第六版自动控制 第2章

第二章控制系统的数学模型洛阳理工学院电气工程与自动化系dcx2006@126.com教学目的实际存在的自动控制系统可以是电气的、机械的、热力的、化工的，甚至是生物学的、经济学的等等，然而描述这些系统的数学模型却可以是相同的。所谓数学模型(Mathematicalmodels)就是用数学表达式来描述的实物控制系统。了解对于同一个控制系统，由于所取的变量不同，其模型形式也不同，并掌握如何建立控制系统数学模型的方法。第二章控制系统的数学模型教学内容1.时域模型：分别通过从简单的电学电路和力学系统讲解如何建立数学模型；2.复域模型：重点介绍传递函数的概念；3.传递函数的零极点对系统性能的影响；4.典型环节的传递函数；5.结构图及化简；6.信号流图和梅逊(Meson)公式；7.闭环系统的传递函数和误差传递函数。第二章控制系统的数学模型引言1.数学模型系统的数学模型：描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式。分为静态模型和动态模型。静态模型：描述在静态条件（变量的各阶导数为0）时，各变量之间的关系的代数方程。动态模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方程。分析一个系统就是分析、求解该系统的数学模型，从中找出系统运动的规律性。第二章控制系统的数学模型

数学模型有多种形式，例如：1.微分方程----以时间为变量所建立的模型；2.传递函数----在复平面内建立的模型；3.频率特性----以频率为变量所建立的模型。同一系统所取变量不同，其模型也不同，因此同一系统可用多种方法去研究。第二章控制系统的数学模型数学模型

的几种表

示方式：数学模型时域模型频域模型复数域模型状态空间模型微分方程差分方程状态方程频率特性方框图信号流图传递函数状态空间方程第二章控制系统的数学模型2.建立动态模型的方法分析法：用定律定理建立动态模型。实验法：运用实验数据提供的信息，采用辨识方法建模。3.建立动态模型的意义：找出系统输入、输出变量之间的相互关系，以便分析设计系统，使系统控制效果最优。第二章控制系统的数学模型实验法－基于系统辨识的建模方法完全从外特性上测试和描述被研究对象或系统的动态性质，可以不研究其内部复杂的机理。实验设计-----选择实验条件。被测对象或必须处于完全被动状态。动态测试方法：时域测试法、频域测试法、统计相关测试法。第二章控制系统的数学模型补充1.电容两端电压与流过电流的关系：2.电感两端电压与流过电流的关系：3.基尔霍夫电压、电流定理：（1）KCL对节点列写电流方程

(2)KVL对回路列写电压方程2-1控制系统的时域数学模型1.线性元件的微分方程

例1:由电阻R、电感L和电容C组成的R-L-C无源网络系统。写出以为输入量，为输出量的网络微分方程。解:(1)确定系统的输入为电压，输出为电容电压，中间变量为电流。电容：电压与电流的关系：

电感：电流与电压的关系：

2-1控制系统的时域数学模型(2)由基尔霍夫定律可得回路方程：

(3)列写中间变量与的关系式：

(4)消去中间变量，得到了描述网络输出输入关系的微分方程：2-1控制系统的时域数学模型例2弹簧-质量-阻尼的机械位移系统。写出质量m在外力F(t)作用下，位移x(t)的运动方程。解：这是一个经典的直线机械位移动力学系统，可以假定系统采用集中参数m为质点。弹性力：是一种弹簧的弹性恢复力:

阻尼器：平动阻尼器阻尼力:

2-1控制系统的时域数学模型(1)系统输入为，输出为位移。中间变量是：弹簧阻力，阻尼器的阻力(2)由牛顿第二运动定理可得到：

2-1控制系统的时域数学模型(3)列出中间变量的表达式:(4)将中间变量带入原始方程，可到系统的微分方程为：

2-1控制系统的时域数学模型①确定系统的输入量和输出量；②将系统划分为若干环节，从输入端开始，按信号传递的顺序，依据各变量所遵循的物理学定律，列出各环节的线性化原始方程；③消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的微分方程式。建立元件微分方程的步骤如下：2-1控制系统的时域数学模型(1)分析系统工作原理，将系统划分为若干环节，确定系统和环节的输入、输出变量，每个环节可考虑列写一个方程；(2)根据各变量所遵循的基本定律(物理定律、化学定律)或通过实验等方法得出的基本规律，列写各环节的原始方程式，并考虑适当简化和线性化；2.控制系统微分方程的建立2-1控制系统的时域数学模型(3)将各环节方程式联立，消去中间变量，最后得出只含输入、输出变量及其导数的微分方程；(4)将输出变量及各阶导数放在等号左边，将输入变量及各阶导数放在等号右边，并按降幂排列，最后将系统归化为具有一定物理意义的形式，成为标准化微分方程。2-1控制系统的时域数学模型

用线性微分方程描述的元件或是系统，称为线性元件或是线性系统。线性系统的重要性质：叠加原理

叠加原理包含两重含义：叠加性和均匀性(齐次性)

3.线性系统的基本特性2-1控制系统的时域数学模型叠加性和均匀性(齐次性)证明：若2-1控制系统的时域数学模型线性系统的叠加原理说明，两个外作用同时加于系统所产生的总输出，等于各个外作用单独作用时分别产生的输出之和；外作用的数值增加若干倍，其输出也相应增加同样的倍数。因此，对线性系统进行设计时，如果有几个外作用同时加于系统，则可以将它们分别处理，依次求出各个外作用单独的响应，再将它们叠加。每个外作用在数值上可以只取单位值。这样就可以大大简化线性系统的研究工作。2-1控制系统的时域数学模型4.线性定常微分方程的求解

建立控制系统的数学模型的目的之一就是为了用数学方法定量的研究控制系统的工作特性。当线性微分方程列写出来后，只要给定输入量和初始条件，便可对微分方程求解，进而了解输出量随时间变化的特性。线性定常微分方程的求解方法：经典法、拉氏变换法和MATLAB软件包。2-1控制系统的时域数学模型经典法拉氏变换法拉氏变换法求解微分方程特点：

将微分表达式转换成线性代数关系式2-1控制系统的时域数学模型补充数学工具－拉普拉斯变换与反变换⑴拉氏变换定义

设函数f(t)满足

①t<0时f(t)=0②t>0时，f(t)分段连续

则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作

2-1控制系统的时域数学模型试求下列两种常用函数的拉氏变换1）阶跃函数2）单位脉冲函数δ(t)2-1控制系统的时域数学模型

数学工具－拉普拉斯变换与反变换（2）拉氏变换基本定理位移定理终值定理延迟定理线性定理2-1控制系统的时域数学模型数学工具－拉普拉斯变换与反变换初值定理微分定理

积分定理

2-1控制系统的时域数学模型数学工具－拉普拉斯变换与反变换⑶

拉氏反变换F(s)化成下列因式分解形式a. F(s)中具有不同的极点时，可展开为2-1控制系统的时域数学模型例1求

的Laplace逆变换

解：其中：因此2-1控制系统的时域数学模型b.F(s)含有共扼复数极点时，可展开为

进一步求解a1、a22-1控制系统的时域数学模型例2：求

的Laplace逆变换解：

将F(s)两端同乘

并令

2-1控制系统的时域数学模型解得：

2-1控制系统的时域数学模型C.F(s)含有多重极点时，可展开为

其余各极点的留数确定方法与上同。2-1控制系统的时域数学模型例3：求

的Laplace逆变换解：

2-1控制系统的时域数学模型例4在例1中，若已知L=1H,C=1F,R=1Ω,且电容上初始电压uc(0)=0.1V,初始电流为i(0)=0.1A,电源电压ui(t)=1V。试求电路突然接通电源时，电容电压uo(0)的变化规律。解：写出系统的微分方程。设回路电流为i(t)，由基尔霍夫定理可写出回路方程为

消去中间变量i(t)，便得到描述网络输入输出关系的微分方程为：(2)(1)2-1控制系统的时域数学模型令且式中是在t＝0时的值，即分别对式子(2)中的各项求拉氏变换，并带入已知数据，整理后有:

由于电路是突然接通的，故ui(t)可视为阶跃输入量，即ui(t)＝1(t)即:2-1控制系统的时域数学模型(3)(4)若输入电压是单位脉冲量δ(t)，相当于电路突然接通又断开的情况，此时，Ui(s)=L[δ(t)]=1.网络的输出则称为单位脉冲响应，即为

:(5)对(4)的求拉氏反变换，便可以得到网络方程(2)的解，即:2-1控制系统的时域数学模型

用拉氏变换法求解线性微分方程的过程可以归纳

为如下：

1.考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，将微分方程转变为变量s的代数方程；

2.由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式；

3.对输出量拉氏变换函数求拉氏反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。2-1控制系统的时域数学模型

实际的物理系统往往有间隙、死区、饱和等各类非线性现象。严格地讲，几乎所有实际物理和化学系统都是非线性的。目前，线性系统的理论已经相当成熟，但非线性系统的理论还远不完善。因此，在工程允许范围内，尽量对所研究的系统进行线性化处理，然后用线性理论进行分析不失为一种有效的方法。

5.非线性微分方程的线性化2-1控制系统的时域数学模型将非线性元件线性化有二种方法：

1.在某一定条件下，忽略非线性因素的影响，将它们视为线性元件，如：电阻、电容、电感都是在一定的条件下忽略周围环境(温度、湿度、压力等)对其的影响；电动机忽略摩擦、死区等非线性因素；线性放大器忽略死区、饱和的影响。

2.切线法或小偏差法，如晶体管放大电路的小信号分析法。这种方法特别适用于具有连续变化的非线性特性函数，其实质是在一个很小的范围内，将非线性用一段直线来代替。2-1控制系统的时域数学模型关于小偏差线性化：⑴必须有明确的平衡工作点，线性化模型只在该工⑶在工作点不能作泰勒展开的系统，不可能做线性作点邻域有效；⑵线性化的精确度与工作范围和系统的非线性程度有关；化处理。2-1控制系统的时域数学模型线性微分方程的解有特解和通解组成。通解有特征根决定，代表着自由运动。每一种模态代表着一种运动形态。2-1控制系统的时域数学模型6.运动的模态K(t)=Ae-atG(s)=传递函数：AS+a零极点分布图：-aj00运动模态1K(t)=Ae-atsin(bt+α)G(s)=传递函数：A1s+B1(S+a)2+b2零极点分布图：-ajb0运动模态20G(s)=传递函数：A1s+B1

S2+b2K(t)=Asin(bt+α)零极点分布图：jb0运动模态30G(s)=传递函数：A1s+B1(S-a)2+b2零极点分布图：ajb0K(t)=Aeatsin(bt+α)运动模态40G(s)=传递函数：As-a零极点分布图：aj0K(t)=Aeat运动模态5运动模态小结j0j0j0j0j0据电学基本定律可列出下列方程组：

消去中间变量i(t)，得：在初始条件为零的情况下，进行拉氏变换：可见，输入输出象函数之比只与本电路结构参数R、C有关。它可用来表征电路本身的特性，称为传递函数。控制系统复数域数学模型引言右图是由RC组成的四端口无源网络：2-2控制系统的复数域数学模型

控制系统的微分方程是在时间域描述系统动态性能的数学模型，在给定的初始条件下，求解微分方程可以得到系统的输出响应。这种方法比较直观，但是如果系统的结构改变或是参数发生变化时，就需要重新列写、求解微分方程。

用拉氏变换法求解微分方程时，可以得到系统在复数域上的数学模型—传递函数。传递函数不仅可以表征系统的动态性能，而且可以研究系统结构或参数发生变化时对系统性能的影响。传递函数是经典控制理论的重要概念，频域分析法和根轨迹分析法就是以此为基础建立起来的。2-2控制系统的复数域数学模型（1）传递函数的定义传递函数：线性定常系统在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，叫做系统的传递函数。

1.传递函数的定义和性质2-2控制系统的复数域数学模型式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，ai和bj是与系统结构和参数有关的常系数。设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：

2-2控制系统的复数域数学模型设r(t)和c(t)及其各阶系数在t=0时的值均为零，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令C(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得代数方程为：2-2控制系统的复数域数学模型于是，由定义得系统传递函数为：式中：零初始条件含义为：1)输入量在t=0+时开始作用于系统，因此t=0-时系统的输入量及各阶导数均为零；2)输入量在作用于系统之前，系统相对静止，因此系统输出量及其各阶导数在t=0时的值也均为零。2-2控制系统的复数域数学模型解：已知RLC网络的微分方程表示为：

例1求RLC无源网络的传递函数。

在零初始条件下，对上式各项进行拉氏变换，可得到s的代数方程为：由传递函数的定义可得到系统的传递函数为：2-2控制系统的复数域数学模型作为一种数学模型，传递函数只适用于线性定常系统，这是由于传递函数是经拉普拉斯变换导出的，而拉氏变换是一种线性积分运算。传递函数只表示单输入和单输出(SISO)之间的关系，对多输入多输出(MIMO)系统，可用传递函数阵表示。

（2）传递函数的性质2-2控制系统的复数域数学模型1)传递函数是复变量s的有理真分式函数，具有复变函数的所有性质；所有系数都是实数且,这是由于实际系统的惯性所造成的。2）传递函数虽然描述了零初始条件下输入和输出间的关系，表达了系统内在的固有特性，只与系统本身的特性参数有关，与系统的输入量或输入函数无关。它不提供任何该系统的物理结构。2-2控制系统的复数域数学模型3)传递函数与微分方程有互通性：

a)传递函数分子多项式系数和分母多项式系数，分别与相应的微分方程的右边和左边的系数相对应。

b)将微分方程中的用变量s替换即得到传递函数，反之将传递函数中的变量s用替换即得到微分方程。

2-2控制系统的复数域数学模型4)传递函数的拉氏反变换是脉冲响应。脉冲响应(脉冲过渡函数)是系统在单位脉冲输入时的输出响应。因为:

所以这为我们提供了一种求取传递函数的方法，如果已知系统的脉冲响应，则其传递函为:2-2控制系统的复数域数学模型2.传递函数的极点和零点（首“1”，K*根轨迹增益）

传递函数的零点传递函数的极点2-2控制系统的复数域数学模型传递函数也可以写成时间常数的形式（尾“1”，开环增益）零点距极点的距离越远，该极点所产生的模态所占比重越大；零点距极点的距离越近，该极点所产生的模态所占比重越小；如果零极点重合－该极点所产生的模态为零，因为分子分母相互抵消。

2-2控制系统的复数域数学模型极点是微分方程的特征根，因此，决定了所描述系统自由运动的模态。传递函数的零点并不形成自由运动的模态，但他们却影响各模态响应中所占的比重，因而也影响响应曲线的形状。3.传递函数的极点和零点对输出的影响

2-2控制系统的复数域数学模型4.典型环节及其传递函数典型环节通常分为以下六种：

1)比例环节

式中K-增益特点输入输出量成比例,无失真和时间延迟。实例电子放大器,齿轮,电阻(电位器),感应式变送器等。任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成。2-2控制系统的复数域数学模型单个电位器用作为信号变换装置2-2控制系统的复数域数学模型

式中

T-时间常数

特点：含一个储能元件，对突变的输入其输出不能立即复现，输出无振荡。2）惯性环节

2-2控制系统的复数域数学模型例

如图所示的无源网络电路

(其中RC＝T)2-2控制系统的复数域数学模型理想微分一阶微分二阶微分特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。3)

微分环节

2-2控制系统的复数域数学模型在实际的机电控制工程系统中，理想的微分环节很难实现，通常用:(其中T，K为常数)来近似微分环节。

例

如图所示的无源微分网络

(其中K=1，T=RC)2-2控制系统的复数域数学模型

4）

积分环节

特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。实例：电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。2-2控制系统的复数域数学模型例

如图所示的积分运算放大器2-2控制系统的复数域数学模型式中:ξ－阻尼比

---时间常数

---自然振荡角频率（无阻尼振荡角频率）特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。实例：RLC电路的输出与输入电压间传递函数。

5）振荡环节

2-2控制系统的复数域数学模型例

如图所示的R-L-C无源网络

2-2控制系统的复数域数学模型6)纯时间延时环节式中－延迟时间特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔。实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节。2-2控制系统的复数域数学模型

在控制工程中，为了便于对系统进行分析和设计，常将各元件在系统中的功能及各部分之间的联系用图形来表示，即结构图和信号流图。1.系统的结构图的组成和绘制2-3控制系统的结构图和信号流图结构图也称方块图或方框图，具有形象和直观的特点。系统方框图是系统中各元件功能和信号流向的图解，它清楚地表明了系统中各个环节间的相互关系。它适用于线性系统和非线性系统。（1）结构图的组成构成结构图的基本符号有四种：信号线比较点引出点方框（环节）2-3控制系统的结构图和信号流图信号线:带有箭头的直线，箭头表示信号传递的方向在直线一侧标出信号的名称，一般多用象函数表示。2)引出点(测量点)：表示信号引出或测量的位置同一位置引出的信号特性完全相同2-3控制系统的结构图和信号流图3)比较点(综合点)：表示两个或两个以上的信号相加减运算4)方块(环节)：表示信号进行的数学转换方块中写入元件或系统的传递函数

方块的输出变量就等于输入变量与传递函数的乘积

2-3控制系统的结构图和信号流图对于一个系统在清楚系统工作原理及信号传递情况下，可按结构图的基本连接形式，把各个环节的结构图，连接成系统结构图.绘制步骤：(2)结构图的绘制1)列写基本元件的拉氏变换表达式；2)将拉氏表达整理成易于绘图的规范形式（输入变量是第一个已知变量，放在等号右边；未知变量放在等号左边，前面方程左边的变量都作已知变量）；3)用方框图的基本构件表达拉氏变换表达式；2-3控制系统的结构图和信号流图例：试绘制右图无源网络的方框图。解：列写上述方程过程中，已考虑到列写顺序和规范形式。从第一个方程开始绘制，逐个完成。I2(s)CsUo(s)R2I1(s)I

(s)UR1(s)Ui

(s)-Uo(s)2-3控制系统的结构图和信号流图R2R1i1i2iuiuoC

方框图等效变换使系统结构便于理解、分析和计算传递函数。“等效”是指变换部分两端的信号传递关系不变。

2.方框图的等效变化和简化⑴串联环节的等效传递函数⑵并联环节的等效传递函数简记，“串联相乘”。（可以推广）简记，“并联比较”。（可以推广）X3(s)X1(s)X2(s)G1(s)G2(s)X1(s)X3(s)G1(s)G2(s)X1(s)X4(s)X2(s)X3(s)G1(s)G2(s)±G1(s)±G2(s)X1(s)X4(s)2-3控制系统的结构图和信号流图⑶反馈连接环节的等效传递函数简记，(对于负反馈)

X2(s)_

X3(s)X1(s)X4(s)G1(s)G2(s)X4(s)X1(s)等效传递函数=

；前向传递函数1+开环传递函数2-3控制系统的结构图和信号流图⑷比较点移动规则(要点信号关系等效)X2(s)X3(s)X1(s)±G(s)X2(s)X3(s)X1(s)±G(s)G(s)X2(s)X3(s)X1(s)±G(s)X2(s)X3(s)X1(s)±G(s)1/G(s)2-3控制系统的结构图和信号流图⑸引出点移动规则(要点信号关系等效)X2(s)X1(s)X1(s)G(s)X2(s)X2(s)X1(s)G(s)X2(s)X1(s)X1(s)G(s)1/G(s)X2(s)X2(s)X1(s)G(s)G(s)2-3控制系统的结构图和信号流图⑹比较点与比较点之间，引出点与引出点之间交换位置信号关系不变；比较点与引出点之间交换位置要慎重，尽可能不采用。⑺负号在支路上移动(要点：信号关系等效)。方块图的等效规则

a.各前向通道的传递函数乘积不变；

b.各回路传递函数的乘积不变。2-3控制系统的结构图和信号流图结构图三种基本形式G1G2G1G2串联并联反馈G1G2RCG2G1RCG1G2RCRCRCG1G1G21+RC2-3控制系统的结构图和信号流图2.相邻比较点可互换位置、可合并…结构图等效变换方法1.三种典型结构可直接用公式3.相邻引出点可互换位置、可合并…

注意事项：1.不是典型结构不可直接用公式2.引出点比较点相邻，不可互换位置2-3控制系统的结构图和信号流图G1G2G3H1错！G1G2G3H1G2H1G1G3G1G2G3H1G2向同类方向移动比较点移动G1G2G3H1G1引出点移动G1G2G3G4H3H2H1abG1G2G3G4H3H2H1G41G1G4H3G2G3H1作用分解H1H3G1G4G2G3H3H1例：简化系统方框图，求系统传递函数G(s)=C(s)/R(s)。系统方框图R(s)_C(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H2(s)H1(s)H3(s)__解：方法一R(s)_C(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H2(s)H1(s)H3(s)__1/G4(s)方法二H3(s)R(s)_C(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H2(s)H1(s)__方法三G4(s)H3(s)_R(s)_C(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H2(s)H1(s)H3(s)__H3(s)/G2(s)方法四_R(s)_C(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H2(s)H1(s)H3(s)__G2(s)H2(s)R(s)C(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H(s)H(s)__G5(s)例:试简化系统方框图，求传递函数G(s)=C(s)/R(s)。系统方框图解：R(s)C(s)G1(s)G3(s)G2(s)G4(s)G3(s)H(s)G4(s)H(s)__G5(s)四个信号经三个求和点比较，交换次序，得R(s)C(s)G1(s)G3(s)G2(s)G4(s)G3(s)H(s)G4(s)H(s)__G5(s)R(s)C(s)G1(s)G3(s)G2(s)G4(s)G3(s)H(s)G4(s)H(s)__G5(s)3.信号流图的组成及性质信号流图是一种表示一组线性代数方程的图示方法。像结构图一样，它也是一种描述系统内部信号传递关系的数学模型。信号流图比结构图更简单明了，可不必求解方程就得到各变量之间的关系，既直观又形象。当系统方框图比较复杂时，可以将它转化为信号流图，并可据此采用梅逊(Mason)公式求出系统的传递函数，但是它只能用来描述线性系统。2-3控制系统的结构图和信号流图信号流图中的网络是由一些有向线段将一些节点连接起来组成。信号流图的基本性质如下：图示的方块图与之对应的信号流图的关系

2-3控制系统的结构图和信号流图

1)节点表示系统的变量或信号，通常节点是自左向右设置，每一个节点的信号是通过节点信号的代数和，而同一节点流向各支路的信号均用该节点的信号表示，任何节点都用空心圆圈

“ο”表示。2)支路相当于乘法器，信号流经支路时，流入支路的信号乘以支路的增益等于流出支路的信号：3)信号在支路上只能沿箭头方向单向传递。4)同一系统，节点变量可以任意设置，信号流图不唯一，但最终的传递函数是唯一的。

2-3控制系统的结构图和信号流图常用的术语：源节点（输入节点）：代表输入变量，如节点：X1阱节点（输出节点）：代表输出变量，如节点：X7混合节点：既有输入支路又有输出支路，如节点：X2，X3，X42-3控制系统的结构图和信号流图回路：起点和终点在同一个节点，而且信号通过每一个节点不多于一次的闭合通路，

前向通道：信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路，如：