中考数学二轮复习考点培优专练专题一 规律探究问题（原卷版）

专题一规律探究一、图形规律探究题例题1（2021·山东青岛·一模）相传古印度一座梵塔圣殿中铸有一片巨大的黄铜板，之上树立了3根宝石柱，其中一根宝石柱上插有中心有孔的64个大小两两相异的1寸厚的金盘，小金盘压着较大的金盘．如图，把这些金盘全部一个一个地从1柱移动到3柱上去，移动过程中不允许大金盘压小金盘，不得把金盘放到柱子之外．[问题提出]如果将这64个金盘按上述要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动多少次？设h（n）是把n个金盘从1柱移动到3柱过程中的最少移动次数．[问题探究]探究一：当n＝1时，显然h（1）＝1．探究二：当n＝2时，如图①．探究三：当n＝3时，如图②．(1)探究四：当n＝4时，先用h（3）的方法把较小的3个金盘移动到2柱，再将最大金盘移动到3柱，最后再用h（3）的方法把较小的3个金盘从2柱移动到3柱，完成，即h（4）＝（直接写出结果）．…(2)[初级模型]若将x个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动a次；将（x+1）个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动次（用含a的代数式表示）．(3)[自主探究]仿照“问题探究”中的方法，将6个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，至少需要多少次？（写出必要的计算过程．）(4)[最终模型]综合收集到的数据探索规律可知：将64个金盘按上述要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动次．(5)[问题变式]若在原来条件的基础上，再添加1个条件：每次只能将金盘向相邻的柱子移动（即：2柱的金盘可以移动到1柱或3柱，但1柱或3柱的金盘只能移动到2柱），则移动完64个金盘至少需要移动次．练习题1．（2021·山东蒙阴·三模）下列图形是由同样大小的围棋棋子按照一定规律摆成的“山”字，其中第①个“山”字中有7颗棋子，第②个“山”字中有12颗棋子，第③个“山”字中有17颗棋子，…，按照此规律，第⑥个“山”字中棋子颗数为（

）颗．A．32 B．37 C．22 D．422．（2021·重庆十八中模拟预测）下列图形都是由同样大小的黑点按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有3个黑点，第②个图形中一共有8个黑点，……，则第⑧个图形中黑点的个数是（）A．29 B．38 C．48 D．593．（2022·重庆·一模）如图，第①个图形中共有4个小黑点，第②个图形中共有7个小黑点，第③个图形中共有10个小黑点，第④个图形中共有13个小黑点，……，按此规律排列下去，则第⑥个图形中小黑点的个数为（

）A．19 B．20 C．22 D．254．（2021·山东省日照市实验中学二模）如图，将△ABC沿着过BC，AB的中点D，E所在的直线折叠，使点B落在AC边上的B1处，称为第一次操作，点D到AC的距离为h1；还原纸片后，再将△BDE沿着过BD，BE的中点D1，E1所在的直线折叠，使点B落在DE边上的B2处，称为第二次操作，点D1到AC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去，…，经过第n次操作后得到点Dn﹣1到AC的距离记为hn．若h1＝1，则hn值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2021·湖南师大附中博才实验中学一模）如图：上述图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中图1中有5个棋子，图2中有10个棋子，图3中有16个棋子，…，则图4中有_________个棋子．6．（2021·河南武陟·一模）如图，某图书阅览室摆放桌椅如下：按此规律摆放，2n+1（n是不小于4的自然数）人需要________张桌子．7．（2021·内蒙古东胜·二模）如图，在平面直角坐标系中，SKIPIF1<0将SKIPIF1<0绕A顺时针旋转得到SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0﹔将SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0顺时针旋转得到SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0将SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0继续顺时针旋转，此时SKIPIF1<0…按此规律继续旋转，直至得到点SKIPIF1<0为止，则SKIPIF1<0_________．8．（2021·山东博山·二模）德国数学家康托尔引入位于一条线段上的一些点的集合，做如下：取一条长度为1的线段三等分后，去掉中间段，余下两条线段，达到第1阶段；将剩下的两条线段分别三等分后，各去掉中间段，余下四条线段，达到第2阶段；再将剩下四条线段分别等三等分后，各去掉中间段，余下八条线段，达到第3阶段；…，一直如此操作下去，在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多．如图是最初几个阶段，当达到第n个阶段时（n为正整数），去掉的线段的长度之和为_____．（用含n的式子表示）9．（2021·台湾·模拟预测）凯特平时常用底面为矩形的模具制作蛋糕，并以平行于模具任一边的方式进行横切或纵切，横切都是从模具的左边切割到模具的右边，纵切都是从模具的上边切割到模具的下边SKIPIF1<0用这种方式，可以切出数个大小完全相同的小块蛋糕SKIPIF1<0在切割后，他发现小块蛋糕接触模具的地方外皮比较焦脆，以如图为例，横切2刀，纵切3刀，共计5刀，切出SKIPIF1<0个小块蛋糕，其中侧面有焦脆的小块蛋糕共有10个，所有侧面都不焦脆的小块蛋糕共有2个．请根据上述切割方式，回答下列问题，并详细解释或完整写出你的解题过程：（1）若对一块蛋糕切了4刀，则可切出几个小块蛋糕？请写出任意一种可能的蛋糕块数即可．（2）今凯特根据一场聚餐的需求，打算制作出恰好60个所有侧面都不焦脆的小块蛋糕，为了避免劳累并加快出餐速度，在不超过20刀的情况下，请问凯特需要切几刀，才可以达成需求？请写出所有可能的情形．10．（2022·山东青岛·模拟预测）问题提出：如图1，在SKIPIF1<0个小正方体组成的长方体中，最多能看到多少个小正方体？研究思路：直接研究这个问题较为复杂，我们可以将问题转化为用小正方体总数减去看不到的小正方体个数，以求得最多能看到的小正方体的个数．探究一：如图2，在SKIPIF1<0的正方体中，有SKIPIF1<0个小正方体看不到，所以最多能看到SKIPIF1<0个小正方体．探究二：在SKIPIF1<0的正方体中，有SKIPIF1<0个小正方体看不到，所以最多能看到SKIPIF1<0个小正方体．(1)探究三：在SKIPIF1<0的正方体中，有SKIPIF1<0个小正方体看不到，所以最多能看到个小正方体．(2)探究四：在SKIPIF1<0的正方体中，有个小正方体看不到，所以最多能看到个小正方体．（均化为最简形式）(3)问题解决：如图3，小明是魔方爱好者，他有一个七阶魔方（SKIPIF1<0的正方体），则他最多能看到个小正方体．(4)问题应用：若在SKIPIF1<0的正方体中最多能看到217个小正方体，求n的值．（写出解答过程）(5)探究五：在SKIPIF1<0的长方体中，有SKIPIF1<0个小正方体看不到，所以最多能看到个小正方体．(6)探究六：在SKIPIF1<0的长方体中，最多能看到个小正方体．（化为最简形式）(7)拓展延伸：小明在研究SKIPIF1<0的长方体时，他最多能看到a个小正方体，此时他看不到12个小正方体，则a有种可能取值，a的最小值是．11．（2021·山东青岛·三模）【问题提出】每对小兔子在出生后1个月就长成大兔子，而每对大兔子每个月能生出1对小兔子来，如果1个人在1月份买了1对小兔子，假设每对兔子均可成活，且具有繁殖能力，那么理论上12月份的时候他共有多少对兔子？(1)【问题探究】1月份，有1对小兔子；2月份，长成大兔子，所以还是1对；3月份，大兔子生下1对小兔子，所以共有2对；4月份，刚生下的小兔子长成大兔子，而原来的大兔子又生下1对小兔子，共3对；…依此类推，请填下表：月份1月份2月份3月份4月份5月份6月份7月份…12月份兔子对数1123…(2)【类比应用】树木生长的过程中，新生的枝条往往需要一段“休息”时间供自身生长，而后才能萌发新枝．一棵苗在1年后长出1条新枝，第2年新枝“休息”，老枝依旧萌发新枝；此后，老枝与“休息”过1年的同时萌发新枝，当年生的新枝则依次“休息”，这在生物学上称为“鲁德维格定律”．那么，10年后树上有条树枝．(3)【综合应用】如图①，一只蜜蜂从A处出发，回到家里B处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有种回家的方法；(4)如图②，在正五边形ABCDE上，一只青蛙从点A开始跳动，每次可以随意跳到相邻两个顶点中的一个上，跳到点D上就停止跳动．青蛙在6次之内（含6次）跳到点D有种不同的跳法．二、数字规律探究题例题2（2021·山东·青岛经济技术开发区第四中学一模）阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，排在第一位的数称为第一项，记为SKIPIF1<0，排在第二位的数称为第二项，记为SKIPIF1<0，依次类推，排在第SKIPIF1<0位的数称为第SKIPIF1<0项，记为SKIPIF1<0．所以，数列的一般形式可以写成：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用SKIPIF1<0表示．如：数列SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,…为等差数列，其中SKIPIF1<0,公差SKIPIF1<0．根据以上材料，解答下列问题：(1)等差数列SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,…的公差SKIPIF1<0为________，第SKIPIF1<0项是________．(2)如果一个数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等差数列，且公差为SKIPIF1<0，那么根据定义可得到：SKIPIF1<0,SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.由此，请你填空完成等差数列的通项公式：SKIPIF1<0（_____）d．(3)SKIPIF1<0是不是等差数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的项？如果是，是第几项？练习题1．（2021·山东济宁·中考真题）按规律排列的一组数据：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，□，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，其中□内应填的数是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2021·湖北十堰·中考真题）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（

）A．2025 B．2023 C．2021 D．20193．（2021·山东沂水·一模）观察下列两行数：0，2，4，6，8，10，12，14，16，…0，3，6，9，12，15，18，21，24，…探究发现：第1个相同的数是0，第2个相同的数是6，…，若第n个相同的数是102，则n等于()A．18 B．19 C．20 D．214．（2022·湖北房县·模拟预测）按一定规律排列的多项式：SKIPIF1<0，…，根据上述规律，则第2022个多项式是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2020·河北滦州·模拟预测）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．从图7中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（

）A．A1 B．B1 C．A2 D．B37．（2021·湖北鹤峰·模拟预测）观察下列一组数的排列规律：SKIPIF1<0那么这一组数的第2021个数__．8．（2021·山东费县·二模）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数---“好数”．定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数为“好数”，如426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2=6，6能被6整除；643不是“好数”，因为6+4=10，10不能被3整除，问百位数字比十位数字大5的所有“好数”有__________个．9．（2021·安徽·二模）观察下列各个等式：第1个等式：SKIPIF1<0÷SKIPIF1<0－0=1；第2个等式：SKIPIF1<0÷SKIPIF1<0－1=SKIPIF1<0；第3个等式：SKIPIF1<0÷SKIPIF1<0－2=SKIPIF1<0；……请用上述等式反映出的规律解决下列问题：（1）直接写出第5个等式；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的代数式表示），并证明你的猜想．10．（2021·重庆市永川区教育科学研究所一模）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，否则称这个正整数为“非智慧数”．例如：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；，等等．因此3，5，8，，都是“智慧数”；而1，2，4，，都是“非智慧数”．对于“智慧数”，有如下结论：①设SKIPIF1<0为正整数（SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0．∴除1以外，所有的奇数都是“智慧数”；②设SKIPIF1<0为正整数（SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0=．∴都是“智慧数”．(1)补全结论②中的空缺部分；并求出所有大于5而小于20的“非智慧数”；(2)求出从1开始的正整数中从小到大排列的第103个“智慧数”．11．（2021·山东禹城·二模）阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为SKIPIF1<0，排在第二位的数称为第二项，记为SKIPIF1<0，依次类推，排在第n位的数称为第n项，记为SKIPIF1<0．所以，数列的一般形式可以写成：SKIPIF1<0．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0．根据以上材料，解答下列问题：（1）等差数列5，10，15，…的公差d为__________，第5项是__________．（2）如果一个数列SKIPIF1<0，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……由此，请你填空完成等差数列的通项公式：SKIPIF1<0．（3）SKIPIF1<0是不是等差数列SKIPIF1<0的项？如果是，是第几项？（4）如果一个数列SKIPIF1<0是等差数列，且公差为d，前n项的和记为SKIPIF1<0，请用含SKIPIF1<0，n，d的代数式表示SKIPIF1<0，SKIPIF1<0_________．三、与代数计算有关的规律探究题例题3（2021·山东·利津县第一实验学校一模）探索发现：SKIPIF1<0＝1－SKIPIF1<0SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0－SKIPIF1<0SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0－SKIPIF1<0根据你发现的规律，回答下列问题：（1）SKIPIF1<0＝__________；SKIPIF1<0＝__________；（2）利用发现的规律计算：SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＋···＋SKIPIF1<0（3）利用以上规律解方程：SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＋···＋SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0练习题1．（2021·湖北鄂州·中考真题）已知SKIPIF1<0为实数﹐规定运算：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0．按上述方法计算：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的值等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2021·浙江余杭·一模）a是不为2的有理数，我们把SKIPIF1<0称为a的“哈利数”．如：3的“哈利数”是SKIPIF1<0＝﹣2，﹣2的“哈利数”是SKIPIF1<0，已知a1＝3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，a4是a3的“哈利数”，…，依此类推，则a2019＝（

）A．3 B．﹣2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2020·广西贺州·中考真题）我国宋代数学家杨辉发现了SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，1，2，3，…）展开式系数的规律：以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，SKIPIF1<0展开式的系数和是（

）A．64 B．128 C．256 D．6124．（2021·山东阳谷·一模）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了SKIPIF1<0的展开式的系数规律（按SKIPIF1<0的次数由大到小的顺序）1

1

SKIPIF1<01

2

1

SKIPIF1<01

3

3

1

SKIPIF1<01

4

6

4

1

SKIPIF1<0…

…

请依据上述规律，写出SKIPIF1<0展开式中含SKIPIF1<0项的系数是（

）A．-2021 B．2021 C．4042 D．-40425．（2021·湖北·华中科技大学附属中学一模）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和SKIPIF1<0的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”设SKIPIF1<0的展开式中各项系数的和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2020·湖南邵东·三模）a是不为1的有理数，我们把SKIPIF1<0称为a的差倒数，如2的差倒数为SKIPIF1<0，-1的差倒数为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0＝5，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0差倒数，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0差倒数，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0差倒数，以此类推…，SKIPIF1<0的值是_____．7．（2021·四川眉山·中考真题）观察下列等式：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；……根据以上规律，计算SKIPIF1<0______．8．（2020·山东鱼台·一模）计算下列各式的值：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得SKIPIF1<0=_____________．9．（2021·河北新华·一模）嘉琪通过计算和化简下列两式，发现了一个结论，请你帮助嘉琪完成这一过程．（1）计算：SKIPIF1<0；（2）化简：SKIPIF1<0；（3）请写出嘉琪发现的结论．10．（2021·安徽包河·一模）观察下列等式：第1个等式：SKIPIF1<0；第2个等式：SKIPIF1<0；第3个等式：SKIPIF1<0；第4个等式：SKIPIF1<0；…根据你观察到的规律，解决下列问题：（1）请写出第5个等式：_____________________；（2）请写出第SKIPIF1<0个等式：___________________________（用含SKIPIF1<0的等式表示），并证明．四、图形变换规律探究题例题4（2020·河北·模拟预测）如图，正六边形SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴重合，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴的正半轴上，已知，正六边形的边长为1，沿SKIPIF1<0轴向右无滑动滚动，当边SKIPIF1<0落到SKIPIF1<0轴上时，我们记为一次滚动完成，此时正六边形记为SKIPIF1<0，请回答：（1）点SKIPIF1<0的坐标为__________；（2）当正六边形滚动2020次后，点SKIPIF1<0运动过的轨迹长__________．练习题1．（2021·江苏·靖江外国语学校一模）如图，在直角坐标系中放置一个边长为SKIPIF1<0的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2021·全国·九年级专题练习）第一次：将点SKIPIF1<0绕原点SKIPIF1<0逆时针旋转SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0；第二次：作点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴的对称点SKIPIF1<0；第三次：将点SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0逆时针旋转SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0；第四次：作点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴的对称点SKIPIF1<0…，按照这样的规律，点SKIPIF1<0的坐标是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2020·山东宁津·一模）在平面直角坐标系中，点P（a,b）绕点O顺时针旋转45°为一次变换，第2020次变换后得点P′，则点P′的坐标为（

）A．（a,b） B．（-a,-b） C．（b,-a） D．（b,-a）4．（2022·山东陵城·九年级期末）如图，直线SKIPIF1<0与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点B作SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0绕点O顺时针旋转，每次旋转SKIPIF1<0，则第2021次旋转结束时，点C的对应点SKIPIF1<0落在反比例函数SKIPIF1<0的图象上，则k的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．4 C．SKIPIF1<0 D．65．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，正方形SKIPIF1<0的顶点坐标分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0绕点A旋转SKIPIF1<0得点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0绕点B旋转SKIPIF1<0得点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0绕点C旋转SKIPIF1<0得点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0绕点D旋转SKIPIF1<0得点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0绕点A旋转SKIPIF1<0得点SKIPIF1<0，……，重复操作依次得到点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，则点SKIPIF1<0的坐标为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，将半径为2cm，圆心角为36°的扇形纸片AOB，在射线MN的方向上作无滑动的滚动至扇形A′O′B′处，则圆心O经过的路径长为_____cm．7．（2021·河北·邯郸市第二十三中学九年级期中）如图1，将一个正三角形绕其中心最少旋转SKIPIF1<0，所得图形与原图的重叠部分是正六边形；如图2，将一个正方形绕其中心最少旋转45°，所得图形与原图形的重叠部分是正八边形；依此规律，将一个正七边形绕其中心最少旋转______SKIPIF1<0，所得图形与原图的重叠部分是正多边形．在图2中，若正方形的边长为SKIPIF1<0，则所得正八边形的面积为_______．8．如图，在直角坐标系中，已知点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，将线段SKIPIF1<0按逆时针方向旋转SKIPIF1<0，再将其长度伸长为SKIPIF1<0的SKIPIF1<0倍，得到线段SKIPIF1<0；又将线段SKIPIF1<0按逆时针方向旋转SKIPIF1<0，长度伸长为SKIPIF1<0的SKIPIF1<0倍，得到线段SKIPIF1<0．．．．．．如此下去，得到线段SKIPIF1<0为正整数)，则点SKIPIF1<0的坐标为__________________．9．（2021·广东乳源·三模）在平面直角坐标系xOy中，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，…的斜边都在坐标轴上，∠A1OC1=∠A2OC2=∠A3OC3=∠A4OC4=…=30°．若点A1的坐标为(3,0)，OA1=OC2，OA2=OC3，OA3=OC4，…则依此规律，点A2021的坐标为______．10．（2020·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A1（0，2）变换到点A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4（10，4SKIPIF1<0），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5（10+12SKIPIF1<0，0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是_____．11．（2021·广西·南宁三中九年级阶段练习）如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，且AC在直线l上，将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2+SKIPIF1<0；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3+SKIPIF1<0；…按此规律继续旋转，直到点P2020为止，则AP2020等于_______．五、函数规律探究题例题5（2021·山东·宁津县教育和体育局教育科学研究所二模）如图所示，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5…，过A1、A2、A3、A4、A5…分别作x轴的垂线与反比例函数SKIPIF1<0的图象交于点P1、P2、P3、P4、P5…，并设△OA1P1、△A1A2P2、△A2A3P3…面积分别为S1、S2、S3…，按此作法进行下去，则S2021的值为____．练习题1．（2021·山东莘县·三模）如图，直线l：y＝x+1交y轴于点A1，在x轴正方向上取点B1，使OB1＝OA1；过点B1，作A2B1⊥x轴，交l于点A2，在x轴正方向上取点B2，使B1B2＝B1A2；过点B2作A3B2⊥x轴，交l于点A3，在x轴正方向上取点B3使B2B3＝B2A3；…记△OA1B1面积为S1，△B1A2B2面积为S2，△B2A3B3面积为S3，…则S2021等于（）A．24039 B．24038 C．24037 D．240362．（2021·山东济南·中考真题）新定义：在平面直角坐标系中，对于点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0，若满足SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则称点SKIPIF1<0是点SKIPIF1<0的限变点．例如：点SKIPIF1<0的限变点是SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的限变点是SKIPIF1<0．若点SKIPIF1<0在二次函数SKIPIF1<0的图象上，则当SKIPIF1<0时，其限变点SKIPIF1<0的纵坐标SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2021·江苏丰县·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝SKIPIF1<0x﹣SKIPIF1<0与x轴交于点B1，以OB1为一边在OB1上方作等边△A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为一边在A1B2上方作等边△A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为一边在A2B3上方作等边△A3A2B3，…，则A2020的横坐标是_____．4．（2021·广东潮南·一模）如图，直线SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴，与直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，以原点SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0长为半径画圆弧交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0；再作SKIPIF1<0轴，交直线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，以原点SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0长为半径画圆弧交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，按此作法进行下去，则点SKIPIF1<0的坐标为__．5．（2021·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…分别在直线SKIPIF1<0和x轴上．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……都是等腰直角三角形，如果点SKIPIF1<0，那么b的值是________；SKIPIF1<0的纵坐标是________．6．（2021·山东牡丹·三模）如图，在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0交y轴于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴的正半轴上，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，依次均为等腰直角三角形，点SKIPIF1<0的坐标是______．7．（2021·四川广安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，SKIPIF1<0轴，垂足为SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0逆时针旋转到SKIPIF1<0的位置，使点SKIPIF1<0的对应点SKIPIF1<0落在直线SKIPIF1<0上，再将SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0逆时针旋转到SKIPIF1<0的位置，使点SKIPIF1<0的对应点SKIPIF1<0也落在直线SKIPIF1<0上，以此进行下去……若点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的纵坐标为______．8．（2021·江苏邳州·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线SKIPIF1<0为正比例函数SKIPIF1<0的图像，点SKIPIF1<0的坐标为(1，0)，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴的垂线交直线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为边作正方形SKIPIF1<0；过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0的垂线，垂足为SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为边作正方形SKIPIF1<0；过点SKIPIF1<0