2023年辽宁省营口市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)

2023年辽宁省营口市普通高校对口单招高

等数学一自考模拟考试（含答案）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（20题）

Γ*8[

,使/Cr）dz=l成立的/（力为A-⅛

1.JlA.T

ɪ

B.T

C.ex

1

D.1÷Λ∙2

2.

下列等式成立的是

,.sinx2,

A.Iun------=1

x→OX

tanx

X

方程第二9+示的曲面是

A.佛球面

B.桶圆抛物面

C.球面

3D.圆锥面

4.曲线y=χJ在点（1,1）处的切线斜率为（）

A.-lB.-2C.-3D.-4

函数/（r）在点r连续是IimfCr）存在的

r♦，.

A.必要条件

B.充分条件

C.充要条件

5.d∙既非充分又非必要的条件

6.前馈控制、同期控制和反馈控制划分的标准是（）

A.按照时机、对象和目的划分B.按照业务范围划分C.按照控制的顺序

划分D.按照控制对象的全面性划分

设z=，+y2-2x+4y+5,贝IJ李•=

oy

A.2x-2B.2y+4

C.2x+2y+2D.2y+4+x2-2x

9

若y=itsin2x的一个原函数是§cos2x,贝!¼=

42

A.B.

33

24

C.D.

~3^3

9.设函数y=exi,则dy=()

A.e^(x-3)dxB.e^(x-2)dxC.e^(x-l)dxD.e^xdx

10.设函数f（x）在点xO。处连续，则下列结论正确的是（）.

小⑴兆CR必存在

A∙A∙

nll,,0

15∙

「

Hmf(x)≠f(x0)

V.

lʌ

O.

二重积分JJ∕(x,6dxdy=JdyJ7(x,Qdr的积分区域。可以表示为

11.D，

OO

υ

OWXWl

AOWyWl

OWXWI

(x≤y≤l

£>.

OWXWy

rIOWyWl

K_z•

0≤x≤l

[θWyWx

设f(x)在点X：连续，则下列命题中正确的是

A.f(x)在点x：必定可导

B.f(x)在点x：必定不可导

C.IimfCr)必定存在

j--∖<

D.IimfG)可能不存在

12.…

13.设y=f(x)在(a,b)内有二阶导数，且f”V0,则曲线y=f(x)在(a,b)

内().

A.A.凹B.凸C.凹凸性不可确定D.单调减少

14.

若IimfGr)存在，IimgG)不存在，则

*-⅞LHo

A.lim[ʃ(ɪ)+g(ɪ)]与limɛʃ(ɪ)—g(χ)J都不存在

B.lim[/(ɪ)+g(z)]与lim[∕<x>—g(x)J都存在

IHO*-IO

C.lim[ʃ(ɪ)+g(x)J与lim[/(ɪ)—g(ɪ)j之中的一个存在

*-**β

D.lim1f(H)±g(H)[存在与否与/(ɪ),g(ɪ)有关

当XTO时，/是2χ的

A.低阶无穷小地B.等价无穷小琼

C.同阶但不等价无穷小信D.高阶无穷小城

A

16.当x→0时，3X2+2X3是3x2的（）。

A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶无穷小但不是等价无穷小D.等价

无穷小

17.微分方程y，+x=O的通解O。

A√=2Λ

V=-2x5+C

B.

CCC

V=——X1+C

D.

0XQ-《<N.Ik

ʌ-

18.ɑA-2>

A.A.π∕4

B.π∕2

C.π

D.2π

19.当x→0时，χ2是X-In(I+x)的().

A.较高阶的无穷小B.等价无穷小C.同阶但不等价无穷小D.较低阶的

无穷小

设Z=Vr,则度隼于

ʌ.2τy2j*

B.2-

C./ʃlny

20.D.2√j,l∏y

二、填空题（20题）

hmɪ-^ɪ

21.-Jx-2

Iim/1+ɪ)=

22.—H∖Jn)

若/'(O)=2,则Iim/('?-/⑹=

23.-°3x

24.设y=2x2+ax+3在点x=l取得极小值，则a=.

25.

设了(X)在x=0处可导，且IimfgH二2%,则广①)

x→OX

26.

J

27.

设f(x+1)=4x2+3x+1,g(x)=f(e-x),则g(x)=

28.设z=x2+y2-xy,贝!|dz=。

—sintdt=__________.

29.d%Jo

嘉级数∑(-l)"+'⅛Γ∙r"的收敛半径R=

30.Wtt'+1

31.微分方程y'=0的通解为o

32.

若/(0)=0,/'(0)=2,则limɪ^ɪ=_________.

XTO3x

33.设z=xy,贝U出=

jJ2CIJ=.

35.JO-------------------

“设y="，则y'=______-

36.1+x

37.

函数/(x)=/在处间断.

dz_

38.设Z=Sin(y+χ2),贝.

39.

判断级数∑「、.收敛还是发散，你的结论是.

∏=ι√n(w+1)—'

40.设y=f(χ)在点X。处可导，且在点Xo处取得极小值，则曲线y=f(χ)在

点(xo,f(χo))处的切线方程为o

三、计算题(20题)

41.求微分方程'"+3γ'+2y=0的通解.

42.设抛物线Y=I-X2与X轴的交点为A、B,在抛物线与X轴所围成的

平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所

示).设梯形上底CD长为2x,面积为

S(x).

⑴写出S(X)的表达式；

(2)求S(X)的最大值.

43.计算/中公

44计算［arc∙siπxdx.

45.求微分方程y”-4y，+4y=e-2x的通解.

46.求函数f(x)=χ3-3x+l的单调区间和极值.

47.计算产

48.研究级数二(-1)“'"的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何

时发散，其中常数a>0∙

49.将f(x)=e-2X展开为X的寨级数.

50.当X—0时f(x)与Sin2x是等价无穷小量，贝!)

51.设z=z(7)是由方程x,∕-e'=0所确定的隐函数,求今,

52.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1,1)处的切线1的

方程.

求常级数£2，”的收敛区间(不考虑端点).

53.

54.已知某商品市场需求规律为Q=IOOe025P,当p=10时，若价格上涨

1%,需求量增(减)百分之几？

55.

2z

设区域。为：/+丁≤4,yN0,计算『√x+ydχdj.

56.证明：当x>∣β⅜.x>l*lnX.

57.设平面薄板所占OXy平面上的区域D为I≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0,

其面密度

u(x,y)=2+y2,求该薄板的质量m.

58.求曲线在点(1,3)处的切线方程.

59.求-阶线性微分方程y'-^y=χ满足初始条件yl..,=O的特解.

2

60.求函数/(W='-;一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点.

四、解答题(10题)

61.求方程(y-χ2y)y'=x的通解.

62.

交换二重积分IdH：e-Jdx的次序，并计算之.

设函数N=---------,求1χ-+y丁.

63.Ryəɪdy

64设/(X)为连续函数，且/(x)=3x-2j)(x)dx.求J；/(X)dx.

65.

设函数，=做外由方程组，、确定,求智.

22

μ-y+esιny=1(0<e<1)dx

=4

若XT9,求k的值.

66.

,nX-十S2Z∂1Z

IkZ=Xesιny,永----,-----

67今砂砂及

68.

求y=√lnX的极值与极值点.

69.

设曲线y=∕（x）过点（I其上任意一点（x,y）处切线斜率恒

为―

X

（I）求此曲线方程.

（2）求y=∕（x）,y=0,x=l所围图形的面积.

70.设y=χ2ex,求y'。

五、高等数学（0题）

71.

二曰

Iimtte0

'2ZE

∑U,

J收敛的（）条件。

A.充分B.必要C.充分且必要D.无关

六、解答题（0题）

72.

求J1+sinχdjr∙

参考答案

对于选项AJ/(ʃ)dr=j-⅛dr-------γ=1,故此积分收敛♦且收敛于1；

对于选项(r)dr∣dr=lnj

B,1/=17∙jι不存在;

对于选项Cj/(ɪ)dr=ʃe^*dr=-e,⅛=e”,故此积分收敛，但收敛于e~'∣

对于选项D∙(ʃ(ɪ)dɪ=f-~~~~rdɪ=arctanx=-ɪ-----ɪ-=ɪ,

JiJil+√l244

«A故此积分收敛.但收敛于二.故选A.

1.A4

lims*nx=Iim-=O,可知A不正确.

x→OXXToX

Iim吗X=Iiin2=8,可知B不正确.

x→OXZx→oJ

Iim㈣ʌ=lim±=l,可知C正确.

x→0Xx→OX

Iim包ʌ=lim!∙sinx=0,可知D不正确.因此选C.

2.C解析：工→-Xχ→-%

3.B

4.C由导数的几何意义知，若y=f(χ)可导，则曲线在点(xo,f(xo))处必定

4

存在切线，且该切线的斜率为F'(χo)°由于y=χQ,y∙'=-3x-,y'∙∣x=ι=-3,

可知曲线y=χQ在点(1,1)处的切线斜率为-3,故选C。

5.B

6.A解析：根据时机、对象和目的来划分，控制可分为前馈控制、同期

控制和反馈控制。

［解析］Z=X2+y2-2x+4y+5

生=2y+4,故选B.

7.B*

2

由于-CoS2x为ksin2x的原函数，因此

3

(2CY4,八L.c

-COS2JC=—sin2x=Jtsm2x

U)3

可知M=-?,应选D.

8.D解析：3

9.B

10.D

本题考查的知识点为连续性的定义，连续性与极限、可导性的关系.

由函数连续性的定义：若在xθ处f(x)连续，贝!|

linι∕(x)=∕(x0).

可知选项D正确，C不正确.

由于连续性并不能保证f(x)的可导性，可知A不正确.

由于连续必定能保证极限∣im∕(x)等于/(小)，而/(%)不一定等于0.B不正确.

∙-∙∙e

⅛fr⅛∏方冼D.

11.D

由所给二次枳分可知区域D可以表示为

0≤y≤l,gy≤x≤l.

其图形如右图中阴影部分.又可以表示为

OWxWl,OWyWX.

因此选D.

12.C

13.A

本题考查的知识点为利用二阶导数符号判定曲线的凹凸性.

由于在(a,b)区间内F(x)V0,可知曲线y=f(x)在(a,b)内为凹的,因

此选A.

14.A

1解析］由于Iim二=Iim4=0,可知当XTO时，X2是2x的高阶无穷小景,

*→o2x*7»2

15.D所以选D.

16.D

本题考查的知识点为无穷小阶的比较。

3Λ2+213+2%

Iim=Iim

2

由于一°3XX—*0,可知点Xt0时3x2+2x3与3x2为

等价无穷小，故应选D。

17.D

所给方程为可分离变量方程.

分离变胃dy=一XdX,

两端分别积分Jdy=-Jxdr.

1'=——4∙C,

2

故选D.

18.B

由于区域。的图形为由一+丁=1围成的园的上半部，所以JJdxdy=E故应选B.

r¼2

19.C解析：本题考查的知识点为无穷小阶的比较.

==ιMl1Ξl2,

Iimim=

oχ-ln(1+Λ∙)LoILOX

1--------

由于1+x

可知当x→0时，χ2与X-In(I+x)为同阶但不等价无穷小.故应选C.

20.D

21.

22.本题考查的知识点为重要极限公式。

23.2/3

24.

由于y=4"明令<=0得y的驻点X=J.由题设知1,因此α=-4.乂由干

y"=4>0.可知X=ɪ为y的极小值点.故Λ=-4.

25.

ɪ

2

［解析］Iim-二⅛⅛=ιhn一"2幻V(O)J

Jr→≡Xx→0X

=2Iim{2X)Hs=2∕,(0)

x→o-2xJ

由¥'(0)=1,得八0)=L

2

26.

27.Xr,1-

28.(2x-y)dx+(2y-x)dy

29.2XSinX2；本题考查的知识点为可变上限积分的求导.

ɪ-ʃsintdt=sin(x2)∙(χ2),=2xsinx2.

1

R«limII=lim_5≡_=Iim("丁,+〔≈lim(+M,+1

30.1("4U'Tl了

31.y=C

32.

八。)=Hmf(O+N∙N3=lim3

jr→OXx→0X

而Iim幺2=IimL幺旦=Ljf(O)

x→o3x*→o3X3

已知<(0)=2,所以Iim盘=2

χ→o3x3

33.

【解析】由于乎=y∕=χ,

∂χ∂y

<b=更dx+@dy=ydx+xdy.

∂x∂γ

34.1n∣x-l∣+c

35.

36.

(I+)

本题考查的知识点为函数商的求导运算.

考生只需熟记导数运算的法则

/U\__一

I"V2

可知(-/e，\':(e)(l+%)-e'(l+工)

1+xf(1+x)2

(1÷χ)2

本题中有些考生还不会运用求导法则，误以为

(^),=uV,㈡'=J

∖vfV

因此出现,i+x(1+》)'的错误.

这是由于考生没掌握基本知识才出现的错误.

37.

38.2xcos(y+x2)

本题考查的知识点为二元函数的偏导数计算.

可以令u=y+χ2,得Z=Sinu,由复合函数偏导数的链式法则得

∂zdz∂u

-=T">-=cosu'(0+2x)

∂xdιz∂x

=2XCOS(γ+χ2).

39.发散

本题考查了级数的敛散性(比较判别法)的知识点.

W

由-1,且》-Z7发散，所以原级数发散•

w1

√w(n÷l)〃+1W÷

4O.y=f(xo)y=f(x)在点Xo处可导，且y=f(x)有极小值f(xo),这意味着Xo为

f(x)的极小值点。由极值的必要条件可知，必有f"(xo)=O,因此曲线y=f(x)

在点(xo,f(xo))处的切线方程为y-f(xθ)=f(xo)(x-xo)=O,即y=f(xo)为所求切

线方程。

41.

【解析】特征方程为r'+3r+2=0.

特征根rl=-2,rj=-1,

方程的通解为y=C,ej∙+C,e,.

42.

y=I-X1,

{-C解得X=±l,则4、B两点坐标分别为

A(-1.0)和8(1.0)*8=2,

(1)S(x)=y(2+2x)(1-?)=(l+x)(I-X2).

(2)Sy)=-3/-2工+1,令SJ)=O,即(3工-1)(“1)=0,得与=5,=-1(舍去).

1

S-(x)I1=(-6x-2),=-4<0,则S图崂为极大值.根据实际问题,S夸为最大值.

43.

枭+∫y<k

=Inx+pnxdlnx=Inx÷—(Inx)2+C.

或11+InXdX:((I⅛Inχ)dlnx≈ʃ(1÷Inx)d(1+Inx}

——(1+Inx)2+C,

44.

,

设U=arcsinxtv=I,则

=xarcsinx+ɪʃ(1-x2)"τd(1-x:)

=xarcsinx+√T-x+C.

45.解：原方程对应的齐次方程为yπ-4y*+4y=0,

特征方程及特征根为/-4r+4=0­ι∙2=2,

2M

齐次方程的通解为r=(C1+C2)e.

在自由项/(力=J'中.α=∙2不是特征根,所以设y∙=4''∙代入原方程•有

x=⅛∙

故原方程通解为y=(C,+C1)e"+上e小.

IO

46.函数的定义域为

(-8,+co).f'(x)≈3χ2-3.

令/^'(χ)=0.得驻点3=-l.x,=l.列袋得

×(∙8.-I)-I(-1.1)I(I.÷*)

O-O

/(-i)≡3/(1)≡-1

ZZ

为极大值为极小值

函数/(χ)的单调地区间为(-8.-1],(1,+<B).

函数/(χ)的总调减区间为[-11].

"-1)=3为极大佰/(I)=-I为极小侑.

注意

如果将（-8,-1］写成（-8.-1）,格”.+8）写成（1.+8）,将f-l,l］写成（-1J）也对.

47.

【解析】令，=4,则X=J,dχ=2tdt.当4=0时，1=0；当X=1时，，=1

ʃ^dx=ʃ2teldt

=2(fe[：-ʌe'dr)=2(e-e'∣ɑ)=2.

48.

【解析】记u.=(-ι尸].则IUJ=J从而知yIu.I=y上为P级数，且

nn占占A

当α>l时，£4收敛,因此£(-1广,二绝对收敛.

・♦I∏∙MΛ

当0<αWl时，yL发散.注意到此时£(-1)12为交错级数，

Γ7,JnΓ7ln

..11

∣u.I=—>----------=Iu,I.

∏∙(∏÷1)...............

IimMl=Iime=O.

*~∙∙∙>∙∙n

由莱布尼茨定理可知当O<αWl时，f(-1广'2收敛,故此时£(-1广二条件收敛,

∙∙ιnΓΓ∙n*

49.

(解析】由于e'=f[(-oc<x<+8).可得

a∙D,∙∙

-:.3(-2x)∙3(-l)∙2V_____

e=>―^―=)-----------------------(z-8<x<÷OO)x,

V∙,n1

β<<β--Λ*・n♦•aaΛ∙Λ

50.由等价无穷小量的定义可知叫需M

51.

利用隐函数求偏导数公式，记

F(x.r.z)=x2+y,-e^,

则

尺=2x,F>-e,.

尸：

—∂z=———二—2x_

SxR√∙

52.

y=x-∣∏X的定义域为(0,+8),y'=1-∙ɪ-.

当x=l时,广=0；当x>l时,y'>0,函数y=x-lnx单调增加.

当0<x<l时,y'<0,函数y=x-lnX单调减少.

曲线y=x-lnX在点(1.1)处的切线方程为y-1=0.

211

由2∣X∣<I可解得FXF

故所给级数收敛M间为(^⅛,⅛)∙

100e-f<(--0.25)

小P)=一PQ.25/>

IOOe"

54.需求规律为Q=IoOeP225P川。）2.5/.当P=IO时

价格上涨1%需求量减少2.5%需求规律为Q=IOOep225P,

W/。。占Fa-

η(10)-2.5.∙.当P=IO时,价格上涨1%需求量减少

2.5%

55.

解利用极坐标，区域D可以表示为

0≤6≤π,0≤厂≤2,

2

J√x+y2dxdy=ʃdθ^rzdr

=J:R)

π

=J：I■㈤=l∙

解利用极坐标，区域D可以表示为

0≤6≤π,0≤r≤2,

j√x2+y2dxdy=ʃd^ʃɑr2Jr

D

2

dθ

O

=W=lπ∙

56.

设/(x)=Al-InX,则/(x)的定义域为(O,+8).

/'3=1

令y,=O得X=L

当x>l时J'(*)=可知/(x)单调增加.

由于/(1)=0.可知当X>l时J(X)MI)=O,从而X-I-InX>0.即

«,>1÷lnr.

57.由二重积分物理意义知

m=Jμ(x,y)dσ=，(/+)')dxdy=ʃdβjr`dr=-^ιτ.

58.曲线方程为尸」+2,点(1,3)在曲线上.

y=7∙).「-2'因此所求曲线方程为-3=-2(x-l),或写为2x+y-5=0∙

如果函数y=f(x)在点xθ处的导数F(xO)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(xθ,fxθ))处存在切线，且切线的斜率为P(X0).切线方程为

y∕(⅞)=∕,(⅞)(χ"⅞)∙

如果/'(%)，。，则曲线片/(幻在点(//(0))处的法线方程为

(x-x)∙

-7⅛9

如果∕∙'(h)=0.则”〃心)为曲线在点(工∙∕Uc))处的水平切线.

59.由一阶线性微分方程通解公式有

)■=e"m(∫g(χ)ea∙>-<k+C)

=J÷4^(∫χe--dx+C)

=e'"'Qx∙e^'"<dx+C)=X(JX,gdM+C)=X(X+ɛ),

将>∙I...=O代入上式,可得C=-I,因此所求特解为y=∕τ.

60.

/(x)的定义域为(-8,0)U(O,+8).

∕,(X)=2X+4J,,(X)=2-4∙

TT

令/'(M)=0得”-1;令广(X)=O.得“立

列表：

X(-8.-1)-1(-1.0)0(。⑶(苏,+8)

y,-0÷⅛

y"÷♦-0

/(-1)=3拐点

∖υZu没定义ZnZu

为极小值依0)

函数/C)的单调减少区间为(-8,-I);单调增加区间为(-1.0)U(O.+8);极小值为

/(-1)=3.

曲线y=∕(x)的凹区间为(-8.0)0(5.+8)：凸区间为(0.力)：拐点为(万.0).

说明

由于/'(x)在点工=0处没有定义.因此f(x)的单调增加区间为(-∣.0)U(0.+8),不

能写为(0.+8)!

61.

分离变量得Wy=TJ<Lr.

得边枳分得Jy-JLLrd1=一」(丁\出1ʃ1).

CTyy=-y∣∏IIxt1+Ci•

或yi=TnIl-ʃɪI+C.

62.

⅛∫'dJ'e-^2dr可知积分区域D的不等式表达式为D.O≤y≤l,j≤x≤l

fdyfe-χ2dɪ=[dx[e~^Ay

JOJyJOJO

=卜,

=-⅜-ι∣:

=ɪ(l-e^*)

解由（dy∫’e"dɪ可知积分区域D的不等式表达式为DtO≤y≤l,^∙≤x≤l

2,2

jr2⅛.4-√—=----y∙ɪ+3∙⅛

ar'力3y

=-1+1=0.

64.

记∕=C∕(x)dx.则/Gr)=3x-2∕∙两边求积分，有

A=∫θ∕(x)dx=ʃŋ3xdx-2J；A∆x.

从而

I1

A≈-X2-IA,

2O

一3,1

34=—,A=-♦

22

故&=g∙

记/=二/(外dx.WJf(x)≈3x-2A,两边求积分，有

A=∫θ∕(x)dr=ʃŋ3xdx-2∫θAdx.

从而

3I

A≈-X2-24,

2O

-3,1

3d=­,4=­・

22

故J：/(X)&=；.

65.

解方程组两端分别对t求导，得

<x,(=2i+2,

∖2t—y,+ecosy∙y't=0,

解得√,=2σ+i),√,=r⅛^,①

虫！

Ay=山_________t_______

故AxdɪQ+1)(1—£COSy)

^di

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将①式的，，代入上式，得

tFy_(1—ecosy)2_2以2Q+I)Siniy

dɪ2=2(t+l)3(l-εcosy)3

解方程组两端分别对E求导，得

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∣χt=2i+2»

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解得X,=2(2+1),√,=τ~~--,

1—£COSy

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_(1-ECos“-+D∙es∣nIy∙y',.]

-(i4-I)2(1—εcosy)22(t+1)

将①式的人代入上式,得

tFy_(1—εcosy)Z_2以："+I)Siniy

dɪ2-2(«+1)3(1—εcosy)3

66.

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67.a

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