动点综合问题-2年中考1年模拟2024年中考数学系列（原卷版）

备战2018中考系列：剧考2耳中老1耳模也

第七篇专题复习篇

专题36动点综合问题

b斛维得点

矢口识点名师点晴

动点问等腰三角形与直角三角形

利用等腰三角形或直角三角形的特殊性质求解动点问题

题中的

特殊图

形相似问题利用相似三角形的对应边成比例、对应角相等求解动点问题

动点问动点问题的最值与定值问题理解最值或定值问题的求法

题中的

计算问动点问题的面积问题结合面积的计算方法来解决动点问题

题

动点问

题的函

一次函数或二次函数的图象结合函数的图象解决动点问题

数图象

问题

b2年中分

[2017年题组】

一、选择题

1.(2017山东省日照市)如图，/BAC=60°,点。从A点出发，以2机/s的速度沿/BAC的角平分线向右

运动，在运动过程中，以O为圆心的圆始终保持与NBAC的两边相切，设。O的面积为S(az?),则。。

的面积S与圆心。运动的时间t(s)的函数图象大致为()

5

,AB=lOcm,BC=8cm,点P从点A沿AC向点C

以1cm/s的速度运动，同时点。从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点。运动到点B停止），在运

动过程中，四边形以3。的面积最小值为（）

A.19cm2B.16c,/C.15c/??2D.12c/??2

二、填空题

3.（2017四川省内江市）如图，已知直线八〃/2,/卜/2之间的距离为8,点P到直线的距离为6,点Q

到直线h的距离为4,PQ=4^/30,在直线Zi上有一动点A,直线h上有一动点B,满足ABLh,且PA+AB+BQ

最小，此时必+8。=

O

4.（2017四川省达州市）甲、乙两动点分别从线段的两端点同时出发，甲从点A出发，向终点B运动,

乙从点B出发，向终点A运动.已知线段A8长为90cm甲的速度为2.5cm/s.设运动时间为无（s）,甲、

乙两点之间的距离为y（cm）,y与尤的函数图象如图所示，则图中线段DE所表示的函数关系式

为.（并写出自变量取值范围）

5.（2017山东省东营市）如图，已知菱形ABC。的周长为16,面积为8石，E为AB的中点，若P为对角

线8。上一动点，则EP+AP的最小值为.

6.（2017山东省威海市）如图，△ABC为等边三角形，AB=2.若尸为AABC内一动点，且满足

ACP,则线段长度的最小值为.

7.（2017甘肃省兰州市）如图，在平面直角坐标系尤0y中，见BC。的顶点A,8的坐标分别是A（3,0）,

B（0,2）..动点尸在直线y二三1上运动，以点尸为圆心，尸3长为半径的。尸随点尸运动，当。尸与以5co

2

的边相切时，尸点的坐标为.

8.（2017甘肃省天水市）如图所示，正方形ABC。的边长为4,E是边BC上的一点，且BE=1,尸是对角

线AC上的一动点，连接P8、PE,当点P在AC上运动时，△P8E周长的最小值是.

9.（2017贵州省贵阳市）如图，在矩形纸片ABCZ）中，AB=2,4。=3,点E是AB的中点，点厂是边上

的一个动点，将沿跖所在直线翻折，得到EF,贝UA'C的长的最小值是.

10.（2017辽宁省葫芦岛市）如图，点A（0,8）,点8（4,0）,连接A3,点M,N分别是的中

点，在射线MN上有一动点尸.若△A8P是直角三角形，则点P的坐标是.

11.（2017黑龙江省龙东地区）如图，在△ABC中，AB=BC=8,4。=30,点M是射线CO上的一个动点,

ZAOC=60°,则当△ABM为直角三角形时，AM的长为

o

B

M

12.（2017四川省攀枝花市）如图1,E为矩形ABC。的边AD上一点，点P从点B出发沿折线BE-EZADC运动到

点C停止，点。从点8出发沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是lcm/s.若点尸、点。同时开始运动，设

运动时间为，（s）,△8PQ的面积为y（CH?）,已知y与/之间的函数图象如图2所示.

2

给出下列结论：①当0<rW10时，△8PQ是等腰三角形；®SMBE=^cm；③当14<r<22时，y=110-5f；

④在运动过程中，使得△ABP是等腰三角形的尸点一共有3个；⑤△8P。与△A2E相似时，尸14.5.

其中正确结论的序号是.

13.（2017四川省遂宁市）如图，正方形ABC。的边长为4,点E、尸分别从点A、点。以相同速度同时出

发，点E从点A向点。运动，点尸从点。向点C运动，点E运动到。点时，E、尸停止运动.连接BE、

AF相交于点G,连接CG.有下列结论：①AFLBE；②点G随着点E、尸的运动而运动，且点G的运动路

径的长度为万；③线段0G的最小值为2君一2；④当线段。G最小时，ABCG的面积S=8+|逐.其中

三、解答题

14.（2017内蒙古呼和浩特市）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=+6x+C与y轴交于点C,其顶

点记为M,自变量x=-1和尸5对应的函数值相等.若点M在直线/：y=-12x+16上，点（3,-4）在抛

物线上.

（1）求该抛物线的解析式；

,7

（2）设y=or+6x+c对称轴右侧无轴上方的图象上任一点为P,在x轴上有一点A（--,0）,试比较

锐角/PC。与NAC。的大小（不必证明），并写出相应的尸点横坐标x的取值范围.

（3）直线/与抛物线另一交点记为8,。为线段上一动点（点。不与M重合），设。点坐标为（3n）,

过。作轴于点将以点。，H,O,C为顶点的四边形的面积S表示为，的函数，标出自变量f的

取值范围，并求出S可能取得的最大值.

15.（2017北京市）在等腰直角△ABC中，ZACB=90°,P是线段BC上一动点（与点8、C不重合），连

接AP,延长2C至点Q,使得CQ=CP,过点。作QHLAP于点X,交AB于点

（1）若NB4C=a,求乙4MQ的大小（用含a的式子表示）.

（2）用等式表示线段M2与PQ之间的数量关系，并证明.

16.（2017吉林省）如图，在放△ABC中，ZACB=90°,ZA=45a,AB=4cm.点尸从点A出发，以2a〃/s

的速度沿边AB向终点B运动.过点P作PQLAB交折线ACB于点。，〃为PQ中点，以。。为边向右侧

作正方形。EFQ.设正方形QEF。与△ABC重叠部分图形的面积是y（c/）,点尸的运动时间为x（s）.

（1）当点。在边AC上时，正方形DEFQ的边长为cm（用含x的代数式表示）；

（2）当点尸不与点B重合时，求点尸落在边BC上时x的值；

（3）当0<x<2时，求y关于x的函数解析式；

（4）直接写出边BC的中点落在正方形Z5EFQ内部时x的取值范围.

17.（2017四川省乐山市）如图1,抛物线G：>=%2+（7%与。2：y=-X2+6x相交于点。、C,G与

分别交X轴于点8、A,且8为线段A。的中点.

（1）求色的值；

b

（2）若。C_LAC,求△OAC的面积；

（3）抛物线C2的对称轴为/,顶点为在（2）的条件下：

①点尸为抛物线C2对称轴/上一动点，当△B4C的周长最小时，求点尸的坐标；

②如图2,点E在抛物线C2上点。与点M之间运动，四边形02CE的面积是否存在最大值？若存在，求

出面积的最大值和点E的坐标；若不存在，请说明理由.

18.（2017四川省内江市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ox2+fox+c（a#0）与y轴交与点C

（0,3）,与x轴交于A、8两点，点B坐标为（4,0）,抛物线的对称轴方程为x=l.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M从A点出发，在线段4B上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从2点出发，在

线段8c上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设4

的面积为S,点M运动时间为K试求S与t的函数关系，并求S的最大值；

（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻3使为直角三角形？若存在，求出，值；若不存在，

请说明理由.

19.（2017四川省凉山州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线丁=。必+6%+。（aWO）与无轴交于A、B

两点，与y轴交于点C,且。4=2,。8=8,OC=6.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点/从A点出发，在线段上以每秒3个单位长度的速度向8点运动，同时，点N从8出发，在

线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当

△AffiN存在时，求运动多少秒使的面积最大，最大面积是多少？

（3）在（2）的条件下，面积最大时，在BC上方的抛物线上是否存在点尸，使的面积是4

面积的9倍？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.

20.（2017四川省绵阳市）如图，已知△A8C中，/C=90°,点M从点C出发沿CB方向以lc7w/s的速度

匀速运动,到达点B停止运动，在点M的运动过程中，过点M作直线MN交AC于点N,且保持NNMC=45°,

再过点N作AC的垂线交AB于点F,连接MF,将关于直线NF对称后得到△ENF,已知AC=Scm,

BC=4cm,设点M运动时间为，（s）,尸与△ANF重叠部分的面积为y（e层）.

（1）在点〃的运动过程中，能否使得四边形为正方形？如果能，求出相应的f值；如果不能，说明

理由；

（2）求y关于f的函数解析式及相应f的取值范围；

（3）当y取最大值时，求s讥NNEF的值.

21.（2017四川省达州市）如图1,点A坐标为（2,0）,以。4为边在第一象限内作等边△048,点C为x

轴上一动点，且在点A右侧，连接8C,以BC为边在第一象限内作等边△BCD,连接交于E.

（1）①直接回答：△OBC与△A3。全等吗？

②试说明：无论点C如何移动，始终与。8平行；

（2）当点C运动到使时，如图2,经过。、B、C三点的抛物线为试问：yi上是否存在动

点P,使为直角三角形且8E为直角边？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由；

（3）在（2）的条件下，将yi沿龙轴翻折得”，设?与以组成的图形为M,函数>=耳+岛的图象/

与M有公共点.试写出：/与〃的公共点为3个时，机的取值.

22.（2017天津）将一个直角三角形纸片A3。放置在平面直角坐标系中，点A（6,0）,点2（0,1）,

点。（0,0）.尸是边AB上的一点（点P不与点A,B重合），沿着OP折叠该纸片，得点A的对应点A'.

（1）如图①，当点A'在第一象限，且满足A3L03时，求点A的坐标；

（2）如图②，当尸为AB中点时，求A'8的长；

（3）当N2E4'=30’时，求点尸的坐标（直接写出结果即可）.

23.（2017德州）如图1,在矩形纸片ABC。中，AB=3cm,AD=5cm,折叠纸片使2点落在边上的E1处,

折痕为P。，过点E作E尸〃AB交尸。于F,连接

（1）求证：四边形BPE尸为菱形；

（2）当点石在A。边上移动时，折痕的端点P、。也随之移动；

①当点0与点C重合时（如图2）,求菱形BPEP的边长；

②若限定P、。分别在边区4、BC上移动，求出点E在边AO上移动的最大距离.

24.（2017山东省潍坊市）如图1,抛物线丁=。/+公+。经过平行四边形A8CD的顶点A（0,3）、8（-

1,0）、D（2,3）,抛物线与x轴的另一交点为E.经过点E的直线/将平行四边形A8CD分割为面积相等

两部分，与抛物线交于另一点R点P在直线/上方抛物线上一动点，设点尸的横坐标为

（1）求抛物线的解析式；

（2）当"可值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；

（3）是否存在点尸使△RLE为直角三角形？若存在，求出r的值；若不存在，说明理由.

25.（2017山东省烟台市）如图1,抛物线丁=以2+法+2与无轴交于A,8两点，与y轴交于点C,48=4,

矩形OBDC的边CD=1,延长0c交抛物线于点E.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2,点P是直.线E。上方抛物线上的一个动点，过点尸作y轴的平行线交直线E。于点G,作PH

LEO,垂足为X.设/W的长为/,点尸的横坐标为相，求/与根的函数关系式（不必写出机的取值范围），

并求出/的最大值；

（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点使得以A,C,N为顶点的四边形

是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点〃的坐标；若不存在，请说明理由.

26.（2017山东省聊城市）如图，已知抛物线丁=以2+2》+。与>轴交于点A（0,6）,与x轴交于点2（6,

0）,点尸是线段AB上方抛物线上的一个动点.

（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；

（2）当点尸移动到抛物线的什么位置时，使得/E4B=75°,求出此时点尸的坐标；

（3）当点尸从A点出发沿线段A3上方的抛物线向终点8移动，在移动中，点尸的横坐标以每秒1个单位

长度的速度变动，与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿A。向终点。移动，点P,M移动到各自终

点时停止，当两个移点移动t秒时，求四边形的面积S关于f的函数表达式，并求f为何值时，S有

最大值，最大值是多少？

[2016年题组】

一、选择题

1.（2016山东省泰安市）如图，正AABC的边长为4,点P为8c边上的任意一点（不与点8、C重合）,

且NAPD=60°,尸。交AB于点。.设BPF,BD=y,则y关于x的函数图象大致是（）

2.（2016山东省烟台市）如图，。。的半径为1,AD,8C是。。的两条互相垂直的直径，点尸从点。出

发（尸点与。点不重合），沿O-C-D的路线运动，设AP=x,s加/射出》那么y与x之间的关系图象大

致是（）

3.（2016广东省）如图，在正方形A8CD中，点尸从点A出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则

△APC的面积y与点P运动的路程尤之间形成的函数关系图象大致是（）

4.（2016湖北省荆州市）如图，过。。外一点尸引。。的两条切线B4、PB,切点分别是A、B,0P交。。

于点C,点。是优弧ABC上不与点A、点C重合的一个动点，连接A。、CD,若NAPB=80°,贝

的度数是（）

A.15°B.20°C.25°D.30°

3

5.（2016青海省西宁市）如图，在△ABC中，ZB=90°,tcm/C=—，AB=Gcm.动点尸从点A开始沿边

向点8以Icm/s的速度移动，动点。从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.若尸，Q两点分

别从A,B两点同时出发，在运动过程中，△依。的最大面积是（）

A

A.18cm2B.12cm2C.9cm2D.3cm2

二、填空题

6.(2016四川省泸州市)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(l,0),B(1-a,0),C(\+a,

0)(a>0),点尸在以0(4,4)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足/8PC=90°,

则a的最大值是.

7.(2016江苏省苏州市)如图，在平面直角坐标系中，已知点A、8的坐标分别为(8,0)、(0,273),

C是AB的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为。，动点尸从点。出发，沿。。向点C匀速运动，过点P

作无轴的垂线，垂足为E,连接BP、EC.当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，点P的坐标

为____________

8.(2016江苏省镇江市)如图1,。。的直径AB=4厘米，点C在。。上，设/ABC的度数为x(单位：度,

0<x<90),优弧ABC的弧长与劣弧AC的弧长的差设为y(单位：厘米)，图2表示y与尤的函数关系,

则a=度.

9.（2016浙江省舟山市）如图，在直角坐标系中，点A,8分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（-1,0）,

ZABO=30°,线段PQ的端点P从点O出发，沿△QBA的边按0-8-4-。运动一周，同时另一端点Q

随之在x轴的非负半轴上运动，如果尸0=若，那么当点P运动一周时，点。运动的总路程为.

10.（2016辽宁省沈阳市）如图，在放ZVIBC中，ZA=90°,AB^AC,BC=2Q,是△ABC的中位线，

点M是边BC上一点,BM=3,点N是线段MC上的一个动点，连接ON,M.E,ON与ME相交于点O.若

△0MN是直角三角形，则。。的长是.

三、解答题

11.（2016四川省攀枝花市）如图，抛物线yuf+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3,0）,

与y轴交于点C（0,-3）

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形

ABPC的最大面积.

（3）直线/经过A、C两点，点。在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线机经过点B和点。是否存

在直线相，使得直线/、机与x轴围成的三角形和直线/、机与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线机

的解析式，若不存在，请说明理由.

12.（2016四川省眉山市）己知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点，

且OA=1,08=3,0c=4.

（1）求经过A、3、.C三点的抛物线的解析式；

（2）在平面直角坐标系尤0y中是否存在一点P,使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，

请求出点尸的坐标；.若不存在，请说明理由；

（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当的最大值时点M的坐标，并直

接写出的最大值.

13.（2016四川省雅安市）已知放△ABC中，ZB=90°,AO20,A8=10,P是边AC上一点（不包括端点

A、C）,过点尸作PELBC于点E,过点E作E/〃AC,交AB于点?设PC=x,PE=y.

（1）求y与尤的函数关系式；

（2）是否存在点尸使△2所是放△?若存在，求此时的x的值；若不存在，请说明理由.

14.（2016山东省枣庄市）如图，把放置在菱形ABC。中，使得顶点E,E,尸分别在线段AB,AD,

AC上，已知EP=FP=6,EF=6^3,ZBAD=60°,MAB>6A/3.

(1)求NEPP的大小；

(2)若AP=10,求AE+AF的值；

(3)若的三个顶点E、F、尸分别在线段A2、AD,AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小

值.

15.(2016山东省枣庄市)如图，已知抛物线y=G2+6x+cQW0)的对称轴为直线x=-1,且抛物线

经过A(1,0),C(0,3)两点，与x轴交于点艮

(1)若直线广妙+w经过8、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴x=-1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点〃的

坐标；

(3)设点尸为抛物线的对称轴产-1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.

16.(2016山东省青岛市)已知：如图，在矩形A8CD中，Ab=6cm,BC=8cm,对角线AC,8。交于点0.点

产从点A出发，沿方向匀速运动，速度为lc〃z/s；同时，点。从点。出发，沿。C方向匀速运动，速度为

lcm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动.连接PO并延长，交BC于点E,过点。作QP〃AC,

交BD于点F.设运动时间为f(s)(0<t<6),解答下列问题：

(1)当r为何值时，△AOP是等腰三角形？

(2)设五边形OECQP的面积为S(CM?),试确定S与f的函数关系式；

(3)在运动过程中，是否存在某一时刻3使S五边形S五边形OECOF：SAACD=9：16?若存在，求出，的值；

若不存在，请说明理由；

(4)在运动过程中，是否存在某一时刻f,使。。平分/COP?若存在，求出，的值；若不存在，请说明理

由.

17.(2016广东省梅州市)如图，在•△ABC中，ZACB=9O°,AC=5cm,ZBAC=60°,动点M从点8出

发，在边上以每秒2c7W的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在C8边上以每秒返aw的

速度向点8匀速运动，设运动时间为f秒(0W/W5),连接MN.

(1)若BM=BN,求f的值；

(2)若△M8N与△A8C相似，求r的值；

(3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值.

18.(2016广西南宁市)如图，已知抛物线经过原点O,顶点为A(1,1),且与直线y=x-2交于8,C

两点.

(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；

(2)求证：△ABC是直角三角形；

(3)若点N为x轴上的一个动点，过点"作政7_1了轴与抛物线交于点则是否存在以O,M,N为顶

点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

19.（2016广西梧州市）如图，抛物线y=以2+bx-4（aWO）与无轴交于A（4,0）、B（-1,0）两点，

过点A的直线y=-x+4交抛物线于点C.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）在直线AC上有一动点E,当点E在某个位置时，使的周长最小，求此时E点坐标；

（3）当动点E在直线AC与抛物线围成的封闭线A-C-8-O-A上运动时，是否存在使为直角三

角形的情况，若存在，请直接写出符合要求的E点的坐标；若不存在，请说明理由.

20.（2016广西贵港市）如图，抛物线y=a%2+6X—5QHO）与x轴交于点A（-5,0）和点B（3,0）,

与y轴交于点C.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点E为x轴下方抛物线上的一动点，当SAABASAABC时，求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P,使NBAP=/CAE?若存在，求出点P的横坐标；若不存

在，请说明理由.

21.（2016广西贺州市）如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（10,8）,沿直

线。。折叠矩形，使点A正好落在2C上的E处，E点坐标为（6,8）,抛物线丁=以2+法+。经过0、4、

E三点.

（1）求此抛物线的解析式;

(2)求A£)的长；

(3)点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PA。的周长最小时，求点P的坐标.

22.(2016云南省昆明市)如图1,对称轴为直线x=L的抛物线经过8(2,0)、C(0,4)两点，抛物线

2

与x轴的另一交点为A.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点尸为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S,求S的最大值；

(3)如图2,若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点。,使为等腰三角形且

23.(2016四川省凉山州)如图，已知抛物线丁=0?+。犬+。(a=0)经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,

-3)三点，直线/是抛物线的对称轴.

(1)求抛物线的函数关系式；

(2)设点P是直线1上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；

(3)点M也是直线/上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标.

24.(2016江苏省常州市)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x与二次函数y=f+6x的图象

相交于。、A两点，点A(3,3),点M为抛物线的顶点.

(1)求二次函数的表达式；

(2)长度为20的线段尸。在线段04(不包括端点)上滑动，分别过点P、0作无轴的垂线交抛物线于

点尸1、Qi,求四边形尸面积的最大值；

(3)直线0A上是否存在点E,使得点E关于直线MA的对称点F满足&A。产SAAOM?若存在，求出点E

的坐标；若不存在，请说明理由.

25.(2016江苏省徐州市)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=o?+6x+c的图象经过点A(-1,

0),B(0,-V3),C(2,0),其对称轴与无轴交于点D

(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标；

(2)若P为y轴上的一个动点，连接PZ),则;P2+P。的最小值为;

(3)M(x,/)为抛物线对称轴上一动点.

①若平面内存在点M使得以A,B,M,N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有个；

②连接MA,MB,若不小于60°,求f的取值范围.

26.(2016浙江省宁波市)如图，已知抛物线y=-/+7nx+3与x轴交于A,8两点，与y轴交于点C,

点8的坐标为(3,0)

(1)求机的值及抛物线的顶点坐标.

(2)点P是抛物线对称轴/上的一个动点，当出+PC的值最小时，求点尸的坐标.

27.(2016浙江省湖州市)如图，己知二次函数y=+6x+c(b,c为常数)的图象经过点A(3,1),

点C(0,4),顶点为点Af,过点A作A8〃x轴，交y轴于点。，交该二次函数图象于点2,连结5c.

(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标；

(2)若将该二次函数图象向下平移机(m>0)个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的

内部(不包括△ABC的边界)，求相的取值范围；

(3)点尸是直线AC上的动点，若点P,点C,点M所构成的三角形与相似，请直接写出所有点尸

的坐标(直接写出结果，不必写解答过程).

28.（2016贵州省遵义市）如图，ZXABC中，ZBAC=120°,AB=AC=6.尸是底边上的一个动点（P与

B、C不重合），以P为圆心，P8为半径的。尸与射线BA交于点。，射线PD交射线CA于点E.

（1）若点E在线段CA的延长线上，设BP=x,AE=y,求y关于尤的函数关系式，并写出x的取值范围.

（2）当8尸=26时，试说明射线C4与。尸是否相切.

（3）连接以，若SAAPF^SAABC，求8尸的长.

29.（2016湖北省荆门市）如图，直线y=—百x+26与无轴，y轴分别交于点A,点、B,两动点。，E分

别从点A,点2同时出发向点。运动（运动到点。停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和百个单位

长度/秒，设运动时间为f秒，以点A为顶点的抛物线经过点£,过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一

个交点为点G,与AB相交于点?

（1）求点A,点B的坐标；

（2）用含f的代数式分别表示EF和AF的长；

（3）当四边形AOEF为菱形时，试判断△人■?与AAGB是否相似，并说明理由.

（4）是否存在f的值，使△AGP为直角三角形？若存在，求出这时抛物线的解析式；若不存在，请说明理

由.

30.（2016湖南省娄底市）如图，抛物线y=<z?+6x+c（°、氏c为常数，°W0）经过点A（-1,0）,B

（5,-6）,C（6,0）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，在直线A8下方的抛物线上是否存在点尸使四边形出的面积最大？若存在，请求出点P的

坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点。为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出△QAB为等腰三角形的点Q一共有几个？并请求出

其中某一个点。的坐标.

31.（2016辽宁省大连市）如图1,ZkABC中，ZC=90°,线段DE在射线BC上，且。E=AC,线段。E

沿射线BC运动，开始时，点。与点8重合，点。到达点C时运动停止，过点。作。尸=£>8,与射线8A相

交于点R过点E作2C的垂线，与射线8A相交于点G.设四边形。EGP与△ABC重叠部分的面

积为S,S关于x的函数图象如图2所示（其中OCxWni,根，加〈尤W3时，函数的解析式不同）.

（1）填空：BC的长是；

（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围.

2

32.（2016辽宁省抚顺市）如图，抛物线y=-一/+bx+c经过点A（-3,0）,点C（0,4）,作C£）〃x

9

轴交抛物线于点作。轴，垂足为E,动点M从点E出发在线段EA上以每秒2个单位长度的速度

向点A运动，同时动点N从点A出发在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当一个点到达

终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为r秒.

（1）求抛物线的解析式；

（2）设△OVW的面积为S,求S与f的函数关系式；

（3）①当时，直接写出f的值；

②在点/和点N运动过程中，是否存在某一时刻，使MVLA。？若存在，直接写出此时f的值；若不存在,

请说明理由.

33.（2016辽宁省沈阳市）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴和

尤轴的正半轴上，008,OE=17,抛物线,=三必-3x+机与y轴相交于点A,抛物线的对称轴与x轴相

交于点B,与。交于点K.

（1）将矩形0CDE沿AB折叠，点0恰好落在边CD上的点F处.

①点8的坐标为（、）,BK的长是,CK的长是；

②求点尸的坐标；

③请直接写出抛物线的函数表达式；

（2）将矩形0CDE沿着经过点E的直线折叠，点。恰好落在边CD上的点G处，连接OG,折痕与OG相

交于点H,点M是线段EH上的一个动点（不与点H重合），连接MG,MO,过点G作GPLOM于点尸,

交EH于点、N,连接0N,点M从点E开始沿线段向点X运动，至与点N重合时停止，AMOG和△NOG

的面积分别表示为Si和S2,在点〃的运动过程中，5152（即S1与S2的积）的值是否发生变化？若变化，请

直接写出变化范围；若不变，请直接写出这个值.

温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答.

1,

34.（2016辽宁省葫芦岛市）如图，抛物线丁=-5/+历;+。与x轴交于点A,点8,与y轴交于点C,

点B坐标为（6,0）,点C坐标为（0,6）,点。是抛物线的顶点，过点。作x轴的垂线，垂足为E,连接

BD.

（1）求抛物线的解析式及点。的坐标；

（2）点尸是抛物线上的动点，当/尸时，求点尸的坐标；

（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作脑V〃尤轴与抛物线交于点N,点P在无轴上，点。在平面内，

以线段为对角线作正方形MPNQ,请直接写出点。的坐标.

4。

35.（2016青海省）如图1（注：与图2完全相同），二次函数+c的图象与无轴交于A（3,0）,

8（-1,0）两点,与y轴交于点C.

（1）求该二次函数的解析式；

（2）设该抛物线的顶点为。，求△AC。的面积（请在图1中探索）；

（3）若点尸，0同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB,AC边运动，其中一点到达端

点时，另一点也随之停止运动，当尸，。运动到/秒时，△AP。沿P。所在的直线翻折，点A恰好落在抛物

线上E点处，请直接判定此时四边形APE。的形状，并求出E点坐标（请在图2中探索）.

36.（2016黑龙江省哈尔滨市）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线丁=。必+2。》+。经过

A（-4,0）,B（0,4）两点，与无轴交于另一点C,直线y=x+5与x轴交于点。，与y轴交于点E.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是第二象限抛物线上的一个动点，连接EP,过点E作EP的垂线I,在I上截取线段EF,使EF=EP,

且点尸在第一象限，过点P作FMLx轴于点设点P的横坐标为3线段-W的长度为d,求d与f之间

的函数关系式（不要求写出自变量/的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，过点E作交的延长线于点H,连接。H,点G为。”的中点，当直

线PG经过AC的中点。时，求点尸的坐标.

b号直为的

归纳1:动点中的特殊图形

基础知识归纳：等腰三角形的两腰相等，直角三角形的两直角边的平方和等于斜边一的平方,

平行四边形的对边平行且相等，矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直

基本方法归纳：动点问题常与等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形等特殊图形

相结合，解决此类问题要灵活运用这些图形的特殊性质

注意问题归纳：注意区分等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形的性质.

【例1】（2017山东省东营市）如图，在等腰三角形ABC中，ZBAC=12Q°,AB=4>2,点。是2C边上

的一个动点（不与8、C重合），在AC上取一点E,使.

（1）求证：AABDsADCE；

（2）设BQ=x,AE=y,求y关于x的函数关系式并写出自变量尤的取值范围；

（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长.

归纳2:动点问题中的计算问题

基础知识归纳：动点问题的计算常常涉及到线段和的最小值、三角形周长的最小值、面积的最

大值、线段或面积的定值等问题.

基本方法归纳：线段和的最小值通常利用轴对称的性质来解答，面积采用割补法或面积公式，

通常与二次函数、相似等内容.

注意问题归纳：在计算动点问题的过程中，要注意与相似、锐角三角函数、对称、二次函数等

内容的结合.

【例2】如图，在△AOB中，ZAOB为直角，04=6,。8=8,半径为2的动圆圆心Q从点0出发，沿着

0A方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度/秒

的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0<fW5）以尸为圆心，PA长为半径的。尸与A3、的另一个交点

分别为C、D,连结CD、QC.

（1）当/为何值时，点。与点。重合？

（2）当。。经过点A时，求。尸被OB截得的弦长.

（3）若。尸与线段QC只有一个公共点，求f的取值范围.

归纳3:动点问题的图象

基础知识归纳：动点问题经常与一次函数、反比例函数和二次函数的图象相结合.

基本方法归纳：一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，二次函数的图象是

抛物线.

注意问题归纳：动点函数的图象问题可以借助于相似、特殊图形的性质求出函数的图象解析式，

同时也可以观察图象的变化趋势.

【例31(2017甘肃省天水市)如图，在等腰△ABC中,A8=AC=4c〃z,ZB=30°,点P从点B出发，以6cm/s

的速度沿2C方向运动到点C停止，同时点。从点2出发，以lcm/s的速度沿54-AC方向运动到点C停

止，若△8尸。的面积为y(cm2),运动时间为x(s),则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是()

bl年横扭

一、选择题

1.如图，点尸在直线AB上方，且乙4PB=90°,PCLABC,若线段AB=6,AC=x,S△取e=y,则y与x

的函数关系图象大致是（）

2.已知抛物线y=（x2+l具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点/（0,2）的距离与到x轴的距离始

终相等，如图，点"的坐标为（6,3）,P是抛物线y=；x2+l上一个动点，则周长的最小值是

3.如图，在菱形ABC。中，ZABC=60°,AB=4,点E是AB边上的动点，过点8作直线CE的垂线，垂

足为尸，当点E从点A运动到点8时，点P的运动路径长为（）

，D

E