2023-2024学年天津市河西区高二年级上册期末数学试题（含答案）

2023-2024学年天津市河西区高二上册期末数学试题

一、单选题

1.观察数列ι,",()ɪ,ɪ(),的特点，则括号中应填入的适当的数为()

1111

ʌ-寸存b∙二存

CllCll

c∙兑Fd∙甲存

【正确答案】c

,1I_[1_1

【分析】将数列中的每个项进行改写为1=(2χiτ∕?=(2x27)2、*=(2χ4-l)2、

I1

9T=(2×5-1)2,由此可得出两个括号内应填入的数•

]1_]1_]1_[

【详解】因为

I=(2×1-1)2'32^(2×2-l)2'72^(2×4-l)2'92^(2×5-l)2,

/、I

所以，该数列的第〃(“wN∙)项为，

因此，第一个括号内填入的数为(2X3T)2=9,

11

第二个括号内填入的数为(2>6_炉=于，

故选：C.

2.某质点的运动规律为s=*+3,则在时间(3,3+加)内，质点的位移增量等于()

79ɔ

A.6Δ∕÷(Δ∕)*^B.6÷Δ/H-----C.3Δ∕÷(∆Z)~D.9+Δ/

Z

【正确答案】A

根据平均变化率的定义计算.

【详解】位移增量=s(3+4)-s(3)=(3+Δ∕)2+3-(32+3)=6Δ∕+(At)2.

故选：A.

3.准线方程为x=2的抛物线的标准方程为()

A.∕=8χB.y2=-8xC.x2=SyD.x2ɪ-8γ

【正确答案】B

【分析】结合抛物线的定义求得正确答案.

【详解】由于抛物线的准线方程是x=2,

所以抛物线的开口向左，设抛物线的方程为丁=-2px(p>0),

则5=2,2p=8,所以抛物线的标准方程为V=-8x.

故选：B

4.已知数列｛αzt｝满足q=0,%=S卡;(“wN*)

则。2022=()

D.@

A.0B.-√3C.√3

3

【正确答案】B

【分析】写出数列｛%｝的前4项，可得出数列｛/｝为周期数列，利用数列的周期性可求得阳期

的值.

_上+a,

【详解】因为数列｛%｝满足("wN*),则生='

0=0,αn+,^T≡√χ

∙J3+a12∖∣3Hʌ/ɜ+α3

%=----L=—7=-√3，%=----^r~=O，

l-√3t721-3I-岛3

-

以此类推可知，4+3=""(〃WN*),因此，O2022=Λ3X673+3=¾=V5-

故选：B.

5.已知实数列-1、X、y、Z、_2成等比数列，则型=()

A.2近B.±4C.-2√2D.±2血

【正确答案】C

【分析】求出y的值，利用等比中项的性质可求得结果.

【详解】设等比数列-1、X、八z、—2的公比为q(qwθ),则y=-lxd<0,

由等比中项的性质可得V=(-1)x(-2)=2,所以，>=_及

因此，xyz=)；=卜>∕5j=-2∖∣2.

故选：C.

6.设中心在原点，焦点在X轴上的双曲线的焦距为16,且双曲线上的任意一点到两个焦点

的距离的差的绝对值等于6,双曲线的方程为（）

【正确答案】A

【分析】根据题意列式求解“力,c,即可得结果.

r22

【详解】；双曲线的焦点在X轴上，设双曲线的方程为=-当v=1,且

ab

222

c=a+h,a>0,h>0,c>0f

c2=a2+b20=3

由题意可得2C=16解得人=后,

∖2a=6c=8

.∙・双曲线的方程为Y-亡=1.

955

故选：A.

7.如图，直线/和圆C,当/从/o开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转到（转到角不

超过90。）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间/的函数，这个函数的图像大致是

C.D.

【正确答案】D

【分析】由题意可知I：S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，据此确定函

数的大致图像即可.

【详解】观察可知面积S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”,

对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知。符合要求.

故选D.

本题主要考查实际问题中的函数图像，函数图像的变化趋势等知识，意在考查学生的转化能

力和计算求解能力.

Sin2x

8.函数y=-^的导数为()

cos2xsin2x,2cos2xsin2x

A.y=B.y=-7=----------=

∖[x2x∖∕x1

2cosxsin2x,2cos2xsin2x

c.Z=D.y=-7=---------产

Vx2x∖fx

【正确答案】B

【分析】利用复合函数的求导法则以及商的导数运算法可求得结果.

ςin9γ

【详解】因为、=二鼠，则

i∏2χ2∕xcos2x-----∕=sin2%C∙c

V%(sin2x)SslnZX_λ2√x_4xcos2x-sin2x

y,=-----------------——-

X2x∖[x

故选：B.

9.设双曲线3-∕=l(α>08>0)的左、右焦点分别为片、F2,离心率为e,过工的直线与

双曲线的右支交于A、8两点，若KAB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则/=()

A.3+2√2B.5-2√2C.l+2√2D.4-2√2

【正确答案】B

【分析】根据双曲线的定义，设出焦半径，利用余弦定理，可得答案.

【详解】设IAEI=X,^∖AFl∖=x+2a,所以忸闾=20,也就是忸用=〃,

由余弦定理，可得忻/ʧ=忸用2+忸用2—.忸用忸用COSNEB尼，

则4C2-y6a2+4a2-2×4a×2a×cos-,

二、填空题

10.设数列｛%｝是公差为d的等差数列，若4=5,&=17,则"=.

【正确答案】3

【分析】根据二F即可得解.

0—2

【详解】因为数列应｝是公差为d的等差数列，且出=5,4=17,则“=与二等=宁=3.

6—24

故答案为.3

双曲线/V

11.T=1的离心率为.

【正确答案】2

【详解］a=l,⅛=√3.∙.c=√α2+⅛2=2,e=-=2

a

12.在等比数列｛4｝中，%=1,4=血，则4=.

【正确答案】4

【分析】根据等比数列性质运算求解.

【详解】由题意可得.%=%/=Ix=4

故4.

13.若函数"x)=X-B,贝IJr⑴=.

【正确答案】2

【分析】利用常见函数的导数和导数的运算法则即可求出结果.

【详解】因为/(χ)=χ-j所以/'(χ)=l+1,

所以/⑴=1+；=2,

故2.

14.若函数y=H∏x上在点P处的切线平行于双曲线Ud-E=I的渐近线，则点P的坐标

4

是.

【正确答案】(e,e)或(et-3e-)

【分析】先求出双曲线的渐近线方程为y=±2x,再对函数y=Hnx求导，再利用导数的几

何意义，建立方程ln⅞+l=2或ln¾+l=-2,从而求出吃,得到点P的坐标.

【详解】设尸(X因为y=xhu,所以y'=lnx+l,

又双曲线=所以双曲线的渐近线方程为y=±2x,

4

因为函数y=TM上在点尸处的切线平行于双曲线c：f-e=1的渐近线，

4

所以由导数的几何意义知，In⅞+1=2或ħu0+1=-2,得到％=e或XO=e，

当Xo=e时，y=elne=e,

333

当a=e-3时,γ=eIne=-3e^,从而得到P(e,e)或「仁?-3e”,

故(e,e)或(eT,-3e-3)

15.已知等比数列{%},α,>4=1,则使不等式(4-L+a-,--++a”-')*。成

IaJIaz)Ian)

立的最大自然数量为

【正确答案】5

解：设等比数列｛%｝的公比为q,

21

由R>a3=1得ra∖q=1f解得αι=f，且夕<ɪr

q

所以(a∖---)÷(。2--^^)÷(^3÷-)+...+(Qn----)

0102。3an

=0占3),

IFq2g”-3

因为g<l,所以上£1>0,

1-g

11,

只需/N°=>4-W∙1="W5,

故答案为5.

三、解答题

16.数列｛《,｝满足4=1,%=g4ι+l("≥2).

⑴若H=4-2,求证:｛%｝为等比数列;

(2)求｛%｝的通项公式.

【正确答案】(1)证明见解析

⑵4=2一击

【分析】(1)由耙=gb“T证得他｝为等比数列.

(2)先求得口,然后求得凡.

【详解】(1)由于q=l,α,,=gα,τ+l("≥2),

所以α,,-2=g(α,ι-2)("≥2),

即2=g%("N2),

所以数列｛〃,｝是首项为4-2=-1,公比为g的等比数歹!].

(2)由(1)得包=-p^>

所以4-2=-击，4zr=2一击•

17.已知抛物线的方程为V=2pχ,它的准线过双曲线/-/=l(α>()力>())的一个焦点，且

抛物线与双曲线的一个交点为(∣,6),求抛物线与双曲线的方程.

【正确答案】抛物线方程为V=4x,双曲线的方程为4/一手=1

【分析】根据题意代入点(I，指)，即可求得抛物线的方程，进而可得双曲线的左焦点，根

据题意列式求解，即可得双曲线方程.

【详解】•••抛物线过点弓,时，则2*=(@,解得P=2

故抛物线方程为V=4x,

可得抛物线的准线为x=-l,则准线与X轴的交点坐标为(-L0)

即双曲线的左焦点为(-1,0)，且双曲线过点

C=Iα2=ɪ

设双曲线的半焦距为C>0,则可得3=/+^2,解得；

9⅛2=-

故双曲线方程为1一§「即"-竽=L

44

18.已知数列｛a11｝的前n项和为Sn,且满足aι=列nan+ι=Sn+n(n+1).

(I)求数列｛an｝的通项公式an；

(II)设Tn为数列｛∣φ的前n项和，求Tn;

11

(III)设=，证明：h+b+h^++b<——

4%+4+2l2-32

〃+2

【正确答案】(I)an=2n(II)7；=4-带(III)见试题解析

【详解】试题分析：(I)由已知陷川=S,,+/5+l)当〃22时(”—l)%=S,ι+"("-l),两

式项减，得到ɑ一：-&=?.求出4=2,则数列的通项公式可得

(∏)由题意可得祟=券，直接利用错位相减法即可求出7；=4-昔

(HI)(I),得，

利用裂项相消法即可得

a-b、+5+•∙•+4」(」-----1_____i_++__1_________]

+j

s∙T*161×22x2×3-3×4**∏(n÷l)~(w+iχ∏+2)

I________11

―32-16(n+iχn+2)*32

试题解析：(I)

na,^=S,,+71(H÷1).

由题意，当〃22时，有｛‘π1+'√八

(n-l)all=Sll,l+n(n-l)

两式相减得nall+,-(n-↑)an