浙江省宁波市九校2022-2023学年高一年级下册期末联考数学试题

浙江省宁波市九校2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题

姓名：班级：考号：

题号——四总分

评分

阅卷人

一、单选题

得分

1∙已知复数Z=胃,则Z的共轨复数的虚部为（）

A.1B.iC.-iD.-1

2.在平面直角坐标系久Oy中，若角α以X轴的非负半轴为始边，且终边过点（4,-3）,则

cos（α-分的值为（）

A.-∣B.IC.-∣D.I

3.设Z是一条直线，α,/?是两个不同的平面，下列说法正确的是（）

A.若/Ha,IHβ,则aIl£B.若al£,I||a,则/10

C.若［J.a,llβ,则aIl∕?D.若aIl6，I||a,WJ/Ilβ

4.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖脯.在鳖嚅4-BCD中，

ABJ■平面BCD,BC1CD,且48=BC=CD=1,则其内切球表面积为（）

A.3兀B.√3πC.（3-2√2）πD.（√2-l）π

5.已知等比数列｛%l｝的前n项积为Tn，若T7>T9>T8,贝U（）

A.qV0B.ɑɪ<0C.Tl5VlVTl6D∙TɪgVlVTT7

6.如图，在棱长均为2的直三棱柱ABC-TIIBICI中，。是&Bi的中点，过B、C、。三点

的平面将该三棱柱截成两部分，则顶点Bl所在部分的体积为（）

A.挛B.婴C.√3D.续

366

7.在AZBC中，Po是边ZB的中点，且对于边上任意一点P,恒有丽•定≥的•

O

•:

O

双，则AABC一定是()O

.

A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形.

.

8.十七世纪法国数学家皮埃尔・德・费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，.

.

求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小它的答案是：当三角形的三

郑

个角均小于。时•，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连郑

120.

.

线两两成角120。；当三角形有一内角大于或等于120。时，所求点为三角形最大内角的顶.

.

点.在费马问题中所求的点称为费马点，已知在AABC中，已知C=∣r,AC=1,BC=.

7.

O

2,且点M在AB线段上，且满足CM=BM,若点P为△4MC的费马点，则可•丽+丽.

.

O※

PC+^PA-PC=()※.

^.

※

A.-1B.C.-∣D.-|.

※.

^[※ɪ.

阅卷人※

上、多选题^⅛

※

※.

^

※.

9.下列说法正确的是()※.

^.

A.若可万,b∕∕c,则可足※.

※

^

B.∣(α-b)∙c∣≤∣α∣∣h∣∣c∣※O

O※

C.1(b-c)>KUa∙b=a∙c出.

※.

※.

D.(a-b~)-b=a-(ð)2^

※.

10.下列说法正确的是()※.

^

※

若/(%)=(的最小正周期为兀，则3=※堞

A.sin<υx+2cos(0>x+$3>0)2撰

®.

※

※.

B.在△力BC中，角4,B,C的对边分别为α,b,c，则Z>B''是''α>b''的充要条件.

.

ij.

C.三个不全相等的实数α,b,C依次成等差数列，贝U2,2%2c可能成等差数列.

O

D.△4BC的斜二测直观图是边长为2的正三角形，则AZBC的面积为2遍

O.

11.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的数学著作，其中第十一卷称轴截面为等腰直.

.

角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，AB,CD是直角圆锥S。底面圆的两条不同的直径，下.

.

.

氐

.

.

.

.

.

.

O

・

O・

・

2/19

.

.

.

O

.OA.存在某条直径CD,使得ADISD

.

.B.若ZB=2,则三棱锥S-AOD体积的最大值为M

.

.

.C.对于任意直径CD,直线AD与直线SB互为异面直线

鄂D.若乙4BD=%则异面直线SA与CD所成角的余弦值是?

.然

.

.12.已知数列｛α｝中各项都小于2,a„-4α=α∏-3a,记数列｛a⅛｝的前n项和为

.rι+1n+1nl

.

.Sn,则以下结论正确的是（）

.

.

OA.任意由与正整数m,使得Omam+ι≥0

.OB.存在的与正整数m,使得am+ι>*a

.nj

.

.C.任意非零实数的与正整数m,都有ajn+ι<azn

.Q∣P

.冲D.右a1=1）则S2022C（1.5,4）

⅛

阅卷人

.-----------------三、填空题

.得分

.

.

.13.杭州第19届亚运会会徽“潮涌”的主题图形融合了扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、

O互联网及太阳六大元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蕴.在中国历史上，历代

.O书画家都喜欢在扇面上绘画或书写以抒情达意.一幅扇面书法作品如图所示，经测量，

.

.上、下两条弧分别是半径为30和12的两个同心圆上的弧（长度单位为cm）,侧边两条

.

.线段的延长线交于同心圆的圆心，且圆心角为竽.若某空间几何体的侧面展开图恰好与图

鼓

堞

中扇面形状、大小一致，则该几何体的高为.

.堞

.

.

.

.

.

.

O.

.O

.

.

.

.

.

氐15.如图，在直三棱柱4BC-4当的中，BC=CC1=3,AC=4,AC1BC,动点P在

.△为内（包括边界上），且始终满足则动点的轨迹长度是.

.-εBiCiBPP

.

.

.

.

.

O.

.

.o

.

•:

O

O

.

.

.

.

.

郑

郑

.

.

.

.

.

.

16.已知向量五，石的夹角为或且E7=3，向量礴足2=疝+(1—痴(Oe<1),且O

.

α∙c=ð∙c，记X=襦，丫=普，则好+y2-χy的最大值为.O※

※.

^.

※

阅卷人.

※.

四、解答题

^[※ɪ.

容分※

^⅛

定义一种运算:※

17.(α,ð)[ɑ]=ac+bd.※.

^

※.

(1)已知Z为复数，且(3,z)ζ]=7-31,求|z|；※.

^.

※.

(2)已知％、y为实数，(y+sin2x2)φ-(l,siMx)^也是实数，将y表示为X※

t^

※O

的函数并求该函数的单调递增区间.O※

出.

※.

18.今年9月，象山将承办第19届杭州亚运会帆船与沙滩排球项目比赛，届时大量的游※.

^.

客来象打卡“北纬度最美海岸线”.其中亚帆中心所在地——松兰山旅游度假区每年各个※

30※.

^

月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化.现假设该景区每年各个月份从事旅游※

堞

撰※

服务工作的人数可近似地用函数/(久)=40HCoS3(%+4)+用来刻画.其中正整数X表示月®.

※

※.

.

份且xc[l,12]，例如X=I时表示1月份，4和k是正整数，3>0.统计发现，该景区每.

.

年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：.

O

①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同；

O.

.

②从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约160人；.

.

③2月份从事旅游服务工作的人数约为40人，随后逐月递增直到8月份达到最多..

.

(1)试根据已知信息，确定一个符合条件的y=/Q)的表达式；

(2)一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过160人时，该地区就进入了一氐

.

年中的旅游旺季，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由..

.

2.

19.已知数列｛αn｝的前n项和为Srι,且Sn=n+4n-3..

.

(1)求｛αn｝的通项公式；O

・

O・

・

4/19

O(2)记勾=荒片，数列｛%｝的前Tl项和为7\，求Tn∙

20.在AABC中，内角力，B都是锐角.

(1)若“=率c=2,求ZMBC周长的取值范围；

然(2)^sin2Λ+sin2B>sin2C,求证：sin2Λ+sin2B>1.

21.已知边长为6的菱形ABC。，/-ABC=把△ABC沿着4C翻折至△A/C的位置，构

成三棱锥Bl-ACD,且屁西，CF=∣CD>FE=母.

O

(1)证明：AC1B1D-,

(2)求二面角Bl-AC-D的大小；

(3)求EF与平面ABlC所成角的正弦值.

O

22.已知数列｛3l｝中，即=1,当n≥2时，其前n项和Sn满足：S1=an(Sn-1),且S71≠

0,数列｛brι｝满足：对任意nWN*有jɪ++—H凯=(n-1)∙2"+ι+2.

(1)求证：数列｛R｝是等差数列；

ɔn

堞(2)求数列｛g｝的通项公式；

Q∏一1Q

(3)设Tn是数歹的前九项和，求证：Tn<|.

b2n~bn乙

O

-K

O

•:

O

答案解析部分.

.

L【答案】D.

.

…工、…Sl+3i(l+3i)(l+2i)l+2i+3i-6,._r•甘心

【解析】【解■合】■；z=ɪ2j=(ɪ2i)(l+2i)]+4=-1+K:∙z=11一i其应.

部为一L郑

.

故答案为：D.

.

【分析】先利用复数除法求z,再根据共辗复数定义写出其虚部..

.

.

.【答案】

2AO

—33.

=※

【解析】【解答】由题意得Sina=旧+(_3口_5,ʌcos(α一刍=Sina=-∣∙※.

^.

※.

故答案为：A※.

^[※ɪ.

【分析】由题意得Sina=Y，再利用诱导公式求cos(α-?)的值.※

ɔ乙^⅛

※

3.【答案】C※.

^

※.

【解析】【解答】A、∙.∙IIla,IIlβ,■■■aIl。或α与夕平行，A错误；※.

^.

B、-aLβ,IIIa,二Z10或/与/?平行或IU/?，B错误；※.

※

^

C、•.I1a,ILβ,a∖∖β,C正确；※O

※

D、∙.∙a∖∖β,I∖∖a,二I∣∣∕?或1u0,D错误.出.

※.

※.

故答案为：C^

※.

【分析】根据空间直线、平面的位置关系逐一判断选项.※.

^

※

4.【答案】C※堞

®.

※

【解析】【解答】由题意得BD=√ΣAC=<2,：.S=^,S=ɪ,SBAD=堂,※.

BCDACD.

.

—也

ςf.

^BCA~~2~.

O

A.

.

.

.

.

.

氐

.

.

.

.

・•・鳖表面积表SBCD+SACD+^BAD+鱼，.

fl⅛4—BCDS=+SBCA=^÷^÷^+^=1.

O

设鳖嚅4-BCD内切球半径为r,则匕1.BCD=聂S表=pB∙SBCD,即r(l+√Σ)=；X

・

・

・

6/19

1,解得r=与A,••・内切球表面积S=4nr2=(3-2√Σ)m

故答案为：C

【分析】利用等体积法味BCD=聂S茂=聂B∙SBCD求其内切球半径，进而求解内切球

ɔ-ʌɔ

表面积.

5.【答案】D

【解析】【解答】设等比数列｛Q九｝的首项为由，公比为q,则αn=αιqAi,Tn=a1×a2×

I—Dn7218*8

a,azl9n1mn,.τ—nzτT—nαc

3,∙×∏=CL1×a1q×arq∙∙∙×a1q~=a1q2∙∙∕7—ɑiQ⅛"ιI，

T9=Q∕q36

72193682831628

AB>VT7>T9>TQ9ʌa1q>α1q>a1qf即αIq>α1q>a↑q>0,

q>O9a1>0

11

8

・•・有αιq7V1,a1q>1,ʌq>1,TValVy,AB错误；

1571516815816815

CD、二T15=α1q×<q-^q7×ιs=ι,=α1(7×<g-×q×=^<1,

Ti7=αJ7q8χi7>q-8χl7q8χi7=ι,C错误，D正确.

故答案为：D

【分析】设｛a7t｝的首项为由,公比为q,求出加=。］/叼生，利用T7>79>几分析

求出国，q的范围，进而分析选项.

6.【答案】B

【解析】【解答】取41Cl中点E,连接CE,DE,

B

又。是为当的中点，.∙.DEHB1C1,DE=ɪF1C1-

∙.∙ABC-A1B1C1是直三棱柱，•••DEIlBC,DE=二ZBC-E是棱台,

延长CE,BD,AAi交于点F,