2023年辽宁省鞍山市普通高中高考数学一模试卷及答案解析

2023年辽宁省鞍山市普通高中高考数学一模试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.若i(l-z)=l,则z+z=()

A.-2B.—1C.1D.2

2.设全集U={-2,-l,0,l,2,3},集合4={-1,2},B={x∖x2-4x+3=0},则Q(力U

B)=()

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,0}D.{-2,1}

3.数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了吊=22"+l(n=

0,1,2,...)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出Fs=641*6700417,

不是质数.现设On=Iog4(∕⅛-l)(n=l,2l...),Sn表示数列{α7l}的前n项和.若32SJJ=63an,

则n=()

A.5B.6C.7D.8

4.已知平面向量W与方的夹角为60。，4=(2,0),ILl=L则I百一29I的值为()

A.√2B.2ɛ,4D.ɪ

5.已知Sin(α+¾=ɪ.则cos(2α-W)=()

ɔ

77C2D2

-9-9--9-9-

6.为了支援山区教育，现在安排5名大学生到3个学校进行支教活动，每个学校至少安排1人,

其中甲校至少要安排2名大学生，则不同的安排方法共有种()

A.50B.60C.80D.100

7.已知圆锥的母线长为2,侧面展开图扇形的面积为2兀，那么该圆锥的体积是()

A.≡B,⅞C.πD.学

8.函数/(%)是定义在R上的偶函数,且f(l+x)=f(l—%),若XC[0,1],/(x)=2x,则

/(2023)=()

A.4B.2C.1D.0

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入调

查数据整理得到如图频率分布直方图，根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是()

▲频率

组距

0.20---------------------------I一一

0.14_________________

0.10_______________________________

0.04---------1--------------------------------------------

002匕Ll-T-TT一十一十十十一|一LLII

0~2一53.54.55.56.5158一59.510.511.512一513.514.5M入/万元

A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B.该地农户家庭年收入的中位数约为7.5万元

C.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

D.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

10.已知函数/(x)=Sin(3%+,)+CoS(3%+s)(3>0,[勿<])的最小正周期为兀，且∙(x)

的图象过点(0,√5),则下列结论中正确的是()

A./(x)的最大值为近

B./(x)的图象一条对称轴为*

C./(x)在(0,今上单调递减

D.把/(x)的图象向左平移髀单位长度，得到函数9(切=企小(24+看)的图象

11.已知Fi，F2分别是双曲线C：1-y2=ι的左、右焦点，点M是该双曲线的一条渐近线

上的一点，并且以线段Fi,尸2为直径的圆经过点M,则()

A.双曲线C的渐近线方程为y=±}x

B.以线段招尸2为直径的圆的方程为/+y2=3

C.点M的横坐标为2或—2

D.△M0尸2的面积为石

12.如图所示，从一个半径为后(单位：Tn)的圆形纸板中

切割出一块中间是正方形，四周是四个正三角形的纸板，以/⅛∖\

此为表面(舍弃阴影部分)折叠成一个正四棱锥P-ZBCD,则以下说法正确的是()

A.四棱锥P-ABCD的体积是学r∏3

B.四棱锥P-ABCD的外接球的表面积是8TΠ∏2

C.异面直线PA与CD所成角的大小为60°

D.二面角4-PB-C所成角的余弦值为一2

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.在(a-93的展开式中，常数项是_.

14.若函数/(x)=X-出Zix的图像在点(1,1)处的切线方程为y=3x-2,则实数ɑ=—.

15.若正实数α,b满足α+b=l,则我+油最小值为_.

3ab

16.已知椭圆C：1+4=l(α>b>0)的左、右顶点分别为A2,且以线段4√12为直径

Qb

的圆与直线bx-ay+2ab=0相切，则C的离心率为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

设数列｛a“｝的前n项和为外,且满足Srι+ι=Sn+an+2(nEN*),2S5=3(A4+α6)∙

(1)求数列｛an｝的通项公式；

an

(2)若bn=arι+G),求数列｛b｝的前n项和

18.(本小题12.0分)

在△4BC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B=60o,a2=b2+c2-bc,延长BC至D,

使BD=7,AACD的面积为∣√T

(1)求AB的长；

(2)求△4CD外接圆的面积.

19.(本小题12.0分)

甲、乙、丙三人，为了研究某地区高中男生的体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)是否存在

较好的线性关系，他们随机调查了6位高中男生身高和体重的数据，得到如下表格：

身高∕C7Π160166172173173182

体重"g445055555664

根据表中数据计算得到y关于％的线性回归方程对应的直线的斜率为0.89∙

(1)求y关于久的线性回归方程J=bx+a'

(2)从该地区大量高中男生中随机抽出IO位男生，他们身高单位：Crn)的数据绘制成如图的茎

叶图.①估计体重超过60kg的频率p,②视频率为概率，从该地区大量高中男生中随机选出2

人，记这2人中体重超过60kg的人数为X,求X的分布列及其数学期望(用(1)中的回归方程估

测这10位男生的体重).

16233

173466

18I24

20.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∕∕CD,NABC=90。，AB=2BC=

2CD=2,△ADP为等边三角形，且面ADPj_底面ABCD.

(1)若M为BC中点，求证：PM1BC；

(2)求面240与面PBC所成二面角的余弦值.

21.(本小题12.0分)

已知抛物线C的顶点是坐标原点0,对称轴为X轴，焦点为尸，抛物线上点4的横坐标为1,且

FA-OA=A-

(1)求抛物线C的方程；

(2)过抛物线C的焦点作与刀轴不垂直的直线/交抛物线C于两点M,N,直线X=I分别交直线

OM,ON于点4和点B,求证：以力B为直径的圆经过X轴上的两个定点.

22.(本小题12.0分)

-1

已知函数/(%)=-X2—alnx{aER,a≠0).

(1)求函数/(X)的单调区间；

(2)若对任意的Xe[1,+8),都有/(x)≥2成立，求α的取值范围.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.

把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出再求出z+5.

【解答】

解：由i(l-z)=l,得I-Z=J=推=-√,

.∙.z=l+i,则W=I-3

∙∙z-3t~z—1+i+l—i=2∙

故选：D.

2.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.

根据集合的基本运算即可求解.

【解答】

解：∙∙∙B={x∖x2—4x+3=0}={1,3},A={-1,2},

.∙.AUB=[-1,1,2,3),

•••(7={-2,-l,0,1,2,3),

.∙.CuOUB)={-2,0},

故选：C.

3.【答案】B

【解析】解：因为吊=2?”+I(Jl=O,1,2,…)，所以o⅛=l0g4(%—1)=/094(22"+1—1)=

2nn1

log42=2^,

所以{即}是等比数列，首项为1，公比为2,所以Sn=隼2=2兀—L

1—2

所以32(2'-1)=63×2n^1,解得n=6,

故选:B.

利用数列的递推关系式，求出通项公式，然后通过等比数列求解数列的和，然后求解n即可.

本题考查数列的递推关系式的应用，等比数列的判断，数列求和，考查计算能力.

4.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了向量的数量积定义，还考查了向量的模的求解公式，属于基础题.

由题意利用I方—2石I=J（3-2卫）2=JI项2一4小石+4年|2求解..

【解答】

解：∙.∙向量五与石的夹角为60。，α=(2,0),∖b∖=l,

a-b=IaIlb∣cos60°=2xlXg=1,

.∙.∖a-2b∖=J(a-2b)2=J∣α∣2-4α∙K+4∣K∣2=√4-4×1+4=2>

故选：B.

5.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了二倍角公式，诱导公式等知识，属于基础题.

根据诱导公式，找出所求角与已知角之间的关系，结合二倍角公式运算.

【解答】

解：cos(2α+¾=cos[2(α+1)]=1-2sin2(a+¾=1-2×∣=L

又2α-1=(2α+y)-π.

7

所以COS(2α-今=cos[(2α+ɪ)—π]=-cos(2α+等=9-

故答案选：A.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查排列与组合的综合应用，两个计数原理的运用，是较易题.

讨论甲校安排3人，2人，剩余部分分成两组，然后进行安排即可.

【解答】

解：若甲校安排3名大学生，则其余两所学校只能各安排1名大学生，则有盘彩=20种，

若甲校安排2名大学生，剩余3名大学生分成2组，一组1人一组2人，然后再进行安排，有

ClClClAi=60种,

共有20+60=80种，

故选C.

7.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了圆锥的侧面展开图的理解与应用，圆锥体积公式的应用，解题的关键是掌握圆锥侧面

展开图的弧长等于底面周长，半径等于圆锥的母线长，考查了逻辑推理能力，属于基础题.

设圆锥的底面半径为r,高为九，由圆锥的侧面积求出r,再由勾股定理求出九，由体积公式求解即

可.

【解答】

解：设圆锥的底面半径为r,高为机，

因为侧面展开图扇形的面积为2兀，

1

所以2∙(2πr)-2=2π,解得r=1,

又圆锥的母线长为2,

所以h=√22—I2=√3>

则Vr=gsh=gX(兀XI2)XV3=ɪʃr.

故本题选D.

8.【答案】B

【解析】解：因为f(l+X)=〃1一乃，且/Q)是定义在R上的偶函数,

所以J(l+X)=f(%-1)

令t=x-l,则X=t+1.

所以f(t+2)=f(t).即/(x)=/(x+2),

所以函数/'(X)的周期为2,

所以/(2023)=/(1011×2+1)=/(1)=2.

故选：B.

根据f(l+X)=/(l-x),结合/(x)是定义在R上的偶函数，易得函数/(x)的周期为2,然后由

/(2023)=/(1011×2+1)=f(1)求解.

本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数奇偶性、对称性的应用，属于中档题.

9.【答案】ABC

【解析】

【分析】

本题主要考查频率分布直方图的应用，考查读取数据的能力，属于基础题.

对于4BC,通过求解对应的频率，即可依次判断，对于O,结合平均值的计算公式，即可求解.

【解答】

解：对于4该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为(0.02+0.04)x1=6%,故A正

确，

对于-B,家庭年收入介于2.5万元至7.5万元之间的频率为0.02+0.04+0.1+0.14+0.2=0.5,

故该地农户家庭年收入的中位数约为7.5万元，故B正确，

对于C，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为0.1+0.14+0.2+0.2=0,64>0.5,故C

正确，

对于0,估计该地农户家庭年收入的平均值为

3X0.02+4×0.04+5×0.1+6×0.14+7×0.2+8×0.2+9X0.1+10X0.1+11×0.04+

12X0.02+13×0.02+14×0.02=7.68>6.5,故O错误.

故选：ABC.

10.【答案】AC

【解析】

【分析】

本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键，是中档题.

根据条件求出函数的解析式，利用三角函数的最值性，对称性以及单调性的性质分别进行判断即

可.

【解答】

解：/(x)=V^Sin(3X+0+»

•••最小正周期为几，

二—=解3=

ω7T,2,

ʌ/(x)=√2sin(2x+3+》

•・,/(%)的图象过点(0,企)，

・・・/(O)=√2sin(φ+ɪ)=√2,即Sin((P+/)=1,

∙,∙<p÷~=2kτc+ɪ,解得0=2kττ+%kWZ,

vl<P∣<p

：,当k=0时，φ=々,

则f(%)=V2sin(2x÷7÷?)=V2sin(2x+[)=y[2cos2x

44L1

则最大值为√I,故A正确；

∕φ=√2cosɪ=0≠±√2,故B错误；

当0<x<^时，0<2x<τr,此时/'O)=√Σcos2x为减函数，故C正确；

把/0)的图象向左平移泠单位长度，得到y=√2cos2(x+*=√2cos(2x+》无法得到g(x)=

&cos(2x+S)的图象，故。错误.

故选；AC.

11.【答案】CD

【解析】解：由双曲线方程知：α=2,b=l,∙∙∙C的渐近线方程为y=±gx,A错误；

∙.∙c=√α2+b2=√5,∙∙∙RE为直径的圆方程为/+y2=5,B错误；

由卜=±9得：匕;J或凭]二，；•点M的横坐标为2或—2,C正确；

22

[x+y=5口-±1σ-+1

z

TlyMl=L二SAMF1FZ=T∙∣F∕2I∙l)M∣=后，。正确.

故选：CD.

根据双曲线方程得α,b,c,由此可得渐近线方程和以招尸2为直径的圆的方程，知AB正误；联立

渐近线与圆的方程，可求得M坐标，由此可判断CD正误.

本题考查了双曲线的性质，属于基础题.

12.【答案】BCD

【解析】

【分析】

本题考查四棱锥的结构特征，考查了异面直线成角问题，考查了二面角计算问题，属于中档题.

A,根据四棱锥体积公式计算判断；B,根据四棱锥P-ABCD的外接球表面公式计算判断；C,用

平移直线法求异面直线成角判断；D,寻找二面角的平面角，用余弦定理求值判断.

【解答】

解：设正方形边长为X,则由如图1知MN=X+2∙x∙sin6(Γ=x(遮+1),

M@T=F

又因为MN=2•后，所以x(√5+1)=2∙鬲∙，解得X=2,

所以四周的四个正三角形边长也为2,

连接BD、AC交于点M,

对于4,因为PMj■平面ABCD,又MaU平面ZBCD,

所以PM1MA,

因为M∕=√ΣPA=2,所以PM=√2∕2-M42=鱼,

所以力YBCD=322.¢=殍，故4错误；

对于B,因为M4=MB=MC=MD=MP=显,

所以四棱锥P-ABCD的外接球的半径为√∑

所以四棱锥P—4BC。的外接球的表面积为4TΓ(V∑)2=8ττ(m2)＞故B正确;

对于C,因为AB〃CD,所以异面直线PA与CD所成角等于NPAB,

又因为APaB为正三角形，所以4P4B=60。，故C正确；

对于。，取PB中点H连接AH,CH,则PBJ.AH,PB1CH,

所以二面角A-PB-C的平面角为N4"C,

CoS乙4”C=萼生¥=芸爰=—，故。正确.

2AHCH2∙√3∙√33

故选BCD.

13.【答案】-6

【解析】

【分析】

本题考查了二项展开式的特定项，考查了学生的运算能力，属于基础题.

求出展开式的通项公式，然后令X的指数为0,即可求解.

【解答】

33

-

2-/

解：二项式的展开式的通项公式为7；+I=Cf(我)3-r(_$rCr

令I-Ir=0,解得r=1,

则展开式的常数项为«(—2)】=-6.

故答案为：—6.

14.【答案】一2

【解析】解：/(x)=%-alnχf则/'¢0=1-7依题意有f'(l)=1一α=3,

则g=-2.

故答案为：—2.

利用导数和切线斜率间的关系求实数a的值.

本题主要考查了导数几何意义在切线方程求解中的应用，属于基础题.

15.【答案】5

【解析】解：∙∙∙a>O,b>0,且α+b=l,

3235

-⅛÷I=⅛÷^=⅛÷⅞÷≥ΛO÷='当且仅当44,即a，底利，

等号成立，

即卷+浙最小值为5.

3ab

故答案为：5.

由题意可知，3+源拦+双警=3+牛+3,再利用基本不等式求解即可.

3ab3ab3ab

本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题.

16.【答案】1

【解析】

【分析】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考

查了推理能力与计算能力，属于中档题.

根据直线与圆的位置关系，可得圆心到直线的距离等于半径，可得出a和b的关系，进而可得出a和

C关系，即可求出e.

【解答】

解：Ai(—a,0),A2(‹CL,0),

,・,以线段4通2为直径的圆％?+y2=小与直线b%-Qy+2ab=0相切，

2ab

•••屈二落巴化为：Q2=3∕Λ

•••椭圆的离心率e=£=Ji_,=导

故答案为争

17.【答案】解：(1)由数列｛即｝满足%+1=Sn+arι+2(neN*),

λa

n+ι=Sn+ι—Sn=an+2,：.¾+ι—an=2,

・・・数列｛arι｝是公差为2的等差数列，

V2S5=3(a4÷%)，

・・・2(5α1+*x2)=3(2α1+8×2),解得Ql=2,

・•・Qn=2+2(n-1)=2n；

an2n

(2)brι=α7j+(ɪ)=2n+φ=2n+(；)",

；•数列｛九｝的前rι项和〃=2XW也+由[?]=n2+n+∣-∣×φn.

1^^4

【解析】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理

能力与计算能力，属于中档题.

(1)由数列｛%l｝满足%+ι=Sn+an+2(neN*),可得%l+ι=Sn+1-Sn=an+2,因此数列｛α7l｝是

公差为2的等差数列，利用通项公式与求和公式，结合2S5=3(α4+α6),解得的,即可得出为；

2n

⑵4I=an+(扔”=2n+(∣)=2n+(扔，利用分组求和法即可得出数列｛bn｝的前n项和7；.

18.【答案】解：(1)在△4BC中，B=60o,a2=b2+c2-bc,

由余弦定理得cos/1="空-Q=L

2bc2

•・•0。＜4V120o,ΛA=60°,

故AABC为正三角形，设48长为X,贝∣L4C=%,CD=l-x,

∙∙∙Δ力CD的面积SMCD=ɪ×%×(7-x)sinl20o=yx(7一X)=孥,

即χ2-7x+6=0,解得X-1或X-6,

∙∙∙4B的长为1或6.

(2)由(1)可知△ABC为正三角形，

.∙.AC=AB=1,CD=6或AC=AB=6,CD=1,

.∙.AC2+CD2=l2+62=37,AC-CD=6,

又∙∙∙∆ACD=120°,

由余弦定理可知AD2=2+CDCOSI20。=37+6=43,

ACCD2_2AC,

设44CC外接圆的半径为R,由正弦定理得(Y⅛)2=(2R)2,可得R2=等，

,iri∙L4>Uɔ

-∙∙∆ACD外接圆的面积为S=πR2=yπ.

【解析】本题考查等边三角形、正余弦定理、三角形面积公式，属于中档题.

(1)利用余弦定理可得2,可得AABC为正三角形，利用三角形面积计算公式即可得出AB.

(2)根据△ABC为正三角形可得乙4CC=120°,利用余弦定理与正弦定理即可得出△ACD外接圆的

半径R,即可得出AACD外接圆的面积.

19.【答案】解：(1)依题意可知b=0.89，

VX=171,y=54,

a=y—bx=54—0.89×171=-98.19,

故y关于％的线性回归方程为y=0.89%—98.19,

(2)令y=o.89x—98.19=60，得%"177.74,

故这10位男生的体重有3位体重超过60的，

则重超过60kg的频率P=ɪ,

视频率为概率时，

从该地区大量高中男生中随机选出2人，记这2人中体重超过60kg的人数为X,

则X~B(端),

.∙.F(X)=2×⅛=∣.

【解析】(1)分别求出％，y的平均数，求出回归方程的系数，求出回归方程即可；

(2)计算可得这10位男生的体重有3位体重超过60kg,得到超过60如的频率，由题意所求人数服

从二项分布，即可求出分布列和数学期望.

本题考查了线性回归方程以及分布列和数学期望问题，属于中档题.

20.【答案】(1)证明：取4。中点0,连接。“、OP,

因为AAOP为等边三角形，M为BC中点，所以OPIAD,

因为面ADP∙L底面ABCD,面TwPn底面ABCC=AD,

X

所以OP1平面ABCD,

因为OB,OCU平面ABCD,所以。PJLOB,OP1OC,

因为底面4BCD为直角梯形，AB//CD,所以。M〃71B,

又因为乙4BC=90。，所以。MJ.BC,

所以OB=OC,所以PB=yJPO2+OB2=√P02+OC2=PC,

所以PMIBC.

(2)解：取AB中点N,由题意知，四边形NBCD是正方形，△4NC是等腰直角三角形，

所以。N14D,所以。4、ON、OP两两垂直，建系如图，

则8(企,竽,0)，C(y,√2,0)>P(O,O,y)>

就=(-争:,0)，BP=(-√2,-^,⅞),

记沆=(1,1,遮)，

因为反"布=0，前•沆=0,所以沅是平面PBC的法向量，

易知平面P4D的一个法向量是有=(1,0,0),

所以平面P4D与面PBC所成二面角的余弦值为察r=⅛-=⅞.

∣m∣∙∣n∣√5∙15

【解析】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了两平面夹角的计算问题，属于中档题.

(1)只要证明PB=PC即可；

(2)建立空间直角坐标系，用向量数量积计算两平面夹角的余弦值.

21.【答案】解：(1)由题意可设抛物线方程为y2=2px(p>0),4(1,y)、F(∣,0),

由嬴∙OA=4可得(1一gy)∙(l,y)=4,

P

m1+功4

A-2-=

解得P=2,

所以抛物线方程为：y2=4%.

(2)证明：设直线by=k(%—l)