2022-2023学年江苏省三所名校高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022・2023学年江苏省三所名校高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知复数(1+3i)(2W—z)=10,其中i是虚数单位，3是z的共轲复数，则z=()

A.1+iB.1—iC.-1+iD.-1—i

2.2知向量五=（L2）,b=（1,-1）,m=（4,5）,若五与万一42垂直，则实数2的值为（）

A.1B.3C.D

141414-A

3.已知cos(a4-7)=0<a<yr,则s讥a的值为()

o7

A.3<3B•鸳7D

14-S

4.如图，一个矩形边长为1和4,绕它的长为4的边旋转二周后所得如图

的一开口容器（下表面密封），P是BC中点，现有一只蚂蚁位于外壁4处，

内壁P处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点P处取得米粒,

则它所需经过的最短路程为（）

A.7*+36B.V7T24-16C.弋4V2+36D.V4-1

5.已知4、B、C是平面上不共线的三点，。是△4BC的重心，点P满足丽=^OB+^OC+10A,

6bJ

则AACP与ABCP面积比为（）

A.5：6B,1：4C.2：3D,1：2

6.仇章算术少涉及算术、代数、几何等诸多领域，书中有如下问题：“今有圆亭，下周

三丈，上周二丈，高二丈，问积几何？”其意思为：“有一个圆台，下底周长为3丈，上底周

长为2丈，高为2丈，那么该圆台的体积是多少？”已知1丈等于10尺，圆周率约为3,估算出

这个圆台体积约有（）

A.4泣方尺B.527泣方尺C.427泣方尺D.1055泣方尺

4949

7.已知△ABC的内角4B,。所对的边分别为a,b,c,+c24-ac-h2=0,贝ij

—tanBcos2?—讥Bsin^cos（的取值范围为（）

A.（t|）B.（i,1）C.（1,1]D.（?.学）

8.已知正方形ABCD的边长为2,现将△2DC沿对角线4c翻折，得到三棱锥D-2BC.记4C,

BC,AD的中点分别为0,M,N,则下列结论错误的是（）

D

DC

N

J

AB

B

A.MN与平面BOD所成角的范围是©A）

B.三棱锥D-ABC体积的最大值为亨

C.MN与AC所成角的范围是（J,?）

4Z

D.三棱锥。-ABC的外接球的表面积为定值

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.欧拉公式6短=cosx+isimc是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域

扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联,在复变函数论里面占有非常重要的地位，

被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列说法中正确的是（）

A.e2i对应的点位于第二象限B.为纯虚数

C.*鼻的模长等于*D.e空的共轨复数为;

10.已知a,/?是两个不重合的平面，m,n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）

A.若血_L?i,m1a,n///?,则a10

B.若zn1a,n//a,则zn1n

C.若m〃a,xnj",则九〃a

D.若m〃?i,a〃夕，则m与a所成的角和九与S所成的角相等

11.倜髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和

中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为Q、

/7,其中小正方形的面积为4,大正方形面积为9,则下列说法正确的是（）

A.每一个直角三角形的面积为3B.3s讥夕-3cosa=2

C.3sinp—3sina=2D.cos(a—/?)=|

12.在长方体/8CD-AiBiGDi中，AB=3,BC=4,AAt=5,动点P在平面ZDD1&内且

满足费=4而+〃而，04441,04〃41,则()

A.无论；l,〃取何值，三棱锥P-BCCi的体积为定值30

B.当;1=0时，BP+PQ的最小值为，函

C.当〃=1时，直线PD与直线Cq恒为异面直线

D.当4+〃=1时，BP〃平面CBiDi

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.化简，v\_2cos20。=____.

2tan200

14.已知△ABC是等腰直角三角形，4/1=90。，AB=AC=6,S是△4BC外接圆上一点，则

SA-（SB+元）的取值范围是.

15.山西应县木塔（如图1）是世界上现存最古老、最高大的木塔，是中国古建筑中的瑰宝，

是世界木结构建筑的典范.如图2,某校数学兴趣小组为测量木塔的高度，在木塔的附近找到

一建筑物AB,高为8c米，塔顶P在地面上的射影为。，在地面上再确定一点C（B,C,D三点

共线），测得BC约为58米，在点4,C处测得塔顶P的仰角分别为30。和60。，则该小组估算的

木塔的高度为米.

16.如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相

等，球的半径r=4,。2分别为圆柱上、下底面的圆心，。为球

心，EF为底面圆。1的一条直径，若P为球面和圆柱侧面的交线上一

动点，线段PE与PF的和为PE+PF,则PE+P尸的取值范围为

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题10.0分）

已知sin（/T—a）=3cosa.

(1)若a为锐角，求cos(a+今的值；

(2)求tan(2a-：)的值.

18.(本小题12.0分)

己知复数Z=2^Z.

(1)若复数(Cz-my-2nl在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围；

(2)若z2,Cz+z2在复平面(。为坐标原点)内对应的点分别为B,C.求向量话在向量次上的

投影向量元的坐标.

19.(本小题12.0分)

如图，在AABC中，AC=6,BC=2,44cB=60。，点。为边4B的中点，BE=^-BC.

⑴求I3I;

(2)求△4。。的面积S.

20.(本小题12.0分)

已知△ABC的内角力，B,C所对的边分别为a,b,c,且细心=誓言噜.

csinA+sinB

⑴求cosA；

(2)若△ABC的面积为为内角4的角平分线，交BC边于点。，求线段40长的最大值.

21.(本小题12.0分)

如图(1),六边形HBCDEF是由等腰梯形4DEF和直角梯形ABCD拼接而成，且482。=4ADC=

90°,AB=AF=EF=ED=2,AD=CD=4,沿40进行翻折，得到的图形如图(2)所示，

E

且乙1EC=90°.F

图⑴图(2)

(1)求二面角C-AE-。的余弦值；

(2)求四棱锥C-4DEF外接球的体积.

22.(本小题12.0分)

在面积为5的44BC中，内角4B,C所对的边分别为a,b,c,且2s(舞+器)=(a2+b2)sinA.

⑴若44BC为锐角三角形，是关于x的方程a3x-2S(ccosB+bcosC)=0的解，求ni的取值

范围；

(2)若acosB=bcosA且△力BC的外接圆的直径为8,E,F分别在线段BC,。4上运动(包括端

点)，。为边力B的中点，且DE1DF,△£»£产的面积为Si，令器标+除宗+S1=p.求p的最小

值.

答案和解析

I.【答案】A

【解析】解：设2=Q+bi(a,bWR),

则z=a—bi(1+3i)(2z—z)=10Q(1+3i)(a—3bi)=10<=>(a+9b)+(3a-3b)i=10=>

累=｛二;，则z=a+〃=i

故选：A.

设2=。+从，后由共轨复数，复数乘法，复数相等知识可得答案.

本题主要考查共辗复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：•••&=(1,一1),c=(4,5),b-Ac=(1,-1)-(42,5A)=(1-4A,-1-52)，

又方=(1,2),且五与3—垂直，

•••1x(1-4A)+2X(-1-52)=0,即；I=一白

故选：C.

由已知求得石-4芸的坐标，再由两向量垂直与数量积的关系列式求解2值.

本题考查向量垂直与数量积的关系，是基础题.

3.【答案】C

【解析】解：因为cos(a+3)=3>0,0<a<7T,

所以+可得+

666ooZ

所以sin(a+奇=J1-cos2(a+^)=号上

则sina=sin[(a+看)一胃=sin(a+^)cos^-cos(a+粉呜=x3=T?,

故选：C.

由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin(a+合的值，进而利用两角差的正弦公式即可求解

s讥a的值.

本题考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础题.

4.【答案】A

【解析】解：依题意可得圆柱的底面半径r=1,高h=4,

将圆柱的侧面（一半）展开后得矩形ABCD,其中AB=TT,AD=4,

问题转化为在上找一点Q，使4Q+PQ最短，

作P关于CD的对称点E,连接4E,令4E与CD交于点Q,

则得4Q+PQ的最小值就是为力E=J兀2+（4+2产=V7r2+36.

故选：A.

画出圆柱的侧面展开图，根据对称性，求出AQ+PQ的最小值就是4E的长，求解即可.

本题主要考查了圆柱的结构特征，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】解：如图,

••1。是△力BC的重心，

.•.OA+OB+OC=0>.•-OB+OC=-'OA^

■.-0P=20B+70C+l0A<

□6D

6OP=~0B+0C+40A，

60P=30A，即2赤=市，

.•.点P为04的中点，

即点尸，。为BC边中线4。的两个三等分点，

112

S〉ACP=3s△ACO=^LABC»S〉BCP=5saABC，

.S&ACP_1%3_1

S^BCP624

故选：B.

利用三角形重心的性质，可得2而=瓦?，从而得到点P，。为BC边中线的两个三等分点，求解即

可.

本题主要考查了三角形重心的性质，平面向量的线性运算，属于中档题.

6.【答案】D

【解析】解：由已知，下底半径为5尺，上底半径为9尺，

若S「S2分别为上下底面面积，

则圆台的体积为：：（Si+S2+JSgh=g（挈兀+25兀+J竽x25兀2）x20

=1055^立方尺•

故选：D.

利用圆台体积公式求体积即可.

本题考查圆台的体积计算，考查运算求解能力，属于基础题.

7.【答案】D

【解析】解：因为。2+©2+这一62=0,

所以的8=欢曰=一，

2ac2

由8为三角形内角可得8=120°,

则一CcmBcos??—2yT_3sinBsmcos

=A/~-3COS29-2V-3x—sin]cos苧

/~彳1+cosA3.》

=V3x-----------stnC

V~3.3./(CO4、

=—+—cosA--sin(60°-A)

=—^—cosA--(—cosA--sinA)

>T3.,3..,

=———cosA+-sinA+

442

=?sin(4-30°)+?，

由0。<A<60°,

所以一30。<4-30。<30。，

所以-g<sin(4—30°)<p

故？<^sin(A-30°)+?<早

故选：D.

由余弦定理先求出8,然后结合二倍角公式，辅助角公式对所求式子进行化简，再由正弦函数的

性质可求.

本题主要考查了余弦定理，和差角公式，辅助角公式，正弦函数性质的综合应用，属于中档题.

8.【答案】C

【解析】解：对于4中，取4B,4。的中点E,F,分别连接ME,EF,NF,NE,

因为E,F,N分别为ZB,AO,4。中点，可得EF〃BO,NF//DO,

因为EFC平面B。。，BOu平面BOO,所以£7:7/平面BOD,

同理可证NF〃平面BOD,

又EFCNF=F,

所以平面NEF〃平面B。。，

又因为力C_L平面8。。，所以力Cl平面NEF,

因为4C〃ME,所以MEJL平面NEF,

所以4MNE即为直线MN与平面NEF所成的角，

在折叠过程中，设BD的长度为a,贝iJa€(0,2C),

由E,N为AD,AB的中点，所以NE=gBD,

在直角AMNE中，可得tan/MNE=^=g=照=出2>1,

NE*8080a

所以4MNE的取值范围为©,今，即MN与平面80D所成的角的范围为6，今，所以A正确;

对于B中，当平面4CD1•平面4BC时，D到平面ABC的距离最大，

即三棱锥。—4BC高的最大值为八=DO=

112苧

=X=

此时三棱锥。-4BC的最大体积为V=/布3-2-X/2-

对于C中，因为ME〃/C,所以2EMN为异面直线MN与4c所成的角，

山河八厂山，NE扭0BDa,«

所以tan4EMN=^=篆=而=为茏<1,

所以/EMN的取值范围为(0,力，所以MN与AC所成角的范围是(0,》，所以C不正确；

对于。中，由04=OB=OC=OD=C，所以三棱锥。-ABC外接球的球心为。，

即外接球的半径R=C，

所以三棱锥D-4BC外接球的表面积为S=4TTR2=8双定值)，所以£>正确.

故选：C.

把MN与平面B。。所成的角，转化为直线MN与平面NEF所成的角，求得其范围，可判定A：当平

面4CD1平面ABC时，得到。到平面48c的距离最大力=「，进而求得体积的最大值，可判定8

正确：因为ME〃/1C,所以4EMN为异面直线MN与4c所成的角，求解可判断C；由04=OB=0C=

0D=C，得到三棱锥。一ABC外接球的球心为0,求得外接球的半径R=，至，可判定。正确.

本题考查了线面垂直的证明、直线与平面所成的角的计算、三棱锥的体积和外接球问题，属于中

档题.

9.【答案】AD

【解析】解：对于4由题意知/，=cos2+isin2,则其对应的点为(cos2,sin2),且cos2<0,

sin2>0,

所以e2i对应的点位于第二象限，选项A正确；

对于B,由题意知e"i=cos?!+isin;r=—1为实数，选项8错误；

对于C，E=7。知sY)=5[cos。-%)+「in(工-岬,

所以《二的模长为白，选项C错误；

v3+i2

对于O,由题意知洛=cosg+isin?=；+?i，

所以e争的共轲复数为g-行i，选项。正确.

故选:AD.

根据欧拉公式e'i=cosx+isinx,利用复数的定义与运算性质，判断即可.

本题考查了复数的几何意义与应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题.

10.【答案】BD

【解析】解：若m_Ln,mJLa,n///?,可得a〃/?,或a,夕相交，故A错误；

若m_La,n//a,由线面平行和线面垂直的性质可得m_Ln,故B正确；

若m〃a,m//n,则n可以在a内，故C错误；

由m〃ri,a//p,由线面角的定义和面面平行的性质，可得僧与a所成的角和n与6所成的角相等,

故。正确.

故选：BD.

由线面垂直和平行的性质，以及面面的位置关系，可判断4由线面平行和线面垂直的性质，可

判断B；由线面平行的性质和面面的位置关系，可判断C；由线面角的定义和面面平行的性质，可

判断0.

本题考查空间中线线、线面和面面的位置关系，考查推理能力，属于基础题.

I1.【答案】ACD

【解析】解：四个直角三角形全等，大正方形的面积为9,小正方形的面积为4,

•・•每一个直角三角形的面积为"A正确；

cosa=stnS,：■3sin0—3cosa=3sin/3—3sinS=0，故B错误；

cosa—sina—sinp—cosp=|,且cosa=sin^,sina=cos/3,

・•・(cosa—sina)(sin/?—cos。)=cosasinp—cosacos^—sinasin^+sinacos^

4

=sin2^+cos2/7—cos(a—3)=1—cos(a-/?)=-,

・•.cos(a-S)=［故。正确；

2

Ssinp—3sina=3sinp—3cosp=3x-=2,C正确.

故选：ACD.

4个直角三角形的面积和为5,从而判断4的正误；根据题意知cosa=sin/?,从而可判断B的正误；

可根据图形得出cosa-sina=了sinp-cosp=并且cosa=si?20,sina=cos0,从而可求

出(cosa—s出a)•(sin/?-cos£)=：,即可判断。的正误；sina=cosfi,从而可判断C的正误.

y

本题考查了正弦函数和余弦函数的定义，两角差的余弦公式，考查了计算能力，属于中档题.

12.【答案】BD

【解析】解：由ABC。一4当（7101为长方体，动点P在平面力。。送1内，

点P到平面BCG的距离恒为3,SABCQ=I。，^P-BCC1=lshBCCi-3=10,故选项A不正确;

当;1=0时，点P在线段A4i上，将矩形和矩形4CC14沿SA展开为矩形BCCiBi，

则BP+Pg>BCi=JBB]+BiC=<89,故选项B正确；

当”=1时，由存=4而+〃而，得而=4而+京，由0W441,

故点P在4/上，当a=1时，动点P运动到点。处时，

由DDJ/CC1，即PC〃CG，则此时的直线PD与直线CCi共面，故选项C错误;

当4+4=1时，由而=4而+〃丽>得动点P在线段D4上，

连接8。，DAltaB,皿，BC,当。1，

8。〃当。1，8也<3平面CBiA，8。C平面。81。1，则BO〃平面（78也,

同理O4〃平面C&Ci，BDdDA1=D,则平面〃平面CBiA，

BPu平面故BP〃平面C&D1，选项。正确.

AB

D

故选：BD.

由题意知点P到平面BCG的距离恒为3,SABCC1为定值，则三棱锥P-BCCi的体积为定值，判

断选项A,由4=0知，点P在线段上，将矩形4BB14和矩形ACC1&沿展开为矩形BCGB1，

贝IJBP4-Pg>B£,即可判断选项B,由〃=1,当;I=1时，动点P运动到点。处时，则PO〃CCi，

即直线PD与直线CCi共面，判断选项C,由入+〃=1得动点P在线段D&上，由面面平行的判定定

理得平面BDa与平面CaD1平行，BPu平面即可判断选O.

本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题.

13.【答案】1

-2cos20°=品-2cos20。

【解析】解:

cos200

7~3cos20°73cos200-4sin200cos200

—2cos200=

2s讥20°2sin200

73cos200-2sin40。_「Scos20°-2sin（60。-20。）

2sin20°―2sin20°

Ccos20。-2（年cos20。-%沆20。）

2sin200

sin20°_1

2s加200=2*

故答案为：

利用三角恒等变换，先化切为弦，把sin40。转化为sin（60。-20。），利用差角公式化简可得答案.

本题主要考查了同角基本关系，辅助角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题.

14.【答案】[0,72]

【解析】解：已知△ABC是等腰直角三角形，乙4=90°,AB=

AC=6,

则BC=6C，

以△ABC外接圆的圆心。为原点，建立如图所示的平面直角

坐标系，

则4(-3,-3),

设S(3/7cosJ,3-Isin。)，。6[0,2柯，

则=.丽+元)=2标历

=(-6V-2cos0,-6y/~2sin9')-(—3—3y/~2cos6,—3—3y/-2sin0')

=18\/-2(cos6+sind)+36

=36cos(e+》+36,

又。e[0,27t],

则sin(O+》6[-1,1],

则中■(SB+SC)E[0,72].

故答案为：[0,72].

先建系，求出对应点的坐标，然后结合平面向量数量积的坐标运算及三角函数值域的求法求解即

可.

本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了三角函数值域的求法，属中档题.

15.1答案】41V-3

【解析】解：过点4作4E1PD于点E,如图所示:

由题意得NPCD=60°,Z.PAE=30°,DE=AB=8c米，BC=58米,

设CD=%米，则PD=Cx米，PE="1%-米,

在Rt^AEP中，AE=CPE，贝IJ58+x=q（V_3x-8C），解得x=41,

在Rt△「<?/）中，则PD="CD=41V3米.

故答案为：4115米.

过点A作4E1P0于点E,由题意得NPCO=60°,APAE=30°,DE=AB=8一米，设CD=x米,

则PD=Cx米，PE=（，号为—8/百）米，AE=CPE,求出x,即可得出答案.

本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

16.【答案】[4+4门,8「]

【解析】解：由题可知点P在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，

设P在底面的射影为P',

则PP，=4,PE=742+P%2,PF=742+P'/2,/

由勾股定理可得P%2+PR2=64,令p,2=32-3则p%2=32+3/\

其中一32<t432,可7^,

PE+PF=V48—t+V48+t，）

（PE+PF）2=96+2V482-t2e[96+32门,192],

PE+PFe[4+4c8「],

PE+PF的取值范围为[4+4<5,8AT3].

故答案为：[4+4V~5,8V-3].

P在底面的射影为P',设令P'F2=32-3则P'E2=32+3其中-32<t<32,可得出PE+PF=

V48-t+V48+t.利用平方法和二次函数的基本性质求出PE+PF的取值范围.

本题考查球的截面问题，化归转化思想，考查长度和的取值范围，属中档题.

17.【答案】解：（1）丫sin（兀—a）=sina=3cosa,sin2a+cos2a=1,

cos2a==，又a为锐角,

5T10,3<10

•••cosa=--T-sina=』一

10

n..n1VTOV_33<T0\T10-3\r30

•••cos（a+g）=cosacos--stnasin-=-x----------x-=

20

（2）由（1）知sina=3cosa,即tana=3,

ztana__2x33

：•tan2a=

l-tan2a1-941

13

・•.tan(2a-》=等与=与=-7.

k47l+tan2ai_£

14

【解析】(1)结合题意，利用诱导公式与平方关系可求得cosa=(芸，sina=q?，从而可求得

cos(a的值;

(2)先求得tan2a的值，再利用两角差的正切公式即可求得tan(2a-：)的值.

本题考查两角和与差的三角函数，考查数学运算的核心素养，属于中档题.

18.【答案】(1)因为2=卓四，

所以—m)2—2m=(1—m4-i)2—2m=(m2—4m)+2(1-m)i.

因为复数—m)2—2m在复平面内对应的点(nr?—4m,2(1—m))在第二象限,

所以吼不小解得。＜2，

故实数小的取值范围是(0,1)；

⑵Z2，

则z2=y?=2(1+：T=j,yT2z+z2=l+2i,

z2,z+z2在复平面(0为坐标原点)内对应的点分别为B,C,

则点B(0,1),C(l,2),

OB=(0,1)，OC=(1,2)，

故六鬻.历=熊＞

【解析】(1)根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解;

(2)根据已知条件，先求出点B,C,再结合投影向量的公式，即可求解.

本题主要考查向量的投影公式，属于中档题.

19.【答案】解：(1)44BC中，点。为边AB的中点，所以丽=白襦+0),

又因为4c=6,BC=2,/.ACB=60°,

1

2X

所以而=^(CA+2CA-CB+CB)4-(36+2x6x2xcos60°+4)=13,

所以|函=<13.

⑵△ABC中，BE^BC,所以*E

因为点。在4E上，所以前=4瓦?，AeR,

所以前一谓=4（石？一潮），

设前=〃而，则而=4腐+Q-Q荏=2钢+通，

5LC0=HCD=\liCA+^liCB,且方，方不共线，

所以［1工1,解得”方，〃=检

所以诙=5而，

xx6x2x

所以△4。。的面积为SAAOO=；X|sAxBc=nls.60°=噌・

/L14-Z14-

【解析】（1）利用中线的向量表示方=*%?+而），求模长即可.

（2）根据平面向量的基本定理，用襦、彘表示E，求出方=,而，由此求出△4。。的面积.

本题考查了平面向量的基本定理应用问题，也考查了三角形面积计算问题，是中档题.

20.【答案】解：（1）因为如也="喔岑，

cstnA+sinB

所以由正弦定理，得如也=铝，即c2+4—a2=：bc,

ca+b2

（2）由（1）知，sinA=J1—（扔=罕

又△ABC的面积为「后，

^i^bcsinA=V15,可得be=8,

又因为NBAO=^CAD=^,cosA=i,

Z4

所以siMzBAD=sin2^CAD==^,sinz.BAD=sin4cAD=?，

于是SMBC=^b-AD-sinZ-CAD+gc•40•sinZ.BAD=V15,

那么AD-•6-+1•c-)=<15，

'2424J

所以4。=富W霖=，亏（当且仅当b=c=2/2时等号成立），

故AQ的最大值为

【解析】（1）根据题设条件，利用正弦定理可得c2+b2-a2=：比,再由余弦定理即可得解;

（2）根据面积公式可得be=8,再求出sin/BAO=sinz_C40=?，利用SA.C=，

sin^CAD-AD-sin^BAD=7^5,可得a。=丝卫，再由基本不等式可得解.

2b+c

本题考查解三角形，考查运算求解能力，属于中档题.

21.【答案】解：（1）六边形4BCDEF是由等腰梯形力DEF和直角梯

形ABCD拼接而成，且NBA。=LADC=90°,

AB=AF=EF=ED=2,AD=CD=4,沿4。进行翻折，

得到的图形立体图形，且4AEC=90。.

在等腰梯形40EF中，作EMJ.4。于M,

则DMl,AM=3,EM=C，

AE=V3+9=2，"^.连接AC,则AC=4y/~2^

vZ-AEC=90,EC=2/-5.ED2+DC2=EC2,CD1ED；

CD1.AD,ADCiED=D,二CD1平面4DEF.又AEu面4DEF,

：,CD1AE,

又CE1AE,CECCD=C,AAEiffiCDE,/.AE1DE,又力E1CE,

・•・4CED就是二面角C-AE-。的平面角，

在Rt△CDE中，cosZ.CDF=罢=z-4==

CE2v55

所以二面角C-AE-。的余弦值为?.

（2）取4D的中点。「连接。花，0、F,EF=2,AD=4,EF//AD,

所以四边形OiOEF、OiAFE均为平行四边形，

所以。1。=。遇=OrE=OrF=2,所以。［为等腰梯形ADEF的外

心，

取AC的中点0,连接。4,OD,0E,0。1，00J/CD,

•••CD1平面AOEF.；.。1。_L平面4DEF.可得0C=0A=0D=

OE=OF=

所以。为四棱锥C-ADEF外接球的球心,

所以V==.64；27r.

【解析】⑴在等腰梯形4DEF中，作EM1AD于M,求出4E,连接ZC,求出4C=4/7,利用勾

股定理说明CO_LEO；证明4£_1面。0乩说明NCE。就是二面角C—4E—0的平面角，然后求解

即可.

(2)取AD的中点。「连接。花，0#,说明。1为等腰梯形4DEF的外心，取4c的中点0,连接04

0D,0E,