三角形内角和定理的应用（压轴题）-2022-2023学年下学期七年级数学期中复习练习【苏科版-江苏省期中真题】

29三角形内角和定理的应用（压轴题）-2022-2023学年下学

期七年级数学期中复习高频考点专题练习【苏科版-江苏省期

中真题】

一、单选题

1.（2020春・江苏苏州•七年级统考期中）如图，A48C中，NABC=IOO。，且

ZAEFZAFE,NCFD=NCDF,则/EFZ)的度数为()

A.80oB.60°C.40oD.20°

2.（2021春・江苏扬州•七年级校考期中）若AABC内有一个点P∣,当Pi、A、B、C没

有任何三点在同一直线上时，如图1,可构成3个互不重叠的小三角形；若AABC内有

两个点Pi、P2,其它条件不变，如图2,可构成5个互不重叠的小三角形：……若AABC

内有n个点，其它条件不变，则构成若干个互不重叠的小三角形，这些小三角形的内角

和为O

A.n∙180oB.(n+2)-180°C.(2n-l)∙180oD.(2n+1)180°

二、填空题

3.（2021春•江苏苏州•七年级校考期中）如图，在一A3C中，NF=I6。,BD、C。分别

平分/A3C、ZACB,M、N、。分别在。3、DC、BC的延长线上，BE、CE分别

平分NMBC、NBCN,BF、C歹分别平分/EBC、NECQ,则NA=.

A

三、解答题

4.(2021春・江苏扬州・七年级统考期中)如图1,将一副三角板ABC与三角板Ar)E摆

放在一起；如图2,固定三角板ABC,将三角板4DE绕点A按顺时针方向旋转，记旋

转角ACAE=a(0o<σ<180o).

(1)当a=度时，ADJ.BC；当a=度时4£)〃8C；

(2)当V4)E的一边与“43C的某一边平行(不共线)时，直接写出旋转角ɑ的所有

可能的度数；

(3)当0。<夕<45。，连接B。，利用图4探究N3DE+NC4E+/£>3C的度数是否发生

变化，并给出你的证明.

5.(2022春・江苏苏州•七年级校联考期中)某校八年级数学兴趣小组对“三角形内角或

外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究.

试卷第2页，共8页

A

AE

（1）如图1,在AABC中，N48C与NAeB的平分线交于点尸，ZA=64o,则/8PC

（2）如图2,△ABC的内角N4CB的平分线与△ABC的外角NAB。的平分线交于点E.其

中NA=α,求NBEC.（用a表示NBEe）：

（3）如图3,ZCBM,/8CN为AABC的外角，ZCBM,NBCN的平分线交于点Q,

请你写出/BQC与NA的数量关系，并证明.

6.（2022春•江苏泰州•七年级校联考期中）己知.∙.ABC,P是平面内任意一点（A、B、

C、P中任意三点都不在同一直线上）.连接PB、PC,设/PBA=s。，NPCA=t。，ZBPC

=x。，ZBAC=yo.

（1）如图，当点P在ABC内时，

①若y=70,s=10,t=20,则X=；

②探究s、t、x、y之间的数量关系，并证明你得到的结论.

（2）当点P在，ABC外时，直接写出s、t、x、y之间所有可能的数量关系，并画出

相应的图形.

7.（2022春•江苏泰州•七年级统考期中）如图1,在四边形A8CZ）中，AB//CD,/A=

/C,点E为AB延长线上一点，NCBE的平分线交OE于点F.

Sl图2图3

⑴求证：AD//BC.

(2)若QE平分∕AOC,试判断BF与。E的位置关系，并说明理由.

(3)请从下面两个问题中选择一个问题进行解答：

①问题一：如图2,延长8尸交/CCE的平分线交于点G,若乙M>E=66。，求NG的度

数.

②问题二：如图3,连接BO,若N1=N2,NBDF：NBFD=I：2,求NBz)F的度数.

8.(2022春・江苏扬州•七年级统考期中)如图，四边形A8C。中，点E在边AB上且

ZAED=60°.

图1图2

(1)如图1,ZA=ZB=ZC=90°,则NEz?C=°；

(2)如图2,若/4=NB=NC=Il0°,请探究NaC与/4)E之间的数量关系；

(3)如图2,若NA=ZB=NC,此时(2)中的结论还成立吗？若成立，请予以说明，若

不成立，请探究它们此时的关系.

9.(2020春.江苏无锡•七年级校联考期中)阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，

如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角

形”例如：一个三角形三个内角的度数分别是∣20o,40°,20°,这个三角形就是一个“梦

想三角形”.反之，若一个三角形是“梦想三角形"，那么这个三角形的三个内角中一定

有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍.

(1)如果一个“梦想三角形”有一个角为108。，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度

数为__________

(2)如图1,已知NMON=60。，在射线OM上取一点A,过点A作A8J_OM交ON于

点B,以A为端点作射线AD,交线段OB于点C(点C不与。、B重合),若NACB=80。.判

定AAOC是否是“梦想三角形"，为什么？

(3)如图2,点。在AABC的边上，连接。C,作乙4。C的平分线交AC于点E,在

试卷第4页，共8页

OC上取一点尸，使得NEFC+N8DC=180。，NDEF=NB.若△BCD是“梦想三角形”,

求/B的度数.

图1图2

10.(2021春・江苏常州•七年级校考期中)已知MN//G”,在RjABC中，

ZACB=90o,NBAC=30。，点A在MN上，边BC在G〃上，在RtZXDEF中，ZDFE=90°,

边OE在直线AB上，ZEDF=45。；

(1)如图1,求NBAN的度数；

(2)如图2,将Rr△。所沿射线84的方向平移，当点F在M上时，求-AFE度数；

(3)将放△£>ER在直线AB上平移，当以4D、F为顶点的三角形是直角三角形时，

直接写出NE4N度数.

11.(2021春•江苏苏州•七年级统考期中)直线MN与直线PQ垂直相交于。，点A在射

线OP上运动，点B在射线QM上运动.

(1)如图1,已知AC、BC分别是NBA。和NABO角的平分线，点A、B在运动的过

程中，NACB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试

求出其值；

(2)如图2,延长84至。，已知/3A0、NoA。的角平分线与NBOQ的角平分线及

其延长线相交于E、F.

①求/E4尸的度数.

②在中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求NABo的度数.

12.(2022春・江苏常州•七年级常州市清潭中学校考期中)阅读下列材料并解答问题：

在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我

们称为“梦想三角形”.例如:一个三角形三个内角的度数分别是120。，40°,20°,这

个三角形就是一个“梦想三角形反之，若一个三角形是“梦想三角形"，那么这个三角

形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍.

(1)如果一个“梦想三角形''有一个角为108。，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数

为;

(2)如图1,已知AMON=60°,在射线OM上取一点A,过点A作AB_LaW交ON于点B,

以A为端点作射线A。，交线段OB于点C(点C不与。、B重合)，若ZACB=80。.判

图1

(3)如图2,点。在.ABC的边上，连接。C,作/ADC的平分线交AC于点E,在OC

上取一点尸，使得NE尸C+ZBDC=18(T,Nz无尸=NB.若aBCD是“梦想三角形"，求NB

的度数.

图2

试卷第6页，共8页

13.(2021春.江苏苏州.七年级校联考期中)如图1,已知ΛB∕∕CD,尸是直线A8,CD

外的一点，PFLCD于点F,PE交AB于点、E,满足NFPE=6()。.

图1图2

备用图

(1)求乙钻尸的度数；

(2)如图2,射线PN从PE出发，以每秒10。的速度绕户点按逆时针方向匀速旋转，当

PN到达P尸时立刻返回至PE,然后继续按上述方式旋转；射线EM从E4出发，以相

同的速度绕E点按顺时针方向旋转至EP后停止运动，此时射线PN也停止运动.若射

线PN、射线EM同时开始运动，设运动时间为，秒.

①当射线PN平分NEPF时，求AMEP的度数(0o<ZMEP<180°)；

②当直线EM与直线PN相交所成的锐角是60。时，则/=.

14.(2022春•江苏无锡•七年级校联考期中)如图①，_A3C的角平分线B。、CE相交于

⑴如果NA=80。，求/BPe的度数；

（2）如图②，过户点作直线MN,分别交4B和AC于点M和M且MN平行于BC,试求

ZMPB+NNPC的度数（用含NA的代数式表示）；

⑶将（2）中的直线MN绕点尸旋转，分别交线段AB于点M（不与A、8重合），交直

线Ae于M试探索ZMP3、ZNPC.NA三者之间的数量关系，并说明理由；

试卷第8页，共8页

参考答案:

ɪ.C

【分析】连接必，根据三角形内角和和外角知识，进行角度计算即可.

【详解】解：如图连接Fβ,

VZAEF=ZAFE,NCFD=ZCDF,

：.ZAEF=ZAFE=AEFB+NEBF，NCFD=NCDF=NBFD+NFBD

：.ZAFE+NCFD=ZEFB+ZEBF+ZBFD+NFBD,

即ZAFE+ZCFD=ZEFD+ZEBD,

又；ZAFE+NEFD+NDFC=I80。,

二2NEFD+NEBD=180°,

：ZABC=IO0°,

故选：C.

【点睛】此题考查三角形内角和和外角定义，掌握三角形内角和为∣80o,三角形一个外角

等于不相邻两内角之和是解题关键.

2.D

【分析】当AABC内的点的个数是1时,三角形内互不重叠的小三角形的个数是3：当AABC

内的点的个数是2时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是5；依此类推得到当AABC

内的点的个数是3时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是7；当AABC内的点的个数是

n时，三角形内互不重叠的小三角形的个数2n+l,所以这些小三角形的内角和为(2n+l)∙18(Γ

【详解】】解：图1中，当AABC内只有1个点时，可分割成3个互不重叠的小三角形；

图2中，当△ABC内只有2个点时，可分割成5个互不重叠的小三角形；

图3中，当AABC内只有3个点时，可分割成7个互不重叠的小三角形；

根据以上规律，当AABC内有n个点(P”P2,...,Pn)时，可以把AABC分割成S=2n+1

答案第1页，共22页

个互不重叠的三角形，所以这些小三角形的内角和为(2n+l)∙180o.

【点睛】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其

中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键.

3.52°

【分析】根据三角形外角的性质和角平分线的定义可求出NE,利用三角形内角和求出

Z5+Z6+Z1,得到ZM8C+Z∕VCB,从而求出NDBC+/DCB,再次利用角平分线的定义和

三角形内角和得到NA.

【详解】解：BF,CF分别平分NEBC、ZECQ,

.∙.N5=N6,Z2=N3+N4,

Z3+Z4=Z5+ZF,Z2+Z3+Z4=Z5+Z6+ZE,

B[JZ2=Z5+ZF,2Z2=2Z5+Z£,

.∙.2ZF=ZE=32o,

BE、CE分别平分NMBC、ABCN,

.∙.N5+N6=L∕MBC,ZI=LZNCB,

22

Z5+Z6+Z1=L(NMBC+ZNCB),

2

Zf=l80o-(Z5+Z6+Zl)=32o,

：.Z5+Z6+Zl=l48o,

/.NMBC+NNCB=2(N5+Z6+Z1)=296°,

QBD、C。分别平分/ABC、ZACB,

:.ADBC--AABC,ZDCB=-ZACB,

22

ZDBC+NDCB=180o-NMBC+180o-NNCB=360o-(NMBC+NNe8)=64°,

.∙.NA=I80°-(ΛABC+NACB)=I80°-2(NDBC+NDCB)=52°,

故答案为：52°.

答案第2页，共22页

A

【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角性质、角平分线的定义等知识，解题的

关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

4.(I)105,15；(2)旋转角α的所有可能的度数是：15。，45°,105。，135。，150。；(3)

NBDE+NC4E+∕O3C=105°,保持不变；见解析

【分析】(1)三角板A。E顺时针旋转后的三角板为当47J.3C时，

AlyAD=川AE+ZEAD,则可求得旋转角度；当A"〃BC时，ZiyAD=ADAE-ZACB,

则可求得旋转角度：

(2)分五种情况考虑：AD/∕BC,DE//AB,DE/∕BC,DE//AC,AE//BC,即可分别求出

旋转角；

(3)设BD分别交AC、AE于点M、N,利用三角形的内外角的相等关系分别得出：

ZANM=NE+NBDE及ZAMN=NC+NDBC,由AMN的内角和为180。，即可得出结论.

【详解】(1)三角板ADE顺时针旋转后的三角板为47E,当BC时，如图，

∙/ΛD'AE=90°-ZACB=60o,NEAo=45°

/•ZD'AD=ADAE+ZEAD=60°+45°=1()5°

即旋转角α=105。

当AD'//BC时，如图，则NME=NAC3=30。

ZiyAD=ZDAE-ZACB=45o-30°=15°

即旋转角α=15°

答案第3页，共22页

故答案为：105,15

(2)当VADE的一边与AfiC的某一边平行(不共线)时，有五种情况

当AC〃BC时，由(1)知旋转角为15。；

如图(1),当Z)E〃AB时，旋转角为45。；

当。E〃BC时，由则有Aoj_8C,此时由(1)知，旋转角为105。；

如图(2),当。E〃AC时，则旋转角为135。；

如图(3),当AE〃BC时，则旋转角为150。；

所以旋转角。的所有可能的度数是：15。，45。，105。，135。，150。

图(3)

(3)当0。＜夕＜45。，ABDE+ZCAE+ZDBC=105°,保持不变;

理由如下：

设BO分别交AC、AE于点M、N,如图

答案第4页，共22页

D

在.AW中，ZAMN+ZCAEZANM=ISO

ZANM=∕E+/BDE,ZAMN=/C+NDBC

:.ZE+ZBDE+NCAE+ZC+ZDBC=180°

ZC=30o,NE=45。

.∙.NBDE+NCAE+/DBC=105°

【点睛】本题考查了图形旋转的性质，三角形内角和定理，三角形的外角与不相邻的两个内

角的相等关系等知识，注意旋转的三要素：旋转中心，旋转方向和旋转角度.

5.(1)NBPC=I22。；(2)ZBEC=⅛；(3)ZBβC=90°-yZA,证明见解析

22

【分析】(I)根据三角形的内角和化为角平分线的定义；

(2)根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用NA与/1表示出N2,再

利用/E与/1表示出/2,于是得到结论；

(3)根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出

NEBC与NECB,然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解.

【详解】解：(1)BP、CP分别平分NABC和Nz4C6,

.-.ZPBC=-ZABC,NPCB=LNACB,

22

.∙.NBPC=180o-(ZPfiC+NPCB)

=ɪ80o-(ɪZABC+^ZACB),

22

=180。」(ZABC+ZACB),

2

=180o-ɪ(ɪsθ0-ZA),

2

=180°-90°+LNA,

2

=90o+32=122o,

故答案为：122。；

(2).CE和BE分别是NACB和/ABO的角平分线，

答案第5页，共22页

.∙.ZlɪɪZACfi,Z2=-^ABD,

22

又NABf)是ΔAδC的一外角，

:.ZABD=ZA+ZACB,

N2=L(ZA+ZABC)=4ZA+Nl,

22

N2是MEC的一外角，

.∙.N8EC=N2-N1=0ZA+N1-N1=L∠Λ=2；

222

(3)ZQBC=g(ZA+ZΛC8),AQCB=ɪ(Z4+ZABC),

NBQC=180o-NQBC-NQCB,

=180°-ɪ(ZA+ZACB)-ɪ(ZA+ZABC),

22

=1期-」ZA-L(ZA+ZABC+NAC8),

22

结论：ZββC=90o-l∠A.

【点睛】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相

邻的两个内角的和是解题的关键.

6.(1)①Io0；②x=y+s+t;(2)见详解.

【分析】(1)①利用三角形的内角和定理即可解决问题；

②结论：χ=y÷s+t.利用三角形内角和定理即可证明；

(2)分6种情形分别求解即可解决问题.

【详解】解：(1)φVZBAC=70o,

ΛZABC+ZACB=110o,

VZPBA=IOo,ZPCA=20o,

ΛZPBC+ZPCB=80o,

/.ZBPC=IOO0,

答案第6页，共22页

Λx=100,

故答案为：1OO.

②结论：x=y+s+t.

理由：∙.βZA+ZABC+ZACB=ZA+ZPBA+ZPCA+ZPBC÷ZPCB=180o,

ZPBC+ZPCB+ZBPC=I80°,

・・・NA+NPBA+NPCA=NBPC,

/.x=y+s+t.

(2)s、t、x、y之间所有可能的数量关系：

如图1：s+x=t+y；

图1

如图2：s+y=t+x;

如图3：y=x+s+t;

图3

如图4：x+y+s+t=360o;

答案第7页，共22页

B

图4

如图5：t=s+x+y;

【点睛】本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会用

分类讨论的思想思考问题.

7.⑴见解析

(I)BFLDE,理由见解析

(3)①57°；②36。

【分析】(1)由A8〃CZ),ZA=ZC,可得∕A+/ABC=180。，AD//BC.

(2)由平分NCBE,即得NE+NE8F=g(ZAZ)C+ZO=90°,故NBFE=90°,

BFVDE.

(3)①连接OB,设NCOE=2x,NCBE=2y,可得x+y=57。，而N8OG+NOBG+*+

y=180°,NBOG+NOBG+NG=180°,可得NG=X+P=57°.

答案第8页，共22页

②设/BOF=x,NBFD=2x,可得/QBF=NE+NEBF,又NE+NEBF=NBFD=NDBF

=2x,而/5。尸+/8尸£>+/。8尸=180°,可得5x=180°,故/8。/=36°.

【详解】(1)证明：∙.∙AB"C£>,

NC+NABC=I80。，

又；ZA=ZG

，ZA+ZABC=180°,

：.AD//BC.

(2)BFLDE,理由如下：

由(1)知AO〃BC,

.∙.ZADC+ZC=180°,

∖'AE∕∕CD,

；.NE=NCDE,NCBE=4C,

；OE平分/AOC,

/.NE=NCDE=IZADC,

YB尸平分/C8E,

NEBF=ɪNCBE=ɪNC,

：.ZE+ZEBF=(ZADC+ZO=90°,

又∙/ZE+ZEBF+ZBFE=180°,

/.ZBFf=90o,BRBFVDE.

(3)①连接力8,如图，

设∕COE=2x,NCBE=2y,

∖"AE∕∕CD,

：.NC=NCBE=2y,ZCDB+ZEBD=180°,

'：AD//BC,

答案第9页，共22页

.β.NAoC+NC=180。，

即66o+2x+2y=180o,

Λ%+y=570,

VDG›BG分别平分NcZ)E、ZCBEf

：・NCDG=gNCDE=X,/EBG=g/CBE=y,

∙/ZBDG+ZDBG+X+>=180°,

且ZBDG+ZDBG+ZG=180°,

ΛZG=X+y=57°.

②设NBO尸=x,ABFD=Ix,

t

∖AD∕∕BC9

：./CBD=/2,

∖,AE∕∕CD,

ΛZE=Zl,

又∙∙∙N1=N2,

"CBD=NE,

♦：BF平分/CBE,

：.ACBF=AEBF,

：.ZCBD+NCBF=ZE+NEBF,

即ZDBF=ZE+ZEBFf

•：ZE+ZEBF+NBFE=180°,

且ZBFD+ZBFE=180°,

ZE+NEBF=/BFD=NDBF=Ix,

∙/ZBDF+ZBFD+ZDBF=180°,

・・・5x=180°,

得X=36。，即/3。尸=36。.

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，涉及三角形内角和定理的应用，解题的关键是掌

握平行线性质、判定定理及三角形内角和定理.

8.(1)60

Q)NEDC=2ZADE.

答案第10页，共22页

(3)ZEDC=2ZADE,理由见解析

【分析】(1)先求解SEB=I20。,连接80,再利用三角形的内角和定理可得答案；

(2)连接再利用三角形形的内角和定理求解4"'=360。-110。*3=30。,再利用角的

和差关系可得答案；

(3)连接8D,再利用三角形形的内角和定理可得ZAOC=36(Γ-3ZA,结合

ZA=1?,Q°-AAED-AADE=120°-ZADE,可得ZADC=360o-3(120o-ZAoE)=3ZADE,

再利用角的和差关系可得答案.

(1)

解：VZA£D=60°,

.,.NDEB=I20。,

如图，连接BD,

NEBC=ZC=90o,NEBD+NDEB+NEDB+ZDBC+ZC+ZBDC=360°,

/.NDEB+NEBC+ZC+NEDC=360°,

ZEDC=360°-90°-90°-120。=60°.

故答案为：60

(2)

如图，连接B。，

答案第11页，共22页

D

BC

O

∙:ZA=ZABC=ZC=HO9ΛA+AABD+ZADB+ADBC+ΛC+ZBDC360°,

：.ZΛ÷ZABC+ZC÷ZADC=360。，

・・・ZADC=360o-110o×3=30o,

：•ZADE+ZEDC=30o.

β.∙ZA=110o,ZΛED=60o,

/.ZADE=180o-110o-60o=10o,/EDC=20o,

・・・ZEDC=2ZADE.

(3)

(2)的结论成立，理由如下：

如图，连接80,

D

BC

・.・ZA+ZABD+/ADB+/DBC+ZC÷ZBDC=360°,

.・.ZA+ZABC+ZC+ZADC=360°,

・.・ZA=ZABC=ZC,

...ZADC=360o-3ZΛ,

答案第12页，共22页

VZA=I80o-AAED-ZADE=120o-ZADE,

：.ZADC=36()°-3(120o-ZADE)=3ZADE,

：.ZADE+NEDC=3NADE,

：.AEDC=2AADE.

【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角的和差关系的应用，作出适当的辅助

线构建三角形是解本题的关键.

9.(I)36。或18。；(2)∆AOB,△AOC都是“梦想三角形"，证明详见解析；(3)NB=36。

或/8=(手540)。.

【分析】(1)根据三角形内角和等于180。，如果一个“梦想三角形”有一个角为108。，可得

另两个角的和为72。，由三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，可以分别求得最小角为

180o-108o-108÷3o=36o,72o÷(1+3)=18°,由此比较得出答案即可;

(2)根据垂直的定义、三角形内角和定理求出N48O、NOAC的度数，根据“梦想三角形”

的定义判断即可；

(3)根据同角的补角相等得到/EFC=/ADC,根据平行线的性质得到/QEF=/AoE,

推出。E〃8C,得到/COE=NBCO,根据角平分线的定义得到/AOE=/COE,求得/8

=NBCD,根据“梦想三角形”的定义求解即可.

【详解】解：当108。的角是另一个内角的3倍时，

最小角为180°-108o-108÷3o=36o,

当180°-108。=72。的角是另一个内角的3倍时，

最小角为72°÷(1+3)=18°,

因此，这个“梦想三角形”的最小内角的度数为36。或18°.

故答案为：18。或36。.

(2)ΔAOB,AAOC都是“梦想三角形”

证明：'：ABLOM,

：./048=90。，

.∙.ZABO=90o-/MON=30。，

：.ZOAB=3ZABO,

.∙.∆AOB为“梦想三角形”，

VZMO∕V=60o,NACB=80°,ZACB=ZOAC+ZMON,

答案第13页，共22页

ΛZOAC=80o-60o=20o,

.∖ZAOB=3ZOACf

•••△AOC是“梦想三角形”.

(3)解：VZEFC+ZBDC=180o,ZADC+ZBDC=180°,

/.ZEFC=ZADCf

J.AD//EF,

：.ZDEF=ZADE1

,β

.ZDEF=ZBf

INB=NADE,

J.DE//BC,

：•/CDE=/BCD,

TAE平分NAQC,

・•・NADE=NCDE,

:・/B=/BCD,

是“梦想三角形”，

：・/BDC=3/B,或乙B=3N5QC

∙/ZBDC+ZBCD+NB=I80。，

、540

・•・NB=36。或NB=(-)°.

7

【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、“梦想三角形''的概念，用分类讨论的思想解决问

题是解本题的关键.

10.(1)60°；(2)15°；(3)30。或15°

【分析】(1)利用两直线平行，同旁内角互补，得出NGW=90。，即可得出结论；

(2)先利用三角形的内角和定理求出NAF即可得出结论；

(3)分ZDAF=90°和ZAFD=90。两种情况求解即可得出结论.

【详解】W.：(1)MNHGH,

.∙.ZACB+ZΛ¼C=180°,

NACB=90。，

/.ZOUV=90°,

NfiAC=30。，

答案第14页，共22页

.∙.ZfiATV=90o-ZfiAC=60°；

(2)由(1)知，ZBA7V=60o,

ZEDF=45。,

.∙.ZAFD=1800-ZBAN-AEDF=75°,

NDFE=90°,

.∖ZAFE=ZDFE-ZAFD=∖5Q；

(3)当ND4尸=90。时，如图3,

由(1)知，ZBAN=60°,

图3

当NAfD=90。时，如图4,

/DFE=90。,

•■点A,E重合，

NEDF=45°,

.∖ZDAF45°,

由(1)知，ZBAN=ωo,

:.ZFAN=NBAN-^DAF=15°,

即当以A、D、F为顶点的三角形是直角三角形时，NE4N度数为30。或15。.

【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角的和差

的计算，求出∕54N=60。是解本题的关键.

11.(I)不变，135。；(2)①90°；②60。或45°

答案第15页，共22页

【分析】(1)根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可知/408=90。，再由AC、BC分别是

/BAO和NABo角的平分线得出∕BAC=gNOAB,∕ABC=g∕AB0,由三角形内角和定

理即可得出结论；

(2)①由N8A。与N8。。的角平分线相交于E可知NE4。=TNBAO,NEoQ=BOQ,

进而得出NE的度数，由AE、A尸分别是NBAo和NOAO的角平分线可知NE4F=90。；

②在AAEF中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论.

【详解】解：(1)/ACB的大小不变，

Y直线MN与直线PQ垂直相交于0,

：.NAoB=90。，

：.ZOAB+ZOBA=90°,

'：AC,BC分别是/BAO和/480角的平分线，

/.ZBAC=INOAB,NABC=TZABO,

，/8AC+/ABCq(ZOΛB+ZΛBO)=∣×90o=45o,

二/ACB=135。；

(2)@-：AE,AF分别是NBAO和NoA。的角平分线，

：.NEAo=；NBA。,ZFAO=^ZDAO,

：.4EAF=W(NBAo+NZMO)=y×180o=90o.

故答案为：90；

②∙.∙/B40与/80Q的角平分线相交于E,

：.ZEAO=^ZBAO,ZEOQ=yZBOQ,

：./E=/EOQ-∕EAO=g(ZBOQ-ZBAO)ZABO,

即NABgNE,

在△4E尸中，二•有一个角是另一个角的3倍，故分四种情况讨论：

®ZEAF=3ZE,∕E=30°,贝∣J/480=60°；

②∕E4F=3∕F,Z£=60°,ZABO=UOo(舍去)；

③/尸=3∕E,NE=225。,ZABC>=45o;

④NE=3N凡NE=67.5。，NABo=I35。(舍去).

答案第16页，共22页

：.ZABO为60。或45°.

【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、三角形外角性质以及角平分线的定义的运用，熟

知三角形内角和是180。是解答此题的关键.

12.(1)36°或18。

⑵是

【分析】(1)分两种情形：当108。是三角形的一个内角的3倍，当另外两个内角是3倍关

系，分别求解即可.

(2)根据“梦想三角形”的定义可以判断：AOC都是“梦想三角形

(3)根据“梦想三角形”的定义，分两种情形分别求解即可.

【详解】(1)解：当108。是三角形的一个内角的3倍，则有这个内角为36。，第三个内角也

是36。，故最小的内角是36。，

当另外两个内角是3倍关系，则有另外两个内角分别为：54。，18。，最小的内角是18°

故答案为：36。或18。.

(2)结论：AOC是“梦想三角形”.

理由：NMON=60。，ZACB=SOo,ZACB=ZOAC+AMON,

二NOAC=80°—60°=20°,

：.ZAOB=3AOAC,

.∙.一AoC是“梦想三角形”.

(3)NEFC+/BDC=180。,ZADC+ZBDC=ISOo,

.-.AEFC=ZADC,

.∙.AD//EF,

：.NDEF=ZADE,

ZDEF=ZB,

.'.AB=ZADE,

：.DE//BC,

：.NCDE=NBCD,

DE平分N4)C,

答案第17页，共22页

.∙.ZADE=ZCDE,

:.NB=NBCD,

ΔB8是“梦想三角形”，

NBDC=3NB,或NB=3NBDC,

NBDC+ZBCD+Zfi=I80°,

540

.../8=36°或/8=(三)°.

【点睛】本题考查三角形内角和定理，“梦想三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，

学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型.

39

13.(1)NAEP=I50;(2)①NMEP=60,120;@t=-s,-s.

22

【分析】(1)根据A3〃C£),PFLCD,可以得到PFJ_他，即N4WP=90,再根据三角

形外角定理求解即可.

(2)①射线PN平分NEPF时，可知此时NEPN=30,根据题意可以确定运动时间k3s或

∕=9s,从而计算NMEP的度数即可：②用含f的代数式表示出所成的角度，然后进行动态分

析求解即可.

【详解】解(1)VAB//CD,PFYCD

，PFA.AB

：.ZAHP=90°

又ZFPE=60

ZAEP=ZPHE+NFPE=150

图1

(2)①；射线PN平分NEPF

.∙.NEPN=NFPN=30

Y射线EM从E4出发，以相同的速度绕E点按顺时针方向旋转至火后停止运动，此时射

答案第18页，共22页

线PN也停止运动，NAEP=I50

运动的总时间∕a=150÷10=15.v

•；射线PN从PE出发，以每秒10°的速度绕P点按逆时针方向匀速旋转，当PN到达尸尸时

立刻返回至尸£,然后继续按上述方式旋转

二第一次∕EPN=60,f∣=30÷10=3s,第二次∕EPN=60时，％=90+10=9s,第三次

NEPN=60时，4=150÷10=15s以此类推

故当第一次NEPN=60,4=30÷10=3s

ZMEP=ZAEP-ZAEM=150-10×3=120

故第二次NEpN=60时，4=90÷10=9s

/.ZMEP=ZAEP-ZAEM=150-10x9=60

故第三次NEPV=60时，r3=15O÷1O=15Λ

.*.ZMEP=ZAEP-ZAEM=150-10×15=0

V0o<ZMfP<180°

.,∙NMEP=60,120

②如图所示

直线EM与直线PN相交所成的锐角是60°

，ZMOP=60或120

ZEGO=NPEB+ZEPN,ZGEO=ZMEA,NPEB=180-AAEP=30

；•ZMOP=180-ZMEA-NEPN-NPEB

.∙.NMOP=150-ZMEA-ZEPN

又：ZMEA=∖Ot

答案第19页，共22页

∙"∙NMOP=150-IOf-NEPN

第一种情况，当04f≤6时

NEPN=IOt

ʌZMOP=150-IOf-NEPN=150-20t

当NVOP=I50-IOt-N