函数y=(12x+4)²(6x+14)³的主要性质及图像示意图

函数y=(12x+4)2(6x+14)3的主要性质及图像示意图主要内容：通过函数的定义域、值域、单调性、凸凹性及极限的性质，并通过函数导数知识求解函数的单调区间和凸凹区间，并简要画出函数y=(12x+4)2(6x+14)3示意图的过程与步骤。※.函数定义域根据函y=(12x+4)2(6x+14)3特征，可知函数自变量x可以取全体实数，即函数的定义域为：（-∞，+∞）※.函数一阶导数：※.函数乘积求导法。∵y=(12x+4)2(6x+14)3，∴y'=24(12x+4)(6x+14)3+(12x+4)2*18*(6x+14)2，=(12x+4)(6x+14)2(144x+336+216x+72),=(12x+4)(6x+14)2(360x+408)※.取对数求导法。∵y=(12x+4)2(6x+14)3，取导数有：∴lny=ln(12x+4)2(6x+14)3,即：lny=2ln(12x+4)+3ln(6x+14),两边同时对x求导：eq\f(y',y)=eq\f(24,12x+4)+eq\f(18,6x+14),y'=y(eq\f(24,12x+4)+eq\f(18,6x+14)),y'=(12x+4)2(6x+14)3(eq\f(24,12x+4)+eq\f(18,6x+14)),y'=(12x+4)(6x+14)2[24(6x+14)+18(12x+4)],y'=(12x+4)(6x+14)2(360x+408).令y'=0，有12x+4=0，360x+408=0，即：x1=-eq\f(1,3)，x2=-eq\f(17,15).(1)当x∈(-∞，-eq\f(17,15))，(-eq\f(1,3),+∞)时，eq\f(dy,dx)>0,此时函数为增函数。(2)当x∈[-eq\f(17,15)，-eq\f(1,3)]时，eq\f(dy,dx)<0,此时函数为减函数。※.函数的凸凹性∵y'=(12x+4)(6x+14)2(360x+408)∴y''=12(6x+14)2(360x+408)+(12x+4)[12(6x+14)(360x+408)+360(6x+14)2]=12(6x+14)2(360x+408)+(12x+4)(6x+14)[12(360x+408)+360(6x+14)]=(6x+14)[12(6x+14)(360x+408)+12(12x+4)(360x+408)+360(12x+4)(6x+14)]=(6x+14){(360x+408)[12(6x+14)+12(12x+4)]+360(12x+4)(6x+14)}=(6x+14)(103680x2+235008x+108288)=2304(6x+14)(45x2+102x+47).令y''=0，则6x+14=0，或45x2+102x+47=0，即：x3=-eq\f(7,3)≈-2.3,x4=eq\f(-17-3\r(6),15)≈-1.62,x5=eq\f(-17+3\r(6),15)≈-0.64,此时函数的凸凹性性及凸凹区间为：(1)当x∈(-∞,-2.33),(-1.62,-0.643)时，y''<0,此时函数y为凸函数。(2)当x∈[-2.33,-1.62],[-0.643,+∞)时，y''>0,此时函数y为凹函数。.函数的极限lim(x→-∞)(12x+4)2(6x+14)3=-∞；lim(x→+∞)(12x+4)2(6x+14)3=+∞；lim(x→0)(12x+4)2(6x+14)3=42*143。.函数的五点图x-7.333-2.33-1.62-1.13-0.643-0.330.1666(12x+4)27056576239.59292.1613.847036(6x+14)3-2700077.342373.241042.417283375y-1905120001853134398144340121500※.函数的示意图y(-1.13,34398)(-1.62,18531)(-0.643,14434)