出M,N的坐标，联立进行求解，当机=√5时，

IMVl=I6,进而判断选项A错误；再根据韦达定理和不等式求最小值后进行判断选项B；

画出大致图象，过点〃作准线的垂线，垂足为M',交V轴于M-结合抛物线定义判断选

项C；过G作GH垂直于准线，垂足为结合AGBW的周长

IMGl+1MFl+∣GF∣=IMGl+1[+石≥∣G"∣+石=3+石，进而判断选项D即可.

【详解】由题意得点(1,2)在抛物线C:丁=2pχ上，

所以22=20,解得p=2,所以Uy?=©,则E(1,0),

设直线/"=my+l,与y2=4X联立得y2一4加)，-4=0,

4

设Λ∕(xl,χ),N(X2,必)，所以乂+必=4/，,%=-，

2=

所以∖MN∖=∖∣∖+m∣y1-y2|"+疗.J(X+%y-4%必=4(1+/)，

当机=6时，IMNl=I6,A项错误；

1111X+X+2

----------1---------=------------1-----------=---------------7i=-----------

∖MF∖∣Λ^F∣XI+1X2+1xlx2+x1+X2+1

_m(y∣+%)+4_4/+4_

(y,y.)2,、4m2+4,

联+〃?(i)+3

Io

则|3+2|Μ=(|炳+2|阳卜［向+向13+图+需≥3+2也

当且仅当IMFI=I+0,INFl=1+乎时等号成立，B项正确；

如图，过点M作准线的垂线，垂足为M',交)轴于M∣,

取的中点为。，过点。作y轴的垂线，垂足为Q,

则MM1//0F,。q是梯形OFMMl的中位线，

由抛物线的定义可得Ml-MMi=IMq-1,

所以瓯=处警I=当与粤I,

所以以〃产为直径的圆与y轴相切，

所以点(o,弓］为圆与>'轴的切点,所以点。的纵坐标为手，

又。为M尸的中点，所以点〃的纵坐标为"，

3

又点“在抛物线上，所以点M的横坐标为C项正确；

过G作GH垂直于准线，垂足为H,

所以AGfM的周长为IMGl+∣MF∣+∣G尸I=IMGl+∣MM<∣+√5≥∣GH∣+√5=3+√5,

当且仅当点M的坐标为(1,2)时取等号，D项正确.

故选：BCD.

三、填空题

13.已知圆d+y2+2x-4y-5=0与圆/+丁+2》一1=0相交于4、B两点，则公共弦AB的

长度是.

【正确答案】2

【分析】先求出公共弦的方程，再利用弦长公式可求公共弦的长度.

【详解】由题意A8所在的直线方程为：(Y+∕+2x-4y—5)-(l+/+2x—1)=0,

即y=T,因为圆/+y2+2χ-i=0的圆心O(T,0),半径为

所以圆心0(-1,0)到直线＞=-1的距离为1,所以I阴=2√Σ≡T=2.

故2

14.在数列｛q,｝中，4=1,4+2+(-1)%=2("6)记5“是数列｛4｝的前"项和，则

$20=----------

【正确答案】IlO

【分析】对«为奇数、«为偶数两种情况讨论，求出数列｛%｝前20项中奇数项和偶数项的和,

相加可得出§2。的值.

【详解】当"为奇数时，an+2-an=2,所以，数列｛4｝的奇数项成以1为首项，公差为2的

等差数列，

10×9×2

所以，al+a3++々20=10x1+----------=100；

当〃为偶数时，。”+2+an=2,

z6

所以，a2+a4++6⅛=(%+《)+(4+⅞)++(α∣8+⅛)=2x5=10.

因此，S20=100+10=110.

故答案为.110

15.已知函数"x)的导函数为了'(X),且满足关系式/(x)=W≡+3才(π)+lnr,则

Γ(π)=------------------

【正确答案】-1

2π

【分析】首先求导数，再代入X=兀，求解:（兀）.

【详解】由条件可知，r（x）=-sinx+3∕'（π）+',/'（兀）=-sinπ+V（π）+,,

Xπ

解得J'⑺=-4

2兀

U1

ι⅛--

2π

16.已知抛物线∕=2x上一点M（2,-2）,点A,B是抛物线C上异于M的两动点，且

MA-MB=O，则点M到直线AB的距离的最大值是.

【正确答案】2石

（分析】根据题意设出A,B的坐标和直线AB的方程,将点坐标代入抛物线方程,联立直线与

抛物线,结合平面向量数量积的坐标运算,由韦达定理即可求得直线AB的方程中加，”的等量

关系式.进而求得直线AB所过定点N的坐标,结合点与直线的关系,即可知当MN与直线AB

垂直时点M到直线AB的距离最大,由两点间距离公式即可求解.

【详解】抛物线y2=2x,A,8是抛物线C上异于M的两动点

设停

设直线AB的方程为x=my+n

X=tny+n、

则√=2x化简可得八2吁2〃=O

所以H+)'2=2机，»•必=-2",△=4m2+8〃>0

因为M(2,-2)

化简可得》+2)(必+2)[(—2)+4]=0

所以(χ+2)(%+2)=0或(y-2)(%-2)+4=0

展开化简可得y%+2(χ+%)+4=0或-2(y+%)+8=0

代入»+及=2m,y↑-y2=-2n可得

2m一〃+2=()或2加+〃-4=O

即〃=26+2或〃=一2根+4

因为A=4机2+8∕7>O恒成立

当〃=26+2时,代入可得Δ=4(∕n+2)2,当〃?=-2时Δ>0不恒成立,所以舍去

当〃=—2m+4时,代入可得A=4(机-2f+16>0恒成立

所以“=-2m+4

则直线AB的方程为X=冲-2〃?+4

即x-4-m^y-2)

所以直线AB过定点N(4,2)

当MN与直线AB垂直时,点M到直线A3的距离最大,且最大距离为

IMM=J(4-2)2+(2+2)2=26

故答案为：2逃

本题考查了直线与抛物线的综合应用,平面向量数量积的定义及坐标运算,点到直线距离的最

值求法,综合性强,属于难题.

四、解答题

17.已知函数f(x)=(lr)el

(1)求曲线y=∕(x)在点(1,7(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；

(2)过点A(α,0)作曲线y=(l-x)e'的切线，若切线有且仅有1条，求实数。的值.

【正确答案】(i)∣∙

⑵。=一3或1

【分析】(1)对/(X)求导，代入X=I分别得到纵坐标及斜率，最后求出直线，得到围成的

三角形面积；

(2)设出切点坐标，得到切线斜率，写出切线方程y-(l-M)e&=FeYX-七)，

代入A点坐标，化简得到*-(α+l)Λo+l=O,利用A=O得到答案.

【详解】ɑ)f'(x)=(l)ey=-*,令x=l,Γ(l)=-e,/(1)=(),

故曲线y=/(ɪ)在点(Ij(I))处的切线方程为y=-e(ɪ-i)，分别令X=O,y=0,

则y=e,X=I,则与两坐标轴交点为(1,0),(0,e),三角形面积为:∙l∙e=∙∣.

(2)设切点为(％,(I-XO)e&),由已知得y'=-xe*,则切线斜率左=f°e*。，

lb

切线方程为y-(l-%)e*=-⅞e(x-Λ0)

直线过点A(α,0),则一(I-XO)e"=Fe化简得片一(。+1)与+1=0

切线有且仅有1条，即△=(α+1)。-4=0,化简得a?+2α-3=0,

即(α+3)(α-l)=0,解得α=-3或1.

18.如图，四棱锥P-AfiCO的底面为正方形，PO_L底面AfiCD,设平面见。与平面PBC

的交线为I.

(1)证明：平面PQG

(2)己知P£)=4)=1,Q为/上的点，PQ=QA且PQ∙D4>0,求P8与平面QeD所成角的

正弦值.

【正确答案】(1)证明见解析

⑵正

3

【分析】(1)由4>∕∕BC,可推得"/3C,又易证BC工平面PDC,从而得平面PZX?;

(2)建系，利用向量的坐标运算，求解尸8与平面QCD所成角的正弦值即可.

【详解】(1)证明：BC//AD,BCςt平面PAZ),AOu平面上M>,

.∙.8C7∕平面尸A。，又BeU平面P8C,且平面RSc平面PBC=/,

.∖BC∕∕l,

又PDjL底面ABcD,BCU底面ASCZ),

.∙.BCLPD,又正方形ABC£),..BCLDC,

PDcDC=D,PCU平面PDC

.•.8C_L平面PDC,又8C/〃，

.∙.∕1.平面PDC：

(2)解：因为PZ)_L底面ABC。，CU面ABCZ),所以PD∙LDAP。，DC,又正方

形ABCZ)中，DAlDC

建立如图的空间直角坐标系，

D(0,0,0),A(l,0,0),3(1,1,0),C(0,l,0),P(0,0,l),

由于。为/上的点，尸。=DA且PQ∙D4>(),则Q(LO,1),则力Q=(l,0,l),PB=(1,1,-1),

OC=(0,1,0),

设平面。。的法向量为"=(χ,y,z),

n∙DC=y=0

则,令％=-1,则y=0,z=l,ʌ∏=(-1,0,1),

n∙DQ=x+z=0

-1-1√6

.∙.cosPB^=n∙PB=

HH√3×√2^^3-,

./8与平面QS所成角的正弦值为亚∙

3

19.若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的

方法不断构造出新的数列.现对数列1,2进行构造，第一次得到数列1,3,2：第二次得到

数列I,4,3,5,2；依次构造，第〃(〃eN*)次得到的数列的所有项之和记为a”

⑴求与4满足的关系式；

⑵求数列｛q｝的通项公式明；

1ɪ111

(3)证明：一+—+—++—‹-

ala1a3an3

【正确答案】⑴。川=3/—3；

(3)证明见解析.

【分析】(1)根据题干给出的规则,得到第〃次构造后数列的和与第〃+1次构造后数列和的关

系；

(2)已知相邻两项关系构造等比数列,进而得到数列｛4｝的通项公式；

(3)根据｛%｝的通项公式,应用放缩变成等比数列的前〃项和,应用公式计算即可.

【详解】(1)设第"次构造后得的数列为1,和W，，和2,

贝JIa“=3+X]+X2++x∣i<

则第”+1次构造后得到的数列为1,l+xl,*],x∣+W,巧，…，x*τ+x*,4，2+x*,2,

则4田=6+3(x∣+%+xk)=6+3(α,l-3)=3all-3,即α,,+∣与α“满足的关系式为

¾÷∣=3。“-3；

3(3、3Q

(2)由凡+1=34,,-3,可得4+1-/=3[&-/｝且4=6,则4_2=5

所以数列-1)是以I为首项，3为公比的等比数列，

+1

所以”〃一；3=Q]/，即4=V2Lf4-2；

121212

(4)—=-×--<-×-τ=-r.

-111

所ct以ιu一+—+—+

4

20.己知抛物线V=4百X的准线过椭圆E的左焦点,且椭圆E的一个焦点与短轴的两个端点

构成一个正三角形.

(1)求椭圆E的方程；

(2)直线y=g交椭圆E于AB两点,点P在线段AB上移动,连接OP交椭圆于",N两点,过P

作MN的垂线交X轴于。,求AMNQ面积的最小值.

【正确答案】(1)W+V=1

4

⑵走

2

【分析】(1)根据抛物线的准线求得椭圆的焦点,根据一个焦点与短轴两端点构成正三角形可

求得a,c,即可得椭圆方程.

(2)根据题意可判断直线MN斜率存在且不为0,设MN直线方程与椭圆联立求得PWNI,根据

PG，MN设出。点坐标,用斜率公式求得坐标,再用点到直线的公式求得三角形高,用面积公

式将面积写出,分离常数,变为积为定值的形式,再用基本不等式即可.

【详解】(1)解:由题知抛物线的准线为x=-√L

.*.C=ʌ/ɜ,

因为椭圆E的一个焦点与短轴的两个端点构成一个正三角形，

.*./?=l,tz=2,

故椭圆的标准方程为:三+丁=1；

4

(2)由⑴得椭圆的方程为E+V=l,

4

.MN的垂线交X轴于Q,

二MN的斜率存在，

连接OP交椭圆于",N两点，

.∙.MN的斜率不为0,

不妨设。：丁=此例

(X∣,X),N(Λ2,%),

则P⅛`V

y=kx

≡μ+√=r

4-

即(1+4F)X2-4=0,

ʌ-4

.∙.X,+X2≈0,Λ1∙X2=I+4^∙,

222

.∙.∖MN∖=∖∣∖+k∙^(xl+x2)^4x1∙x2=Λ∕1+⅛•

设加O),

PQ.LMN,

•k♦k=

•∙^PQAMN一

-----m

2k

解得：加=二+5,

2κ2

一1

(2k2

∙∙∙Q到直线MN的距离为:_12，

Jl+12l+⅛2

k2

，SMNQ=g'l+&2，

l+⅛2

√l+4⅛2

ɪ1+4^+3

4√l+4⅛2

ɪ

4

τ

≥ɪ-2>∕i+4k∙-i=J=

4V√l+4⅛2

.√3

2，

当且仅当'+W?=-J===,即&=±乎时取等,

故∕∖MNQ面积的最小值为走.

2

21.已知数列｛4｝满足:α,=l.∕∞n-(M+l)‰=«„«„+|>rt∈N∖且七≠0;等比数列｛〃｝满

足：4=(，⅛=¾÷∣+‰>∏∈N∙,且">。.

(D求数列｛%｝、也｝的通项公式；

(2)设数列|^｝的前〃项和为S“，若不等式(T)[舟)-2≤2对任意W都成立，求实数λ

的取值范围.

【正确答案】(1)。,,=三二(n∈N∙),"=R∙]("cN),

2n-∖13)

【分析】(1)将已知给的式子，通过两边同除〃(〃+1),然后再进行裂项，即可变成

7-------------=--------^的形式，通过累加即可完成一的求解，然后在求解耳，也为

("+l)α,,+∣nannn+1na,,'

等比数列，可设出公比带入已知条件，求解出公比即可利用等比数列通项公式求解力；

(2)利用第(1)问求解出得勺、2的通项公式，使用错位相减的方法求解S,,然后带入

(T)I舟)-4V2中，通过讨论奇偶即可完成求解.

【详解】(1)由〃4一(〃+1应用=。必用两边同除"(〃+1)得：=

n+1nn(n+l)

111

两边同除区得：--77--------1=，4、，

+nafln(n+l)

1111

则-------------=-------,

(H+iχ+1πann/?+1

11

所以为又4=1符合4二

2n-∖2n-∖

½¾=—ɪr(〃eN・)，

2n-∖

由2=2%∣+3&2得：l=2q+3∕,解得：q=；,

所以∕ζ=(g](n∈N").

b2n-l

⑵『ft丁

∙Y=lf+3∙({l+∙∙∙+(2"T)({∣

①

*=唱+3∙(J+…+所唱②

由①-②得:+2