第9讲 数论综合（讲义）人教版六年级下册数学

第9讲小升初专项复习(6)

数论综合

思维启航

一、训练目标

知识传递：掌握数论的相关知识,并能用之分析、解决一些数论基本问题。

能力强化：分析能力、理解能力、推理能力、转化能力、推算能力、综合能力。

思想方法：整除思想、奇偶思想、比较思想、对应思想、恒等思想、同余思想。

二、知识与方法归纳

1.数的整除

(1)熟悉并掌握2、3、5、9的倍数的特征。

(2)一个数的末两位数能被4或25整除,这个数就一定能被4或25整除。(4X25=100)

(3)一个数的末三位数能被8或125整除。那么这个数就能被8或125整除。(8×

125=1000)

(4)一个数的末三位数与末三位以前的数字组成的数的差分别能被7、11、13整除,

这个数就能被7、11、13整除。另外，一个数奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的

差(差等于0比较常见)能被11整除，这个数就能被11整除。(很常用，请牢记。)

(7×ll×13=1001)

(5)如果两个数都能被同一个数整除，那么这两个数的和或差也能被这个数整除。即

如果CIa,

cIb,贝IJCl(a+b)或c∣(a-b)。

(6)如果一个数能被另一个数整除，那么这个数的整倍数也一定能被另一个数整除。

即如果CIa,b是整数，则CIab∙

(7)如果一个数能被第二个数整除，第二个数又能被第三个数整除，那么，第一个数

也能被第三个数整除。即如果aIb,bIc,则aIc。

(8)如果一个数能同时被另外两个数整除，而且这两个数互质，那么这一个数一寂能

被另外两个数的积整除。即如果a∣c,bIc,且a、b互质，则able。

2.奇数和偶数

(1)两个奇偶性相同的数的和(或差)一定是偶数；两个奇偶性不同的数的和(或差)

一定是奇数。反过来，两个数的和(或差)是偶数，这两个数奇偶性相同；两个数的和

(或差)是奇数，这两个数肯定是一奇一偶。

(2)奇数个奇数的和(或差)是奇数；偶数个奇数的和(或差)是偶数。任意多个偶

数的和(或差)是偶数。

(3)若干个数相乘，如果其中有一个因数是偶数，那么积必是偶数；如果所有因数都

是奇数，那么积就是奇数。反过来，如果若干个数的积是偶数，那么因数中至少有一个

是偶数；如果若干个数的积是奇数，那么所有的因数都是奇数。

(4)相邻两个自然数的乘积必是偶数，其和必是奇数。

(5)在能整除的情况下，偶数除以奇数得偶数；偶数除以偶数可能得偶数，也可能得

奇数•奇数肯定不能被偶数整除。

(6)偶数的平方能被4整除；奇数的平方除以4的余数是1。

22

因为(2n)=4∏2=4x∏2,所以(2n)能被4整除；

22

因为(2n+1)=4∏2+4π+1=4X(n?+1)+1,所以(2n+1)

除以4余1。

(7)如果一个整数有奇数个约数(包括1和这个数本身)，那么这个数一定是平方数;

如果一个整数有偶数个约数，那么这个数一定不是平方数。

3.质数与合数

(1)一个数的约数只有1和它本身的数叫做质数，也叫素数。反之，一个数的约数除

了1和它本身以外，还有其他的约数，这个数就叫合数。

(2)由于1的约数只有1个，所以1既不是质数，也不是合数。

(3)两个数的公约数只有1,而没有其他公约数的，这两个数就叫互质数。

(4)质数与互质数

这两个概念没有什么联系。两个质数，不能肯定就是互质数。只有两个不相同的

质数，才能肯定是互质数。另外，两个合数既可能是互质数，也可能不是互质数，但不

能说两个合数一定不是互质数。

(5)把一个合数分解成几个质数相乘的过程，就叫做分解质因数。

4.公因数和最大公因数

几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公

因数。

一般地我们用(a,b)表示a,b这两个自然数的最大公因数,如(12,30)=6o如果(a,b)

=1,则a,b两个数是互质数。

5.公倍数和最小公倍数

几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公

倍数。

一般地，我们用[a,b]表示自然数a,b的最小公倍数，如[12,18]=36。

6.最大公约数与最小公倍数

(1)最大公因数

求两个数的最大公约数一般有以下几种方法：

①分解质因数法

②短除法

③辗转相除法

④小数缩倍法

⑤公式法：aXb=(a,b)X[a,b],这个公式表示：两个数的乘积等于这两个数的最

大公约数和最小公倍数的乘积。

(2)最小公倍数

求几个数的最小公倍数的方法也有以下几种：

①分解质因数法

②短除法

③公式法：a×b=(a,b)X[a,b],这个公式表示：两个数的乘积等于这两个数的最大

公约数和最小公倍数的乘积。

④大数翻倍法

惑思维进阶

例1.有四个小朋友，年龄逐个增加两岁，4个人年龄的乘积是9009,问其中年龄最大

的一个是几岁？

例2.要使4个数的乘积135X975X342X()的结果最后5位数字全是0,

()内的数最小应是多少？

思维训练1

一个正整数4与1080的乘积是一个完全平方数，4的最小值与这个完全平方数分别是

多少？

例3.求5957与4107的最大公因数。

例4.在2012后面补上3个数字，组成一个七位数，使它能分别被3、4、5整除，这个

七位数最大是多少？

思维训练2

一本陈年老账上记着：88只桶，共口67.9口元。这里口处字迹不清。口处数字是多少？

桶的单价是多少元？

例5.(1)480有几个因数？

(2)求3715X266+4583X2172-1518X216除以11的余数。

例6∙(1)一堆苹果,7个数余6个,9个数余8个，11个数余10个,这堆苹果至少是多少

个？

(2)有一堆水果，按3个一堆分多1个，按4个一堆分也多1个，按5个一堆分也多

1个。这堆水果至少有多少个？

(3)一个大于1的整数，除300,262,205,得到相同的余数，这个整数是多少？

思维深化

(训练时间：满分：120分，训练得分：)

1.计算题。(每小题5分，共20分)

(1)计算下面各题：

Illl11179111315

2+4+8+16+32+64131220304256

(2)解下列方程:

53

X——X=44-X+284-(x-10)=-(x-6)

544

2.填空题。(每空10分，共60分)

(1)分解质因数：54=()；120=()。

(2)在括号里填上适当的质数：148=()+()+()o

(3)三个连续自然数的积是120,这三个数分别是()、()、()。

(4)一个两位数去除253,得到的余数是43,那么这个两位数是().

(5)已知六位数33口34口,如果它能被28整除，这个六位数是()。

(6)一堆水果，按3个一堆分少1个，按4个一堆分也少1个，按5个一堆分也少1

个。这堆水果至少有()个。

3.解答题。(每小题10分，共40分)

(1)有12张卡片，其中有3张上面写着1,3张写着3,3张写着5,3张写着7.

问：能否从中选出5张，使它们上面的数字之和为20?为什么？

(2)现在有100枝玫瑰花，80枝康乃馨和60枝兰花，要配成同样的花束，最多可以

配多少束？每束中三种花各有几枝？

(3)l×2×3×4×5×∙∙∙×50,积的末尾一共有多少个0?

(4)69,90,125被某个正整数除时，余数相同，试求这个数的最大是多少？

思维体操

猜牌问题

S先生、P先生、Q先生他们知道桌子的抽屉里有16张扑克牌：红桃A、Q、4黑桃J、

8、4、2、7、3草花K、Q、5、4、6方块A、5。约翰教授从这16张牌中挑出一张牌来,

并把这张牌的点数告诉P先生，把这张牌的花色告诉Q先生。这时，约翰教授问P先

生和Q先生：你们能从已知的点数或花色中推知这张牌是什么牌吗？于是，S先生听

到如下的对话：

P先生：我不知道这张牌。

Q先生：我知道你不知道这张牌。

P先生：现在我知道这张牌了。

Q先生：我也知道了。

听罢以上的对话，S