数学人教A版必修2课时作业3-3-12两条直线的交点坐标两点间的距离

课时作业23两条直线的交点坐标两点间的距离——基础巩固类——1．已知点A(1,2)，B(a,6)，且|AB|＝5，则a的值为(D)A．4 B．－4或2C．－2 D．－2或4解析：由两点间的距离公式得|AB|＝eq\r(a－12＋6－22)＝5，即(a－1)2＋16＝25，解得a＝－2或a＝4.2．已知△ABC的顶点A(2,3)，B(－1,0)，C(2,0)，则△ABC的周长是(C)A．2eq\r(3) B．3＋2eq\r(3)C．6＋3eq\r(2) D．6＋eq\r(10)解析：|AB|＝eq\r(2＋12＋32)＝3eq\r(2)，|BC|＝eq\r(2＋12＋0)＝3，|AC|＝eq\r(2－22＋32)＝3，则△ABC的周长为6＋3eq\r(2).故选C.3．经过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点，并且经过原点的直线的方程是(C)A．19x－9y＝0B．9x＋19y＝0C．3x＋19y＝0D．19x－3y＝0解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y＋4＝0，,2x＋y＋5＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(19,7)，,y＝\f(3,7).))∴l1与l2的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(19,7)，\f(3,7))).∴所求的直线方程为y＝－eq\f(3,19)x，即3x＋19y＝0.故选C.4．直线y＝3x－4关于点P(2，－1)对称的直线l的方程是(A)A．y＝3x－10 B．y＝3x－18C．y＝3x＋4 D．y＝4x＋3解析：设M(x，y)是l上任一点，M关于P(2，－1)的对称点为M′(4－x，－2－y)在直线y＝3x－4上，则－2－y＝3(4－x)－4，整理得y＝3x－10.故选A.5．当a取不同实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过一个定点，这个定点是(B)A．(2,3) B．(－2,3)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2))) D．(－2,0)解析：将直线化为a(x＋2)＋(－x－y＋1)＝0，故直线过定点(－2,3)．故选B.6．若光线从点A(－3,5)射到直线l：3x－4y＋4＝0上，反射后经过点B(2,15)，则光线从A点经反射后到B点所经过的路程为(B)A．5eq\r(2) B．5eq\r(13)C．5eq\r(17) D．5eq\r(5)解析：设A(－3,5)关于直线l：3x－4y＋4＝0的对称点为A′(x′，y′)，则根据题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3×\f(x′－3,2)－4×\f(y′＋5,2)＋4＝0，,\f(y′－5,x′＋3)×\f(3,4)＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝3，,y′＝－3.))∵所求的路程即为|A′B|，∴由两点间的距离公式得所经过的路程为|A′B|＝eq\r(3－22＋－3－152)＝5eq\r(13).7．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k＝－eq\f(1,2).解析：解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＋8＝0，,x－y－1＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2，))又该点(－1，－2)也在直线x＋ky＝0上，∴－1－2k＝0，∴k＝－eq\f(1,2).8．两直线l1：3ax－y－2＝0和l2：(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A、B，则|AB|＝eq\f(13,5).解析：直线l1：y＝3ax－2过定点A(0，－2)，直线l2：a(2x＋5y)－(x＋1)＝0过定点eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋5y＝0，,x＋1＝0，))即Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(2,5)))，∴|AB|＝eq\r(－12＋\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,5)－－2))2)＝eq\f(13,5).9．已知直线ax＋3y－12＝0与直线4x－y＋b＝0互相垂直，且相交于点P(4，m)，则b＝－13.解析：由两直线互相垂直得－eq\f(a,3)·4＝－1，即a＝eq\f(3,4)，由点P(4，m)在直线eq\f(3,4)x＋3y－12＝0上，得3＋3m－12＝0，即m＝3，再将P(4,3)的坐标代入4x－y＋b＝0，得16－3＋b＝0，即b＝－13.10．求过两条直线x－2y＋4＝0和x＋y－2＝0的交点P，且满足下列条件的直线方程．(1)过点Q(2，－1)；(2)与直线3x－4y＋5＝0垂直．解：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,x＋y－2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2.))∴P(0,2)．(1)∵kPQ＝－eq\f(3,2).∴直线PQ：y－2＝－eq\f(3,2)x，即3x＋2y－4＝0.(2)直线3x－4y＋5＝0的斜率为eq\f(3,4)，∴所求直线的斜率为－eq\f(4,3)，其直线方程为：y－2＝－eq\f(4,3)x，即4x＋3y－6＝0.11．在△ABC中，D是BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.求证：△ABC为等腰三角形．证明：作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图所示)．设A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)．因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，所以，由距离公式可得b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)，即－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)．又d－b≠0，故－b－d＝c－d，即－b＝c.所以|AB|＝|AC|，即△ABC为等腰三角形．——能力提升类——12．设A，B是x轴上的不同两点，点P的横坐标为2，|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是(A)A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0C．2y－x－4＝0 D．2x＋y－7＝0解析：设P(2，y)，由点P在直线x－y＋1＝0上得P(2,3)，设A(x0,0)，由点A在直线x－y＋1＝0上得A(－1,0)，由|PA|＝|PB|得B的坐标为(5,0)，所以直线PB的方程为x＋y－5＝0.故选A.13．已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在的直线方程为(C)A．y＝2x＋4 B．y＝eq\f(1,2)x－3C．x－2y－1＝0 D．3x＋y＋1＝0解析：设B关于直线y＝x＋1的对称点为B′(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y－2,x＋1)＝－1，,\f(y＋2,2)＝\f(x－1,2)＋1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝0，))即B′(1,0)．则AC的方程为eq\f(y－1,0－1)＝eq\f(x－3,1－3)，即x－2y－1＝0.故选C.14．三条直线x＋y＋1＝0,2x－y＋8＝0，ax＋3y－5＝0不能围成三角形，则a的取值集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，3，－6)).解析：因为x＋y＋1＝0与2x－y＋8＝0相交，所以三条直线不能围成三角形可分为三线共点或其中有两条直线平行，由x＋y＋1＝0与ax＋3y－5＝0平行得a＝3，由2x－y＋8＝0与ax＋3y－5＝0平行得a＝－6，由三线共点得a＝eq\f(1,3)，故a的取值集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，3，－6)).15．一束平行光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线与直线l的交点坐标．解：设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))＝－1,8×\f(a,2)＋6×\f(b,2)＝25))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4,b＝3))，∴A的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A(4,3)