天津第三中学2022年高二数学理上学期期末试卷含解析

天津第三中学2022年高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的（

）A.若,,,则

B.若,,,则C.若,,,则

D．若,,,则参考答案：D略2.下列结论中正确的是（）A．若a＞0，则（a+1）（+1）≥2 B．若x＞0，则lnx+≥2C．若a+b=1，则a2+b2≥ D．若a+b=1，则a2+b2≤参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】根据基本不等即可求出判断．【解答】解：对于A：（a+1）（+1）=1+1+a+≥2+2=4，故A不正确，对于B，当0＜x＜1时，lnx+＜0，故B不正确，∵a+b=1，则a2+b2≥=，当且仅当a=b=，故C正确，D不正确，故选：C．3.有3个男生和3个女生参加某公司招聘，按随机顺序逐个进行面试，那么任何时候等待面试的女生人数都不少于男生人数的概率是．

．

．

．参考答案：B4.已知a、b为直线，α，β，γ为平面，有下列四个命题：①a∥α，b∥α，则a∥b

②α⊥β，β⊥γ，则α∥β③a∥α，a∥β，则α∥β

④a∥b，b?α，则a∥α其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：A【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的判定．【分析】根据空间线面平行及线线平行的几何特征，可判断①的真假；根据空间面面垂直及面面平行的几何特征，可判断②的真假；根据空间线面平行及面面平行的几何特征，可判断③的真假；根据空间线线平行及线面平行的几何特征及线面平行的判定定理可判断④的真假．【解答】解：①中，若a∥α，b∥α，则a与b可能平行，也可能相交，也可能异面，故①错误；

②中，若α⊥β，β⊥γ，则α与β的交线与γ垂直，但平面α与β可能平行，也可能相交且夹角不确定，故②错误；③中，若a∥α，a∥β，则α与β可能平行，也可能相交（此时两平面的交线与已知直线平行），故③错误；④中，若a∥b，b?α，则a∥α或a?α，故④错误故选A5.已知数列{an}中，a1=1，当n≥2时，an=2an﹣1+1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的一个表达式是（）A．n2﹣1 B．（n﹣1）2+1 C．2n﹣1 D．2n﹣1+1参考答案：C【考点】等比关系的确定；数列的概念及简单表示法．【分析】由递推式可求得数列的前4项，从而可猜想an，通过构造等比数列可求证．【解答】解：由a1=1，当n≥2时，an=2an﹣1+1，得a2=2a1+1=2×1+1=3，a3=2a2+1=2×3+1=7，a4=2a3+1=2×7+1=15，猜想﹣1，证明如下：由an=2an﹣1+1，得an+1=2（an﹣1+1）（n≥2），∴{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，则an+1=2n，∴，故选C．6.设α，β，γ表示平面，l表示直线，则下列命题中，错误的是（）A．如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于βB．如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么l⊥γC．如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于βD．如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于β参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A，如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于面α、β的交线，由线面平行的判定；B，在l任意取点P，利用平面与平面垂直的性质定理，分别在平面α，β内找到一条直线PA，PB都垂直平面γ，根据与一个平面垂直的直线只有一条得到PA，PB重合即为l；C，如果α不垂直于β，那么由面面垂直的判定得α内一定不存在直线垂直于β；D，如果α⊥β，如果α⊥β，那么α内的直线与β相交、平行或包含于β；【解答】解：对于A，如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于面α、β的交线，由线面平行的判定，可知A正确；对于B，在l任意取点P，利用平面与平面垂直的性质定理，分别在平面α，β内找到一条直线PA，PB都垂直平面γ，根据与一个平面垂直的直线只有一条得到PA，PB重合即为l，故正确；对于C，如果α不垂直于β，那么由面面垂直的判定得α内一定不存在直线垂直于β，故正确；对于D，如果α⊥β，如果α⊥β，那么α内的直线与β相交、平行或包含于β，故错误；故选：D．7.直线与圆的位置关系是（

）．A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定参考答案：A直线，即，即直线过点，∵把点代入圆的方程有，∴点在圆的内部，∴过点的直线一定和圆相交．故选．8.已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(θ为参数)，且它们总有公共点．则a的取值范围是()A. B.C. D.参考答案：C【分析】由已知得消去θ得到a2(a2＋4)t2－2a(a＋4)t＋1＝0，再利用Δ≥0即得a的范围.【详解】由已知得则4(at－1)2＋(a2t－1)2＝4，即a2(a2＋4)t2－2a(a＋4)t＋1＝0，Δ＝4a2(a＋4)2－4a2(a2＋4)＝16a2(2a＋3)．直线l与椭圆总有公共点的充要条件是Δ≥0，即a≥－.故答案为：C.【点睛】本题主要考查直线和曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.9.平行六面体的棱长均为2，∠ABB’=120°,∠B’BC=60°,∠ABC=90°,=(

)A．

B.

C.

D.

参考答案：B略10.若，且，则下列不等式一定成立的是（

）A.．

B．

C．

D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知椭圆：，点分别是椭圆的左顶点和左焦点，点是圆上的动点.若是常数，则椭圆的离心率是

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参考答案：12.在区间上随机取一个数，的值介于0至之间的概率为________．参考答案：13.已知直线⊥平面，直线平面，给出下列命题：①∥

②⊥

③⊥

④∥其中正确命题的序号是______________.参考答案：①③14.点M的柱坐标为（8，，2），则它的直角坐标为_______________.参考答案：略15.已知如下结论：“等边三角形内任意一点到各边的距离之和等于此三角形的高”，将此结论拓展到空间中的正四面体（棱长都相等的三棱锥），可得出的正确结论是：参考答案：正四面体内任意一点到各面的距离之和等于此正四面体的高。略16.已知，则的最小值为

．参考答案：略17.用数学归纳法证明，在验证n=1成立时，等式左边是

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.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在各项均为正数的等比数列中，，且，，成等差数列，则

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.参考答案：(1)

.

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(2).19.（本题满分12分）某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，……，依等差数列逐年递增.（1）设使用n年该车的总费用（包括购车费用）为f(n)，试写出f(n)的表达式；（2）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）．

参考答案：解：（１）依题意f(n)=14.4+(0.2+0.4+0.6+…+0.2n)+0.9n

……4分

……6分（２）设该车的年平均费用为S万元，则有

……8分仅当，即n=12时，等号成立.

………………11分答：汽车使用12年报废为宜.

………………12分略20.已知向量，，若函数.（1）求的最小正周期；（2）若，求的最大值及相应的值；（3）若，求的单调递减