浙江省杭州市中泰中学2022年高二数学理期末试题含解析

浙江省杭州市中泰中学2022年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥α D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β参考答案：C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】用直线与平面平行的性质定理判断A的正误；用直线与平面平行的性质定理判断B的正误；用线面垂直的判定定理判断C的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断D的正误．【解答】解：A、m∥α，n∥α，则m∥n，m与n可能相交也可能异面，所以A不正确；B、m∥α，m∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确；C、m∥n，m⊥α，则n⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确．D、m∥α，α⊥β，则m⊥β，也可能m∥β，也可能m∩β=A，所以D不正确；故选C．2.如图，在正方形内作内切圆，将正方形、圆绕对角线旋转一周得到的两个旋转体的体积依次记为，，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D3.数列的通项，其前n项和为，则为A．470

B．490

C．495

D．510参考答案：A4..在的展开式中，项的系数为（

）A.－40 B.40 C.－80 D.80参考答案：D【分析】通过展开二项式即得答案.【详解】在的展开式中,的系数为，故答案为D.【点睛】本题主要考查二项式定理，难度很小.

5.“”是“函数有零点”的(

)A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A6.如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则cosθ=（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】已知三角函数模型的应用问题．【专题】综合题；压轴题．【分析】利用余弦定理求出BC的数值，正弦定理推出∠ACB的余弦值，利用cosθ=cos（∠ACB+30°）展开求出cosθ的值．【解答】解：如图所示，在△ABC中，AB=40，AC=20，∠BAC=120°，由余弦定理得BC2=AB2+AC2﹣2AB?AC?cos120°=2800，所以BC=20．由正弦定理得sin∠ACB=?sin∠BAC=．由∠BAC=120°知∠ACB为锐角，故cos∠ACB=．故cosθ=cos（∠ACB+30°）=cos∠ACBcos30°﹣sin∠ACBsin30°=．故选B【点评】本题是中档题，考查三角函数的化简求值，余弦定理、正弦定理的应用，注意角的变换，方位角的应用，考查计算能力．7.三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=1，PA=，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．5π B．π C．20π D．4π参考答案：A【考点】球的体积和表面积．【分析】根据题意，证出BC⊥平面PAC，PB是三棱锥P﹣ABC的外接球直径．利用勾股定理结合题中数据算出PB=，得外接球半径R=，从而得到所求外接球的表面积【解答】解：PA⊥平面ABC，AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC，PB是三棱锥P﹣ABC的外接球直径；∵Rt△PBA中，AB=，PA=∴PB=，可得外接球半径R=PB=∴外接球的表面积S=4πR2=5π故选A．8.下列函数是偶函数的是（）A．y=x B．y=2x2﹣3 C． D．y=x2，x∈[0，1]参考答案：B【考点】偶函数．【专题】计算题．【分析】根据偶函数的定义“对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都满足f（x）=f（﹣x），则函数f（x）为偶函数”进行判定．【解答】解：对于A，f（﹣x）=﹣x=﹣f（x），是奇函数对于B，定义域为R，满足f（x）=f（﹣x），是偶函数对于C，定义域为[0，+∞）不对称，则不是偶函数；对于D，定义域为[0，1]不对称，则不是偶函数故选B．【点评】本题主要考查了偶函数的定义，同时考查了解决问题、分析问题的能力，属于基础题．9.定义：离心率的椭圆为“黄金椭圆”，对于椭圆E：，c为椭圆的半焦距，如果不成等比数列，则椭圆E（

）A．一定是“黄金椭圆”

B．一定不是“黄金椭圆”C．可能是“黄金椭圆”

D．可能不是“黄金椭圆”

参考答案：B略10.已知函数，若对，，都有成立，则a的取值范围是（

）A. B.(－∞,1] C. D.(－∞,e]参考答案：C【分析】通过变形可将问题转化为对，单调递减；即在上恒成立；通过分离变量的方式可求得的取值范围.【详解】由且得：对，，都有令，则则只需对，单调递减即可即在上恒成立

令，则当时，，则在上单调递减当时，，则在上单调递增

本题正确选项：【点睛】本题考查根据函数在区间内的单调性求解参数范围问题，关键是能够将原题中的恒成立的关系转化为函数单调性的问题，从而通过分离变量的方式来求解.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.给出下列不等式：，则按此规律可猜想第n个不等式为

.参考答案：略12.已知其中m、n为实数,则m+n=___________.参考答案：3略13.已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为

．参考答案：14.函数f（x）=ax3+bx2+cx的图象如图所示，且f（x）在x=x0与x=－1处取得极值，给出下列判断：①f（1）+f（－1）=0；

②f（－2）>0；③函数y=f'（x）在区间（－∞，0）上是增函数.其中正确的判断是_________.（写出所有正确判断的序号）参考答案：②③15.从一块短轴长为的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是，则该椭圆离心率的取值范围是 ．参考答案：略16.，则

.参考答案：略17.经过点P(1,0)，且与y轴平行的直线方程为_____参考答案：【分析】本题首先可以根据直线与y轴平行得出直线方程的斜率不存在，直线方程为，然后根据点坐标即可得出直线方程的解析式。【详解】过点，且与y轴平行的直线方程为，故答案为：．【点睛】本题考查了直线的相关性质，主要考查了直线方程的求法与应用问题，考查与y轴平行的直线的相关性质，考查推理能力，是基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）：已知圆的方程为，定直线的方程为．动圆与圆外切，且与直线相切．（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）斜率为的直线与轨迹相切于第一象限的点，过点作直线的垂线恰好经过点，并交轨迹于异于点P的点，记为轨迹与直线围成的封闭图形的面积，求的值。参考答案：解：（1）设动圆圆心C的坐标为，动圆半径为，则

，且

———2分

可得．由于圆C1在直线的上方，所以动圆C的圆心C应该在直线的上方，所以有，从而得，整理得，即为动圆圆心C的轨迹的方程．5分（2）如图示，设点P的坐标为，则切线的斜率为，可得直线PQ的斜率为，所以直线PQ的方程为．由于该直线经过点A（0,6），所以有，得．因为点P在第一象限，所以，点P坐标为（4,2），直线PQ的方程为．

———9分把直线PQ的方程与轨迹的方程联立得，解得或4，可得点Q的坐标为．所以

．

———12分19.（本题满分12分）在中，是三角形的三内角，是三内角对应的三边，已知．（1）求角的大小；（2）若＝，且△ABC的面积为，求的值.参考答案：解：（1）又为三角形内角，所以………………4分（2），由面积公式得：………………6分由余弦定理得：………10分由②变形得………12分略20.（本题满分14分）

已知圆内有一点，AB为过点且倾斜角为α的弦，

（1）当α=135o时，求直线AB的方程;

（2）若弦AB被点平分，求直线AB的方程。参考答案：解:(1),,;………2分

直线AB过点,直线AB的方程为:,……………5分即

………6分直线AB的方程为：……

13分即

……………14分略21.（本小题共12分）在长方体中，，，、分别为、的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面．

参考答案：

证明：侧面，侧面，，………3分在中，，则有，

A1，，

又平面．…………6分（2）证明：连、，连交于，

连结OE，，四边形是平行四边

………10分又平面，平面，平面．

……12分

略22.如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．参考答案：【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）根据线面平行关系的判定定理，在面ACD内找一条直线和直线EF平行即可，根据中位线可知EF∥AD，EF?面ACD，AD?面ACD，满足定理条件；（2）需在其中一个平面内找一条