专题05 解析几何（解答题10种考法）（精练）（原卷版）

专题05解析几何（解答题10种考法）1．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知，分别是椭圆：的右顶点和上顶点，，直线的斜率为.(1)求椭圆的方程；(2)直线，与，轴分别交于点，，与椭圆相交于点，.（i）求的面积与的面积之比；（ⅱ）证明：为定值.2．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为是椭圆的中心，点为其上的一点满足．(1)求椭圆的方程；(2)设定点，过点的直线交椭圆于两点，若在上存在一点，使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，求的范围．3（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）已知椭圆的左、右顶点分别为，长轴长为短轴长的2倍，点在上运动，且面积的最大值为8．(1)求的方程；(2)若直线经过点，交于两点，直线分别交直线于，两点，试问与的面积之比是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．4．（2023·山西大同·统考模拟预测）已知椭圆的离心率为，且直线是抛物线的一条切线．(1)求椭圆的方程；(2)过点的动直线交椭圆于两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过定点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2023·江苏南京·南京市第九中学校考模拟预测）椭圆E的方程为，左、右顶点分别为，，点P为椭圆E上的点，且在第一象限，直线l过点P(1)若直线l分别交x，y轴于C，D两点，若，求的长；(2)若直线l过点，且交椭圆E于另一点Q（异于点A，B），记直线与直线交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，说明理由．6．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，右焦点为，，分别为椭圆的左、右顶点.(1)求椭圆的方程；(2)过点作斜率不为的直线，直线与椭圆交于，两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值；(3)在（2）的条件下，直线与直线交于点，求证：点在定直线上.7．（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知曲线．(1)若曲线C是椭圆，求m的取值范围．(2)设，曲线C与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线与曲线C交于不同的两点M，N．设直线AN与直线BM相交于点G．试问点G是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．8．（2023·河南·襄城高中校联考三模）设双曲线的左、右焦点分别为，，且E的渐近线方程为．(1)求E的方程；(2)过作两条相互垂直的直线和，与E的右支分别交于A，C两点和B，D两点，求四边形ABCD面积的最小值．9．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知双曲线的离心率为，点，分别是其左右焦点，过点的直线交双曲线的右支于P，A两点，点P在第一象限.当直线PA的斜率不存在时，.(1)求双曲线的标准方程.(2)线段交圆于点B，记，，的面积分别为S1，S2，S，求的最小值.10．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为.(1)求的方程；(2)过双曲线的右焦点作互相垂直的两条弦（斜率均存在）、.两条弦的中点分别为、，那么直线是否过定点?若不过定点，请说明原因；若过定点，请求出定点坐标.11．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，A，B分别是C的右、上顶点，且，D是C上一点，周长的最大值为8.(1)求C的方程；(2)C的弦过，直线，分别交直线于M，N两点，P是线段的中点，证明：以为直径的圆过定点.12．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）已知抛物线：，过点作斜率互为相反数的直线，分别交抛物线于及两点．(1)若，求直线的方程；(2)求证：．13．（2023·广东梅州·统考三模）已知双曲线的右焦点，右顶点分别为，，，，点在线段上，且满足，直线的斜率为1，为坐标原点.(1)求双曲线的方程.(2)过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，在轴上是否存在与不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.14．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知椭圆的左顶点为，过右焦点且平行于轴的弦．(1)求的内心坐标；(2)是否存在定点，使过点的直线交于，交于点，且满足？若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．15（2023·广东佛山·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，，为线段上异于的一动点，点满足.(1)求点的轨迹的方程；(2)点是曲线上两点，且在轴上方，满足，求四边形面积的最大值.16．（2023·四川成都·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）设椭圆过点，且左焦点为.(1)求椭圆的方程；(2)内接于椭圆，过点和点的直线与椭圆的另一个交点为点，与交于点，满足，求面积的最大值.17．（2023·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）设椭圆过点，且左焦点为．(1)求椭圆的方程；(2)内接于椭圆，过点和点的直线与椭圆的另一个交点为点，与交于点，满足，证明：面积为定值，并求出该定值．18（2023·河北·统考模拟预测）已知椭圆的左焦点为，过点作直线交于点，.(1)若，求直线的斜率；(2)设，是上异于的点，且，，三点共线，求证：.19．（2023·重庆巴南·统考一模）在平面直角坐标系中，已知点、，的内切圆与直线相切于点，记点M的轨迹为C.(1)求C的方程；(2)设点T在直线上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，连接.若直线的斜率与直线的斜率之和为0，试比较与的大小.20．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知椭圆，，为C的左右焦点.点为椭圆上一点，且.过P作两直线与椭圆C相交于相异的两点A，B，直线PA、PB的倾斜角互补，直线AB与x，y轴正半轴相交.(1)求椭圆C的方程；(2)点M满足，求M的轨迹方程.21．（2023·重庆·统考模拟预测）已知椭圆：的长轴长是短轴长的2倍，直线被椭圆截得的弦长为4．(1)求椭圆的方程；(2)设M，N，P，Q为椭圆上的动点，且四边形MNPQ为菱形，原点О在直线MN上的垂足为点H，求H的轨迹方程．22（2023·海南海口·海南中学校考二模）已知过点的直线与双曲线：的左右两支分别交于、两点.(1)求直线的斜率的取值范围；(2)设点，过点且与直线垂直的直线，与双曲线交于、两点.当直线变化时，恒为一定值，求点的轨迹方程.23．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知双曲线：（，）的离心率为，右顶点到渐近线的距离等于.(1)求双曲线的方程.(2)点，在上，且，直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.24．（2023·福建三明·统考三模）已知是椭圆的右焦点，为坐标原点，为椭圆上任意一点，的最大值为.当时，的面积为.(1)求椭圆的方程；(2)、为椭圆的左、右顶点，点满足，当与、不重合时，射线交椭圆于点，直线、交于点，求的最大值.25．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）中，是边上的点，，且．(1)若，求面积的最大值；(2)若内是否存在点，使得？若存在，求；若不存在，说明理由．26．（2023·河北·校联考三模）已知椭圆，其焦距为，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为6．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点，过点作斜率不为0的直线交椭圆于不同两点，求证：直线与直线所成的较小角相等．27．（2023·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测）阿基米德（公元前287年-公元前212年，古希腊）不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆：的面积为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.过点的直线与椭圆C交于不同的两点A，B.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设椭圆C的左、右顶点分别为P，Q，直线PA与直线交于点F，试证明B，Q，F三点共线.28．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）椭圆的焦距为为椭圆右焦点，.

(1)求椭圆的方程与离心率；(2)设为原点，为椭圆上一点，的中点为.直线与直线交于点，过且平行于的直线与直线交于点.求证：.29．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知椭圆C：经过圆：的圆心，C的左焦点F到圆上的点的距离的最小值为．(1)求C的标准方程．(2)过点F作斜率之积为－1的两条直线，，