2023年山西省晋中市高考数学模拟试卷（B卷）及答案解析

2023年山西省晋中市高考数学模拟试卷(B卷)

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知复数Z满足z(l+i)=1—3i,则复数Z的虚部是()

A.2iB.-2C.-2iD.2

2.甲、乙两位射击运动员参加比赛，连续5轮射击比赛的成绩情况如图所示：

射击成绩

100---------------------------------------------------------------------------

90___________________________________________

60---------------------------------------------------------------------------

50---------------------------------------------------------------------------

40---------------------------------------------------------------------------

30---------------------------------------------------------------------------

20---------------------------------------------------------------------------

10---------------------------------------------------------------------------

°i2345—

..甲.一_♦..乙

则下列说法正确的是()

A.甲平均成绩高，乙成绩稳定B.甲平均成绩高，甲成绩稳定

C.乙平均成绩高，甲成绩稳定D.乙平均成绩高，乙成绩稳定

3.设集合U={0,l,2,3,4,5},Λ={X∣X2-7X+12=0},B=[1,3,5},则CUG4UB)=()

A.{0,2}B.[1,3,4,5)C.{3,4}D.[0,2,3,4)

4.己知函数/'(x)=2X-昔(久eR),则/(x)的图象()

A.关于直线X=2对称B.关于点(2,0)对称

C.关于直线X=O对称D.关于原点对称

5.我国古代仇章算术》将底面为矩形的棱台称为刍童,若一刍童为正棱台，其上、下底面

分别是边长为√Σ和2a的正方形，高为1，则该刍童的外接球的表面积为()

A.16ττB.18πC.20πD.25π

6.设尸为抛物线C：y2=4%的焦点，点M在C上，点N在准线/上且MN平行于X轴，若INFl=

∖MN∖,则∣Mf|=()

A.但B.1C.延D.4

33

7.已知函数/(%)=sin2x+√5cos2%的图象向左平移8(@>0)个单位长度后对应的函数为

g(X)，若g(X)在I-晨]上单调，则9的最小值为()

AI—2DB.-6-C3-uD・—12

8.已知α=ln√∑b=铮，c=~,则下列判断正确的是()

3e

A.c<b<aB.b<a<cC.a<b<cD.c<a<b

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.如图，在棱长为1的正方体4BCD-4B1C1D1中，则()

A.BC11AC

B.三棱锥D—力CDl与三棱锥B—AC为体积相等

c.cm与平面4皿所成角的正弦值为苧

D.点Bl到平面ACDi的距离为竽

20232χ2023j若c则下列结论正确的

10.(1+ax)=QO+a1x+a2xH------Fa2023h=—6069,

有()

A.a=3

,2023

B.a0+a1+a2+∙∙+a2023=-2

C.⅜+≡i+-+^⅛=-l

D.(l+ax)2023的展开式中第1012项的系数最大

11.对于三次函数/"(x)=aχ3+bχ2+ex+d(a丁0),给出定义:设f'(x)是函数y=/(x)的

导数，/。)是函数f'O)的导数，若方程/''O)=0有实数解配，则称(XoJQo))为函数y=/(%)

的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有

对称中心，且“拐点”就是对称中心,若函数/。)=//一2/+¥+”6€/?),贝女)

A./(%)一定有两个极值点

B.函数y=f(x)在R上单调递增

C.过点(0,b)可以作曲线y=∕(x)的2条切线

d-当匕=⅛3寸，/(⅛+/(⅛)+/(⅛+-+f(^)=2022

12.已知椭圆C：3+1=1的左、右焦点分别为居，F2,上顶点为B,直线八y=⅛x(fc≠0)

与椭圆C交于M,N两点，4F]MF2的角平分线与X轴相交于点E,与y轴相交于点G(0,m),则()

A.四边形MFlNF2的周长为8

14

B∙IMrll+INFII的最小值为9

C,直线BM,BN的斜率之积为一,

4

D.当m=时，∣F]E∣:∖F2E∖=2：1

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.己知向量N=Q+L—2),石=(1,3)，若a则I苍+J∣=—.

14.已知函数f(x)的定义域为R,且同时满足下列三个条件：①奇函数，(2)∕(x)+/(x+2)=

2x-ι,xe[0,1]

则/(2023)=

0,(3)∕(x)=sinx,x∈(1,2)，

15.在平面四边形4BCD中，已知ZBIBC,BC=4,ZB=I.若丽•反=12,则"/1。+Co

的最小值为

16.南宋数学家杨辉善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为

求离散量的垛积问题，在他的专著群解九章算法•商功沙中给出了著名的三角垛公式1+

(1+2)+(1+2+3)+-+(1+2+3+-+n)=ɪn(n+l)(n+2),则数列｛标+2“｝的前n

项和为___.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知数列｛αrι｝满足的=1,αn+ι=2αn+1.

(1)求证：数列｛arι+l｝为等比数列；

(2)求数列｛上-｝的前n项和

anan+l

18.(本小题12.0分)

△力BC的内角A,B,C的对边分别为α,b,c,其中b=3√Σ,且满足吗-C=史绊一ɑ.

(1)求AABC的外接圆半径；

(2)若NB的平分线BD交AC于点D,且BC=√5,求4/18C的面积.

19.(本小题12.0分)

从布宫夜宴d火爆破圈开始，某电视台推出的“中国节日”系列节目引发广泛关注.某统计

平台为调查市民对“中国节日”系列节目的态度，在全市市民中随机抽取了100人，他们年

龄的频数分布及对“中国节日”系列节目喜欢的人数如下表.(注：年龄单位为岁，年龄都在

[15,75)内)

年龄[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)

频数102030201010

喜欢人数616261264

(1)若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的2X2列联表，并通过计算判断

是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为对“中国节日”系列节目的态度与人的年龄

有关;

年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计

喜欢

不喜欢

合计

(2)若按年龄段用分层随机抽样的方法从样本中年龄在［45,75)被调查的人中选取8人，现从选

中的这8人中随机选取3人，求这3人中年龄在［55,65)的人数X的分布列和数学期望.

2

参考公式及数据#2=(∙)M蓝%计d)，其中"α+b+c+d

P(χ2≥/Co)0.050.010.0050.001

ko3.8416.6357.87910.828

20.(本小题12.0分)

如图，C在以AB为直径的圆。上，SO垂直圆。所在的平面，BS=AB=2,CA=CB,E为4S的

中点，D是SC上一点，且平面BDEl平面SAB.

(1)求证：SA1BD-,

(2)求平面BDE与平面SBC夹角的余弦值.

21.(本小题12.0分)

己知双曲线C：★一马=l(α>0,b>0)的离心率为√∑,点7(3,俑在双曲线上.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若A,B为双曲线的左、右顶点，M(l,m),若MA与C的另一交点为P,MB与C的另一交点

为Q(P与A,Q与B均不重合)求证：直线PQ过定点，并求出定点坐标.

22.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=axex—^x2—X.

(1)讨论fO)在(0,+8)上的单调性；

2xιx2

(2)若α>0时，方程/(x)=mX-g/有两个不等实根X],χ2,求证：χ1χ2>e~~

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：因为z(l+i)=l-3i,

l-3i_(l-3i)(lT)_l-3-4i

所以Z

1+t-(l+i)(l-i)一—2-

所以Z的虚部为-2.

故选：B.

由复数的乘、除法运算化简复数，即可求出复数Z的虚部.

本题主要考查复数的运算，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：由题意可得，1=(80+70+80+90+90)=82,

所以S*="X[(80-82)2+(70-82)2+(80-82)2+(90-82)2+(90-82)2]=56,

因为X乙=ɪ×(70+80+70+80+80)=76,

所以Sg=1×[(70-76)2+(80-76)2+(70-76)2+(80-76)2+(80-76)2]=24,

乙5

所以X甲＞X乙且S甲＞S乙.

故选：A.

由平均数和方差的计算公式计算即可得出答案.

本题主要考查了平均数和方差的计算公式，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】解：由--7X+12=0,解得X=3或X=4,

故A={3,4},

则4UB={1,3,4,5},CU(4UB)={0,2}.

故选：A.

解集合4中的方程，得到集合4再求集合的并集和补集运算.

本题主要考查了集合的并集及补集运算，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：f{x')=2x

则f(4-X)=24-x-air)=24-χ-2x,

所以f(x)+/(4-X)=0,

则函数/(x)的图象关于点(2,0)对称，

故选：B.

根据函数解析式可得/0)+/(4-%)=0,由此得解.

本题考查函数对称性的运用，考查运算求解能力，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：设该刍童外接球的球心为。，半径为R,上底面中心为。1，下底面中心为。2,则由题

意，OIO2=1,AO2=2,½1O1=1,OA=OA1=R.

如图，

当。在。1。2的延长线上时，设。。2=九，则在A2002中，R2=K2+4®,

在4人。。1中，R2=(∕ι+l)2+l(2),

联立①②得h=l,R2=5,所以刍童外接球的表面积为207T.

同理，当O在线段OIo2上时，设。Oi=h,

则有R2=F+1,R2=(1_∕l)2+4,解得h=2,不满足题意，舍去.

综上所述，该刍童外接球的表面积为20兀.

故选：C.

根据题意，作出图形，设该刍童外接球的球心为0,半径为R,分两种情况讨论，分别根据条件列

出方程组，即可求出外接球半径，代入球的表面积公式计算即可求解.

本题考查球的表面积计算，考查运算求解能力，属于中档题.

6.【答案】D

【解析】解：根据题意可得p=2,

••・抛物线焦点F为(1,0),准线E为％=-1,

设准线［与X轴的交点为E,如图所示，

由题知MNJU,由抛物线的定义可知IMNl=IMF

因为INFl=IMN所以AMN尸是正三角形，

贝I」在RtANEF中，因为MN〃EF,

所以4EFN=乙MNF=60°,

所以IMFl=INFl=2∖EF∖=2p=4.

故选；D.

由抛物线方程可知焦点坐标及准线方程,设准线1与X轴交点为E,画出图象，由抛物线定义及INFl=

IMNl可知△MNF是正三角形，结合平行关系可判断NEFN=60°,利用直角三角形性质即可求解.

本题考查抛物线的儿何性质，数形结合思想，属中档题.

7.【答案】C

【解析】解：T函数/(x)=sin2x+√3cos2x=2sin(2x+》

・•・函数f(x)的图象向左平移W个单位长度后得到g(x)=2s讥［2(x+s)+g=2sin(2x+20+9,

当一*x≤*则20q≤2x+20+∕≤2<p+与,

又g(%)在［-9号上单调，由正弦函数的单调性可知，

[2φ—2φ+ɪ]ɑ[2fcττ+ɪ,2fcττ+ɪ](/e∈Z)或[2<p—ɪ,2φ+ɪ]ɑ[2kτt—ɪ,2kτr+"](k∈Z).

要使S最小，则k取0,

CTF、Tr

2(p-≡≥≡2(P-6≥^2

OL-P-,结合伊>0,解得］≤0≤驾,

故有92ττ3ττ或ɔ.2π_TT

2^÷T≤T2(f，+-≥2

综上，0的最小值为半

故选：C.

对函数/(X)进行化简，再根据其图象向左平移a(0>0))个单位长度得到函数g(x)的解析式，由

g(x)在［-烷］上单调，可求得W的最小值.

本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化思想，属于中档题.

8.【答案】C

【解析】解：设/(X)=也(x>0),则/(X)=口竺=可,

x

J∖Jχ2χ2

当Xe(O,e)时,f(%)>0,则/(x)为增函数，

当X∈(e,+8)时，∕,(χ)<0,则/(x)为减函数.所以f(x)≤/(e)=ɪ,

a=ln√2=∣∕∏2=∣∕∏2==/(4),又b=殍=f(3),c=}=∕(e),e<3<4,且f(x)在

(e,+8)上单调递减，

所以/(4)</(3)</(e),所以α<b<c.

故选：C.

构造函数"乃=?(％>0),利用导数研究函数的单调性，然后利用函数的单调性即可比较大小.

本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题.

9.【答案】BCD

【解析】解：对于4,因为BCJ/AD1，所以异面直线BCl与4C所成的角就是ADi与AC所成的角.

因为A%=CDI=4C,所以△4DlC为等边三角形，∆D1AC=≡

即异面直线BG与AC所成的角为半故4错误；

11

对于8,易知VD-ACDI=^D1-ACD=ɜ,S"DC'DD1∙^B-ACD1=^D1-ABC=ɜ,SAABLDDlf

f

又SMBC=^∆ADC所以力-ACDI=^B-ACD1»故B正确；

对于C，连接。B1，BD.

因为AC_L平面BDDi，DBlU平面BD%,所以AClDB「

同理可得m_LOB］，又ACcIaDI=4,AC,明u平面"小，

乙

所以DBlI平面ACD1，ClZ）与平面ZCDl所成的角。为Z∙C1DBι的余角，sinθ=COSCIDBI=翳=

亲=争故C正确；

对于。，由C项知SinC=苧,AB1//DC1,

所以ZB】与平面AC。1所成角的正弦值为苧，

所以当到平面ACDI的距离为AB】∙sinθ=√∑x苧=竽，故。正确.

故选：BCD.

计算异面直线BCl与AC所成的角为会可判断4由等体积法分别求出棱锥D-ACDi与三棱锥B-

AC/体积可判断B；由题意可证得DBiI平面4CD1，则GD与平面ACR1所成的角。为立的。々的余

角，求出S出。=cos4GDBι=铠的值可判断C；因为占到平面AC。1的距离为AB】∙sin。，结合选

项C可判断D.

本题主要考查线线位置关系的判断，直线与平面所成角的求法，棱锥体积的计算，点到平面距离

的求法，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.

10.【答案】BC

【解析】解：对于4由的=废023∙α=2023a=-6069,可得Q=—3,故A错误；

2χ2023y

对于氏因为（1-3X）2°23=劭+a1x+a2x÷∙∙∙+α2023

令X=1,则Qo+Ql+。2+…+02023=（1_3）2°23=-22023,故5正确；

对于C,令％=0,则Qo=1,

令T=:,则号+墨+…+馈易=（I_3X护。23_劭=_劭=_匕故C正确;

ɔɔʒJɔ

对于D,由展开式知，a2n>0）a2n-ι<0-故第1012项的系数由oιι<。，不会是展开式中系数

最大的项，故。错误.

故选：BC.

利用二项式展开式的通项公式求解含X项的系数，从而得到α,即可判断选项A；赋值法即可求解

系数和问题，从而判断选项&C-,利用展开式系数之间的联系判断选项D

本题主要考查二项式定理，属于中档题.

11.【答案】BCD

【解析】解：由题意知/'(%)=/一%+1,J=l-4=-3<0,f'(%)>0恒成立，

所以/(%)在R上单调递增，没有极值点，故A错误，8正确；

设切点为OnwnI3-ɪm2+m+ð),则k=f(m)=m2-m+1,

切线方程为y-(ɪm3-ɪm2+m÷ð)=(m2-m+I)(X-m),

代入点(0,匕)得—,m34-ɪm2—m=—m3+m2—m,

⅛P∣m3=ɪm2,解得Tn=0或m=

324

所以切线方程为y=x+b或y=率+b,故C正确；

易知广(X)=2x-l,令/(X)=0,51∣Jχ=ɪ

当b=a时，/&)=0,Λ⅛=l,所以点6,1)是/(X)的对称中心，

所以有/(；-x)+∕(∣+x)=2,即fO)+f(1-X)=2.

令S=∕Q⅛)+f磊)+f岛)+…+八磊)，

又S=/篇)+f(篇)+f(踪)+…+∕<⅛⅛

所以2S=IΛ⅛÷∕⅛+[∕⅛)+f(篇)]+…+/(篇)+A⅛)1=2022X2=

4044,

所以S=2022,故。正确.

故选：BCD.

对/^(x)求导，得出/'(%)>0,没有极值点，可判断4B；由导数的几何意义求过点(0,b)的切线

方程条数可判断C；求出三次函数f(X)的对称中心，由于函数的对称中心为0,1),可得/0)+

/(l-x)=2,由倒序相加法求出所给的式子的值，可判断£>.

本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考

查运算求解能力，属于中档题.

12.【答案】AC

【解析】解：对4选项，由椭圆的定义知，四边形MFlNF2的周长为2α+2α=4α=8,A正确；

+∣∣=+MF+=1+4++

对B选项，|MF1|+∣wf∙ι∣=∣mf∙1∣M∕724^∣MF1∣∖MF2^^∣MF2I)4(IMFJ

引MFIl>9

,

IMF2I)~4

当且仅当IMFIl=*∣MF2∣=I时等号成立，故8错误；

对C选项，设M(%ι,yι),贝!)N(-x1,—yι),又8(0,遍)，所以4BM,^BN='-----N----=力？.

χι-xι%ι

因为点M(Xl,yD在椭圆上，所以J+J=1，即*=4(1一])=g(3-比)，

所以ABM-ABN==一*C正确；

对。选项，设ECo)(-l<t<l),则盟=害=牖｝，∣MRI+∣MF2∣=4,

所以IMFIl=2(t+l),∣M%I=2(1—t),

在椭圆C：[+4=1中，

由其第二定义e=早(d指的是椭圆上的点到相应的准线的距离)得IMFIl=de=%+当∙e=

(Xl+%∙e=卜1+2，

∙∙.IMFIl=2+ɪɪi=2(t+1),

所以工ι=43

故M(4t,yι),E(t,0),G(0,-∣),

因为三点共线，所以△=1∙,解得力=£则竺匕+*=1，解得t=±；,

3tt2434

1

1

1且+-5

丸

当H14W

X=ILF=-=l÷

用--

L4-13L故。错误

21--∙

4

4

故选：AC.

对4选项，由椭圆的定义知，四边形MFINF2的周长为4ɑ即可求解；对B选项，由直线y=fcx(fc≠0)

与椭圆相交的对称性知：INFll=IMF2∣,•••岛+岛=嵩+舟，借助基本不等式可得

14

而∏+而∏的最小值；对C选项，设M(Xi,乃)，则N(-X[,-yι),由点M(xll,yD在椭圆上，即可化

得∕CBM-∕⅛N的值;对。选项，设出E(t,O)(-l<t<l),由条件推出IMFIl=2(t+1),∣MF2∣=2(1-

t),又在椭圆C中，由其第二定义e=野得IMF/=2+g∕=2(t+l),从而得到M,E,G三点

坐标，再根据其三点共线，化简求解即可.

本题考查直线与圆锥曲线的综合运用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两

者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习加以强化，考查运

算求解能力，属于中档题.

13.【答案】5√2

【解析】解：向量五=(4+1,—2),b=(1,3)>五1b，

则4+1-6=0,解得4=5,

所以苍=(6,—2),a+b=(7,1)-

所以I丘+bI=√72+I2=5>∕2∙

故答案为：5√2.

由向量垂直的坐标公式求得;I=5,进而求五+3的坐标，应用模长的坐标公式求I五+旬.

本题主要考查平面向量垂直的性质，属于基础题.

14.【答案】-1

【解析】解：因为/0)+/(%+2)=0,所以/(x+4)=—/(x+2)=∕(x),

所以/Q)为周期函数，且周期为4,

所以f(2023)=/(4X505+3)=/(3)=/(-1).

因为/(X)为奇函数，

所以/(-1)=-/(1)=-(21-1)=-1.

故答案为：-1.

由题知f(x)为周期函数，周期为4,进而根据周期性与奇偶性求解即可.

本题主要考查了函数的奇偶性和周期性，属于基础题.

15.【答案】等

【解析】解：如图，以BC的中点为原点，BC所在直线为X轴建立平

面直角坐标系，

根据题意可得B(-2,0),C(2,0),A(-2,l),设D(X,y),

ʌDB∙DC=x2-4+y2=12,ʌx2+y2=16,

二点。在以原点为圆心，4为半径的圆上，设E(8,0),D(x,y),

・・・DE2一(2CD)2=(X-8)2÷y2-4[(x-2)2+y2]

=-3(x2+y2-16)=0,

・・・DE2=(2CO)2

1

2

2-=；(40+2CD)=∖{AD+DE)≥^AE=^√10+1=ɪ.

故答案为：等.

根据图形特征建立直角坐标系，求出。点的轨迹方程后，根据距离和最小求出最小值即可.

本题考查向量数量积的坐标运算，圆的几何性质，数形结合思想，化归转化思想，属中档题.

16.【答案】2n÷1-2

O+

【解析】解：•••1+2+3+∙∙∙+n=

...数歹IJF嗖2｝的前〃项和为3何+i)(n+2),

Vn2+2n=2×-n+2n,

rι12

•••数列｛/+2｝的前n项和Sfl=2X(亨+竽+…+专马一(1+2+∙∙∙+n)+(2+2+-

+2n)

=ɪn(n+l)(n+2)-+=rtS+吁n+Dn+ι_.

ɔL1—2O+22

故答案为：迎型皆“土1)+2fl+ι-2.

O

由三角垛公式可知数歹弁辿#｝的前n项和为*n(n+l)(n+2),根据/+2"=2×吗2-n+2n,

采用分组求和法，结合等差、等比求和公式可求得结果.

本题考查数列中的分组求和法的应用，解题关键是能够将所求数列的通项进行变型，从而与已知

的三角垛公式联系起来，利用所给的三角垛公式来进行求和.

17.【答案】证明：(1)数列｛an｝满足%=1,an+1=2an+l.

则：cιn+ι÷1=2(αn+1),

即：2哼=2(常数).

十ɪ

所以：数列Bn+1｝首项为的+1=2,公比为2的等比数列.

解：(2)由于：⅛±⅛i=2,

ɑnɪɪ

则：数列｛%,+l｝是以%+l=2为首项，2为公比的等比数列.

则：厮=24—1,(首项符合).故：c⅛=2n-l.

所以：bn=—----,="+1:仆

anan+l(2-1)(2-1)

1_______1

=2π-l-2n+1-l,

所以：^=⅛-⅛+⅛-⅛+∙∙∙+⅛-⅛T>

=1一]__

―2n+1-l,

【解析】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用,

属于中档题.

(1)直接利用定义得出数列为等比数列.

(2)利用等比数列，求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和.

18.【答案】解：(1)誓—c=誓一ɑ,

由正弦定理，得d-c=Q-α,则。2+。2—炉=&c,

aa

COSB=巴考="一=ɪ,

2ac2

因为OVB<71,

所以B=9

设^ABC的外接圆半径为R,由正弦定理知2R=焉=罢=2遍，

T

所以△ABC的外接圆半径为遥；

(2)由BD平分乙48C,得SMBC=^Δ,ABD+SABCD，

则:acs讥！=ɪ×√3×csiny+ɪ×ʌ/ɜ×asi∏y,即QC=Q+c,

232626

在△4BC中，由余弦定理可得力2=a2+c2-2accos^,

又b=3√2,

则Q2+¢2_QC=18,

联立｛眠；C=I8，可得a?c2-3αc-18=0,解得αc=6(αc=-3舍去)，

⅛r1.π1,√33√3

故SAABC=2acsιn3=2X6X2=~∙

【解析】(1)根据正弦定理及余弦定理求出角，再由正弦定理得解；

(2)根据角平分线利用三角形面积间的关系得αc=α+c,再由余弦定理，求出αc即可得解.

本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题.

19.【答案】解:(1)列联表如下:

年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计

喜欢224870

不喜欢181230

合计4060100

y2=n(αdfc)2=IOOX(22x12-48x18)2〜

λ一(α+b)(c+d)(α+c)(b+d)—70×30×40×60~

则能在犯错误的概率不超过0。1的前提下认为对“中国节日”系列节目的态度与人的年龄有关;

(2)因为[45,55),[55,65),[65,75)数比为2：1：1,

故抽取人数依次为4,2,2,

故X的所有可能取值为0，1,2,

P(X=O)W=名，P(X=I)=警/

P(X=2)=等=会

故X的分布列为：

X012

5153

P

142828

故X的数学期望E(X)=0×^+l×^+2×^=∣.

【解析】(1)根据频数分布，填写2X2列联表，再结合独立性检验公式，即可求解；

(2)根据题意知X的所有可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列，计算期望值.

本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，考查期望公式，属于中档题.

20.【答案】解：(1)证明：因为BS=AB=2,且E为力S的中点，

所以BEJ.S4

又因为平面BDEI平面S4B,且平面BnEn平面S4B=BE,SA⊂

平面SAB,/

所以SA1平面BDE,8愆

又因为BZ)U平面BDE,所以S4J.B。；彳

(2)因为CA=CB,所以。CJ.48,则。C,OA,OS两两垂直，

以。C,OA,OS所在直线分别为X,y,z轴，建系如图，则根据题意可得:

0(0,0,0),4(0,1,0),B(0,-l,0),C(1,0,0),S(0,0,√3),

.∙.FS=(0,l,√3).BC=(1,1,0).AS=(0,-1,√3).

由(1)知衣=(0,-1,√5)是平面BDE的一个法向量，

设平面SBC的一个法向量记=(x,y,z),

则向A=O归含；°，m≡=(√3,-√3,l)>

Im.SC=O

2√3_√21

:∙cos(fn,AS)=

师IMSl√7×2一~

・•・平面BDE与平面SBC夹角的余弦值为苧.

【解析】(1)由面面垂直的性质得线面垂直，再由线面垂直的性质即可证明线线垂直；

(2)利用空间线面、线线关系即可建立空间直角坐标系，分别求得平面BDE与平面SBC得法向量,

利用平面与平面夹角余弦值公式求解即可.

本题考查线面垂直的判定定理与性质，向量法求解面面角问题，向量夹角公式的应用，属中档题.

(a=2

21.【答案】解：⑴由题意得＜2.与=1,解得b=2

2

ɑb(C=2.

^c2=α2+62

故双曲线C的方程为［一4=1；

44

(2)证明：①48为双曲线挤一苧=1的左、右顶点，

ʌA(-2,0),5(2,0),

又M(Lm),

・•・当m=0时，则kp4=kM∕=?∕⅛Q=%M=一租，・•・∣<BQ=_3kpA,

又点P在双曲线。Y=I上，∙∙∙kpB∙%=2⅛∙3=旦=与=ι,

44SuAXp+2χp-24-44

・•・kβQ,kpB=_3kpA•春=-3；

设P(%ι,yι),Q(%2,y2%直线PQ的方程为％=九y+3

联立［⅞^-9=1,整理得(声一I)y2+2"ty+t2-4=0,

lx=ny÷t

22222

.∙.Δ=(2nt)—4(t—4)(n-1)=4t+16n—16>0,且为+y2=y1y2=

.∙.kpB∙kBQ=工.4=-------------2-----------------ς=「--------七——工——=

v2z222z2

巧-2X2-2ny1y2+n(t-2)(y1+y2)+(t-2)n(t-4)-2n(t-2)t+(t-2)(n-l)

-⅛⅛=-3,解得t=4,此时满足Zl>0,

一住一2)

•∙•直线PQ恒过点(4,0).

②当Jn=O时，P与B重合，Q与4重合，此时直线PQ的方程为y=0,

综上所述