新教材同步备课2024春高中数学第6章计数原理6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第2课时两个计数原理的综合应用课件新人教A版选择性必修第三册

第六章计数原理6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第2课时两个计数原理的综合应用学习任务1．进一步理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别．(数学抽象)2．会正确应用这两个计数原理计数．(数学运算)关键能力·合作探究释疑难01类型1组数问题类型2抽取(分配)问题类型3涂色与种植问题【例1】有0，1，2，3，4五个数字．(1)可以排出多少个三位数字的电话号码？[解]

三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125(种)．◆

类型1组数问题(2)可以排成多少个三位数？[解]

三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(种)．(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？[解]

被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12(种)排法；另一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18(种)排法．因而有12＋18＝30(种)排法．即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数．[母题探究]1．(变设问)由本例中的五个数字可以组成多少个无重复数字的四位奇数？[解]

完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1，3中任取一个，有2种方法；第二步定首位，把1，2，3，4中除去用过的一个还有3个可任取一个，有3种方法；第三步、第四步把剩下的包括0在内的还有3个数字，先排百位有3种方法，再排十位有2种方法．由分步乘法计数原理可知共有2×3×3×2＝36(个)．2．(变设问)在本例条件下，能组成多少个能被3整除的无重复数字的四位数？[解]

一个四位数能被3整除，必须各位上数字之和能被3整除，故组成四位数的四个数字只能是0，1，2，3或0，2，3，4两类．所以满足题设的四位数共有3×3×2×1＋3×3×2×1＝36(个)．反思领悟

常见的组数问题及解题原则(1)常见的组数问题：奇数、偶数、整除数、各数位上的数的和或数字间满足某种特殊关系等．(2)常用的解题原则：首先明确题目条件对数字的要求，针对这一要求通过分类、分步进行组数；其次注意特殊数字对各数位上数字的要求，如偶数的个位数字为偶数、两位及其以上的数首位数字不能是0、被3整除的数各数位上的数字之和能被3整除等；最后先分类再分步从特殊数字或特殊位置进行组数．√[跟进训练]1．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为(

)A．24

B．18

C．12

D．6B

[由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种情况)，之后十位(2种情况)，最后百位(2种情况)，共3×2×2＝12(种)；如果是第二种情况偶奇奇：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，故1种情况)，共3×2×1＝6(种)．因此总共有12＋6＝18(种)情况．故选B．]2．用1，2，3，4，5可以排成多少个数字不重复的三位数？[解]

排成一个三位数，可以分为三步：第一步，确定百位上的数字，共有5种方法；第二步，确定十位上的数字，因为数字不能重复，所以不能是百位上已有的数字，共有4种方法；第三步，确定个位上的数字，共有3种方法．依据分步乘法计数原理，可以排成数字不重复的三位数的个数为5×4×3＝60．◆类型2抽取(分配)问题【例2】

(1)有4位老师在同一年级的4个班级中各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是(

)A．11

B．10

C．9

D．8C

设四个班级分别是A，B，C，D，它们的老师分别是a，b，c，d．法一：设a监考的是B，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有3种不同的方法；同理当a监考C，D时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法．这样，由分类加法计数原理知共有3＋3＋3＝9(种)不同的安排方法．法二：让a先选，可从B，C，D中选一个，即有3种选法．若选的是B，则b从剩下的3个班级中任选一个，也有3种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，根据分步乘法计数原理知，共有3×3×1×1＝9(种)不同安排方法．√(2)从6名志愿者中选4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有(

)A．280种 B．240种C．180种 D．96种√B

由于甲、乙不能从事翻译工作，因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1人，有4种选法．后面三项工作的选法有5×4×3种，因此共有4×5×4×3＝240(种)选派方案．反思领悟

求解抽取(分配)问题的方法(1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法．(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．[跟进训练]3．从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lga－lgb的不同值的个数是(

)A．9 B．10C．18 D．20√

◆

类型3涂色与种植问题角度1

涂色问题【例3】

(源自人教B版教材)在某设计活动中，李明要用红色和蓝色填涂四个格子(如图所示)，要求每种颜色都用两次，李明共有多少种不同的填涂方法？

[解]

用R表示红色，用B表示蓝色，RBRB表示第一个和第三个格子涂红色，第二个和第四个格子涂蓝色．

因为红色和蓝色都要用两次，为了简化问题，考虑涂红色的格子是否相邻，则填涂结果可以分为两类：涂红色的格子相邻，涂红色的格子不相邻．涂红色的格子相邻的方法有：RRBB，BRRB，BBRR，共3种；涂红色的格子不相邻的方法有：RBRB，BRBR，RBBR，共3种．依据分类加法计数原理，李明共有3＋3＝6(种)不同的填涂方法．角度2

种植问题【例4】从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，则有________种不同的种植方法．18

[法一(直接法)：若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2＝6(种)不同的种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2＝6(种)不同的种植方法．故不同的种植方法共有6×3＝18(种)．法二(间接法)：从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上，有4×3×2＝24(种)，其中不种黄瓜有3×2×1＝6(种)，故共有24－6＝18(种)不同的种植方法．]18反思领悟

涂色与种植问题的四个解答策略(1)按区域的不同以区域为主分步计数，并用分步乘法计数原理计算．(2)以颜色(种植作物)为主分类讨论法，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理计算．(3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题．(4)对于不相邻的区域，常分为同色和不同色两类，这是常用的分类标准．[跟进训练]4．如图所示的几何体是由一个三棱锥P-ABC与三棱柱ABC-A1B1C1组合而成的．现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有______种．12

[先涂三棱锥P-ABC的三个侧面，再涂三棱柱的三个侧面，由分步乘法计数原理知，共有3×2×1×2×1×1＝12(种)不同的涂法．]125．在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A，B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共多少种？[解]

将并排的10垄田地从左到右编号为1到10号．由于A，B两种作物的间隔不小于6垄，依据题意知也不大于8垄，运用分类讨论的思想，根据两种作物的左右及间隔进行讨论．当A种在B种左边时(括号内为田垄的序号)，①间隔6垄时，(1，8)，(2，9)，(3，10)；②间隔7垄时，(1，9)，(2，10)；③间隔8垄时，(1，10)．上述共有6种选垄方法．当B种在A种左边时，同理也有6种选垄方法，综上所述，总的选垄方法数为6＋6＝12．学习效果·课堂评估夯基础021．某乒乓球队里有6名男队员，5名女队员，从中选取男、女队员各1名组成混合双打队，则不同的组队方法的种数为(

)A．11

B．30C．56 D．651234√B

[先选1名男队员，有6种方法，再选1名女队员，有5种方法，共有6×5＝30(种)不同的组队方法．]2．从1，2，3，4，5五个数中任取3个，可组成不同的等差数列的个数为(

)A．2

B．4C．6

D．81234√D

[第一类，公差大于0，有①1，2，3，②2，3，4，③3，4，5，④1，3，5，共4个等差数列；第二类，公差小于0，也有4个．根据分类加法计数原理可知，共有4＋4＝8(个)不同的等差数列．]3．若3名学生报名参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每人仅选报一个，则不同的报名方案有________种．64

[每名同学都有4种不同的报名方案，共有4×4×4＝64(种)不同的报名方案．]1234644．如图所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂1种颜色，要求相邻的2个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有________种(用数字作答)．1234750

[首先给最左边的一个格子涂色，有6种选择，左边第二个格子有5种选择，第三个格子有5种选择