2023年中考数学压轴题练习-二次函数与角度

2023年中考数学高频压轴题突破一二次函数与角度

1.如图，一次函数y=gx-2的图象与X轴交于点A,与y轴交于点B,点D的坐标为

(-1.0),二次函数y=ax\bx+c(a≠0)的图象经过A,B,D三点.

(1)求二次函数的解析式；

(2)如图1,已知点G(1,m)在抛物线上，作射线AG,点H为线段AB上一点，过点

H作HELy轴于点E,过点H作HF,AG于点F,过点H作HM〃y轴交AG于点P,交抛物

线于点M,当HE∙HF的值最大时，求HM的长；

(3)在(2)的条件下，连接BM,若点N为抛物线上一点，且满足NBMN=/BAO,求

2.如图抛物线y=x>bx+c(c<0)与X轴交于A、B两点，(点A在点B的左侧)，与y

轴交于点3顶点为D,且OB=OC=3,点E为线段BD上的一个动点，EFLX轴于F.

(1)求抛物线的解析式；

(2)是否存在点E,使aECF为直角三角形？若存在，求点E的坐标；不存在，请说明

理由；

(3)连接AC、BC,若点P是抛物线上的一个动点，当P运动到什么位置时，ZPCB=

X轴交于A、B两点(点A在点B左

侧)，与y轴交于点C.

(1)求线段BC的长；

(2)当0WyW3时，请直接写出X的范围；

⑶点P是抛物线上位于第一象限的一个动点，连接CP,当NBCP=90"时，求点P的坐

标.

4.如图，直线y=-x+5与X轴交于点B,与y轴交于点C,抛物线y=-/+bx+c与直

线y=-x+5交于B,C两点，已知点D的坐标为(0,3)

(1)求抛物线的解析式；

(2)点M,N分别是直线BC和X轴上的动点，则当ADMN的周长最小时，求点M,N的

坐标，并写出aDMN周长的最小值；

(3)点P是抛物线上一动点，在(2)的条件下，是否存在这样的点P,使NPBA=NODN?

若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

1C7

5.如图，抛物线y=-万厂+bx+c过点A(3,2),且与直线y=-x+5交于B、C两点,

点B的坐标为(4,〃?).

(1)求抛物线的解析式；

(2)点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作。Ej_工轴交直线BC于点E,

点P为对称轴上一动点，当线段OE的长度最大时，求尸。+PA的最小值；

(3)设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q,使乙4。"=45°?若存在，求点

Q的坐标；若不存在，请说明理由.

6.如图，直线y=-^-χ-3与X轴，y轴分别交于点A,C,经过点A,C的抛物线y≈ax2+bx

-3与X轴的另一个交点为点B(2,0),点D是抛物线上一点，过点D作DELX轴于点

E,连接AD,DC.设点D的横坐标为m.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点D在第三象限，设aDAC的面积为S,求S与m的函数关系式，并求出S的最大

值及此时点D的坐标；

⑶连接BC,若/EAD=/OBa请直接写出此时点D的坐标.

3

7.如图，抛物线％=加+6χ+∖与X轴交于点8-3,0)和点B,点D是抛物线ʃ,的顶点,

过点D作X轴的垂线，垂足为点C(TQ).

(1)求抛物线/所对应的函数表达式;

⑵如图1,点M是抛物线必上一点，且位于X轴上方，横坐标为m,连接MC,若

ZMCB=NDAC,求ɪn的值；

(3)如图2,将抛物线M平移后得到顶点为B的抛物线为.点P为抛物线》上的一个动

点，过点P作y轴的平行线，交抛物线内于点Q，过点Q作X轴的平行线，交抛物线乃

于点R.当以点P,Q,R为顶点的三角形与Aa)全等时，请直接写出点P的坐标.

4

8.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-]X+4与X轴，y轴分别交于5、C两点，

抛物线y=以2+fov+c经过8、C两点，与X轴负半轴交于点A,连接AC,且

cosZCAB=.

17

(1)求抛物线解析式.

(2)点P是抛物线上的一点.

①当点P在第一象限时,过点尸作PD/∕y轴交BC于点D,过点D作DE/y轴交于点E,

连接EP,当和二BOC相似时，求点尸的坐标.

②当ZABP=gZABC时，求点P的坐标.

9.如图，抛物线y=-χ2+⅛x+c与X轴交于A(TO),8(4,0)两点，与y轴交于C点，

点D在抛物线上且横坐标为3.

V

(1)求抛物线关系式；

(2)tanND3C的值

(3)点P为抛物线上一点，且NZ)BP=45。，求点P的坐标.

10.如图，抛物线y=α√+2χ+c(a<0)与X轴交于点A和点B(点A在原点的左侧,

点B在原点的右侧)，与y轴交于点C,OB=OC=3.

(1)求该抛物线的函数解析式；

⑵如图1,连接BC,点D是直线BC上方抛物线上的点，连接0D,CD,OD交BC于点F,

当SCOD-SCOB1：3时,求点F的坐标；

3

⑶如图2,点E的坐标为(0,-ɪ),在抛物线上是否存在点P,使NoBP=2N0BE?

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

11.抛物线y=ax'+4(a≠0)与X轴交于A,B两点(A点在B点的左侧)，AB=4,点P

(2,1)位于第一象限.

(D求抛物线的解析式；

(2)若点M在抛物线上，且使NMAP=45°,求点M的坐标；

(3)将(1)中的抛物线平移，使它的顶点在直线y=x+4上移动，当平移后的抛物线与

线段AP只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t的取值范围.

12.已知，如图，抛物线与坐标轴相交于点A(T,0),C(0,-3)两点，对称轴为直线x=1,

对称轴与X轴交于点D.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是抛物线上的点，当NAep=45。时，求点P的坐标；

(3)点F为二次函数图像上与点C对称的点，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴

上，是否存在以点F,A,M,N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，

若不存在，说明理由.

13.如图，已知抛物线y=d√+6x+c经过4(-1,()),8(2,0)(((),2)三点，点口在该抛物线

的对称轴1上.

(1)求抛物线的表达式；

(2)若ZM=JDC,求/4)C的度数及点D的坐标；

(3)若在(2)的条件下，点P在该抛物线上，当NP8C=ND4β时，请直接给出点P的

坐标.

14.如图,抛物线CQ=O*?+"2与X轴交于点A(l,0),8(4,0)两点,与y轴交于点C,

其顶点为D,将该抛物线沿直线Ly=m(0≤,"<?折叠后得到抛物线c”折痕与抛物线

Cl交于点G,H两点.

⑵如图2,当机=O时，动点M,N在抛物线G上，且位于直线1上方(点M在点N的

左侧)，过M,N分别作y轴的平行线交抛物线G于点P，Q两点，当四边形MNPQ为矩

形时，求该矩形周长的最大值；

(3)①求当抛物线C?与直线BC恰好只有一个公共点时m的值；

②在①的条件下，抛物线C,上是否存在一点F,使得NBA尸=ZABC?若存在，直接写

出F点的坐标，若不存在，说明理由.

15.如图，抛物线y=-gV+bχ+c与X轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0,3),点

A在原点左侧,2C0=9A0,连接BC.

(1)求点A坐标：

(2)求该抛物线的解析式：

(3)点D在该抛物线上，ZDCB=ZΛBC,求出点D的坐标.

16.如图，边长为4的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点

A,点P是抛物线上点A,C间的一个动点(含端点)，过点P作PM,OA于点M,点Q的

坐标为(0,3),连接PQ.

(1)求出抛物线的解析式；

⑵当点P与点A或点C重合时，PQ+PM=,小聪猜想：对于A,C间的任意一点P,

PQ与PM之和是一个固定值，你认为正确吗，判断并说明理由；

⑶延长”交BC于点N,当/NPQ为锐角，cos/NPQ=g时，求点P的坐标.

17.如图1,抛物线y=x2+(m-2)x—2m(m>0)与X轴交于A,B两点(A在B左

边)，与y轴交于点C.连接AC,BC.且aABC的面积为8.

(1)求m的值：

⑵在(1)的条件下,在第一象限内抛物线上有一点T,T的横坐标为t,使∕ATC=60°.求

(t-1)2的值.

(3)如图2,点P为y轴上一个动点，连接AP,求CP+石AP的最小值，并求出此时点P

的坐标.

18.已知如图，二次函数y=∕+foc+3的图像与X轴相交于点A、B两点，与y轴相交

于点C,连接AC、BC,tanZABC=I,抛物线的顶点为D.

(1)求抛物线的解析式；

(2)抛物线的对称轴上有一动点E,当AE+CE取得最小值时，E点坐标为；此

时AE与BC的位置关系是,tanZACE=；

(3)抛物线对称轴右侧的函数图像上是否存在点M,满足NACB=N8AA/,若存在求M

点的横坐标；若不存在，请说明理由；

(4)若抛物线上一动点Q,当NBAQ=ZACO时，直接写出Q点坐标

参考答案：

1.(1)y=；x'-gx-2；(2)2；(3)(1,-3)或(-∙∣,)

【分析】(1)二次函数经过D(-1,O),B(4,0),可以假设二次函数的解析式为y=a(x+l)

(x-4),把A(0,-2)代入得到a=；即可解决问题.

(2)如图1中，设H(xo,；x°-2),且(0≤xo≤4),构建二次函数，利用二次函数的性质

即可解决问题.

(3)如图2中，过点B作BTLMN于T.由题意BM=6,BT=I,MT=2,设T(m,n),利

用两点间距离公式构建方程组求出m,n,再求出直线MN的解析式，构建方程组确定解得N

的坐标即可.

【解析】解：(1)在y=；x-2中，当x=0时，y=-2,当y=0时，x=4,

ΛA(4,0),B(0,-2),

。二次函数经过D(-1,0),B(4,0),

.∙.可以假设二次函数的解析式为y=a(x+l)(x-4),

把A(0,-2)代入得到a=；,

.∙.二次函数的解析式为y=gχ2-∣x-2.

(2)如图1中，设H(X。，∣x0-2),且(0≤x°W4),

图1

THELy轴于E,

∙*∙HE=Xo,

VG(1,m)在抛物线上，

ΛG(1,-3),

VA(4,0),

直线AG的解析式为y=x-4,

轴交AG于P,

∙*∙P(xo,XO-4),则PH=(—Xo-2)-(Xo^4)=--Xo+2,

由直线AG都是解析式y=χ-4,HM〃y轴交AG于P,可得NHPF=45°,

,.•HF_LAG于F,

ΛHF=-(-'x0+2),

22

2

.∖HE∙HF=*(-∣xo+2)xo=-日xo%夜xo=-冷(x0-2)+√2.

♦.•一旦<0,OWXOW4,

4

・♦.当xo=2时，HE∙HF的值最大，此时H(2,-1),M(2,-3),

ΛHM=-1-(-3)=2.

(3)如图2中，过点B作BT_LMN于T.

VZBMN=ZBAO,

B0ɪ

.*.tanZBMN=tanZBAO==—,

AO2

.BT_1

••—，

TM2

又TB(0,-2),M(2,-3),可得BM=右，BT=I,MT=2,

4

∕n-O2+[〃一(一2)丁=1m=一,

设T(m,n),则,,解得

227

(W-2)+[Π-(-3)]=4,n=——

5

47

.∙.T(0,-3)或(=，-二

VM(2,-3),

41

；・直线MN的解析式为丫=-3或丫=-§乂-1,

12ɜɔy=-x2--x-2,

联立得"5厂一5'一2,或.22,

5

X=2,T工一W'X=2,

分别解方程组可得α或117或舍弃第二，第四组解,

y=-3J=-3

>=­

9

∙∙.满足条件的点N的坐标为(1,-3)或(-；5,三17).

【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，一次函数的性质

等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题，学会利用参数构建方程组

解决问题，属于中考压轴题.

357

2.(1)y=x^-2x-3；(2)存在，(彳，-3)或(3亚-3,6λ∕2^12)；(3)(―,-])或

(4,5)

【分析】(1)易求得点B,C坐标，即可求得b、C的值，即可解题；

(2)易求得顶点D的坐标，即可求得直线BI)的解析式，根据NCEF=90°,即可求得点E

纵坐标为-3,即可解题；

(3)存在2种情况：①NPCB=NAC0,②NP'CB=NACO,可分别求得tan/PCE的值，即

可求得直线PC斜率，即可求得直线Pe于抛物线交点P坐标，即可解题.

【解析】解：⑴∙.∙0B=0C=3,

二点B坐标为(3,0),点C坐标为(0,-3),

Jc=-3

：抛物线y=(+bx+c经过点B,C,二

'∣9+3HC=0'

解得：c=-3,b=-2,

.∙.抛物线的解析式为y=x：-2x-3；

(2)•••抛物线的解析式为y=d-2x-3,

，点D坐标为(1,-4),

Y直线BD经过点B,D,设直线BD解析式为y=kx+b,

k+b=-4

则

3k+b=0'

解得：k=2,b=-6,

直线BD解析式为y=2x-6,

VAECF为直角三角形，

当NCEF=90°时，E点纵坐标和等于C点纵坐标，

.∙.点E纵坐标为-3,

.∙.点E横坐标为,，

3

点E坐标为(3，-3)；

当NFCE=90°时，

VEF±x⅛,所以易得aCF0sFEC,

EFCF

∙∙∙k==,即EF∙0C=CF2,=OF2+OC2,

CFOC

设0F=m,因此F的坐标为(m,0)代入直线BD的方程y=2x-6得E的坐标为(m,2m-6),

ΛEF=6-2m,

.∙.(6-2m)×3=m2+9,解得m=30-3(负值舍去),

点E的坐标为(3血-3,6√2-12)

7

综上可得存在这样的点E,E点的坐标为弓，-3)或(3加-3,6√2-12).

①NPCB=NAC0,

VZBCE=45o,

ΛtanZBCE=I,

TtanNACO=L

3

XtanNPCB=L

3

l-ɪ

aI

AtanZPCE=tan(NBCE-NPCB)=-f-=",

1÷1123

3

C直线PC经过点P,

.∙.直线PC解析式为：y=gχ-3,

57

・・・点P坐标为：(∣∙,--),

②NP'CB=ZACO,

VZBCE=45o,

.*.tanZBCE=l,

YtanNACO=L

3

.*.tanZP,CB=ɪ,

3

1+工

ΛtanZP,CE=tan(ZBCE-ZP,CB)=-=2,

l-ɪ

3

；直线PC经过点P,

二直线PC解析式为:y=2x-3,

二点P坐标为：(4,5).

【点评】本题包含知识点有求二次函数解析式,一次函数解析式,相似三角形的证明与性质，

三角函数等知识点，属于中考综合题型，难度较难.

3.(1)5；(2)—1≤X≤0,3≤x≤4;(3)点P坐标为(7，.

【分析】(1)分别求出点B和点C的坐标，再运用勾股定理即可求出BC的长；

(2)求出y=0和y=3时相应的X的值，结合函数的图象即可得到答案；

393Q

(3)过点P作PD”轴,设点P坐标为(x,-：£+9+3),则点D坐标为(0,--√+Δx+3),

4444

表示出PD,CD,证明4PDCs∕^C0B,得出彩=列方程求解即可.

【解析】⑴当x=0时，y=3,

ΛC(0,3),

ΛOC=3

39

当y=0时一二V+:工+3=0,解得Xι=-1,X=4

442

ΛA(-1,O),B(4,0),

ΛOA=1,0B=4

在RtABOC中，BC=√OB2÷OC2=5;

3Q

(2)当y=0时一χ+3=0,解得X]=-1,χ2=4

44

3,9

当y=3时—X2+—x+3=3,解得Xl=0,x=4

442

・・・当0WyW3时，-l≤x≤0,3≤x≤4

(3)过点P作PDJ_y轴

3aɜo

设点P坐标为(X,下2+3),则点D坐标为(0,+3)

3939

X

.*.PD=x,CD=-4-4-4-4-

VZBCP=90o,

ΛZPCD+ZBC0=90o,

VZPCD+ZCPD=90o,

ΛZBCO=ZCPD

YNPDC=NBoC=90°,

ΛΔPDC^ΔCOB

・CD=PD

*∙OB-OC'

329

44=A，

43

.∙.x=片或X=0（舍去）

9

业IIa125

=IX=T时，y=万

点P坐标为(?，票).

【点评】本题主要考查了二次函数的综合题的知识，此题涉及到二次函数的性质、相似三角

形的判定与性质以及勾股定理等知识.

8]73

4.(1)y=-X2+4X+5:(2)点M、N的坐标分别为(一，一)、(-,0),aDMN周长的最小

554

值=23W转'6(3)点P(-：,ɪ).

【分析】(1)求出点B、C的坐标、将点B、C坐标代入二次函数表达式，即可求解；

(2)过点D分别作X轴和直线BC的对称点D'(0,-3)、D",连接D'D”交X轴、直线

BC于点N、M,此时aDMN的周长最小,即可求解；

(3)tan∕ODN=∙^^=g=tanNPBA,确定直线BP的表达式，即可求解.

【解析】(I)y=-x+5,令x=0,则y=5,令y=0,贝∣Jx=5,

故点B、C的坐标分别为(5,0)、(0,5),

则二次函数表达式为：y=-χ2+bx+5,将点B坐标代入上式并解得：b=4,

故抛物线的表达式为：y=-x'+4x+5…①，

令y=0,贝UX=-1或5,

故点A(-l,0),而OB=OC=2,故NOCB=45°；

(2)过点D分别作X轴和直线BC的对称点D'(0,-3)、D",

V

∙.∙N0CB=45°,则CD"〃x轴，则点D"（2,5）,

连接D'D"交X轴、直线BC于点N、M,此时ADMN的周长最小,

将点D'、D"的坐标代入一次函数表达式：y=mx+n并解得：

直线D，D”的坐标代入一次函数表达式为：y=4x-3,

Q1ɔQ

则点M、N的坐标分别为（；，?）、（［，0）,

554

ΔDMN周长的最小值=DM+DN+MN="叵且也；

20

（3）如图2,tanNODN=肃=g=tanNPBA,

则直线BP的表达式为：y=-；x+s,将点B的坐标代入上式并解得：

直线BP的表达式为：y=-；x+g…②，

联立①②并解得：x=5或（舍去5）

27

故：点P（-Q,—）.

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、点的对称性等知识点,其中（2）,

通过点的对称性确定点M、N的位置，是此类题目的基本方法.

5.（1）抛物线的解析式y=-；/+》+：；（2）P0+∕¾的最小值为（不；（3）点Q的坐

标：Q(0,2-ʌ/ɜ)ʌ02+ʌ/ɜ).

77I1

【分析】(1)将点B的坐标为(4,团)代入y=—X+2,m=-4+5=-2,B的坐标为(4,一,)，

117

将43,2),3(4,-])代入〉=一3/+乐+*解得匕=1,c=,,因此抛物线的解析式

127

V=——X÷x+-;

22

I77

(2)设。(利,一I%?+加+—),则E(m,-〃2+—),

222

I7711

DE=(—，/+〃?+-)-(-〃?+—)—M7^+2π=—(m-2)^+2,当∕w=2i⅛,Z)E有最大值为

22222

7

2,此时0(2,5),作点A关于对称轴的对称点4,连接4D,与对称轴交于点

P.PD+PA=PD+PA=AD,此时尸D+P4最小；

(3)作AHLy轴于点H,连接A"、AQ、MQyHA、HQ,由M(l,4),A(3,2),可得

AH=MH=2,"(1,2)因为NAQM=45",ZAHM=90°,所以ZAQM=gNAHW,可知

外接圆的圆心为H,于是QH="4="M=2设Q(O"),则J(OT)2+口y=2,

f=2+石或2-6,求得符合题意的点Q的坐标：QKO,2-5、β2(0,2+√3).

7

【解析】解：(1)将点B的坐标为(4,⑼代入y=τ+/,

71

/%=—4z1+—=——,

22

・・・B的坐标为(4,-；),

将A(3,2),3(4,—/)代入y=—ɪɪ2+hx+c,

--×32+3h+c=2

2

——×42+4⅛+c=——

22

7

角牟得〃=1,c=-,

2

17

・・・抛物线的解析式y=+X+；；

(2)设£)(九一；〃,7则

+7H+-E(∕n,τn+g)

2

1771ɔ1

DE=(——m'7+〃？+—)-(-/n+—)=——"2~+2%=——-2)9"+2,

22222

・,・当m=2时，OE有最大值为2,

7

此时。(2,2)，

作点A关于对称轴的对称点4,连接Ao,与对称轴交于点P∙

PD+PA=PD+PAAD,此时P£>+上4最小，

VA(3,2),

：.H(T2),

Λ,D-J(-l-2)2+(2-∣)2≈j√5,

即Pf>+Q4的最小值为,石；

(3)作A”_Ly轴于点H,连接AM、A。、MQ、HA.HQ,

∙.∙抛物线的解析式y=-gf+χ+g,

.∙.M(IA),

■：A(3,2),

；.AH=MH=2,"(1,2)

,.∙NAQM=45",

NAttM=90°,

.∙.ZAQM=^ZAHM,

可知AAQW外接圆的圆心为H,

则J(O-I)2+(f-2>=2,

f=2+百或2-右

.∙.符合题意的点Q的坐标:e,(0,2-√3)^e2(0,2+√3).

【点评】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的图象的性质与一次函数的性质以及圆周

角定理是解题的关键.

Iɜ?727

6.(l)y=-x-+x-3；(2)SΔADC=^~~(m+3)"+—；z^ADC的面积最大值为:~；此时D(-3,

4444

——);(3)满足条件的点D坐标为(-4,-3)或(8,21).

4

【分析】(1)求出A坐标，再用待定系数法求解析式；(2)设DE与AC的交点为点F.设点D

的坐标为：(m,γm⅛-3),则点F的坐标为：(m,--3),根据SZ∖ΛDC=SZ∖ADF+S4DFC

求出解析式，再求最值；(3)①当点D与点C关于对称轴对称时，D(-4,-3),根据对称

性此时NEAD=NABC.

3

②作点D(-4,-3)关于X轴的对称点Iy(-4,3),直线AD'的解析式为y=^x+9,解方

程组求出函数图像交点坐标.

【解析】解：(1)在y=--3中，当y=0时，X=-6,

即点A的坐标为：(-6,0),

将A(-6,0),B(2,0)代入y=aχ2+bx-3得：

∫36ɑ-6⅛-3=0

[4a+2h-3=0'

ɪ

解得：`4,

b=∖

抛物线的解析式为：y=g∕+χ-3;

4

⑵设点D的坐标为：(m,γin2+m-3),则点F的坐标为：(m,-Im-3),

42

设DE与AC的交点为点F.

ΛDF=-ɪm-3-(—m2+m-3)=-ɪm2--m,

2442

∙*∙S∆,∖DC≈S∆ΛDF÷S△DFC

=1DF∙AE+!∙DF∙OE

22

=*0A

1/123、c

=—×(----m-----m)×6

242

329

—m--m

42

3/7227

—-(m+3)+—，

44

Va=--<0,

4

・・・抛物线开口向下,

27

**•当m=-3时，Sz∖wc存在最大值不，

4

又,：当m=-3时，∙^-m2+m-3=-—，

44

・・・存在点D(-3,-；15)，使得aADC的面积最大，最大值为2《7；

44

(3)①当点D与点C关于对称轴对称时，1)(-4,-3),根据对称性此时/EAD=NABC.

②作点D(-4,-3)关于X轴的对称点”(-4,3),

3

直线AD'的解析式为y=1x+9,

3C

y=-x+9

x=-6x=8

由,,解得y=0或

12Qy=21

y=-x-+x-3

,4

此时直线AD'与抛物线交于D(8,21),满足条件，

综上所述，满足条件的点D坐标为(-4,-3)或(8,21)

【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的应用，二次函数的性质

等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会构建一次函数解决实际问题,

属于中考压轴题..

⑵-2+石或-石

⑶陷或0，..J

【分析】(1)根据对称轴为直线X=T可得匕=为，则y=如2+2办+“再把点A代入求

出a的值即可；

(2)过点M作MN,X轴于点N,根据题意可得tanND4C=*=<=:,则

∕ιCzZL

_Dm.ɪ.ɔ1

tanZMCN=tanZDAC=~i"—=一，求解即可；

∣∕n+l∣2

(3)先求出为的解析式，可设出点P坐标，表示Q、R坐标及PQ、QR,根据以P,Q,R

为顶点的三角形与Aa)全等，分类讨论对应边相等的可能性即可求P点坐标.根据题意进

行分类讨论.

【解析】(1)解：；点D是抛物线口的顶点，Z)Cj_》轴，点C(-1,O),

该抛物线的对称轴为直线X=-1,

---=—1,即Z?=24,

2a

，抛物线解析式为y.=ax1+2ax+^,

把点A(-3,0)代入得：0=9α-6α+q,

解得：«=~7>

4

b=—ɪ,

2

ιI3

2

.∙.抛物线凹所对应的函数解析式为：yl=-^χ-^χ+≈

(2)解：过点M作MN，X轴于点N,

抛物线解析式为gχ+:=-;(χ+l)2+l,

£>(-14),

∙.∙A(-3,0),C(-l,0),

ΛCD=I,4C=-l-(-3)=2,

CD1

/.tanZDAC==—,

AC2

•••点M在抛物线弘，且点M的横坐标为m,

点M的坐标为(朗，-；m2-J"+：),

：点M在X轴上方，

MN=-ɪ-∕n2-ɪ/n+^,CN=∣∕π-(―1)∣=∣∕π÷1|,

•：ZMCB=ZDACf

-tanNMCN=tanZDAC=-ɪ-:_2__4=_,

∣w+l∣2

∙*∙m2+4"?—1=0或62-5=0,

解得鹏=-2+石，nι2=—2—ʌ/ʒ(舍去)或imi=后(舍去)或〃2&=-石;

综上所述，m的值为-2+后或-石；

(3)解：YA(-3,0),抛物线为直线户-1,

.∙.B(1,O)

V原抛物线解析式为必=-；(x+1)2+1,

.∙.平移后的抛物线解析式为为=W(X-I)2=-$2+IW,

抛物线丫2的对称轴为直线χ=ι,

设点P的横坐标为a,

,J1,13

..P∖"z,——m"——tn+—

（424

・・・尸。〃y轴,

JCɪ211

/.κ2-t∏y——m~+—m——

I424

①当点P在点Q上方时，

.∙.PQ=（一；加2+1）—（—+；'"—；）=+1,QR-2-m-m=2-Im,

；点P,Q,R为顶点的三角形与AACD全等，

.∙.当PQ=E>C,QR=AC时，

.,.-m+∖—1,2—Im=2,

解得m=0,

当尸。=AC,QR=C。时，

：.-m+l=2,2-2m=\,此时方程组无解，不符合题意:

②当点P在点Q下方时，

同理得PQ=W-1，QR=2m-2,

：点P,Q,R为顶点的三角形与aAS全等,

：.当PQ=DC,QR=AC时，

Λz/t-l=1,2m-2=2,

解得m=2,

当PQ=AGQR=C。时，

Λm-∖=2,2m-2=1,此时方程组无解，不符合题意;

...点P的坐标为：（2,一（）

【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质、待定系数法求函数的解析式，三

角形全等的性质，解直角三角形，应用了数形结合和分类讨论的数学思想.

42

8.(1)y=——X2+-x+4

33

351

【分析】（1）先根据直线BC的解析式求出点B和C的坐标，再利用待定系数法求抛物线的

解析式；

（2）①设出尸点的横坐标为，"，用用的代数式表示PO和OE,然后根据相似三角形的两种

情况，由两组对应角相等，利用相等的三角函数值列出关于机的方程即可；

②过点B作BP平分/A8C,交抛物线于点£,过点C作CG〃x轴，交BG于点G,可得到

NCBG=NG,利用勾股定理和等腰三角形的性质得到GC=3C=5,可确定点G的坐标，

进而求出直线BG与抛物线的交点坐标,便可得出其中一个满足条件的P点坐标；利用翻折，

设8G与＞轴的交点为点M,M关于X轴的对称点为N,进而求得直线BN与抛物线的交点

坐标，便可得出另一个满足条件的P点坐标.

4

【解析】（1）解：•∙'直线y=-]X+4与X轴，）轴分别交于2、C两点，

4

当X=O时，y=--×0+4=4,

.∙.C(0,4),OC=4,

4

当y=O时，得一§x+4=0,解得：X=3,

・・・8(3,0),08=3,

VcosZCΛβ=-,设O4=√i⅞,AC-

AC17

VAC2=OA2+OC2,

Λ(17⅛)2=(√i7⅛)2+42,

解得：k,k-,=(舍去)，

1t17-17

/•OA=yf∏k=1,

.∙.A(TO),

：抛物线y=αχ2+∕λr+c经过8、C两点，与X轴负半轴交于点A,

a-h+c=O

.∙.<9。+3〃+C=0,

c=4

4

a=—

3

Q

解得：9=].

c=4

4R

.∙.抛物线的解析式为y=-]f+]χ+4.

(2)①设尸(机，-：机2+|机+4),

•.•2。〃g轴交3(7于点。，。£工丫轴交于点6,

。(机,一gw+4),

4,8(4、4

.*.PD=—m+—m+4--772+4=——nr+4/H,DE=m

33I3J31

PD4

.∙.tanZ-PED==——/n+4,

DE3

•：NPDE=/BOC=琳,

・・・和一8OC相似分以下两种情况：

当NPED=NCBo时,

CO

：.tanZPED=tanZCBO=—,

BO

,44

・・—∕π+4=—,

33

解得m=2,

，--trr+-∕n+4=--×22+-×2+4=4,

3333

AP(2,4)；

⅛ZPED=ZSCOE⅛,tanZPED=IanZBCO=—,

综上所述，当NQE和」BOC相似时，点

②如图，过点B作BG平分/A8C,交抛物线于点心

/.ZABPt=^ZABC,

：.ZABG=NCBG,

过点C作CG〃x轴，交BG于点G,

：.ZABG=NG,

：.NCBG=NG,

'：OB=3,OC=4,

BC=y]OB'+OC2=√32+42=5，

.∙.GC=BC=5,

••・点6的坐标为(-5,4),

又∙.∙8(3,0),

设直线BG的解析式为y=%χ+α,

.J-5⅛1+⅛1=4

β,⅛+⅛,=o'

13

.∙.直线BG的解析式为y=—；x+],

由“

13

y=——x+

22

5

二一TT

解得:k;8

29

K=—

16

将直线BG沿X轴翻折，交抛物线于点八,

.∙.ZABP2=ZABf↑=gzABC,

设BG与y轴的交点为点M,M关于X轴的对称点为N,

13

Y直线BG的解析式为y=-jx+],

133

当X=O时，y=—×0+-=—,

222

.∙.M(O,∣),

∙∙∙N(O,-∣),

・♦・设直线BN的解析式为y=k2x+b2f

3k2+⅛2=O

3

bf=--

22

13

—X——

22

48

y=——X2+-x+4ZI

33

由,

13

>,=—X——

22

11

伍=3迎=T

解得：""

M=O%=_至

I216

•••■制

1（c29、（1135

综上所述，当NABP=]N43C时，点尸坐标为卜子正）或卜布

【点评】本题考查二次函数的综合应用，运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式,

相似三角形的判定和性质，三角函数的应用，角平分线的性质，等腰三角形的判定，勾股定

理，根据解析式表示点的坐标，再由点的坐标表示线段的长，利用等量关系列方程或方程组

求解，利用方程组确定两个函数图像的交点.分类讨论的应用是解题的关键.

9.(1)y=-x2+3x+4

⑵I

【分析】(1)用待定系数法求解即可；

(2)连接C。，过点D作OELBC于点E.求出点D和点C的坐标，则易知C£>〃A8,所

以ZBCD=ZABC=45。.利用直角等腰直角三角形的性质和图中相关线段间的和差关系求

得BC=4&,BE=BC-CE='0.由正切三角函数定义知口∣)/DIC

(3)过点P作尸尸，X轴于点F,利用(2)中的结果得到:

2

tanZPfiF=j.⅛P(x2-x+3x+4),则利用锐角三角函数定义推知∑T凸±1=3,通过

54-x5

(266]

解方程求得点P的坐标为1-5-,2一5；.

-l-⅛+c=0

【解析】(1)根据题意得

-16+40+c=0'

解得：b=3,c=4,

；・y=-X2÷3x+4；

(2)连接CO,BD,过点D作OELBC于点E.

把x=3代入y=-V+3x+4,得

y=-9+9+4=4,

D(3,4).

把X=O代入y=*+3x+4,得

y=0+0÷4=4,

・・・C(0,4),

.∖CD∕∕ABf

：.ZBCD=ZABC=45°.

在M03C中，

•・・OC=OB=4,

BC=4√2.

在RLCQE中，CD=3.

：.CE=ED=36,

2

.,.BE=BC-CE=)近.

2

,∙,tanZDBC=->

3

tanAPB