山西省太原市2023-2024学年度高二年级上册期中学业诊断数学试卷【解析版】

山西省太原市2023-2024学年度高二上学期期中学业诊断

数学试卷【解析版】

说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间90分钟，满分100分.

一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.直线y=的倾斜角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

2.椭圆三+y2=l的焦点坐标为（）

3

A.(±72,0)B.(0,±A/2)C.(±2,0)D.(0,±2)

3.圆入2+）2一4工+2>=0的圆心坐标为（）

A.(-4,2)B.(4,-2)C.(-2,1)D.(2,-1)

4.已知〃=（1,—1,一2）,。=（一1,八2）,且则实数爪=（）

A.-5B.5C.-1D.1

5.直线工-尸。与直线x-y+2=0之间的距离是（）

A.克B.1C.J2D.2

2

6.己知直线/:(l+/l)x+y—2=0(/lwR),圆C:/+y2=4,则直线/与圆C的位置关

系是（）

A.相交B.相切C.相离D.不确定

7.如图，正方体ABC。-AgGA的棱长为2,E是CG的中点，则点A到直线的

A.-B.叵C.-D.还

2255

22

8.己知椭圆C:5+（=l的左、右焦点分别为耳与，点M在C上，点N的坐标为（3,君），

则|施V|+|MF；|的取值范围为（）

A.[回,4+#]B.[730,6+76]C.[4+血,6+布]

D.[6+跖9+同

二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的四个

选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得2分，有

选错的得0分）

9.已知圆&:/+,=4与圆。2：尤2+/+以-4〉+尸=0关于直线/对称，则下列说法

正确的是（）

A.F=8B.圆G与圆C?相交

C.直线C©2的方程为彳->=。D.直线/的方程为％->+2=0

22

10.已知点片,鸟分别是椭圆c：L+匕=1的两个焦点，点尸在C上，则下列说法正确

45

的是（）

A.|尸制的最小值为石一1B.椭圆C的离心率e=；

4

C.△尸£月面积的最大值为石D.tan/月尸入的最大值为]

11.已知直线4：x+y=04：2x-3y—6=。，则下列说法正确的是（）

A.直线4与4相交于点]与，-

B.直线k4和*轴围成的三角形的面积为g

C.直线6关于原点。对称的直线方程为2x-3y+6=0

D.直线4关于直线4对称的直线方程为3x-2y+6=0

12.已知点尸在圆C:d+y2=i上，点。在/:氐7+3=0上，则下列说法正确的是（）

A.|尸。的最小值为g

B.|尸。|的最大值为g

C.过。作圆。的切线，切点分别为",N,则的最小值为平

D.过P作直线r,使得直线r与直线/的夹角为30。，设直线r与直线/的交点为T,则

归刀的最大值为5

三、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）

13.直线x-y+l=。在无轴上的截距为.

14.已知a=（l,0,l）,b=（l,l,0）,则向量4与6的夹角为.

15.已知点/是直线x=4上的动点，点N在线段QW上（。是坐标原点），且满足

|OM|.|O^|=16,则动点N的轨迹方程为.

16.已知椭圆C:土+y2=l的左，右顶点分别为4，4,动点尸在C上（异于点4）,点

4

。是弦人尸的中点，贝Utan/QAA的最大值为.

四、解答题（本题共5小题，共52分.解答应写出文字说明，证明过程或

演算步骤）

17.已知ASC的三个顶点A（-2,0）,B（2,-2）,C（0,2）,分别是A氏的中点.

（1）求直线DE的一般式方程；

⑵求边A3的垂直平分线的斜截式方程.

18.如图，四面体0ABe各棱的棱长都是1,D是A8的中点，E是C£>的中点，记

OA=a,OB=b,OC=c.

⑴用向量a,方,c表示向量OE;

（2）利用向量法证明：OELAB.

19.已知圆/的圆心在x轴上，且经过4（0,1）和川3,2）两点.

（1）求圆M的一般方程；

⑵求圆M与圆三+尸-4丁+3=0的公共弦的长.

20.已知椭圆。：4+[=1（°>8>0）的离心率是也，且经过点4（0,1）.

(1)求椭圆C的方程;

⑵若过点p(2,l)的直线/与椭圆C相交于两个不同的点民C,直线AB,AC分别与X轴

相交于点证明：线段的中点为定点.

21.如图，在几何体ABCG片中，△48C是边长为2的正三角形，D,E分别是AC”CB,

的中点，BB\HCG，CCJ平面ABC,CC1=2.

⑴若求证：CD，平面ABg；

(2)若平面ABG与平面ABC夹角的余弦值为寺,求直线OE与平面A4G所成角的正

弦值.

1.c

【分析】根据直线的斜率求得倾斜角.

【详解】直线y=的斜率为-石，

所以直线的倾斜角为120。.

故选：c

2.A

【分析】根据椭圆的标准方程求得J从而确定正确答案.

【详解】椭圆二十寸=1的焦点在x轴上，

3

=3,Z?2=l,c=yja2—b2=y[2，

所以焦点坐标为

故选：A

3.D

【分析】将圆的一般方程转化为标准方程，从而求得圆心坐标.

【详解】圆f+y2—4x+2y=0可化为(%—2)2+(y+l)2=5,

所以圆心坐标为(2,-1).

故选：D

4.A

【分析】根据向量垂直列方程，化简求得加的值.

【详解】由于“_L-所以〃•/?=—1一加一4=0,机=一5.

故选：A

5.C

【分析】根据两平行直线间的距离公式求得正确答案.

【详解】依题意，直线%-y=。与直线％->+2=0之间的距离是:

42-。|

二后.

JF+(T)

故选：C

6.A

【分析】求出直线所过定点，再根据点与圆的位置关系判断即可.

【详解】已知直线，：（1+几）无+y-4=0（XeR）,变形为（x+y）+X（x-l）=O,

\x+y=0fx=l,、

由即直线恒过定点（1,-1），

代入圆的方程的左端有廿+（-1『=2<4,即点在圆内，

所以直线与圆相交，

故选：A

7.D

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得正确答案.

【详解】建立如图所示空间直角坐标系，

ZA（o,0,2）,E（0,2,1）,A（2,0,0）,£>^=（0,2,-1）,0^=（2,0,-2）,

所以点A到直线RE的距离为j（AA）2一爷彳邑J一周、哈

8.B

【分析】根据椭圆的定义转化|肱v|+|g|,结合三点共线来求得|MN|+眼团的取值范围.

【详解】依题意，a=3,b3c=2,4（-2,0）,乙（2,0）,N（3,如），

质|=>+（肩=",|啊=，52+（肩=回,

所以|MN|+|M可>|N^|=730,当M位于线段NF1与椭圆交点M2处时等号成立.

根据椭圆的定义可知|回+|吗|=|肱V|+2a-|噂|=6+|肱V|-|此|,

如图所示，设叫的延长线与椭圆相交于

则当M位于M时，6+|肱V|-|摩|取得最大值为6+|叫|=6+«,

综上所述，WM+|阿|的取值范围为[a,6+&].

【点睛】在椭圆中，求解椭圆上的点到焦点、定点的距离的和或差的最值，可以考虑通过椭

圆的定义进行转化，然后结合三点共线来确定最值.在解题过程中，要画出对应的图象，结

合图象来进行求解.

9.BD

【分析】根据对称性求得/，然后根据两个圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答

案.

【详解】圆&：/+产=4的圆心为《0，0），半径4=2,

圆。2：X2+9+4无一4〉+尸=0即(*+2)2+(丫一2)2=8—/，

8-F>0

根据对称性可知行了=2,解得尸=4,所以A选项错误.

此时C2：(x+2y+(y-2)z=4,圆心为G(—2,2),半径々=2.

么一R=0"+弓=4,

由于|GC?|=，2?+22=2及«0,4),所以两圆相交，B选项正确.

2

直线的方程>=F%=-羽％+>=0,所以c选项错误.

线段GG中点坐标为(-U),直线GC?斜率为_i,

所以直线/的方程为y—l=lx(x+l),x-y+2=。，所以D选项正确.

【分析】根据椭圆的定义和标准方程、离心率、三角形面积、余弦定理、三角恒等变换等知

识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】椭圆C:?+'=1,a=y/5,b=2,c=l,2。=2点,国鸟|=2°=2,

£(0,-1)设尸«/),-75<J<75,则；=,

则|「周=卜+仃+了=,20；,+产+24+1=Jg『+2y+5,

函数/(y)=gV+2y+5在［一石，君］上单调递增，

所以当y=一石时，户周取得最小值也_国一2布+5=76-275==A/5-1,

所以A选项正确.

椭圆的离心率可弓=3所以B选项错谀

由于闺鸟1=2为定值，所以当尸位于椭圆的左右顶点时,

三角形尸耳工的面积取得最大值为gx2x2=2,所以C选项错误.

=陷「+|P底-闺国2=(附㈤尸用丫-4一2附卜|尸引

设/与产工=0,

2附卜尸42附“即|

=(24一4一2尸胤.|尸引=8_］z8=8_1=3

一2|尸耳卜尸阊］|P周+|尸引］-5-5,

当且仅当|尸耳|=归同=6时等号成立，即cos夕的最小值为|,

当cos。取得最小值时，。取得最大值，此时。为锐角，sin6=Vl-cos20=-1,

4

c4

所以此时tan。也取得最大值，且tan。的最大值为母=£,所以D选项正确.

5

故选：AD

11.AC

【分析】通过联立方程组求得交点坐标，结合三角形的面积、对称性等知识对选项进行分析,

从而确定正确答案.

【详解】由八解得了=3=一?，所以交点坐标为信，-色，A选项正确.

[2x-3y-6=055<55J

直线/2：2苫-3尸6=。与喈由的交点为（3,0）,与，轴的交点为（0,-2）,

直线4过原点，由图可知，直线4、4和x轴围成的三角形的面积为/x3x1=：,

所以B选项错误.

由上述分析可知，直线4关于原点。对称的直线过点（-3,0）,（0,2）,

2-0

所以直线4关于原点。对称的直线方程为，-2=西行（x-0）,2x-3y+6=0,

所以C选项正确.

点（3,0）关于直线x+y=。的对称点是（0,-3）；

点（0,-2）关于直线x+y=0的对称点是（2,0）,

所以直线6关于直线4对称的直线方程为|+=

即3元-2y-6=0,所以D选项错误.

故选：AC

12.ACD

【分析】根据直线和圆的位置关系、点到直线的距离公式、圆与圆的位置关系、弦长等知识

对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】圆C:W+y2=i的圆心为（0,0）,半径为1,

圆心（0,0）到直线/:瓜-、+3=0的距离为5>1,直线和圆相离，

所以|尸。|的最小值为:-1=；,A选项正确.

由于Q是直线/上任意一点，所以|尸。|没有最大值，B选项错误.

对于D选项，由于直线少与直线/的夹角为30。，

所以归刀等于P到直线/的距离的2倍，

所以|「刀的最大值为g+l[x2=5,D选项正确.

对于C选项，设°卜,后+3）,OQ的中点为约],

|OQ|=Jt2+(❷+3)2="〃+6疝+9,

所以以变］为圆心，㈣为半径的圆的方程为

、22)2

整理得丁+丁―比一("+3)y=0,

由V+,2-1=0、%2+y2—tx—+3)y=0两式相减并化简得tx+〈Mt+3)y—1=0,

即直线MV的方程为江+("+3)y—l=0,

1_1

(。,0)至值线及+(后+3)。-1=0的距离为“+("+3丫="入6e+9，

所以附叫=2/-7小

对于函数y=4/+6"+9,4=108—144=一36<0,

所以>=4〃+6后+9>0恒成立，^t=--=-—^,

.84

l915

所以,=4/+6月+97，所以1一步+6疝+9行

所以|削|22%=¥^

所以C选项正确.

故选：ACD

【点睛】方法点睛：求解直线和圆的位置关系有关题目，主要的方法是数形结合的数学思想

方法，根据图象以及圆的几何性质来对问题进行研究.求解圆与圆相交所得弦长，可利用两

个圆的方程相减来求得相交弦所在直线方程.

13.-1

【分析】根据截距的知识求得正确答案.

【详解】由x-y+l=O,令y=o,解得尸-1,

所以直线x-y+l=O在x轴上的截距为T.

故答案为：-1

【分析】根据向量的夹角公式求得正确答案.

/.\a-b11

【详解】3《涉）=丽=后方二，

贝心可为锐角，所以$

故答案为：—

15.（X-2）2+/=4（0<x<4）

【分析】设出M,N两点的坐标，由|窃0|・|。网=16以及O,N,M三点共线求得正确答案.

【详解】设M（4j）,reR,设N（x,y）,依题意可知0<xW4,

由于O,N,M三点共线，所以:=』,/="，则生］,

4xxVx）

由于=16,所以J16+鹭IxJ777=4.E2x历丁="/+y）=肺,

V%Nxx

整理得x2+y2_4x=0,(x_2y+y2=4(0<x<4).

2

故答案为：(%-2)+/=4(0<X<4)

【分析】设出尸点坐标，求得。坐标，进而求得tan/QA4的表达式，并利用三角恒等变换、

基本不等式等知识求得tan/QA4的最大值.

【详解】依题意A（-2,0）,4（2,0）,设尸（2cosasin。）,

根据椭圆的对称性，以及题目所求“tan/Q44的最大值”，不妨设。€（0,兀）,

r,2+2cos6sin6)(sin8、

则Q［一Lgpell+cos6>,^-I,

♦.eo.ee

sin。12sin—cos—1sin—cos—

l_____2__l_2__2

所以tan/QAA=21sin。=x=x

=—x---------23+2COS2--1212®

1+cos0+223+cos01+cos—

22

X------------7^-----------....—=—X----------声——="X---------------------—

.2®S2。2,2no2,笃2

sin--Fzcos—tan—+2tan—H------

2222…

11,111V2

28

由于tang>0,所以由基本不等式可得2tang+:2|tan-x-

22.血5V9tan56

0202tan

当且仅当tan彳=--,tan彳=忘,tan6=-------%=-20时等号成立.

2tan221an"

22

【点睛】在椭圆中，求解最值有关问题，如线段长度、面积、角度等量的最值，可考虑先求

得其表达式，然后根据表达式的结构选取合适的求最值的方法来进行求解，如本题中，利用

三角换元，然后结合基本不等式来求.还可以考虑二次函数的性质、函数的单调性等知识来

进行求解.

17.(l)A-y-l=0

⑵y=2尤一1

【分析】（1）求得的坐标，进而求得直线DE的方程并转化为一般式方程.

（2）求得垂直平分线的斜率，进而求得其斜截式方程.

【详解】（1）由于，E分别是的中点，所以£＞（0,—l）,E（l,0）,

所以矶=1，直线DE的方程为＞=xT,即x-y-l=0.

（2）k=_2＞所以边AB的垂直平分线的斜率为2,

AB2_^_2p

所以边AB的垂直平分线的斜截式方程为y=2尤-1.

⑵证明详见解析

【分析】（1）根据空间向量的线性运算求得正确答案.

(2)通过证明OE.AB=0来证得结论成立.

【详解】(1)连接0。，贝IJOE=LOC+LOD=4OC+LXLX(OA+OB

-171

=-OA+-OB+-OC=-a+—b+—c

442442

⑵AB^OB-OA=b-a，

所以OE.A8=L+L-

,144

1,1,-211211

=—a'b+—b+-b-c——(d—a•b—ci,c

442442

121-1-21

=—b+—b'C——a——a•c

4242

117111八

=—+—xcos-------xcc)s—71=0,

423423

所以

19.(l)x2+y2-4x-l=0

⑵0

【分析】（1）通过求圆心和半径来求得圆的标准方程，再转化为一般方程.

（2）先求得公共弦所在直线方程，再结合点到直线的距离公式以及勾股定理求得公共弦长.

【详解】（1）设由|,「=忸回2得〃+12=（。-3）2+22,解得0=2,则“（2,0）,

|4〃「=储+1=5,所以圆加的标准方程为（x-2）2+yJ5,半径为百，

所以圆”的一般方程为/+12_©-1=0.

（2）圆d+/-4y+3=0即d+（y-2）2=l,圆心为（0,2）,半径为1,

（2,0）,（0,2）两点的距离为2a,而拜1<2瓜国1,所以两圆相交，

由犬+9-4x-l=0、x?+y2-4y+3=0,

两式相减并化简得x-y+i=o,

M（2,0）到直线X-y+1=0的距离为2%"=A,

所以公共弦长为29万

20.(1)—+/=1

(2)证明详见解析

【分析】（1）根据已知条件求得"c,从而求得椭圆C的方程.

（2）设出直线/的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，根据直线A氏AC求得

两点的横坐标，进而计算出线段MN的中点为定点.

cA/3

a2

【详解】（1）依题意，解得a=2/=l,c=石，

a2=b2+c2

所以椭圆。的方程为上+丁=1.

4

（2）依题意，过点P（2,l）的直线/与椭圆C相交于两个不同的点

画出图象如下图所示，由图可知直线/的斜率上存在，且左＞0,

设直线/的方程为y_l=%（x_2）,y=笈（x_2）+l,

y=A:(x-2)+l

由X22।7肖去y并化简得（1+442）了2+（8左一1642）工+1642—16人=。

——+y=1

14'

A=(8左一16%2y_4(1+4Z?)(16/_16左)=64左>0,

设3（4另）,C（孙力），则占+々=塔泮，演马=呼二肾,

1।4/C1।4/C

而4（0,1）,所以直线AB的方程为y="^x+l,令k0,解得与=占,

X]1%

同理可求得/=产，

1-%

则…告六=币在时百启洞

_xx+x2_1X"1+"2

左（2—%,）左（2—％）k（2—玉2—x2?

1%（2—%2）+%2（2—玉）2（玉+%2）—玉％2

k（2—%）（2—%）k4—2（%j+x2）+x1x2

f16k2-Sky_16——16%8k

2x、11+4公厂1+4公=2,二!^

I（16^-8^^16公-16k14

一11+4公广1+4左2]+46

所以线段MN的中点为定点（2,0）.

【点睛】要求椭