《数学分析下册》期末考试卷

数学分析下册期末考试卷

一'填空题(第1题每空2分，第2,3,4,5题每题5分，共26分)

1、已矢口M=,则包=________________,包=___________

dxdy

(111=____________________o

2、£:x2+y2=4,则，尤办一yJx=。

L

3、设L-.x2+y2^9,则曲线积分J(x2+y2)ds=。

L

4、改变累次积分「办厂/'(x,y)办的次序为_____________________,

JaJy

21

垓5、设Dx+y<ax,则JJdxdy=

得分阅卷人

--------------二、判断题(正确的打“0”；错误的打“X”；每题3分,

共15分)

1、若函数/(x,y)在区域D上连续，则函数/(x,y)在D上的二重积分必存

中

料在。()

2、若函数/(x,y)在点p(x(),y0)可微，则函数/(x,y)在点/Xx。，y())连续。

()

3、若函数/(x,y)在点p(x(),y。)存在二阶偏导数/冲(%,%)和&(%，、0)，则

必有fxy(x0,y0)=fyx(xo,yo).()

4、第二型曲线积分与所沿的曲线L(A,B)的方向有关。()

忠

5、若函数/(x,y)在点(%,%)连续，则函数/(X,y)在点(%,%)必存在一阶

偏导数。()

得分阅卷入

三'计算题(每小题9分，共45分)

1、用格林公式计算曲线积分

/=J(~x2y)dx+xy2dy,

L

其中L是圆周/+y2=/

2、计算三重积分

jjj(x2+_/+z2)dxdydz,

V

2222

其中V:x+y+z<a0

3、计算第一型曲面积分

I=\\zdS,

S

其中S是上半球面f+V+z2=R2(Z>0)o

4、计算第二型曲面积分

JJxdydz+ydzdx+zdxdy,

s

其中S是长方体V=[0,l]x[0,2]x[0,3]的外表面。

5、计算四个平面%+），+2=1,》=0广=0,2=0所围成的四面体的体积。

得分阅卷人

四、证明题（每小题7分，共14分）

1、验证曲线积分

J（e*，+xye^^dx+x2yexydy,

L

与路线无关，并求被积表达式的一个原函数〃*,y）。

2、证明：若函数/（x,y）在有界闭区域D上连续，则存在

使得Jj7（x,y）db=/（g,〃>S。,这里〉是区域D的面积。

D

参考答案及评分标准

一、填空题（第1题每空2分，第2,3,4,5题每题5分，共26分）

xyxy

1、y*；\yedx+xedyo

2、8万；3、54zr；4、［dx\f（x,y）dy；5^—a2

JaJa40

二、判断题（正确的打“O”；错误的打“义”；每题3分，共15分）

1、O；2、O；3、义；4、O；5、X.

三、计算题（每小题9分，共45分）

1、解：由格林公式，有

=1="(y2+x2)cbcdy-----------------------------5分

D:x2+y2<u2

jjPdrdO=­c^------------------------------------------------------------9分

D^<r<a,2

OS织2灯

2、解：作球面坐标变换：x=rcos^sin^,y=rsin^sin^9,z=rcos(p,

则J(r,0,(p)=r2sin(p且

V=>Vr:O<r<a,0<(p<7i:,0<0<2万---------------------------------------------4分

・JJJ("+V+z?)dxdydz

v

—JJJr2•r2drd(pdO------------------------------------------6分

vr

2Hna

=jdejsin夕r4dr--------------------------------------8分

2

OOr

4

=—7ia5-------------------------------------------------------9分

5

222222

3、解：・.・S：Z=y)R-x-y9(x,y)eD：x+y</?.

dS=Jl+z,+z；dxdy

R

==dxdy5分

jRT_y2

■/=JIzdS=JJF：二,'JN-xTdxdy-----------------8分

=jjdxdy=re央-------------------------------------------9分

D

4、解：用高斯公式，得

I=jjj3dxdydz

v(

=3/公J。力J。dz---------------------------------8分

=18------------------------------------------------9分

解5、设。:0WyWl-x,0WxWl,则所围成的四面体的体积

4分

6分

9分

四、证明题(每小题7分，共14分)

1、证明：P=e^+xye^,Q=x2exy,

,/—=-2xexy+x2yexy,,(x,y)eR2.

dydx

.•.曲线积分与路线无关。4分

取%=%=0，则

xy

w(x,y,z)=|p(x,0)公+jQ(x,y)dy

oo

A-y

=jdx+^e^dy------------------------------7分

oo

廿------------------------------------------9分

2、证明：由最值定理，函数/(x,y)在有界闭区域。上存在最大值”和最小

值"Z,且V(x,y)eD,有

m</(x,y)<M,

上式各端在。上积分，得

/«5<y)da<MSD,

DD