2023年高考数学抢分秘籍（新高考专用）第七章 复数知识总结

第七章复数

一、思维导图

概念H复数的几何意义

\______________/

'复数的加、减运算及其几何'

分复数的意义

\数,［四则运算厂L

’复数的乘、除运算'

复数的二角表示式

」复数的1

'复数乘、除运算的三角表'

二角表不

_______________yi—

示及其几何意义

二、知识记诵

知识点一：复数的基本知识

1、虚数单位i,规定它的平方等于-1,即/=-1.

i可与实数进行四则运算，进行四则运算时原有加、乘运算律仍然成立.

2、形如a+6(a,beR)的数叫做复数，记作：z=a+bi(a,beR)；

当b=0时，z是实数。；

当b#0时，z叫做虚数；

当a=0且b#0时，z=初叫做纯虚数.

\a=c

3、两个复数相等的充要条件：若a,b,c,d€R贝ij〃+/?/=c+由

4、复数的几何意义:

复数z=a+6一^^复平面内的点Z（a/）（胆-平面向量0Z

5、复数的模：设OZ=a+bi(a,bwR),则向量0Z的长度叫做复数z=。+初的模，记作|。+方].

&\i\z\^OZ\=yJa2+b2>0.

要点诠释：(1)i的周期性:如果nWN,则有：产=i,严+1=晨产+2=_匕泮+3=一r

(2)复数z=a+6的共轨复数，记为z=a-bi；

(3)z-z-(a+bi)-(a-bi}=a2+b2=|z『.

知识点二：复数的运算

设Z]=〃+/?"z2=c+di(a,b,c,deR),则:

Z]+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(〃+d)i

z2-z}=(c-Q)+(d—h)i

4•Z2=(a+bi)(c+di)=(ac—bd)+(be+ad)i

Z1_a+_(a+bi)(c-di)__ac+bdbe-ad.

2222

z2c+di(c+di)[c-di)c+t/c+d

1n_1

要点诠释：(1)设3=---±---i,则苏=1,CO1=CD,1+69+69?=0,—=CO2,苏〃=1,=CO

22co

（n£N+）等；

（2）复数求解计算时，要灵活利用i、3的性质，或适当变形，创造条件，从而转化为关于i、3的计

算问题.比如（l±i>=±2i；*=i；E=—i；

a+bi_{a+bi)i_(a+bi)i

（3）作复数除法运算时，有如下技巧:

h-ai(h-ai)ia+bi

三、能力培养

类型一复数的概念

【例1】若（l+i）+（2-3i）=a+6（a,beR,z.是虚数单位），则。/的值分别等于（）.

A.3,—2B.3,2C.3,—3D.—1,4

【解析】由己知得3—2，=。+初，所以a=3,b=-2,选A.

【答案】A

类型二复数的运算

【例2】i是虚数单位,复数).

3+4/

1731.D」+竺i

B.—1+ZC.一+—I

252577

7+i_(7+i)(3_4z)_25-251_口.

【解析】

3+41-(3+4/)(3-4/)-32+42~

【答案】A

类型三复数的模

【例3】（1）设z=^T+i，则目=（）.

A.1B交D.2

224

(2)若复数z满足z(l+i)=2i（i为虚数单位），则归=（）.

A.1B.2C.V2D.V3

【解析1(l)z=-l-+i=*+i=L+』i,贝1］曰=巫.

1+z222112

(2)方法一：设z=a+Oi(a,Z?eR),则由z(l+i)=27,得(a+初)•(l+i)=2i,所以(”0)+(a+»i=2i,

由复数相等的条件得《'解得a=b=l,所以z=l+i,故|z|=+1?=J5.

。+b=2,

、，/2z2z(l-z).

方法二：由z(l+iA)=2i,得2=---=--------=z—r=1+z所以|Z|=JF+12=/

v71+z2

【答案】（1）B（2）C

类型四复数的几何意义

【例4】⑴在复平面内，复数Z=-^-3为虚数单位）的共拆复数对应的点位于（）.

1+Z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

⑵设复数Z1,Z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，Z1=2+i,则"2（）.

A.-5B.5C.-4+ZD,-4-Z

【解析】（l）z=2-=/1+i的共规复数为］一九对应的点为在第四象限.

1+z（l+z）（l-z）

⑵由题知Z2=—2+i,所以2逐2=(2+，b(_2+，)=/_4=_5.

【答案】⑴D（2）A

类型五共加复数

【例5】设z=生，则z的共筑复数为（）.

3+z

A.-1+3ZC.1+3ZD.1-3Z

【解析】z=3~=,吗一”=1°（1+3。=1+3"根据共朝复数的定义，其共加复数是1一3i.

3+z（3+z）（3-z）10

【答案】D

类型六复数方程

【例6】若1+JL•是关于x的实系数方程炉+加+。=0的一个复数根，则（）.

A.Z?=2,C=3B.b=2,c=—lC.Z?=-2,c=-lD.b=-2,c=3

【解析】根据实系数方程的根的特点知门-"也是该方程的另一个根，所以1++1-J元=2=-6,即

b=-2,+扬）=3=c,故选D.

【答案】D

类型七与复数有关的创新型问题

复数是高中数学的重要组成部分，创新是高考的热点之一，给复数定义一个新运算，它既能考查同学们的

创新思维，又能考查复数与其他知识的综合.

1.新定义型

bziz

【例7】定义新运算=ad-bc,则满足关系=4+2，的复数2是（）.

cd-11

A.l—3iB.1+3ZC.3+zD.3—i

ziz

【解析】因为-zi+z=4+2i,所以z=•--------3-i.

11+z

【答案】D

【点评】本题给出了一个新定义运算，根据新定义运算构造出关于Z的方程，从而将问题顺利解决.

2.结论开放型

给出多个结论，需要同学们对每个备选结论判断真伪，写出满足条件的结论.

【例8］对于任意两个复数4=%+兆，z^x^y^^x^y^y^R）,定义运算”为

ziz2=X1&+x%•设非零复数码g在复平面内对应的点分别为匕鸟，点。为坐标原点，若

供S=0,则在4片。鸟中，N［O4的大小为.

【解析】方法一：设非零复数。］=q+仇，0yl=a2+%（知生也也eR，且+6；/0,a；+Z?；r0）,

则得点［（q，a）,鸟（4,人2）.由题意知《不为原点，且由双。2=°，得%巧+他2=0・

由两直线垂直的充要条件,知直线。匕。鸟垂直。6，。鸟，即由次然=90°.

方法二：设非零复数3=6+4》,在=。2+%（4也GR，且。；+工工0，4；+其/0）,则

OR=（%,"）,=（%也），且西,06为非零向量.由双处=0,知卅2+他2=°•设向量。［与

OP,的夹角为e,则cose=/4生+华_=o

-荷+一•病+一

NPQP?=90°.

【答案】90°

类型八分类解析复数与三角函数的交汇问题

在知识网络交汇处设计命题，贴近课本，立意高，情境新同时有较强地考查同学们的思维能力的功能，以

及考查同学们对中学数学不同分支的重要基础知识联系的深层次理解及运用能力下面就复数与三角函数的

交汇试题分类解析.

1.复数概念与三角函数的交汇

【例9］设复数z=（sine-l）+i（sine-cos。），求。为何值时，（i）z为实数；（2）z为虚数：⑶z为纯

虚数.

【解析】⑴z为实数.•.sin6—cose=0,.-.sin^-^Uo,.,.6=?+版■（左eZ）.即当

6=7+攵万（女eZ）时，z为实数.

（兀、兀4

（2）z为虚数，「.sin，一cosOwO,「.sin。一^）力。，•,•。工］+%万（％£Z）.即当。士1+%乃（kwZ）

时，z为虚数.

sin^-1=0,JTJT

⑶Z为纯虚数,.•.。=2&"+5（462）.即当。=2&万+5（462）时，2为纯虚数.

sinO-cos。w0.

2.复数共舸与三角函数的交汇

【例10］己知复数Z1=sin26+icos。，z2=cos0+V3zsin（O<0<^）,当。为何值时，z1与z2共轨？

sin26=cos仇i万

【解析】由Z1与Z2共辗知4L由①得cos6=0或sine=±.（）＜。＜"，.•.。=生或72r

cos0=-V3sin0.（2＞226

或包.由②得tan6=—@,，。二笆.综上可知，当夕为包时，Z1与Z2共聊.

63662

【点评】本题通过利用复数共扼，建立三角函数方程组，通过结合三角函数套式可求得结果.

3.复数相等与三角函数的交汇

【例11］实数有以下关系：x+yi=3+5cose+i（-4+5sin。）（其中i是虚数单位），则f+J的

最大值为（）.

A.30B.15C.25D.100

x=3+5cos6

【解析】由复数相等知J14+5sing则x2+y2=550sin（e-0）W100（其中0为辅助角）.；./+V

的最大值为100.

【答案】D

【点评】本题是通过复数相等，建立V+y2的目标函数，并注意三角函数有界性的应用.

4.复数几何意义与三角函数的交汇

【例12］设角为锐角三角形的两个内角，则复数Z=（cot8—tanA）+i（tan3—cotA）对应的点位于

坐标平面的（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

,cos（5+A）cos（B+A），一,一—一

【解析】vz=--------L——-------Li,又此三角形为锐角三角形，则有5+A>90。，

sinBcosAsinA