2022-2023学年安徽省亳州市高一年级下册期中考试数学模拟试题（含解析）

2022-2023学年安徽省亳州市高一下册期中考试数学模拟试题

（含解析）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题

目的一项）

1.已知。为实数,i为虚数单位,若复数z=∕-3α-4+伍-4），为纯虚数,则复数α一出在复

平面内对应的点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象

限

【正确答案】B

【分析】

根据纯虚数的知识求得。，由此求得4-山在复平面内对应的点所在的象限.

，a?_3iz—a=4或α=—1,

【详解】•••复数z=/一3。-4+（α—4）i为纯虚数,〈

tz-4≠0,QW4,

.∙.α=-l,.∙.复数a-ai^-l+i,在复平面内对应的点的坐标为（-1,1）,位于第二象限.

故选：B.

本小题主要考查纯虚数的概念，考查复数对应点所在象限，属于基础题.

2.已知角a的终边经过点P（x,2）,且CoSa=—拽，则x=（）

A.-4B.-2C.2D.4

【正确答案】A

【分析】根据余弦函数的定义即可求解.

X

【详解】解：由题意，IOH=JX2+4,cosa=

JXl2+4

9R

又Vcosa=------,显然X<0,

5

x_2√5

二777TF，

.*.x=-4,

故选：A,

3.若tan(兀+6)=3,则COS26+SineCoSe=()

23C

A.----B.——C.

55

【正确答案】D

【分析】结合诱导公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.

【详解】tan(π+θ)=tanθ-3,

cos26,+sinOcosθ

cos26,+sinθcosθ=

COS29+sin2θ

1+tan_1+3_2

-l+tan2^^l+32^5

故选：D

4,已知。晟是平面内两个不共线的向量，

,

AB—4e∣+2β2,BC=-βl+Ae2,CD=β∣+(i-Λ)c2且4C,。三点共线，则4=()

ɪ1

A.-B.2C.4D.-

24

【正确答案】D

【分析】由%=在+前1,求出向量就，根据平面向量共线定理，设工=〃丽，从

而列出关于/1和〃的方程组即可求解.

,

【详解】解：∖∕8=4e∣+Ie1>BC=-et+λe2,

AC=AB+BC=3el+(2+λ)e2，

■：A,C,。三点共线，

■■—•—∙I——∙.-I—•---•

•.・设Ze=μCD，即3e∣+(2+λ)e1=∕z[el+(1-λ)e1J=μex+〃。-λ)e2,

f_|〃=3

3a—Ll

.∙.{八，解得〈1.

∖2+λ=μ(∖-λ')卜=：

故选：D.

5.已知i为虚数单位，且复数Z满足z(l+i)=2+j2S9,则z+g+i的值为()

A.7B.虫C.—D.2

222

【正确答案】B

131

【分析】首先根据题意得到Z=——i,再带入z+二+，，计算模长即可.

222

【详解】因为z(l+i)=2+产＞∣9=2+j3=2-√,

所以z=3=(2T)(i=2-2"，+『」』

1+z(l+z)(l-Z)222

LL∖LΛL

z+2+I∣22i+2+i

故选：B

本题主要考查复数的模长，同时考查了复数的运算，属于简单题.

6.若COSL+α∣=],则Sin仁一2〃卜(

)

1ɪ

A.--B.一卡C.d

99∙括

【正确答案】A

【分析】根据给定条件利用诱导公式及二倍角的余弦公式计算作答.

・、4EM,2

【详解】因CoS(—+a)=一,

63

贝!!sin(N-2a)=sin[工一(2+2a)]=cos2(Ma)=2cosX→-a)-1=2×(42-l=——.

6236639

故选：A

7.水车(如图1)是一种圆形灌溉工具，它是古代中国劳动人民充分利用水力发展出来的一

种运转机械.根据文献记载，水车大约出现于东汉时期.水车作为中国农耕文化的重要组成

部分，体现了中华民族的创造力，为水利研究史提供了见证.图2是一个水车的示意图，它

的半径为2m,其中心（即圆心）O距水面1m.如果水车每60s逆时针转1圈，在水车轮边

缘上取一点P,我们知道在水车匀速转动时，P点距水面的高度〃（单位：m）是一个变量,

它是关于时间f（单位：s）的函数.为了方便，不妨从P点位于水车与水面交点0时开始

计时（f=0）,则我们可以建立函数关系式〃。）=ZSin（（υ∕+e）+左（其中∕>0,<υ>0.

TT

-5<弓<0）来反映〃随，变化的周期规律.下面说法中正确的是（）

A.函数Mf）的最小正周期为40

B」0=2Sin'一山

C.当f=40时，水车尸点离水面最高

D.当/=150时，水车尸点距水面2m

【正确答案】D

【分析】先求出Mf）=2sin蜂f-弓+1,f∈[0,M）.对于选项A:直接求出的最

小正周期；对于选项B：由解析式直接判断；对于选项C：直接带入求出〃（40）=0,即可

判断；对于选项D：直接带入即可求出.

2兀Tr

【详解】依题意可知，水车转动的角速度G=—（rad∕s）,

6030

由？1+左=2+1,—A+左二—2+1,解得A=2fk=1,

由力（O）=NSin0+左=2Sine+1=0,得sin^=一'.又一工<°<0,则9二一四，

226

所以/O=2sin[^∕.）+1,Z∈[θ,+∞）.

对于选项A：函数〃(。的最小正周期为60.所以A错误;

τrTt\

对于选项B：/?(7)=2Sin所以B错误;

/JΓJT\

对于选项c：A(40)=2sin—×40一一+1=0,所以C错误;

I306)

对于选项D："150)=2sin4*150-於1=2,所以D正确.

故选：D.

上单调,且佃=僧卜-∙¾

8.设函数/.(X)=4sin(ox+6)在区间

_62

当X=^l时，/")取到最大值2,若将函数/(x)的图像上各点的横坐标伸长为原来的2

倍得到函数的图象g(x),则不等式g(x)>l的解集为()

lð2)I32J

C.∖--+2kπ,--∖-2kτι∖,AreZD.|+2Aπ,ɪ+2Zrπ∣,AreZ

163Jlɜ3J

【正确答案】A

【分析】根据函数的对称性和周期公式以及函数的单调性，并利用函数性质求解不等式即可.

【详解】•・•函数的最大值为2,

/./(x)=2sin(69%+9?),

∙.∙∕(>X)在区间一9—上单调，

62_

Tπππ

所以一≥-----=一，

2263

即T≥幺，

3

2π2兀

—≥—，

ω3

即0<G<3,

・・•佃:/用，

7兀

.・.X=一是函数的对称轴,

12

∙∙∙1,o是函数的对称中心,

_2π

・・・7≥—

3

7π兀ITl]

∙∙∙χ==和I§，0是函数相邻的对称轴和对称中心,

12

2兀17π兀

即ππ—×一二

①4123

得0=2,

当X=^l时∙，/")取到最大值2,

_πTi_r,~

2X----卜cp=—K2kτt,%∈Z

122

Tt_,,_

φ=-+2kπ,Λ∈Z,

3

π

当左二O时∙，O=一,

3

/./(x)=2sin[2x+y

根据题意可知g(x)=2sin[x+m

.∙.g(x)>1<=>2sin^x÷yj>1<=>sin^x+yj>ɪ,

Ji兀5兀

—F2kτι<XH—<----K2kτt,《∈Z.

636

JlTt

解得：----F2Aτι<x<—F2kτι,左∈Z.

62

二g(x)>l的解集是(一2+2碗，々+2加],^∈Z.

故选：A.

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求)

1一一，、

9.已知α=(4,3),2α+b=(3,18),则下列结论中正确的是()

A.W=13

B.a∙b=∖6

34

C.与［共线的一个单位向量是

5'5

16-

D.Z在B上的投影向量是Kb

【正确答案】AB

【分析】根据向量线性运算的坐标表示求出W，求模即可判断A,计算数量积判断B,求;

的同向或反向的单位向量判断C,根据向量的射影向量计算判断D.

【详解】设，=(χ,y),则安+坂=(3,18)=(8,6)+(x∕)=(8+x,6+y),

所以x=-5,y=12,即力=(-5,12)，

所以W=J(—5>+12?=13,故A正确；

~a-b=(4,3)•(-5,12)=-20+36=16-故B正确；

a43

与Z共线的一个单位向量为±丁=±(、7)，故C错误；

⑷55

—>—>—>—>

---,上…-日、，a∙bb16616?,,订…

Q在b上的投影向量为一^..-~~一=，故D错氏.

∖b∖∖b∖∖b∖2169

故选：AB

2

10.已知X£(0,兀)，sinx+cosx=--,则下列结论正确的是()

ʌ.(JL√2D.)_5

I4)39

∕14

C.SInX—cosX---λ-----D.-1<tanx<0

3

【正确答案】ABD

4

【分析】辅助角公式化简已知，即可得出A项；由已知可得，(sinX+cos%7)=-,展开

214

即可得出B项；先得出(SinX-COSX)=—,根据已知可得SinX-CoSX>0,开方即可判

断C项；根据SinX+cosx=-§<0,结合三角函数的符号，即可推出卜inx∣<∣cosx∣,进

而得出∣anM<l,即可得出D项.

2

【详解】对于A项，因为SinX+cosX=&——sinx+——cosx=V2sin[x+-

3

所以SinX+色=一卫，故A项正确；

【4J3

24

对于B项，由已知可得，(sinx+cosx)"ɪ—,

224

即SirrX+cosX+2sinXcosx=1+sin2x=—,

9

所以，sin2x=一一，故B项正确；

9

214

对于C项，(SinX-COSX)~=sin2x+cos2x-2sinxcosx=1-sin2x=—.

由已知SinX+cosX=一一，x∈(θ,π),可知x∈彳,兀,所以SinX-cosx>0,

3\2

所以，sinX-cosX=,故C项错误;

3

2

对于D项，因为SinX+cosx=-§<0,sinx>0,cosx<0,所以卜出工|<∣cosx∣,

ISmXl‹]

所以，Itanx∖=τ

cosx∣

又tanx<O,所以-IVtanX<0,故D项正确.

故选：ABD.

11.已知6,c分别是4/BC三个内角4优。的对边，下列四个命题中正确的是()

A.若“IBC是锐角三角形，则sin/>cos8

B.若QCOSZ=bcosB,则Δ√4BC是等腰三角形

C若力COSC+ccos5=6,则ΔJBC是等腰三角形

D.若AZ8C是等边三角形，则-----=------=------

cosAcosBcosC

【正确答案】ACD

【分析】利用诱导公式及正弦函数的性质可判断A,由正弦定理化边为角结合正弦的二倍角

公式可判断B,由正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式可判断C,利用正弦定理化边

为角结合同角三角函数基本关系可判断D.

【详解】对于A,因为A48C是锐角三角形，所以4+8>],所以SinZ>si∏6T,

即sinA>cosB,故A正确；

对于B,由QCoS4=bcosB及正弦定理,可得SinZCOs/=sin5cos5,即sin2A=sin2B,

TT

所以24=28或2Z+28=%,所以Z=B或N+8=—,所以A∕8C是等腰三角形或直

2

角三角形，故B错误；

对于C,由bcosC+CCoS8=b及正弦定理化边为角，可知

sinBcosC+sinCcosB=Sin8，即sin/=sin8,因为Z,8为A48C的内角，所以A-B,

所以是等腰三角形，故C正确；

对于D,由-8C是等边三角形，所以∕=8=C,所以tan∕=tan8=tanC,由正弦定

理一--=---=---,故D正确.

cosAcosBcosC

故选：ACD.

12.己知函数/'（X）=SinXICO闵，x∈-∣∙,y-有以下结论，则说法正确的为（）

A./（χ）的图象关于直线y轴对称

3ττSjr

B.7（X）在区间—上单调递减

C./‘（X）的一个对称中心是一,0

、2√

D/（X）的最大值为《

【正确答案】BD

Irir(TTιTΓ

【分析】分别就Xe,xe5，万时化简/(x)解析式，并作出图象，观察图象

兀π

可判断ABC是否正确；对D：求出当XW时的最大值即可.

22

ππ时，/(x)=SinXICOSXl=SinXCoSX=gsin2x,

【详解】当Xe

2,2

π3π

当Xe时，/(x)=SinHCOSXl=-SinXCOSX=-∙^sin2x,

2,T

作出函数/(x)的图象如图：

则函数关于V轴不对称，故A错误,

区间~,π的中点坐标为生,区间π,~^^的中点坐标为千，

24

则/(x)在区间上单调递减，故B正确，

由图象知/(x)关于X=I对称，故C错误，

当Xe-f^'f^时，2%6[-π,πl,当2x=5时，/(x)取得最大值g，

由图象知f(x)关于X=I对称，故当X/；,合时，f(x)最大值也是:，故D正确.

2122」2

故选：BD.

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知扇形的面积为4cm2,该扇形圆心角的弧度数是千，则扇形的周长为cm.

【正确答案】10

1,11,1

【详解】S=—ar-------K=4,r=4,/=ar=—•4=2,故周长为/+2r=10.故10

2222

14.求值：cos40oɑ+ʌ/ɜtan1Ooj=

【正确答案】1

【分析】利用三角函数切化弦，辅助角公式与诱导公式求解即可.

详解

,∕/T,∖…J/Tsiπl0ocosIOo+ʌ/ɜsinl0o

cos40mo11+√3tanιrIOoo)=cos40l÷√3×--------=-----------------------×cos40°

\，Icosl0o√CoslOo

2(sin30oCoslOo+cos30osinl0o)SC2sin40o八Csin80o

=--------------------------------------×cos40=----------Xcos4z10=--------

CoslOoCoslOoCoslOo

_sin(90o-10°)_cosl0o_ɪ

cosl0ocosl0o

故1.

(∖π∖

15.已知函数/(x)=tan-X--,则下列说法正确的是(填序号)

①/（X）的周期是兀；

②/.（X）的值域是OdyeR,且y#0};

③直线X=苧是函数/（x）图象的一条对称轴

2兀IT

2E—y2⅛π+ʒ-,%∈Z.

[9

【正确答案】④

①函数〃x)=|tan］；x—?)|的周期与y=tan］；x—!)的周期相同,即户,①错

误；

②函数的值域明显是非负，②错误；

③对称轴的横坐标是函数零点或不在定义域内，因为/(g］=Ji,③错误：

④∙.∙函数/(X)的单调递减区间满足一乌+E<Jχ-四≤E,AeZ,

226

2兀兀LX

-------F2kn<X≤—F2Zτc,keZ,(?)正确，

33

故④.

16.在AZBC中，角4,B,C的对边分别是α,6,C且满足=C?+。46=4.且aZBC

为锐角三角形，则4/18C面积的取值范围为.

【正确答案】(2√3,8√3)

【分析】由余弦定理求出角C,S^ABC=^abSinC,要求448C面积的取值范围，只需求

出“边取值范围，根据正弦定理，将。用角B表示，结合B范围，即可求解.

【详解】a2+b2=c，+ab,CoSC="-+’———ɪɪ,

Iab2

71

0<c<.C=—,

3

由正弦定理得一L=B-=」-

sinJSinBSinB

TT

所以"4sin(8+])=2+26皿=2+

sinBsinBtan5

π

0<β<-

2

又az8c为锐角三角形,

π

0<--B<

32

得工<B<工,tan8>-^,0<--—<ʌ/ɜ

623tan5

所以2<α<8,SΔABC=ɪn/）sine=ʌ/ɜa∈（2^3,8^3）.

故答案为.（2√3,8√3）

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演

算步骤）

17.已知向量Q,B满足Ial=I,I石I=3,（2Q—B）∙（Q+5）=-6.

（1）求）与B夹角。的余弦值；

（2）若工+坂与3—左石的夹角为锐角，求实数4的取值范围.

1113

【正确答案】（I）COs。=§；（2）（-∞,—ɪ）<J―,—）.

【分析】（1）利用平面向量数量积运算法则结合已知求出£.B即可得解;

（2）先求出（2々+分0—几），然后由此数量积大于。及力+方与Z—序不共线即可作答.

【详解】（1）因Ial=1,∣B∣=3,则（2Q-B）∙（Q+B）=2Q~—7+4∙B=-7+Q∙B=-6,即

有a・E=l，

ɪ

所以cosθ=FL

∖aV∖b∖3

(2)由(1)知(2α+5)∙(α—届)=2Q-2ka∙b+a∙b-kb=3-1IZr，

因工+否与Z—左B的夹角为锐角，于是得（2。+坂）∙（ɑ—左5）>0且力+石与Z—左方不共线,

3

从而得3—114>0,即4<打，

当24+3与Q—左b共线时,2k+1=0,即左=一5,而2〃+否与Q—左b不共线,则左≠一］∙,

31

于是有Zv一且左工一一，

112

113

所以实数力的取值范围是（-8,-万）。（一5，行）.

18.已知α,0为锐角,tana=ɪcos(aβ]=-^~

v)10

(1)求cos2α的值;

(2)求a—P的值.

3τr

【正确答案】(1)CoS20=—；(2)a—B-......

54.

2.212

【分析】(I)由于cos2a=c。Sa-Sma=l-tanα,所以代值求解即可;

cosa+sinaI+tana

（2）由COS（g+/?）=—条求出sin（a+A）的值，从而可求出tan（α+夕）的值，而

tan2a-tan(a-∖-B∖

tan(cz-/?)=tan[2α-(α+,)]=l+tan2α∙ta1(α+4),进而可求得结果

、1-1

CCOS2Qf-Sin2Qrl-tan2a4ɜ

【详解】(1)COS2。=---------7^=:--------=—τ=-

cosa+sm^a1+tan-aj+J_5

4

ππ

（2）因为α,尸为锐角，所以α+尸∈（0,乃），a-β∈

2^,2^

/y_____________2

又所以'√ΞY7√Ξ

CoS(α+P)=，sin(α+/7)=Aʌɪeosɪ(^+^)=-------,

ι°JIO

7√2

sin(a+£)_丁，7

tan(<z+/?)

cos(α+6)ʌ/ɪ

^10

2ta∏6Z4

又tan2a

1-tan-a3

tan2α-tan(α+/)

所以tan(<z-∕?)=tan[2α-(α+y?)]二

l+tan2α∙tan(α+/7)

-+7

I——×7

3

71

因为α一P∈,所以

R+r

19.在SC中，a,h,C分别为角力，B,C所对的边，且满2sin?-------+cos2J=1.

2

（1）求角A的大小;

(2)若α=√7,BAAC=-3'求~48C的周长.

【正确答案】(1)y；(2)5+√7.

【分析】

（1）由二倍角的余弦公式和特殊角的三角函数值，可得所求值；

（2）由向量的数量积的定义和余弦定理，结合配方法，整理可得所求的周长.

【详解】（I）2sin?'^l^C+cos2∕=1,

2

即为CoS（B+C）-cos24=0,

可得2cos?/+cos∕-l=0，

解得cos/=J-I舍去），

TT

由0<%<乃，可得/=一；

3

______271

（2）BA∙4C=3即为CbCOS—=-3,

3

可得A=6,

由/=〃+c?-2bccosA-{b+c^-Ibc-be=7,

可得b+c=j7+3χ6=5，

则BC的周长为α+b+c=5+J7∙

关键点睛：利用数量积与余弦定理构建方程组，通过整体思想得到结果.

20.在三角形ZBC中，NB=2,ZC=1,NNCO=三，。是线段BC上一点，且丽=1岚，

22

厂为线段48上一点.

（1）若NO=x∕3+yZC,求》一丁的值;

（2）求赤.万的取值范围；

【正确答案】（1）ɪ、1

'⑵一3,而

3

【分析】（1）根据平面向量基本定理，由题中条件，得到亦=2万+1%,从而可求出

33

x,N的值，进而可求得x—N的值；

（2）根据题意先求出NCZ8=?,BC=G,设I彳4=x,再由平面向量数量积运算，即

可求得结果

【详解】解：（1）因为丽=；岚，所以彳万—方=；（就-而），

一2一1一

得NO=—48+—ZC,

33

—■—.—.21

因为ZZ）=XNB+yZC,所以X=IJ=

所以x-y=；,

式

（2）因为在三角形/8C中，AB=2,AC=I,ZACD=-,

2

所以NcZB=工,BC=百，

3

所以方.方=（0+箫）•万=或+箫.成，

∖AF∖=X,由题意得Xe[0,2],

所以丽.或=N∙或+#•成=或卜OSNC/8万卜

(1丫1「1

因为xe[0,2],所以-[χ--+—∈-3,一

I4j16L16

所以而•成的取值范围为-3,上

_16_

21.已知函数/(x)=-2j‰fSinXCOSX+2αsi∏2χ+α+6χ∈[0,—],-5≤/(x)≤1.

(1)求常数α,6的值.

π

(2)若。>0,设g(x)=∕(x+5),且g(x)>l求g(x)的单调区间

【正确答案】(1)a=-2,b=l或α=2,6=-5；

jrʌTrTr

(2)单调递增区间为：(E,E+一(A:∈Z),递减区间为.(E+—,E+—)∕∈Z)

6)63

【分析】(1)化简/(χ)后，根据/W的最值讨论。的范围，然后列方程求解即可；

(2)根据/(χ)求出g(χ),从而求出g(x)>l的解集，在解集范围内求出g(χ)的单调区间即

可.

【小问1详解】

f(X)=-2^3«sinXcosx+20sin2x+a+b

=-y∕3asin2x-acos2x+2a+b

.Tt

=-2Qsiπ(2x+~)+2α+b

因为X£[0,5],所以2x+7∈[—,ɪ-],

τrTr

因此当0>0时，当2x+z=彳时，函数有最小值，即一2α+2α+b=-5nb=-5,

62

当2X+3=?时，函数有最大值，即-2o∙(-3+2α+6=l,而6=-5,解得。=2；

662

TTTT

当α<0时，当2x+自==时，函数有最大值，即-2α+2α+b=l=b=l,

62

当2X+B==时，函数有最小值，即一2α∙(-L)+2α+b=-5,而6=1,解得α=-2,

662

所以。二一2,6=1或〃=2,ft=-5；

【小问2详解】

因为。>0,所以α=2,b=-5,即/'(X)=-4sin(2x+1)-l,

g(X)=/(X+[)=4sin(2x+?)—1,

由g(x)>l得:

π1Jrπ5π

sin(2x+—)>—=>2kπ+—<2x+—<2kπH----(左∈Z),

62666

JTJTTT

当2kπ<2x+-<2kτι+-(k∈Z)时，函数单调递增，

262

TTTT5兀

而2kπ+—<2x+—<2kπH----（女∈Z）,

666

JTTTTT

所以当2Λπ+-<2x+-<2kπ+-（k∈Z）时，函数单调递增,

662

π…，

即析<X<Aτc+%∙（攵∈Z）时，函数单调递增，

TlTi3兀

当2Λπ+-<2x+—<2kτt-∖----（k∈Z）时，函数单调递减，

262

TTTT5兀

而2kπ+—<2x+—<2kπ4----（左∈Z）,

666

TTTTSTT

所以2kπ+—<2x+-<2kπ---（女∈Z）时，

266

TrTr

即E+—VxcE+-（4∈Z）时，函数单调递减，

63

rrʌTrTr

故函数的单调递增区间为：（E,Mτ+z（左eZ）,递减区间为.（阮+—,而+—）（左∈Z）

6J