2023年高考第一次模拟考数学试卷（新高考Ⅱ卷B卷）（解析版）

2023年高考第一次模拟考试卷（新高考II卷B卷）

数学

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.设集合A={x|-l<x<2},集合8={疝<x<3},则Au8=（）

A.{xl-1<x<3){x|-l<x<1}

C.{x\i<x<2}{、2vxv3}

R答案HA

K解析X在数轴上表示两个集合，如图:

易知Au5={x[—1<x<3}.故选：A.

7

2-设复数Z满足z+i="i,则E

3+4i

A.4-2iB.4+2i

5

K答案XD

K解析』依题意z=4-2i,

^=4-2i=^4-2i）_=12-16i=3-±D

4+2i4+2i（4+2i）（4-2i）205

3.幻方，是中国古代一种填数游戏."（〃eN",〃*3）阶幻方是指将连续〃2个正整数排成的

正方形数阵，使之同一行、同一列和同一对角线上的〃个数的和都相等.中国古籍《周易

本义》中的《洛书》记载了一个三阶幻方（如图）.若某3阶幻方正中间的数是2022,则

该幻方中的最小数为（）

OOOOOOOOO^

::°图

图1

A.2017B.2018C.2019D.2020

K答案》B

K解析》由题意，3阶幻方正中间的数是5时，幻方中的最小数为1；因此3阶幻方正中

间的数是2022时，幻方中的最小数为2022-5+1=2018,故选：B.

4.已知向量,,，人夹角为60。，且。=(1,3),忖=2则〃/=()

A.0B.10C.V10D.-710

R答案』c

K解析U由“=(1,3)可得卜卜而，故分6川Wcos60=710x2x1=710,故选：C.

5.为提高新农村的教育水平，某地选派4名优秀的教师到甲、乙、丙三地进行为期一年的支

教活动，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有()

A.A种B.12利।C.72种D.36种

K答案』D

K解析》4名教师分为3组，有C：种方法，然后再分别派到甲、乙、丙三地,

共有CjA；种方案，所以共有36种选派方案.故选：D.

6.若sin住+々］=［，则cos2a+cosa=().

(2；3

3131「4n7

A.—B.-----C.—D.—

323298

K答案2c

K解析U由已知sin(5+a)=cosa=§

所以8$2。+85。=28$2。-1+8$。=2乂(一］-1+—=——，故选：C.

⑶39

7.如图是一个由三根细棒%、PB、PC组成的支架，三根细棒Q4、PB、PC两两所成

的角都为60。，一个半径为1的小球放在支架上，则球心。到点P的距离是()

A.-3B.2C.7L3D.y/L2

K答案》c

K解析》如图所示，连接A8,AC,BC,作ABC所在外接圆圆心。“连接AO1,A。，设

PA=x,由E4、PB、PC两两所成的角都为60。可得/W=AC=8C=x,因为。।为ABC

几何中心，AO}=AB'^-'—=^-AB=^-xf易知对△PA。和POA,

2333

PNPOx=0°

ZP=ZP,ZPO.A=ZPAO=90°,所以△PAagAPOA,所以二77=万，即g1,解得

AU.AO--x

PO=y/3.

故选：c.

8.已知函数/(x)=(l+4x*n(x+>/?IT),则在同一个坐标系下函数"x-a)与〃x)的

图像不可能是()

K答案1D

K解析』设g(x)=lnx++1

22

x+yJx+1j+In+six+1j=0,

所以g(x)是R上的奇函数,

又x>0时，g(x)在(0,+s)上单调递增，

所以g(x)在R上单调递增，且有唯一零点0,

所以，3的图像一定经过原点(0,0),

当。=0时，/(x-a)与/(x)的图像相同，不符合题意.

当时，/(x)=(l+a|x|>ln(x+V7，T)是R上的奇函数，且在(0,+8)上单调递增,

所以/(X-4)与/(x)的图像可能为选项C；

当.<0时，若xfe,l+a|x|<0J(x)->TO,所以/(x-4)与F(x)的图像可能为选项A或

B.故选：D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。

9.已知函数/(x)=Asin(s+s)(A>0,o>0,-]<8<]]的部分图象如图所示，则()

A.函数“X)的最小正周期为兀

B.点仁,())是曲线y=的对称中心

37r

C.函数/(X)在区间内单调递增

D.函数/(x)在区间0胃内有两个最值点

K答案』AC

A=2&

K解析H由图可知・Asin°=2

/Asinf+j=2V2

所以sin°=孝，又一^"<9<5,

所以9=5，

4

*….（0兀兀）1元兀…,~

所以sm-^-+:=1,――+—=~+2fai,ZEZ,

I84j842

得G=2+16攵，ZeZ,

又齐忌，得。<。<4,

所以o=2,所以/(x)=20sin(2x+：

所以函数/(x)的周期为兀，A正确;

由2x+：=E,keZ得,x-y-pk&Z,取A=0得，x=-1,对称中心为

取左=1得,x=y,对称中心为母,0),所以点序0)不是曲线y=f(x)的对称中心，B

错误;

ITITTTSIC7T

由2kn――<2x+—<2kjt+—,keZ得,E——<x<kit+—fZeZ,当A=1时，

^<X<^,函数“X）在区间[称,内单调递增，c正确；

oo[_oo_

由2X+：=E+5,可得x=g+1,左eZ,取A=0得，x为函数〃x）的最值点,

,JT

所以区间0弓内有一个最值点，D错误.

故选：AC.

10.已知M：x2+y2-2x-2y-2=0,直线/：2x+y+2=0,P为/上的动点，过点P

作M的切线尸4PB,切点为4B,当归徵-M到最小时，则()

A.直线AB的方程为2x-y-1=0B.\MP\=x/5

C.直线48的方程为2x+y+l=0D.|PA|=1

K答案HBCD

K解析》圆的方程可化为(x-iy+(y-l)2=4,

点M到直线/的距离为d==逐＞2,

V22+l2

所以直线/与圆相离，

依圆的知识可知，四点AP,B,M四点共圆，且

所以1PM|.|A8|=4SPAM=4x^x\PA\x\AM\=4\PA\,

而1PAi=,

当直线时，眼儿汨=&,1PAimm=l,此时最小,

••.MP:y_l=g(x_f|Jy=gx+；,

11

x=-l

由，,y=­2x+—2,解得

y=0

2x+y+2=0

所以以MP为直径的圆的方程为(x-l)(x+l)+y(y-l)=0,即/+丁一〉—=o,

两圆的方程相减可得：2x+y+l=0,即为直线A8的方程.

故选：BCD.

11.如图，正方体ABCO-AAGR的棱长为1,E,F,G分别为线段BC,CC,,BB、

上的动点(不含端点)，则()

TT

A.异面直线与"■成角可以为一

4

B.当G为中点时，存在点E,尸使直线AG与平面尸平行

9

C.当E,尸为中点时，平面AE尸截正方体所得的截面面积为6

O

D.存在点G,使点C与点G到平面AE尸的距离相等

K答案》BCD

K解析》对A：因为故与AP的夹角即为4A与AF的夹角NAAF,

又当尸与C重合时，N4AF取得最大值，为];

当F与点G重合时，/4m尸取得最小值，设其为。，贝ljtana=5=&,故a>£；

AA4

，兀、71

又点口不能与C，G重合，故NAA^ea,],a>],故A错误；

对B：当G为乌8中点时，存在£,F分别为8CCC的中点，满足AG〃面AEE,证明如

下：

取81£的中点为"，连接如下所示：

-----------------------71G

显然A/〃AE,又A£u面AEF，4M<z面4£尸，故AM//面AE尸;

又易得MG//EF,EFu面AE£MG<Z面AE/，故MG//面AEF；

又A"cMG=M,AM,MGu面AMG,故面A^G〃面AEF,

又AGu面4|MG,故AG〃面AEF,故B正确；

对C：连接A£)|,"£AE,如下所示：

%----------71G

因为EF"BC\〃AD\,故面AEFR即为平面A所截正方体所得截面;

又RF=AE=M故该截面为等腰梯形，又EF上,AD\=0,

故截面面积S=g(EF+AR)x,尸一(竺=1x号垃故C正

确;

对D：连接GC,取其中点为，，如下所示:

要使得点G到平面型的距离等于点C到平面AE尸的距离，只需跖经过GC的中点,

显然存在这样的点G满足要求，故D正确.

故选：BCD.

12.已知3"=5'=15,则小〃满足的关系有()

A.—+—=1B.ab>4

ab

C.a2+b2<4D.(a+l)2+(Z?+l)2>16

K答案》ABD

K解析U由3"=5"=15,则a=log315>0/=log515>0,

A：二厂的记+最百=喝53+嘀55=唾/5=1,正确;

11

+2

由A知：—F丁=1且a>O,Z?>O,awb,所以1-->

B：力,即时>4,故正确,

aba

C：由A、B知：a+h=ah,ffna2+/?2=(a+b)2-lab=(ab)2-2ab=(ab-\)2-1>8,故错

误，

D：由上，(a+1)~+S+1)~=a~+/?~+2(a+6)+2=+2>18>16,故正确.

故选：ABD.

第II卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设a:lWx<4,p.x<m,若a是尸的充分条件，则实数机的取值范围是.

K答案』［4,同

K解析U。是夕的充分条件，故1Vx<4=>xV»i,所以帆24,

实数俄的取值范围为［4,+8）.

故K答案』为：［4,y）.

14.重庆八中某次数学考试中，学生成绩X服从正态分布。05,人）.若2心照收120）=g,

则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于120的概率是

K答案U卷

K解析』因学生成绩符合正态分布N（105石2）,故p（x>120）=1-*9°,120）=；,故

任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于120的概率为「=《（；）•1+（；）='.

故K答案H为：得

15.已知一3vxvO,则f（x）=x19-X*2的最小值为.

Q

K答案U

K解析H因为-3<x<0,

所以/（x）=xy/9-x2=-^（9-x2）-%2>--->+*=—g,

当且仅当9-/=/,即彳=-之囱时取等，

2

所以f（x）=八方二7的最小值为~.

故K答案U为：~.

16.已知抛物线C：f=4y的焦点为F,点P的坐标为（2,1）,动点A,8在抛物线C

上，且网J_P8,则E4+FB的最小值是.

K答案』11

K解析》依题意，设A（4a,4/）,B（做帖2）,

由于AB与p不重合，则4ax2,4/722,即2axi,3x1,

因为％J_PB,所以P4P3=(4a—2,包2—1>(46-2,4〃-1)

=4(2a-1)(26-1)+(2a+l)(2a-1)(26+1)(26-1)=(2a-l)(2/?-l)[4+(2a+1)(2/?+1)]

二(24-1)(2力-1)[4他+2(。+方)+5]=0,

贝|14〃匕=一2(〃+人)-5,

由抛物线的定义可得必+所=4。2+1+4h2+1=4。2+4人2+2=4(。2+〃2)+2

=4(〃+h)2-8ab+2=4(〃+b)2-2(—2(〃+b)—5]+2=4(〃+b)2+4(a+Z?)+12,

设，=。+6,贝1」帖+尸8=4产+4r+12=4，+；)+11>11,

当且仅当a+人=f=—g时，等号成立，

所以E4+FB的最小值为11.

故K答案D为：11.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

17.在.中，角4,8,C所对的边分别为a,"c,满足母bccsC=ga-c.

(1)求角3；

37

(2)若cosC=g,BD=4DC，△A3。的面积为二，求c的值.

(1)解：利用正弦定理得：V2sinBcosC=\f2sinA-sinC»

即V2sinBcosC=\/2sin(B+C)-sinC=>/2sinBcosC+V2cosBsinC-sinC,

化简得sinC=V2sinCcosfi，

由。为的内角，得sinC/0,

可得cos8=变，

2

TT

又8为ABC的内角，所以8

4

44

(2)解：已知BZ)=4OC，则3。=13。=不〃，

SQ=；|A训50卜由3=3L：4・¥=1,即〃c=半①,

由cosC=-1,可得sinC=Vl-cos2C=1,

sinCc2+c°sCsinN，x^+，^=^,

sinA=sin(C+3)=

44525210

a_ca_c

利用正弦定理可得，/彳=菽=迈=4即a=?夜c②

i(r58

联立①②可得c=2.

18.已知数列｛q｝的前"项和为S”,q=3,(〃-l)S"="S,i+n2-n(n>2).

(1)求数列｛q｝的通项公式；

(2)令包喙，求数列低｝的前〃项和工,.

解：(1)因为("-1)S“=〃S,I+〃2-〃(N22),

则有(刀T)S“-nS“_]=〃2_”,

ss

两边同时除以〃(〃一1)得：—--9=1,S1=4=l,

nn-l

所以数列｛2｝是以1为首项，1为公差的等差数列，

n

故口=l+(〃_l)xl=〃，则5“=〃2,

n

22

当"N2时,an=Sn-Sn_[=n-(n-l)=2H-1,符合q=l,故〃〃=2〃-1.

/八A-an_2H-1„13572n-32〃-1小

(2)b"=^=-'7；<=2+2r+¥+F++k+〒①

1Tl3572n-32〃一1不

/=声+3+梦+声++”2“一十^i-②

〜…后11222T22/?-l

①-②侍：-Tn=-+-+-+-+L+F-^F

19.某校为了了解学生每天完成数学作业所需的时间收集了相关数据(单位：分钟)，并将

所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中，学生完成数学作业的时间的范围是

(0,10()].其统计数据分组区间为(0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].

(1)求直方图中x的值;

(2)以直方图中的频率作为概率，从该校学生中任选4人，这4名学生中完成数学作业所

需时间少于20分钟的人数记为X,求X的分布列和数学期望.

解：(1)由直方图小矩形面积之和为1,

可得:20x+0.025x20+0.0065x20+0.003x2x20=l,

解得x=0.0125；

(2)X的可能取值为0,1,2,3,4.

由直方图可知，每位学生完成数学作业所需时间少于20分钟的概率为!，

4

则尸—。)=俗、康P(x=D=呜眇

P（X=3）=C：

所以X的分布列为:

X01234

81272731

P

25664?2864256

因为X~B(4，)

4

所以E(X)=〃p=4x；=l.

20.如图，在多面体A8CDE尸中，四边形CO所是边长为2的正方形,

AB//CD,ADLCD,BE=3AB=3,AD=2.

(1)求证：平面平面8CE；

(2)求平面ADF与平面BCF所成锐角的余弦值.

(1)证明：连接30,

因为BE=34B=3,AO=2,

所以AB=1,

因为AB〃C£),4)_L8,

所以AZ>工他，

由勾股定理得：BDAAD'AB?=石，

因为BE=3,DE=2,

故8炉=DE?+8£)2,所以BD1DE,

又CDLDE,CDBD=D,

所以。E1平面A8a>,

又AOu平面A8CQ,

所以OE/4D,

又ADLCD,ED\CD=D,

所以4)，平面COE尸，

又CEu平面CDEF,所以AD_LCE,

又DFLCE,ADDF=D,所以CE_L平面ADF,

又CEu平面3CE,所以平面4)尸，平面BCE.

(2)解：由(1)知。A,£»C,DE两两垂直，以。为原点，。4,。。,。£的方向为方y,z轴

的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.

C(0,2,0),£(0,0,2),F(0,2,2),B(2,1,0),C£=(0,-2,2),CB=(2,-1,0),CF=(0,0,2),

由C£_L平面4)F知CE=(0,-2,2)是平面ADF的一个法向量.

设平面BCF的法向量为"=(x,y,z),

CBn=02x-y=0

由，得:

CF-n=02z=O

解得：z=O,令x=l,则y=2,故7=(1,2,0),

设平面与平面BCF所成锐角为0,

\CE-n\_|-4|710

即cos6=

\CE\-\n\~2-j2xy[5~~

所以平面ADF与平面BC尸所成锐角的余弦值为强.

5

22

21.设耳，尸,分别是双曲线「:=-2=1(。>0,6>0)的左、右两焦点，过点B的直线

ab

/：%—阳-t=0("2"eR)与「的右支交于M,N两点，「过点(-2,3),且它的虚轴的

端点与焦点的距离为

(1)求双曲线「的方程；

(2)当|M用=|6用时，求实数，〃的值；

(3)设点M关于坐标原点。的对称点为P,当"鸟=:gN时，求APMN面积S的值.

解：(1)因为双曲线「过点(-2,3),且它的虚轴的端点与焦点的距离为近，

_Z1_1r2_1

可得：//=,解得"ML，

从+(力+⑹=7屿=3

2

所以双曲线「的方程为1-上=1.

3

(2)因为直线/”一切—1=0,且过点3(2,0),

则2—/%xO—z=0,解得：1=2,

由|用制=|与周得：三角形平心为等腰三角形，

所以等腰三角形耳M8底边的高的大小为小伤2_［吟二j=715,

又因为点F/到直线/：x-%-2=0的距离等于等腰三角形耳M心底边上的高,

则”==岳，

化简得：病=工即机=±巫.

1515

(3)设M(xi，y/),N(X2，＞2)，

3=1

由直线与双曲线联立得：3,

x-my-2=0

简得：(3w2-l)y2+12wy+9=0,

由韦达定理得：X+M=:I2T,m=，,%=-二彳9丁，

\-3m~l-3/n

1I方xQ

又MF2=7F°N,即必=-2%，则2川=/丁

2