2023年中考数学几何模型-单中点与双中点模型（讲+练）原卷版

专题02单中点与双中点模型

有关中点的知识点归纳：①三角形中线平分三角形面积；②直角三角形斜边上的中线等于斜

边的一半；

③等腰三角形“三线合一”的性质；④三角形中位线平行且等于第

三边的一半.

在题干中，出现一个中点时，我们通常想到中线；两个中点时，想到中位线。

模型一、双中点-中位线模型

如图，D、E、F分别为4ABC三边中点，连接DE、DF、EF,则。尸叫BC,DE^^AC,

EF^^AB.

例.如图，在RffiMBC中，EMCB=90°,AC=BC,过点C作CDB48,垂足为D,点E为8C的中

点，AE与CD交于点F,若DF的长为也，则AE的长为（）

3

C.y/5D.2石

【变式训练1】如图，在△ABC的两边AB、AC向形外作正方形A8OE和4CFG,取BE、

BC、CG的中点M、Q、N.求证：MQ=QN.

BOC

【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，-OAB的顶点B在x轴正半轴上，顶点A和边A8

9

的中点C均在函数y=*(x>0)的图象上，则一OAB的面积为()

A.2B.3C.4D.6

【变式训练3】如图，在AABC中，ZACB=60°，AC=1,D是AB的中点，E是BC上

一点，若DE平分AABC的周长，则DE的长为_

C

匚

ADB

模型二、单中点-倍长中线模型

EA

'/A<、、

E、D

D

例.如图，CE、CB分别是」ABC与_AOC的中线，且NAC8=NABC,AC=AB.求证：

CD=2CE.

C

AEBD

【变式训练1】已知，在RtAABC中，ABAC=90°,点。为边A3的中点，AELCD分别

交CD,BC于点F,E.

(1)如图1,①若4?=AC,请直接写出NE4C-N3CZ)=；

②连接OE,若AE=2DE,求证：ZDEB=ZAEC；

(2)如图2,连接网，若FB=AC,试探究线段CF和0P之间的数量关系，并说明理由.

【变式训练2】如图①，点。为线段MN的中点，P。与MN相交于点。，KPM//NQ,可

证△PMO丝△QNO.根据上述结论完成下列探究活动：

探究一：如图②，在四边形ABC。中，AB//DC,E为BC边的中点，NBAE=NEAF,AF

与。C的延长线相交于点F.试探究线段A8与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论；

探究二：如图③，DE、BC相交于点E,BA交。E于点A,且8E：EC=1：2,NBAE=N

EDF,CF//AB.若A8=4,CF=2,求。尸的长度.

图①

【变式训练3】如图，过边长为3的等边AABC的边AB上一点尸，作尸ELAC于E,Q为

BC延长线上一点，当网=C。时，连PQ交AC边于力，则。E的长为.

A

模型二、单中点-“三线合一”模型

如图，在AABC中，AB=AC,D为BC的中点，连接AD,则AD平分NBAC,AD是边

BC上的高，AD是BC边上的中线（AD是角平分线、中线、垂线）.

例.如图，在矩形ABCD中，E为CB延长线一点且AC=CE,F为AE的中点，求证：BF

±FD.

【变式训练1】如图所示，在aABC中，AB=AC=5,BC=6,M为BC的中点，MN1AC

于点N,则MN等于（）

16

D.

【变式训练2】半径为1的半圆形纸片，按如图方式沿AB折叠，使折叠后半圆弧的中点M

与圆心O重合，求图中阴影部分面积？

课后训练

1.如图所示，M是AABC的边BC的中点，AN平分NBAC,BNLAN于点、N,且AB=8,

MN=3,则AC的长是（）

2.如图，。0的半径为5,AB为弦，点C为43的中点，若NABC=30°,则弦AB的长

为（）

15\/3匕rz

A."B.5C.———D.5y3

3.如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1,点F,G分别在边BC,CDk,

于点G,若DG=GE,说明：0ABC为等腰三角形.

A

4

求nA

5.如图所示，已知在A8C中，。是AB的中点，DC^AC,cosZDCB5-si

6.如图，在四边形ABCD中，E为AB上的一点，4ADE和4BCE都是等边三角形，AB、

BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N,试判断四边形PQMN的形状.

7.如图，在4ABC中，BC=22,BD1AC于点D,CE1AB于E,F、G分别是BC、DE

的中点，若ED=10,求FG的长.

D

8.己知,在Rt/\A3C中,/84C=90。，点。为边AB的中点，AELCO分别交CO,