湖南省衡阳市2022-2023学年高一年级上册期末数学试题（含解析）

2022年衡阳市高一年级期末质量监测

数学卷

注意事项：

1.本试卷共四道大题，满分150分.

2.测试时量：120分钟，请同学们科学、合理地安排好答题时间.

3.本卷为试题卷，答案必须答在答题卡的指定位置，答在试题卷上无效.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一

个选项是符合题目要求的.

L集合4={小。以，＞1},则（）

A.leAB.2w4C.3eAD.4eA

【答案】D

【解析】

【分析】求出集合A,结合元素与集合关系判断即可.

【详解】..Tog1tx＞1=10gli兀，；.%＞兀，；.A={x|x＞7i},

可知故A、B、C错误；4wA,故D正确.

故选：D.

3

2.函数/（x）=lnx--的零点所在区间为（）

A.（1.5,2）B,（2,2.5）C.（2.5,3）D.（3,3.5）

【答案】C

【解析】

【分析】结合函数的单调性与零点存在定理即可得答案.

【详解】/（X）在定义域（0,+8）上单调递增，

/（2.5）=ln|-1＜lne-|=-1＜0,/（3）=ln3-l＞0,

而/（1.5）＜/（2）＜/（2.5）＜0,/（3.5）＞/（3）＞0,

由“2.5）〃3）＜0,根据零点存在定理，可知零点/42.5,3）,

故选：C.

1

3.相的值为（）

1

A.10B.C.1D.不能确定

10

【答案】A

【解析】

【分析】令，，两边取常用对数，结合对数的运算性质即可得解.

a6=t

i1.

【详解】令c嬴，，两边取常用对数，得;一•lg〃=lg%,解得U10,

a=tIga

故选：A.

4.如图为函数/(司的大致图象，其解析式可能为()

〜or

B.小)=则

A.〃x)=

COSTLXX

c.y(x)=^^D-/(^)=—

Xsin

【答案】B

【解析】

【分析】根据图象的特征及选项中的解析式,利用排除法进行选择.

<1.6兀<2兀,/.sin1.6K<0,cos1.6K>0

由图知XHO,排除A；

由图知/(1.6)<0,进而排除C；

对于D中解析式，显然x/2,与图不符,排除D,

所以函数/(尤)的解析式可能为B.

故选：B.

5.已知。为第三象限角，且tan[5——,则COS[0+5)=()

【答案】c

【解析】

【分析】已知条件式切化弦，结合诱导公式可得3cos6>=4sin。，又6为第三象限角，sin26»+cos26>=1.

可解得sin8,cos。，化简所求式子即可得出答案.

即3cos8=4sin8,

又sin2，+cos20=l，。为第三象限角，sin。<0,cos。<0,

sin0——,cos0——,

55

//)兀、.c3

I2j5

故选：C.

6.Jsin3，2,叫ln(sin3)的大小关系为()

A.ln(sin3)>2sin3>V^3B.2sin3>ln(sin3)

C.V^3>2sin3>ln(sin3)D.2sin3>ln(sin3)>

【答案】B

【解析】

【分析】由一<3<兀得0<sin3<l,结合函数的单调性及中间值。和1求得结果.

2

71

【详解】V—<3<71,0<sin3<1,

2

，0<倔己<1，ln(sin3)<0,*>1，

2sin3>V^3>ln(sin3).

故选：B.

7.若(a—Ip+Qb—I)?=0,则2"+十的最小值为()

A.8B.6C.4D.2

【答案】C

【解析】

【分析】由题可知。+26=2,利用基本不等式即可求解.

【详解】由题可知：a—1=—（2〃-1）=>“+2Z?=2,

2"+4"=T+22b>2^12a-22b=2^2a+2b=4，当且仅当a=2Z?=l时等号成立，

故选：C.

8."。〉；”是“函数/（%）=坨（依-1）在区间（《,+8）上单调递增”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】结合对数复合函数的单调性及充分条件、必要条件的定义，即可得答案.

【详解】令"=依一1,y=lg〃，

若/（力=坨（依—1）在（。,+8）上单调递增，因为y=lg〃是（0,+s）上的增函数，

则需使“=依一1是（。,+8）上的增函数且u>0，则。>0且I2。，解得a»l.

因为1g,+co][1,+8）,故a〉g是的必要不充分条件，

故选：B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.

9.若a>b>0>c>d,则下列不等式恒成立的是（）

11LL

A.—>—B.^]c>yjdC.a—d>b—cD.aobd

cd

【答案】BC

【解析】

【分析】根据不等式的性质判断A、B、C,利用特殊值判断D.

【详解】解：因为d<c<0,所以!<工<0,故A错误；

ca

因为d<c<o,所以版〉17,故B正确，

因为d<cv0,所以一">一。>0,又a>b,：.a-d>b-c,故C正确；

对于D：令a=l,b=—,。=一1,d=-2,满足但是=故D错误.

2

故选：BC

10.能正确表示图中阴影部分的是(

A.Bn(^A)B.AA(^B)C.Q⑷AD.8)

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据集合运算，结合图形分析可得.

【详解】因为阴影部分在B中不在A中，根据集合的运算分析可知ACD正确.

故选：ACD

11.函数/(x)=sin(@x+e)(0>0)的部分图象如图所示，则下列正确的是()

C.若%+/=等，则/(%)=/(%)

D.若上一司=；,则/&)—/(々)|的最大值要大于孝

【答案】BCD

【解析】

【分析】由图象确定函数的周期求得。，再由零点求得。，从而得函数解析式，然后由结合正弦函数性质、

辅助角公式，判断各选项.

27r1jr3

【详解】选项A,T=2,。=——=兀，x=—是/(x)的零点，由图象得一+。=兀+2也，得6=—兀+2版,

T444

3

keZ(以下只要取。=—兀即可)，A错；

4

选项B,/I-1=0,则1+彳=2&兀+兀，kfZ,-=-+k2^k=l+4k2f故女为奇数，B对;

37r37rQar+r2023

选项C,由兀r+工=k2Ji+—,k2GZ,可得%=+—,即/(x)对称轴为元=+&，122=4

2023

%=-----为其对称轴，C对；

4

选项D,当%=0,时，|/(七)_/(々)卜乎，

137171371

设g(x)=于(X)-/(%+-)=sing+—)-sing+-+—)

4444

.3兀.3兀.V2.0

=SinTLXCOS-----FCOS7LXS1I1-----FSH17LX=(1------)Sin7LXH------COS7LX，

4422

易知g(x)的最大值是J(1—生+()2=也―0>与，

所以|/(石)—/(%2)|的最大值为亚二75，大于9，D对.

故选：BCD.

12.奇函数/(x)aeR)满足/(x)=/(l—x),则下列选项正确的是()

A./(九)的一个周期为2B./(100.4)</(2.6)

C.—g］为偶函数D.〃2x—4)为奇函数

【答案】ACD

【解析】

【分析】由/⑴=/(1一%)得/(%)的对称轴为x=g，结合/(%)的奇函数性质对选项逐一辨析即可.

【详解】/(x)=/(l—x),/(%)的对称轴为x=g,

/(x+2)=/(-x-l)=-/(%+1)=-/(-%)=/(%),.*.7=2,A正确；

T=2,故“100.4）=/（0.4）,/（2.6）=/（0.6）,

/（可关于x=g时称，故/（0.4）=/（0.6）,B错误；

/[Zx-]]=—=—/[g+Zx]=-,/[zx-]]偶函数，C正确；

/（2x-4）=/（2x+4）=-/（-2x-4）,〃2x—4）为奇函数，D正确，

故选：ACD.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.函数“X）与y=2,互为反函数，则/（〃2））=.

【答案】0

【解析】

【分析】根据指数函数与对数函数互反函数求解即可.

【详解】/（X）与y=2'互为反函数，

.-./（x）=log2%,^/（2）=log22=l,

・••/（/（2））=〃1）=1鸣1=。.

故答案为：0

14.命题）：HxeR,依2_.%—“wo的否定为；使命题p成立的一个无的值为.

【答案】①.VxeR,ax2+x-a>0②・1

【解析】

【分析】由特称命题的否定为全称命题得第一空的答案；验证x=l时，命题p成立，即得第二空答案.

【详解】解：因为命题p：HXGR,依2_%_〃W0，

所以命题p：—'P-VxeR,ax2—x—a>0;

当x=1时，ax1—x—a=a—l—a=—lv0成立，

所以命题P成立的一个工的值为1.

故答案为：VxeR,ax2+x—a>0»L

15.2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四

个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），直角三角形中较小的锐角为0,若

sine+cos9=：6,则图中的大正方形与小正方形的面积之比为

【答案】5

【解析】

【分析】用三角函数表示直角三角形的两条直角边，得小正方形的边长为cos。-sin。，由

sin8+cos9=|逐解出cos6—sin6,即可求大正方形与小正方形的面积之比.

【详解】如图所示,

设大正方形边长为1,则£>G=sin6=CF\CG=cos8,小正方形的边长为cos6—sin。,

94

由sine+cos8=-6,两边同时平方得l+2sin9cose=y,2sin^cos6^=—

5

91

所以(cosS—sin。)=l-2cos^sin<9=-

I2

则图中的大正方形与小正方形的面积之比为7一-——=5

(cos"-sin")

故答案为：5

二|lnx|[,x>V0。’若函数°

16.已知函数/(%)=y"所有零点的乘积为1,则实数〃的取值范围为

【答案】(0,1](2,”)

【解析】

【分析】令=则可得/（x）=a,结合/（尤）的图象，即可得答案.

a

【详解】解：令丛立=t,

a

则有==1，

/(%)=a,

如图，当。>2或0<aWl,|lnxj=|lnx21nxi±=L满足题意.

故答案为：（0,1]（2,+8）

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知函数〃x）=x+L

X

（1）若于（a）=]，求。；

（2）用定义法证明：函数/（九）在区间（0,1）上单调递减.

【答案】（1）。=3或。=,

3

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）直接解方程可得；

（2）根据定取值、作差、定号、下结论的步骤证明即可.

【小问1详解】

由,〃,Za）X=《10，ZB1_1§0

故3a2—10。+3=0,解得。=3或”;

【小问2详解】

证：任取

则了⑴-/伍)=0+2］/Z+工］=5—)。-x㈤

\再JIX?)再尤2

0<Xj<x2<1,/.Xj-x2<0,xxx2-1<0

故/(%)—/(々)>。，即〃%)>/(/)

故/(九)在区间(0,1)上单调递减

18.己知函数/(x)=2sin12x—t］.

(1)求函数/(%)的单调递减区间；

JTJT

(2)求/(%)在区间—a，］上的最值.

【答案】⑴］三+伍焉兀+左兀)/£Z

⑵〃力"="/(」-2

【解析】

【分析】(1)根据正弦型函数的单调性，利用整体代换法求解即可;

(2)先求出2x-f的范围，再根据正弦函数的性质求解即可.

6

【小问1详解】

因f(x)=2sin^2x-^,

.71_,_兀3_,

令—F2kli<2x<—7i+2kjifk1r£Z,

262

兀5

解得—Fkit<x<—7i+kitk£Z,

36f

所以/(%)的单调递减区间为1三+也,，兀+也),左€2.

【小问2详解】

兀兀,2兀71

由工£-知，£

44

nrIT)TTyr

所以要求/(x)在区间一17上的最值，即求y=2sin/在1£--上的最值,

当"-'时,Wn=2sin(qJ=—2,当/=g时,y111ax=2sing=G，

所以〃xL=g"(xL=-2.

19.如图为传统节日玩具之一走马灯，常见于除夕、元宵、中秋等节日灯内点上蜡烛，蜡烛燃烧产生的热力

造成气流，令轮轴转动.轮轴上有剪纸，烛光将剪纸的影投射在屏上，图像便不断走动，因剪细图像为古

代武将骑马的图画，在转动时看起来好像几个人你追我赶一样,故名走马灯,现打算做一个体积为96000cm3

的如图长方体状的走马灯(题中不考虑木料的厚薄粗细).

(1)若底面大矩形的周长为160cm,当底面边长为多少时，底面面积最大？

(2)若灯笼高为40cm,现只考虑灯笼的主要框架，当底面边长为多少时，框架用料最少？

【答案】(1)当长、宽皆为20cm时，底面矩形面积最大

(2)当长为60cm、宽为40cm时，用料最少

【解析】

【分析】(1)设大矩形的长为x,宽为y,则有x+y=80,借助基本不等式计算面积的最大值;

⑵易得底面面积5=孙=2400,借助基本不等式计算底面周长最小值.

【小问1详解】

设大矩形的长为无，宽为y

X

y

(x+y)2

依题有：2(x+y)=160,即x+y=80,贝|15=孙★~^-=1600

4

当且仅当x=y=40时，底面矩形面积最大

【小问2详解】

依题有5=孙=也也=2400,

4

框架用料最少等价于底面用料为2x+3y最小即可,

2x+3yN216xy=240,当2x=3y,即y=40,x=60取等

故当长为60cm、宽为40cm时，用料最少

20.已知函数/(x)=cos[ix-zj+l.

(1)求函数y=J/(2x+l)—g的定义域；

44

【答案】（1）4A：--,4A：+—（左eZ）；

（2）36

【解析】

【分析】（1）由题意可得/'（2x+l）-；三0,结合余弦函数的图象求解即可;

（2）由题意可得/（尤）+/（-2-%）=2,将所求式子重新结合，即可得答案.

【小问1详解】

解：由题知：/（2x+l）-1^0,

1

/(2x+l)=cos—x+l>

22

.兀1

cos—x2—,

22

所以———+2kn<—x<—Ti+2kii.kGZ,

323

44

--+4Z:<x<—+4^(Z:eZ),

44

其定义域为^k--,4k+—(左6Z).

【小问2详解】

解：因为/(x)=cos[ax-j+1，

所以

y(-2-X)=cos[-^(-2_X)—：]+1=cos(-£X_彳)+1=cos[-7l_(弓X_^)]+1=-COS(:X―:)+1,

所以/(%)+/(-2-％)=2,

Pi373335313_1_2

又因为-----1--=---1--=

222222

所以/2,

所以/

2L〃z,〃为函数/(%)=%2-2%1。8“/?+1089的两个零点，£.0<n<l<m.

⑴若m=2,求不等式〃“<0的解集；

(2)比较a,6,1的大小关系.

【答案】(1)(72-1,2)

(2)b>a>1^0<b<a<l

【解析】

【分析】⑴由韦达定理联立消去log06得(m+n)-mn=2,从而求得”的值，得到/(x)<0的解集;

(2)解法一：根据零点的分布列出满足的不等式组求解即可；

解法二：根据不等式m+〃〉2j嬴及韦达定理得log〃6〉l，求解即可.

【小问1详解】

,,,IgbIga,

由换底公式得log。b-loga=----——=1,

6IgaIgb

m+n=2\ogb.、

依题意得《,两式相乘得(机+〃)•"加=2

mn=log；,a

代入m=2,得n2+2〃—1=0

由0<〃<l，得n=6-l，而/(%)<0

故不等式解集为(&T2)

【小问2详解】

y(o)=iog^>o

解法一：因0<n<l<m,故，/⑴=l-log〃<0,

log”b>0

化简得log“b>l,

a>\0<a<l

故<或<

b>a\Q<b<a

即b