2024年连云港市海州中学高二数学3月调研考试卷附答案解析

年连云港市海州中学高二数学3月调研考试卷（试卷满分150分，考试用时120分钟）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，则平面与的位置关系是（

）A．平行 B．相交且不垂直 C．相交且垂直 D．不确定2．已知空间直角坐标系中，1，、，点C满足，则C的坐标为A． B． C． D．3．现有3位游客来黄山旅游，分别从4个景点中任选一处游览，不同选法的种数是（

）A． B． C．24 D．124．在下列条件中，使与，，一定共面的是（

）A． B．C． D．5．如图，在三棱锥中，点为棱的中点，点在棱上，且满足，设，则（

）A．B．C． D．6．甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“团员知识竞赛”，决出第一名到第五名的名次（无并列名次），已知甲排第三，乙不是第一．据此推测5人的名次排列情况共有（

）种．A．18 B．24 C．14 D．167．如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为A．96 B．84 C．60 D．488．如图，三棱锥各棱的棱长是1，点是棱的中点，点在棱上，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．1二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．对于非零空间向量，，，现给出下列命题，其中为真命题的是（

）A．若，则，的夹角是钝角B．若，，则C．若，则D．若，，，则，，可以作为空间中的一组基底10．已知正方体的棱长为a，，则（

）A． B． C． D．11．身高各不相同的六位同学站成一排照相，则说法正确的是（

）A．A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法B．A与同学不相邻，共有种站法C．A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法D．A不在排头，B不在排尾，共有504种站法12．如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列结论中正确的是（

）A．三棱锥的体积不变 B．平面C． D．平面平面三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．13．已知，，是不共面向量，=2-+3，=-+4-2，=7+5+λ，若，，三个向量共面，则实数λ等于.14．已知，则点到直线的距离为.15．小明在设置银行卡的数字密码时，计划将自己出生日期的后6个数字0，5，0，9，1，9进行某种排列得到密码，如果排列时要求两个9相邻，两个0也相邻，则小明可以设置多少个不同的密码．16．如图所示，在菱形中，，线段，的中点分别为，.现将沿对角线翻折，当二面角的余弦值为时，异面直线与所成角的正弦值是．四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）计算：；（2）若，求正整数.18．已知数列的前n项和为，，．(1)求数列的通项公式；(2)若，数列的前n项和为，求．19．用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？（1）六位奇数；（2）个位数字不是5的六位数；（3）不大于4310的四位偶数.20．如图，在平行四边形中，，四边形为正方形，且平面平面．(1)证明：；(2)求直线到平面的距离；(3)求平面与平面夹角的正弦值．21．如图，在三棱柱中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在平面ABC上的投影为AC的中点D，且．(1)求点C到侧面的距离；(2)在线段上是否存在点E，使得直线DE与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．22．已知椭圆:,直线:过的右焦点.当时,椭圆的长轴长是下顶点到直线的距离的2倍.(Ⅰ)求椭圆的方程.(Ⅱ)设直线与椭圆交于,两点,在轴上是否存在定点,使得当变化时,总有(为坐标原点)?若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由.1．C【解析】利用两个法向量的数量积等于，即可判断两个平面垂直，进而可得正确选项.【详解】因为，所以平面平面，故选：C.2．A【分析】设出点的坐标，代入，利用两个向量相等的概念，求得点的坐标.【详解】设，故，根据得，解得，故，所以选A.【点睛】本小题主要考查空间向量的坐标运算，考查两个向量相等的坐标表示，属于基础题.3．B【分析】利用分步乘法计数原理计算可得.【详解】解：每位游客有4种选择，由分步乘法计数原理知不同选法的种数是.故选：B4．C【分析】根据四点共面的条件对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】与，，一定共面的充要条件是，对于A选项，由于，所以不能得出共面.对于B选项，由于，所以不能得出共面.对于C选项，由于，则为共面向量，所以共面.对于D选项，由得，而，所以不能得出共面.故选：C【点睛】本小题主要考查四点共面的条件，属于基础题.5．A【分析】根据空间向量基本定理结合空间向量的线性运算即可得解.【详解】因为点为棱的中点，，设，所以.故选：A.6．A【分析】根据特殊元素与位置优先处理，先排甲，再排乙，最后在全排，由分步乘法计数原理即可求解.【详解】由题意可知，甲排第三，乙不是第一的方法有.故选：A.7．B【详解】解：分三类：种两种花有种种法；种三种花有2种种法；种四种花有种种法．共有2++=84．故选B8．B【分析】首先在中利用余弦定理求出，然后由空间向量的运算法则可得，变形可得，由二次函数的知识可得答案.【详解】根据题意，在中，，所以所以==则时，取得最小值，则的最小值为.故选：B9．BD【分析】根据空间向量夹角的定义、空间向量数量积的坐标表示公式，结合空间向量数量积的运算性质、空间向量基底的定义逐一判断即可.【详解】A：当，时，显然，因为，所以，的夹角是平角，故本选项命题是假命题；B：因为，所以，因此本选项命题是真命题；C：当，，时，显然，但是，因此本选项命题是假命题；D：假设，，是共面向量，所以有，显然不可能，所以，，不是共面向量，因此，，可以作为空间中的一组基底，所以本选项命题是真命题，故选：BD10．BC【分析】由空间向量数量积运算律对选项逐一判断【详解】如图：对于A，因为，所以，故A错误．对于B，，故B正确．对于C，，故C正确．对于D，，故D错误．故选：BC11．ABD【分析】根据全排列和定序即可判断A；利用插空法即可判断B；利用捆绑法即可判断C；利用间接法即可判断D.【详解】对于A，6个人全排列有种方法，A、C、D全排列有种方法，则A、C、D从左到右按高到矮的排列有种方法，A正确；对于B，先排列除A与C外的4个人，有种方法，4个人排列共有5个空，利用插空法将A和C插入5个空，有种方法，则共有种方法，B正确；对于C，A、C、D必须排在一起且A在C、D中间的排法有2种，将这3人捆绑在一起，与其余3人全排列，有种方法，则共有种方法，C错误；对于D，6个人全排列有种方法，当A在排头时，有种方法，当B在排尾时，有种方法，当A在排头且B在排尾时，有种方法，则A不在排头，B不在排尾的情况共有种，D正确.故选：ABD12．ABD【分析】利用等体积法判断体积不变，A正确；证明平面平面，即知平面，B正确；建立空间直角坐标系，通过空间向量的数量积运算证明C错误D正确即可.【详解】对于A，的面积是定值，，平面，平面，∴平面，故到平面的距离为定值，∴三棱锥的体积是定值，即三棱锥的体积不变，故A正确；对于B，由选项A知，平面，同理平面，而，平面，∴平面平面，平面，平面，故B正确；对于C，以为原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，P在上，故可设，则，，，则不一定为0，和不垂直，故C错误；对于D，设，则，，，，，设平面的法向量，则，取，得，设平面的法向量，则，取，得，.∴平面和平面垂直，故D正确.故选：ABD.13．【分析】利用空间向量共面定理可得，再由向量相等即可求解.【详解】若向量，，共面，则存在x，y∈R，使得，∴2-+3=x(-+4-2)+y(7+5+λ)，∴解得λ=.故答案为：14．##【分析】根据空间向量点到线的距离公式求解即可【详解】因为，，点到直线的距离为：故答案为：15．24【分析】将两个0视为一个元素，将两个9也视为一个元素，共有4个元素进行全排列，即可得答案.【详解】依题意，将两个0视为一个元素，将两个9也视为一个元素，所以共有不同的密码个数是.故答案为：2416．##【分析】由已知可得出即为二面角的平面角.然后用表示出，根据向量数量积的运算律，即可得出的值，然后根据正余弦关系即可得出正弦值.【详解】如图，连结，设.因为是菱形，是的中点，所以，，，所以为等边三角形，所以，同理可得.设异面直线与所成的角为θ，因为，，所以即为二面角的平面角，所以，.又，所以，所以.因为，，所以，，所以，，所以，异面直线与所成角的余弦值，所以，.故答案为：.17．（1）1；（2）8.【分析】（1）（2）按照排列数公式计算即可.【详解】（1）；（2）∵，∴，又，化简得，解得.18．(1)(2)【分析】（1）利用，求出，再利用求出数列的通项公式；（2）将（1）中的代入化简得出数列通项公式，求出数列的前n项和为，再求出，最后利用裂项相消法求解即可.【详解】（1）因为，，所以，，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，所以，①，当时，②，①减②得：，当时，成立，所以．（2）由（1）知，，所以，所以，所以19．（1）288；（2）504；（3）110.【分析】（1）先排个位，再排首位，其余的位任意排，根据分步计数原理；（2）2因为0是特殊元素，分两类，个位数字是0，和不是0；（3）需要分类，不大于4310的四位偶数，即是小于等于4310的偶数，当千位小于4，当百位小于3，当十位小于1时，然后根据分类计数原理可得．【详解】（1）先排个位数，有种，因为0不能在首位，再排首位有种，最后排其它有，根据分步计数原理得，六位奇数有；（2）因为0是特殊元素，分两类，个位数字是0，和不是0，当个位数是0，有，当个位不数是0，有，根据分类计数原理得，个位数字不是5的六位数有；（3）当千位小于4时，有种，当千位是4，百位小于3时，有种，当千位是4，百位是3，十位小于1时，有1种，当千位是4，百位是3，十位是1，个位小于等于0时，有1种，所以不大于4310的四位偶数4有.【点睛】本题主要考查排列与组合及两个基本原理，排列数公式、组合数公式的应用，注意特殊元素和特殊位置，要优先考虑，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题20．(1)证明见解析；(2)；(3).【分析】（1）利用余弦定理计算AC，再证明即可推理作答.（2）以点A为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量计算点C到平面BEF的距离即可求出线面距离.（3）利用（2）中坐标系，用向量数量积计算两平面夹角余弦值，进而求解作答.【详解】（1）在中，，由余弦定理得，，即，有，则，即，由平面平面，平面平面，平面，得平面，又平面，所以.（2）由四边形为正方形，得，由（1）易知两两垂直，以点A为原点，射线AB，AC，AF分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，，，设平面的一个法向量，则，令，得，而，于是得点C到平面的距离，而，平面，平面，则平面，所以线到平面的距离等于点C到平面的距离为.（3）由（2）知，，设平面的一个法向量，则，令，得，设平面BEF与平面ADF夹角为，于是，，所以平面BEF与平面ADF夹角的正弦值为.21．(1)(2)存在，【分析】（1）先由题意证得，，两两垂直，从而建立空间直角坐标系，再求出与平面的一个法向量，利用点到平面的距离公式即可得解；（2）假设存在满足条件的点E，且，从而得到，再利用空间向量线面夹角公式得到关于的方程，进而求得，由此即可求出的长.【详解】（1）因为点在底面ABC上的投影为AC的中点，所以平面ABC，又平面ABC，故，，因为是以AC为斜边的等腰直角三角形，点为AC的中点，故，所以，，两两垂直，故以点为坐标原点，直线，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，.因为是以AC为斜边的等腰直角三角形，，所以，，因为侧面为菱形，所以，又，所以，则，，，，，则，，，设平面的一个法向量为，则，取，则，故，所以点到平面的距离为.（2）假设存在满足条件的点E，则存在，使得，则，因为直线DE与侧面所成角的正弦值为，所以，即，解得，又，故，因此存在满足条件的点，且，即．【点睛】关键点睛：本题第2小问解决的关键是利用空间向量的线性运算求得关于的表达式，