高等数学（高等职业）全套教学课件

第一章

函数与极限全套可编辑PPT课件函数与极限导数与微分导数的应用不定积分定积分微分方程线性代数空间解析几何与向量代数多元函数微积分无穷级数概率统计基础函数刻画了变量之间的依赖关系，极限刻画了变量的变化趋势，它们是微积分的基础．本章主要介绍函数与极限的相关内容，为后续微积分的学习奠定基础．导学函数的概念、性质与常见函数第一节一、函数的概念（一）常量与变量我们在研究实际问题的过程中，常常会遇到两种量，一种是常量，它的数值在某一变化过程中始终保持不变；另外一种是变量，它的数值在某一变化过程中会发生变化。（二）区间与邻域1．区间我们高中学过一些数集（元素都是数的集合），如整数集Z、自然数集N、有理数集Q、实数集R等．区间属于数集的一种，往往用来表示变量的连续变化范围．（三）函数的定义（三）函数的定义（四）函数的两要素由函数的定义可知，定义域与对应法则一旦确定，函数也就随之唯一确定．因此我们把函数的定义域和对应法则称为函数的两要素．（五）函数的表示函数通常有三种不同的表示方法：解析法、表格法和图形法．1．解析法解析法是指用数学式子表示函数的方法，也称公式法2．表格法表格法是指用表格的形式表示函数的方法3．图形法图形法是指用图形表示函数的方法，其优点是能直观地反映出函数的变化趋势二、函数的性质（一）单调性（二）奇偶性（三）有界性（四）周期性三、反函数（一）反函数的概念（二）反函数的求解四、复合函数五、分段函数六、基本初等函数基本初等函数是幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数的统称．（一）幂函数（二）指数函数（三）对数函数（四）三角函数（五）反三角函数五、分段函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合所构成，并且可以用一个式子表示的函数称为初等函数．极限的概念与性质第二节一、数列极限的概念与性质（一）数列极限的概念（一）数列极限的概念（二）数列极限的性质二、函数极限的概念与性质（一）函数极限的概念（二）函数极限的性质无穷小与无穷大第三节一、无穷小（一）无穷小的概念（二）无穷小的运算性质性质1有限个无穷小的代数和仍是无穷小．性质2有限个无穷小的乘积仍是无穷小．性质3常数与无穷小的乘积仍是无穷小．性质4有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小．二、无穷大三、无穷大与无穷小的关系极限的运算第四节一、极限的运算法则二、极限的求解方法（一）直接代入法（二）倒数法（三）分解因式法（四）公式法两个重要极限及无穷小的比较第五节一、两个重要极限（一）第一重要极限一、两个重要极限（二）第二重要极限二、无穷小的比较二、无穷小的比较函数的连续性第六节一、函数连续的概念（一）函数的增量（二）函数连续的定义一、函数连续的概念（二）函数连续的定义一、函数连续的概念（二）函数连续的定义一、函数连续的概念（二）函数连续的定义一、函数连续的概念二、函数连续的几何意义三、函数的间断点（一）间断点的定义三、函数的间断点（二）间断点的类型三、函数的间断点（二）间断点的类型四、连续函数的四则运算五、常见函数的连续性（一）反函数与复合函数的连续性（二）初等函数的连续性六、闭区间上连续函数的性质初识MATLAB

及利用MATLAB求极限一、初识MATLAB（一）MATLAB的启动和操作界面一、初识MATLAB（二）MATLAB的常用符号和命令二、利用MATLAB求极限（二）MATLAB的常用符号和命令谢谢!第二章

导数与微分我们在解决实际问题时，除了需要确定变量之间的函数关系外，有时还需要研究函数相对于自变量变化的快慢程度，即函数的变化率，以及当自变量发生微小变化时函数的近似改变量，这两个问题就是我们本章所要讨论的主要内容——导数与微分．导学导数的概念第一节一、导数的定义一、导数的定义一、导数的定义一、导数的定义二、导数的几何意义二、导数的几何意义三、求导数举例四、函数可导性与连续性的关系导数的运算第二节一、函数的和、差、积、商的求导法则二、反函数的求导法则三、复合函数的求导法则四、导数公式高阶导数第三节一、高阶导数的定义二、高阶导数的计算二、高阶导数的计算二、高阶导数的计算二、高阶导数的计算函数的导数第四节一、隐函数的导数（一）隐函数的概念（二）隐函数求导隐函数求导时，可以将隐函数化成显函数（称为隐函数的显化），再求导.（二）隐函数求导（三）对数求导法（三）对数求导法二、由参数方程所确定的函数的导数函数的微分第五节一、微分的概念一、微分的概念二、微分的几何意义二、微分的几何意义二、微分的几何意义（一）函数的和、差、积、商的微分法则（二）复合函数的微分法则（三）微分公式四、微分在近似计算中的应用（一）计算函数增量的近似值（二）计算函数值的近似值利用MATLAB求函数导数利用MATLAB求函数导数MATLAB中用diff函数来求解函数的导数，可以实现一元函数求导和多元函数求偏导，diff函数的调用格式主要有以下几种．diff(f)：表示函数f对默认变量x求一阶导数．diff(f,t)：表示函数f对变量t求一阶导数．diff(f,x,n)：表示函数f对变量x求n阶导数．利用MATLAB求函数导数利用MATLAB求函数导数谢谢!第三章

导数的应用上一章介绍了导数和微分的概念、运算法则等．本章将应用导数来研究函数的性质及其图形的性态．在此之前，要先介绍微分学的几个中值定理及洛必达法则，它们是导数应用的理论基础．导学

微分中值定理与洛必达法则第一节一、微分中值定理（一）罗尔中值定理定理1（罗尔中值定理）如果函数满足条件：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间（a,b）内可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么，在开区间（a,b）内至少存在一点ξ，使得f,(ξ)=0．（二）拉格朗日中值定理定理1（拉格朗日中值定理）如果函数满足条件：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；那么，在开区间（a,b）内至少存在一点ξ，使得f(b)-f(a)=f,(ξ)(b-a)上式称为拉格朗日中值公式．（二）柯西中值定理定理1（拉格朗日中值定理）如果函数f(x)和F(x)满足条件：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；（3）对任一x属于(a,b)，F,(x)≠0那么，在开区间（a,b）内至少存在一点ξ，使得

罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理统称为微分中值定理．二、洛必达法则

函数的单调性、极值与最值第二节一、函数的单调性定理1设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则有：（1）如果在(a,b)内f,(x)＞0，且等号仅在有限多个点处成立，则函数f,(x)在[a,b]上单调增加；（2）如果在(a,b)内f,(x)＜0，且等号仅在有限多个点处成立，则函数f,(x)在[a,b]上单调减少；

f,(x)=0的点为驻点确定函数单调性的一般步骤如下：（1）确定函数f(x)的定义域．（2）求出使函数f,(x)=0和f,(x)不存在的点，并以这些点为分界点，将定义域划分成若干个子区间．（3）确定f,(x)在各个子区间的符号（正或负），从而确定f(x)的单调性。二、函数的极值定义

设函数f(x)在点x0的某邻域内有定义，若对此邻域内任一点x(x≠x0)，均有f(x)＜f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)的一个极大值．同样，若对此邻域内任一点x(x≠x0)，均有f(x)＞f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)的一个极小值．定理2（极值存在的必要条件）

设f(x)在点x0处具有导数，并且在点x0处取得极值，那么f,(x0)=0．

对于一个连续函数，它的极值点还可能是使导数不存在的点，这种点称为尖点.例如，对于函数f(x)=|x|,如图3-4所示。图3-4定理3（极值存在的第一充分条件）

设f(x)在点x0处连续，且在点x0的某一去心邻域内可导．当x由小到大经过点x0时，（1）如果f,(x)由正变负，那么点x0是极大值点；（2）如果f,(x)由负变正，那么点x0是极小值点；（3）如果f,(x)不变号，那么点x0不是极值点．求函数极值的一般步骤如下．（1）确定函数的定义域．（2）求出的所有驻点、尖点．（3）判断所有驻点、尖点两侧一阶导数的符号，确定极值点．（4）求出极值点处的函数值，得到极值．表3-2定理4（极值存在的第二充分条件）

设f(x)在点x0处具有二阶导数，且f(x0)=0，f,,(x0)≠0，则（1）如果f,(x)＜0时，f(x)在点x0处取得极大值；（2）如果f,(x)＞0时，f(x)在点x0处取得极小值；表3-3三、函数的最值函数f(x)在其定义域上的最大值与最小值统称为f(x)的最值．若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在该区间上一定存在最大值和最小值．

函数图形的描绘第三节一、曲线的凹凸性定义1

设y=f(x)在区间(a,b)内各点均有切线，如果曲线段总是位于切线的上方，则称区间(a,b)称为凹区间；如果曲线段总是位于切线的下方，区间(a,b)称为凸区间．

定理1设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么（1）若在(a,b)内f,,(x)＞0，则曲线y=f(x)在(a,b)内是凹的；（2）若在(a,b)内f,,(x)＜0，则曲线y=f(x)在(a,b)内是凸的．二、曲线的拐点定义2

若连续曲线y=f(x)上的点P是曲线凹凸的分界点，则称点P是曲线y=f(x)的拐点．三、曲线的渐近线定义3

若曲线C上的动点P沿着曲线无限远离原点时，点P与某一固定直线L的距离趋于0，则称直线L为曲线C的渐近线，如图3-7所示．图3-7

（一）斜渐近线

（二）垂直渐近线

（三）垂直渐近线四、函数图形描绘的一般步骤曲率第四节一、曲率的概念与曲率的计算公式（一）曲率的概念图3-11（二）曲率的计算公式

二、曲率圆与曲率半径图3-12谢谢!第四章

不定积分微积分包含两部分内容：微分学和积分学．早期的数学家逐步得到了求面积和体积（积分学）、求极值和切线斜率（微分学）的一系列重要结论，但这些结论都是孤立的，不成体系，直到17世纪中期，牛顿和莱布尼茨发现了微分与积分的互逆关系，创建了微积分．前面介绍了微分学的相关内容，本章先介绍积分学中的不定积分相关内容．导学不定积分概述第一节

一、原函数与不定积分的概念定义1若存在函数F(x)，使对于区间I上任意一点x都有F,(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,则称函数F(x)是f(x)在区间上的一个原函数．定义2在区间上，函数的全体原函数（是任意常数）称为的不定积分，不定积分与导数（或微分）之间有如下运算关系．(1)或(2)或二、不定积分的几何意义如图4-1所示，设F(x)是f(x)的一个原函数，则称函数y=F(x)的图形为f(x)的一条积分曲线．图4-1三、不定积分的基本积分公式四、不定积分的性质性质1被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号前面，即性质2两个函数代数和的不定积分等于这两个函数不定积分的代数和，即

不定积分的积分方法第二节一、不定积分的换元积分法（一）第一换元积分法（二）第二换元积分法1．简单根式换元积分法2．三角换元积分法

利用换元积分法求得的一些积分结果，可以作为公式直接使用．二、不定积分的分部积分法

选择u与v非常关键，一般要考虑以下两点:（1）v要容易求得．（2）∫vdu要比∫udv容易求出．谢谢!第五章

定积分上一章介绍了积分学中的不定积分相关内容，本章将介绍积分学中的另一重要内容—定积分．导学

定积分概述第一节一、定积分的定义二、定积分的几何意义图5-3二、定积分的几何意义图5-4二、定积分的几何意义图5-5图5-8二、定积分的性质二、定积分的性质二、定积分的性质微积分基本公式第二节一、积分上限函数及其导数这个函数称为积分上限函数或变上限函数．二、牛顿—莱布尼茨公式

定理3设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，F(x)是f(x)的一个原函数，则有．此公式称为牛顿—莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式．定积分的积分方法第三节一、定积分的换元积分法二、定积分的分部积分法广义积分第四节一、无限区间上的广义积分二、无界函数的广义积分定积分的应用第五节一、定积分的微元法二、定积分在几何上的应用（一）平面图形的面积

图5-14（二）空间立体的体积1．旋转体的体积类型1类型2

图5-18

图5-19

图5-202．平行截面面积为已知的立体的体积

图5-201（二）平面曲线的弧长

弧长公式为

三、定积分在物理上的应用

变力做功公式为

（一）变力做功

液体压力公式为

（二）液体压力谢谢!第六章

微分方程函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映，利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究，因此如何寻求函数关系在实践中具有重要意义．然而在许多问题中，往往不能直接找出所需的函数关系，但有时可根据问题所提供的情况，列出含有要找的函数及其导数的关系式，这种关系式就是微分方程．微分方程建立后，对它进行研究，找出未知函数，就是解微分方程．本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几种常用微分方程的解法．导学

微分方程的基本概念第一节一、微分方程的定义

定义1一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程称为微分方程．

未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程。未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程。二、微分方程的阶

定义2微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶．

n阶微分方程的形式为

三、微分方程的解

（1）解：代入微分方程能使该方程成为恒等式，这个函数就称为该微分方程的解．（2）通解：若微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数等于微分方程的阶数，称为微分方程的通解．（3）特解：通解中的任意常数，根据某些条件确定后，对应的解称为微分方程的一个特解．初值问题用于确定通解中任意常数的条件称为初值条件．

求微分方程满足初值条件的特解的问题称为微分方程的初值问题．

解题步骤

（1）分析问题，建立微分方程，并列出初值条件．（2）求微分方程的通解．（3）利用初值条件，确定通解中的任意常数，从而解出微分方程的特解．一阶微分方程第二节一、可分离变量的微分方程

一般地，如果一个一阶微分方程能化成的形式，那么原方程就称为可分离变量的微分方程．二、齐次型微分方程

如果一阶微分方程能化成

的形式，那么就称该微分方程为齐次型微分方程，简称齐次方程．二、齐次型微分方程

形如

的微分方程称为一阶线性微分方程，其中P（x)、Q(x)为已知函数．当时Q(x)=0，微分方程变为是齐次的，称一阶齐次线性微分方程，简称齐次线性方程．当Q(x)≠0时，微分方程是非齐次的，称为一阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性方程．（一）齐次线性方程的解法（二）非齐次线性方程的解法二阶微分方程第三节一、可降阶的二阶微分方程（一）y,,,=f(x)型微分方程

微分方程（6-26）的特点是右端仅含有自变量，其解法是逐次积分两次，具体如下．微分方程（6-26）两边积分得上式两边再积分，便得到微分方程（6-26）的通解，即．（二）y,,,=f(x,y)型微分方程（三）y,,,=f(y,y,)型微分方程二、二阶线性微分方程

形如的二阶微分方程，称为二阶线性微分方程.当P(x)、Q(x)为常数时，微分方程变为

称为二阶常系数线性微分方程．当f(x)=0时，微分方程变为称为二阶常系数齐次线性微分方程；当f(x)≠0时，微分方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程．（一）二阶常系数齐次线性微分方程的解法

上述方程为微分方程的特征方程，它的根r1r2．是两个不相等的实根为微分方程的特征根．

特征方程

1．r1r2是两个不相等的实根

2．r1r2是两个相等的实根

3．r1r2是一对共轭复根

（一）二阶常系数非齐次线性微分方程的解法1．型

2．型

谢谢!第七章

线性代数线性代数是数学的一个重要分支，其思想和方法在自然科学、工程技术和国民经济等许多领域中有着广泛的应用．本章将从实际问题出发，简单介绍线性代数的一些基本知识，着重介绍其中的行列式、矩阵、线性方程组及其应用．导学行列式的基本概念第一节一、二阶与三阶行列式一、二阶与三阶行列式一、二阶与三阶行列式二、余子式与代数余子式三、n阶行列式在n阶行列式的展开式中，共有n!项，其中正、负项各占一半，每一项都是来自行列式中不同行、不同列的元素之积．行列式按行（或列）展开的方法可用来计算n阶行列式的值，这个方法称为展开式法则．行列式的性质及计算第二节一、行列式的性质性质2（互换性）互换行列式的某两行（列），行列式变号．推论若行列式某两行（列）元素对应相等，则行列式的值为零，反之不一定成立．性质3（数乘性）行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一个数，等于用数乘以行列式．推论1如果行列式中某一行（列）有公因子，则可以把公因子提到行列式外．推论2如果行列式的某两行（列）对应元素成比例，则行列式的值为零．二、行列式的计算三、克莱姆法则像方程组（7-10）这样，常数项不全为0的方程组，称为非齐次线性方程组．接下来我们考虑方程组（7-10）的常数项全为0即齐次线性方程组的情况．矩阵的概念第三节一、矩阵的概念（一）方阵（二）行（列）矩阵二、几个特殊的矩阵（三）上（下）三角矩阵二、几个特殊的矩阵（四）对角矩阵二、几个特殊的矩阵（五）单位矩阵（六）同型矩阵二、几个特殊的矩阵（七）零矩阵（八）行阶梯形矩阵二、几个特殊的矩阵（九）行最简阶梯形矩阵二、几个特殊的矩阵三、方阵的行列式矩阵的基本运算第四节一、矩阵的相等二、矩阵的加减二、矩阵的加减三、矩阵的数乘四、矩阵的乘法五、线性方程组的矩阵表示六、矩阵的转置矩阵的初等变换第五节一、矩阵的初等变换二、矩阵的秩三、逆矩阵四、用初等变换求逆矩阵五、逆矩阵的运算法则用初等变换求解线性方程组第六节一、非齐次线性方程组的求解二、齐次线性方程组的求解利用MATLAB

求解线性代数问题一、矩阵及其代数运算二、逆矩阵与矩阵方程谢谢!第八章

空间解析几何与向量代数解析几何是利用代数方法来研究几何问题的，可分为平面解析几何和空间解析几何．平面解析几何主要研究平面中直线和曲线的性质；空间解析几何主要研究空间平面、空间直线的性质．本章主要介绍空间解析几何．向量是人们用代数方法研究几何图形的有力工具，空间解析几何中平面和直线的方程，平面与平面之间、平面与直线之间、直线与直线之间的关系等问题，大多是利用向量导出的．导学空间直角坐标系第一节一、空间直角坐标系的概念

在空间直角坐标系中，xOy平面、yOz平面，zOx平面将空间划分成八个部分，称为空间直角坐标系的八个卦限，如图8-2所示．

过空间一点O，作三条两两互相垂直的数轴Ox，Oy，Oz，就构成了空间直角坐标系，记作Oxyz．其中，点O称为坐标原点；三条轴Ox，Oy，Oz分别称为x轴、y轴、z轴，也称为横轴、纵轴和竖轴，统称为坐标轴．图8-2二、空间点的坐标

点M就确定了一个唯一的有序数组（x,y,z)，该数组称为点M在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，如图8-3所示．图8-3三、空间两点间的距离

空间两点间的距离公式

特殊地，点M(x,y,z)与坐标原点O(0,0,0)的距离为向量的概念及运算第二节

（1）只有大小没有方向的量称为标量。

（2）既有大小又有方向的量称为向量。（3）向量的大小称为向量的模。

（4）模为1的向量称为单位向量。（5）模为0的向量称为零向量。（6）大小相等、方向相同的向量称为相等的向量。（7）与向量a大小相等、方向相反的向量称为a的负向量。（8）平行于同一直线的一组向量称为平行向量或共线向量。一、向量的基本概念二、向量的线性运算

（一）向量的加法图8-6

由于向量可以平移，所以，若将向量b平移，使其起点与向量a的终点重合，则以a的起点为起点、以b的终点为终点的向量c就是a与b的和，如图8-7所示．这种求和方法称为三角形法则．图8-7

交换律：a+b=b+a结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

a+0=aa+(-a)=a（二）向量的减法（三）向量的数乘定理1向量a与非零向量b平行的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a=λb．向量的加法、减法及数乘运算统称为向量的线性运算，称为λa+λb的一个线性组合．三、向量的坐标表示

（一）向量的加法

r=xi+yj+zk称为向量r的坐标表达式，简记为r=(x,y,z)．四、利用坐标进行向量的线性运算

三、向量的模与方向角

（一）向量的模

当把两个非零向量a与b的起点放到同一点时，两个向量之间的不超过的夹角称为向量a与b的夹角。

非零向量r与三条坐标轴的夹角α，β，γ称为向量r的方向角．

cosα，cosβ，cosγ称为向量r的方向余弦．（二）方向角与方向余弦

向量的数量积与向量积第三节一、数量积的定义及性质

由向量数量积的定义可得出以下几个结论:（1），因此（2）对于两个非零向量a，b，有（3）对于两个非零向量a，b，它们垂直的充要条件是它们的数量积为零，即

交换律：a·b=b·a结合律：a·(b+c)=a·b+a·c

数乘结合律：

(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)二、数量积的坐标运算

三、向量积的定义及性质

交换律：a×b=b×a结合律：a×(b+c)=a×b+a×c,

c×(b+a)=a×c+b×c

数乘结合律：

(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb)四、向量积的坐标运算

平面及其方程第四节一、平面方程

（一）平面的点法式方程（二）平面的截距式方程

（三）平面的一般式方程

二、两平面间的位置关系三、点到平面的距离

空间直线及其方程第五节一、空间直线的方程

（一）直线的点向式方程（二）直线的一般式方程二、两直线间的位置关系三、直线与平面的位置关系（一）直线的点向式方程（二）直线与平面的夹角常见的曲面方程第六节一、旋转曲面曲线C绕y轴旋转所形成的旋转曲面的方程为曲线C绕y轴旋转所形成的旋转曲面的方程为（一）椭球面（二）双曲面

1．单叶双曲面2．双叶双曲面（三）抛物面

1．椭圆抛物面2．双曲抛物面二、柱面谢谢!第九章

多元函数微积分前面研究的函数都是只有一个自变量的函数，称为一元函数．但在实际问题中，经常遇到自变量多于一个的函数，称为多元函数．本章将在一元函数微积分的基础上，讨论多元函数微积分的相关知识，在讨论中我们以二元函数为主，因为从一元函数到二元函数会产生新的问题，而从二元函数到二元以上的多元函数则可以类推．导学多元函数的基本概念第一节一、多元函数的概念

（一）多元函数的定义

二元函数的定义域D是xOy面上的平面区域．围成平面区域的直线或曲线称为区域的边界，边界上的点称为边界点。

包括边界在内的区域称为闭区域，不包括边界在内的区域称为开区域．如果一个区域D内任意两点之间的距离都不超过某一常数M，则称为有界区域，否则称为无界区域．

（一）多元函数的图形图9-4二、多元函数的极限

三、多元函数的连续性

多元函数的基本概念第二节一、偏导数

（一）偏导数的概念及其计算法

（二）高阶偏导数二、全微分

（一）全微分的概念

（二）全微分在近似计算中的应用三、多元复合函数的求导法则

（一）一元函数与多元函数复合的情形

（二）多元函数与多元函数复合的情形四、隐函数的求导公式

五、多元函数的极值及最值

（一）多元函数的极值

图9-12

求二元函数最大值和最小值的一般方法是：考察函数f(x,y)的所有驻点、一阶偏导数不存在的点及边界点的函数值，比较这些值，其中最大者（或最小者）即为函数在D上的最大值（或最小值）．（二）多元函数的最值

（二）条件极值

如果函数的自变量除了限制在定义域内以外，再无其他限制条件，这种极值称为无条件极值．

拉格朗日乘数法

多元函数的积分学第三节一、二重积分的定义

二、二重积分的性质

三、二重积分的计算

（一）在直角坐标系中计算二重积分

1．积分区域D为X型区域的二重积分计算2．积分区域D为Y型区域的二重积分计算

1．极点在积分区域D的外部图9-28

2．极点在积分区域D的边界上图9-29

3．极点在积分区域D的内部图9-30四、二重积分的应用

（一）利用二重积分计算立体体积

（二）利用二重积分计算曲面面积谢谢!第十章

无穷级数无穷级数是高等数学的重要组成部分，它本质上是一种特殊数列的极限，在研究函数及数值计算方面有着广泛的应用．本章主要介绍常数项级数和幂级数的一些相关知识．导学常数项级数的概念和性质第一节一、常数项级数的概念人们认识事物在数量方面的特性时，往往要经历一个由近似到精确的过程．在这个过程中，会遇到由有限个数量相加到无穷多个数量相加的问题．例如，计算半径为R的圆面积S，具体做法如下．一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念二、常数项级数的基本性质常数项级数的审敛法第二节一、正项级数的审敛法一、正项级数的审敛法二、交错级数的审敛法三、绝对收敛与条件收敛幂级数第三节一、函数项级数的概念一、函数项级数的概念二、幂级数及其敛散性二、幂级数及其敛散性二、幂级数及其敛散性二、幂级数及其敛散性三、幂级数的运算性质三、幂级数的运算性质函数展开成幂级数第四节一、泰勒级数一、泰勒级数一、泰勒级数一、泰勒级数二、将函数展开成幂级数的方法（一）直接展开法（二）间接展开法利用MATLAB作级数运算一、级数求和（一）MATLAB的启动和操作界面二、将函数展开成幂级数的方法（一）直接展开法在MATLAB中，级数求和是由symsum函数实现的，symsum函数的调用格式一般为symsum(f,n,a,b)，其中f为级数的通项，n为级数自变量，a和b分别为级数求和的起始项与终止项．二、将函数展开成泰勒级数将函数展开成泰勒级数是由taylor函数实现的，taylor函数的调用格式一般为taylor(f,x,a,'Order',k)，其中f为函数的符号表达式，x为自变量，a表示函数f在x=a处展开，k为需要展开的项数．二、将函数展开成泰勒级数谢谢!第十一章

概率统计基础概率论与数理统计是研究随机现象内在规律性的重要工具，其应用已遍及自然科学、社会科学、工程技术、军事科学及生活实际等各领域，因此掌握一定的概率统计知识十分必要．本章主要介绍随机事件及其概率，随机变量及其分布，随机变量的期望与方差，数理统计的基础知识，参数估计，假设检验及回归分析．导学概率论第一节一、随机事件（一）随机事件的概念引例1如果问“苹果从树上脱落，会往地上落吗？”，答案是“会”．引例2如果问“掷一枚骰子，能否出现7点？”，答案是“不能”．引例3抛掷一枚质地均匀的硬币，结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，且事先无法确定抛掷的结果是什么．引例4在400m短跑比赛前，运动员需通过抽签决定自己所在的跑道，且每次抽签前都无法预测自己会在哪条跑道．（一）随机事件的概念在自然界、生产实践和科学实验中，人们观察到的现象一般可分为两大类：确定性现象（必然现象）：在一定条件下，事先可以确定会出现某种结果的现象，如引例1和引例2．随机现象（偶然现象）：在一定条件下，事先不能确定会出现某种结果的现象，如引例3和引例4．（一）随机事件的概念有人对“掷一枚质地均匀的硬币，观察正面向上”进行试验发现，在12000次的重复试验中，正面向上有6019次，约占50.16%；在24000次的重复试验中，正面向上有12012次，约占50.05%．这些数据告诉我们，试验结果呈现出一种内在规律性：“正面向上”和“反面向上”几乎各占一半，而且试验次数越多，就越接近“各占一半”这一事实．这种通过多次重复试验所呈现的规律，称为统计规律．（一）随机事件的概念有人对“掷一枚质地均匀的硬币，观察正面向上”进行试验发现，在12000次的重复试验中，正面向上有6019次，约占50.16%；在24000次的重复试验中，正面向上有12012次，约占50.05%．这些数据告诉我们，试验结果呈现出一种内在规律性：“正面向上”和“反面向上”几乎各占一半，而且试验次数越多，就越接近“各占一半”这一事实．这种通过多次重复试验所呈现的规律，称为统计规律．（一）随机事件的概念为了寻求随机现象的内在规律性，就要对其进行大量观察和研究．我们把对随机现象的一次观察称为一次随机试验，简称试验．例如，每抛掷一次硬币，就是一次试验．试验一般具有以下三个特点．（1）试验可以在相同条件下重复进行．（2）每次试验的可能结果不止一个，且能事先明确试验的所有可能结果．（3）进行一次试验前不能确定哪一个结果会出现．随机试验的一切可能结果所组成的集合称为样本空间，记作．随机试验的每一个可能结果称为样本点，样本空间就是全体样本点的集合．（一）