高中数学人教A版选修2-3作业2-4正态分布1

2.4正态分布一、选择题1．正态曲线关于y轴对称，当且仅当它所对应的正态总体的均值为()A．1 B．－1C．0 D．不确定答案：C2．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X<4)＝0.84，则P(X≤0)等于()A．0.16 B．0.32C．0.68 D．0.84答案：A3．若随机变量X的密度函数为f(x)＝eq\f(1,\r(2π))·e－eq\f(x2,2)，X在区间(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为p1，p2，则p1，p2的关系为()A．p1>p2 B．p1<p2C．p1＝p2 D．不确定答案：C4．总体密度曲线是函数f(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\f(x－μ2,2σ2)，x∈R的图象的正态总体有以下命题：①正态曲线关于直线x＝μ对称；②正态曲线关于直线x＝σ对称；③正态曲线与x轴一定不相交；④正态曲线与x轴一定相交．其中正确的命题是()A．②④ B．①④C．①③ D．②③答案：C5．如果提出统计假设：某工厂制造的零件尺寸X服从正态分布N(μ，σ2)，当随机抽取某一个测量值α时，可以说明假设不成立的是下列中的()A．α∈(μ－3σ，μ＋3σ) B．α∉(μ－3σ，μ＋3σ)C．α∈(μ－2σ，μ＋2σ) D．α∉(μ－2σ，μ＋2σ)答案：B二、填空题6．已知正态分布落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时达到最高点．答案：0.27．设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，则c＝________.答案：28．设随机变量X～N(1,22)，则Y＝3X－1服从的总体分布可记为________．答案：Y～N(2,62)三、解答题9．设ξ～N(1,1)，试求：(1)P(0<ξ≤2)；(2)P(2<ξ≤3)；(3)P(ξ≥3)．解：因为ξ～N(1,1)，所以μ＝1，σ＝1.(1)P(0<ξ≤2)＝P(1－1<ξ≤1＋1)＝P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝0.6826.(2)因为P(2<ξ≤3)＝P(－1<ξ≤0)，所以P(2<ξ≤3)＝eq\f(1,2)[P(－1<ξ≤3)－P(0<ξ≤2)]＝eq\f(1,2)[P(1－2<ξ≤1＋2)－P(1－1<ξ≤1＋1)]＝eq\f(1,2)[P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)－P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)]＝eq\f(1,2)×(0.9544－0.6826)＝0.1359.(3)因为P(ξ≥3)＝P(ξ≤－1)，所以P(ξ≥3)＝eq\f(1,2)[1－P(1－2<ξ≤1＋2)]＝eq\f(1,2)[1－P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)]＝eq\f(1,2)×(1－0.9544)＝0.0228.10．在一次测试中，测量结果X服从正态分布N(2，σ2)(σ>0)，若X在(0,2)内取值的概率为0.2，求：(1)X在(0,4)内取值的概率；(2)P(X>4)．解：(1)由于X～N(2，σ2)，对称轴x＝2，画出示意图如图：因为P(0<X<2)＝P(2<X<4)，所以P(0<X<4)＝2P(0<X<2)＝2×0.2＝0.4.(2)P(X>4)＝eq\f(1,2)[1－P(0<X<4)]＝eq\f(1,2)(1－0.4)＝0.3.11．在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90,100)．(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少．(2)若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80,100)的考生大约有多少人．解：因为ξ～N(90,100)，所以μ＝90，σ＝eq\r(100)＝10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.9544，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率就是0.9544.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.682