新教材同步备课2024春高中数学第8章立体几何初步8.3简单几何体的表面积与体积8.3.2第2课时球的表面积和体积教师用书新人教A版必修第二册

第2课时球的表面积和体积学习任务1．了解并把握球的体积和表面积公式．(数学抽象)2．会用球的体积与表面积公式解决实际问题．(数学运算)3．会解决球的切、接问题．(直观想象、数学运算)2022年2月6日，在2022年印度女足亚洲杯决赛中，中国女足在0比2落后的状况下逆转，以3比2力克韩国队夺冠，时隔16年重登亚洲之巅．问题：你知道2022女足亚洲杯决赛中所使用的足球的表面积和体积吗？学问点球的表面积和体积1．球的表面积设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍．2．球的体积设球的半径为R，则球的体积V＝43πR31．表面积为4π的球的半径是________．1[设球的半径为R，则S＝4πR2＝4π，得R＝1．]2．若一个球的体积为36π，则它的表面积为________．36π[由43πR3＝36π，可得R＝3，因此其表面积S＝4πR2＝类型1球的表面积与体积【例1】(1)已知球的表面积为64π，求它的体积；(2)已知球的体积为5003π[解](1)设球的半径为r，则由已知得4πr2＝64π，r＝4．所以球的体积为V＝43×π×r3＝256(2)设球的半径为R，由已知得43πR3＝5003π，所以R＝所以球的表面积为S＝4πR2＝4π×52＝100π．把握住球的表面积公式S球＝4πR2，球的体积公式V球＝43πR3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件．[跟进训练]1．已知球O的表面积为16π，则球O的体积为()A．43π B．8C．163π D．32D[由于球O的表面积是16π，所以球O的半径为2，所以球O的体积为4π3×23＝323类型2球的截面问题【例2】(1)平面α截球O的球面所得圆的半径为1．球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为()A．6πB．43πC．46πD．63π(2)已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，则这两个截面间的距离为________．(1)B(2)1或7[(1)如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，则OO′＝2，O′M＝1，∴OM＝22+1＝3，即球的半径为3，∴V＝43π(3)3＝(2)若两个平行截面在球心同侧，如图①，则两个截面间的距离为52-3若两个平行截面在球心异侧，如图②，则两个截面间的距离为52-]球的截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．(2)解题时要留意借助球半径R、截面圆半径r、球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2．[跟进训练]2．已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M．若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于________．16π[如图，圆M的面积为3π，则圆M的半径MB为3，设球O的半径为R，则R2＝14R2＋3，得R＝2，则球O的表面积等于4π×22＝]类型3与球有关的切、接问题【例3】有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，其次个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．[思路导引]正方体与球直观想象轴截面数学运算棱长与半径的关系．[解]设正方体的棱长为a，设三个球的半径分别为r1，r2，r3．(1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，经过在一个平面上的四个切点及球心作截面，如图①所示．所以2r1＝a，r1＝a2，S1＝4πr12(2)球与正方体各棱的切点为每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图②所示．所以2r2＝2a，r2＝22a，所以S2＝4πr22(3)正方体的各个顶点都在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图③所示．则2r3＝3a，∴r3＝32a，S3＝4πr32因此三个球的表面积之比为S1∶S2∶S3＝1∶2∶3．处理与球有关的相接、相切问题时，关键是依据“接点”和“切点”作一适当的截面，将空间问题转化为平面问题．(1)球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径．(2)球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．[跟进训练]3．(1)长方体的一个顶点处的三条棱长分别是3，3，6A．12πB．18πC．36πD．6π(2)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则V1V2(1)A(2)32[(1)由题意可知，该长方体的体对角线即为球的直径，其长度为23，从而球的半径为3，球表面积为(2)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径．设球O的半径为r，则圆柱的底面半径为r，高为2r，所以V1V2＝π1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于()A．12C．2 D．3D[设球的半径为R，则4πR2＝43πR3，所以R＝2．已知正方体的内切球的体积是82π3，则正方体的棱长为A．22 B．2C．423A[设正方体的棱长为a，其内切球的半径为R，则a＝2R，又43πR3＝82π3，∴R3＝22，∴R＝2，∴a3．一平面截一球得到直径为25cm的圆面，球心到这个平面的距离是2cm，则该球的体积是()A．12πcm3 B．36πcm3C．646πcm3 D．108πcmB[设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1．则OO1垂直于截面圆O1，如图所示．在Rt△OO1A中，O1A＝5cm，OO1＝2cm，∴球的半径R＝OA＝22+5∴球的体积V＝43×π×33＝36π(cm3)．4．将两个半径为1的小铁球熔化后铸成一个大球，则这个大球的半径R为________．32[V小球＝43·π·13＝43π，V大球＝43依题意43πR3＝43π×2＝83π，∴R3＝2，∴R回顾本节学问，自主完成以下问题：1．球的表面积和体积公式是什么？[提示]设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，球的体积V＝43πR32．解决球的截面问题的关键是什么？[提示]解决球的截面问题的关键是建立球半径R、截面圆半径r、球心到截面的距离d三者之间的方程．3．若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则其外接球半径R与三条棱长有何关系？[提示]2R＝a24．棱长为a的正方体的外接球，其半径R与棱长a有何数量关系？其内切球半径R′与棱长a呢？[提示]外接球半径R＝32a；内切球半径R′＝125．若一球与正方体的12条棱相切，则球半径R与棱长a有何数量关系？[提示]R＝22a我国古代数学中球的体积公式我国古代数学名著《九章算术》中的“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈3169V．实际上，“开立圆术”认为，球的体积V≈9不过，我国魏晋时期的数学家刘徽在给《九章算术》作注时就发觉，上述公式的近似效果并不好，于是想到了推算球体积的方法，他制造了一个称为“牟合方盖”的立体图形．如图①所示，在一个立方体内作两个相互垂直的内切圆柱，其相交的部分，就是牟合方盖，如图②所示．牟合方盖恰好把立方体的内切球包含在内并且同球相切．假如用同一水平面去截它们，就得到一个圆(球的截面)和它的外切正方形(牟合方盖的截面)．刘徽指出，在每一高度的水平截面圆与其外切正方形的面积之比等于π4，因此球体积与牟合方盖体积之比也应当等于π4．因此，只要知道了牟合方盖的体积，就能得出球的体积．圆满的是，刘徽当时并没有得出牟合方盖的体积，他说：“刘徽所盼的“能言者”过了两百多年才消灭，那就是祖冲之和他的儿子祖暅．祖氏父子继承了刘徽的思路，即从计算牟合方盖体积来突破．他们考虑了立方体切除牟合方盖之后的那部分的体积，取牟合方盖的八分之一，考虑它与其外切正方体所围成的立体，如图③甲所示．将它分成四个小立体，如图③乙、③丙、③丁、③戊．其中图③乙就是牟合方盖的八分之一．祖氏父子通过考察截面的面积发觉，图③丙、丁、戊的立体体积之和等于如图③己所示的四棱锥体积，这个四棱锥的底面边长和高都等于如图③甲所示的正方体的边长．因此，假如设球的半径为r，则图③甲中的正方体边长也为r，从而可知八分之一牟合方盖的体积为r3－13r3＝23r3．因此牟合方盖的体积为163r3．再结合刘徽所得到的结论，就可以知道球的体积为上面的介绍中，多次使用了“祖暅原理”，所涉及的计算也都没有超出高中数学的范围，感爱好的同学再认真推敲一遍吧！课时分层作业(二十六)球的表面积和体积一、选择题1．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为()A．2∶3 B．4∶9C．2∶3 D．8∶27B[设两个球的半径分别为r，R，则43πr3∶43πR3＝r3∶R3＝8∶27，所以r∶R＝2∶3，所以S1∶S2＝r2．若一个实心球对半分成两半后表面积增加了4π，则原来实心球的表面积为()A．4π B．8πC．12π D．16πB[设实心球的半径为R．由题意可得，2πR2＝4π，∴原来实心球的表面积为4πR2＝8π．故选B．]3．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为()A．316 B．C．38 D．A[设球的半径为R，所得的截面为圆M，圆M的半径为r．易知R2＝14R2＋r2，∴34R2＝r则S球＝4πR2，截面圆M的面积为πr2＝34πR2，则所得截面的面积与球的表面积的比为34πR24．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈316V9．假如球的半径为13，依据“开立圆术”的方法求得的球的体积约为A．π8 B．C．481 D．D[由题意，得r＝13，d＝2所以23≈316V9，解得V5．(多选)如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是()A．圆柱的侧面积为2πR2B．圆锥的侧面积为2πR2C．圆柱的侧面积与球面面积相等D．圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2CD[依题意得球的半径为R，则圆柱的侧面积为2πR×2R＝4πR2，所以A错误；圆锥的侧面积为πR×5·R＝5πR2，所以B错误；球面面积为4πR2，由于圆柱的侧面积为4πR2，所以C正确；由于V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，V圆锥＝13πR2·2R＝23πR3，V球＝43πR3，所以V圆柱∶V圆锥∶V球＝2πR3∶23πR3∶43πR3＝3∶1∶二、填空题6．一个正方体的八个顶点都在体积为43π的球面上，则正方体的表面积为________8[设球的半径为R，正方体的棱长为a，则43πR3＝43π，故R＝1，由3a＝2R＝2，所以a＝23，所以正方体的表面积为S＝6a2＝6×7．圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好沉没最上面的铁球(如图所示)，则铁球的半径是________cm．4[设铁球的半径为rcm，由题意得πr2×8＝πr2×6r－43πr3×3，解得r＝8．若两球的体积之和是12π，经过两球球心的截面圆周长之和为6π，则两球的半径之差为________．1[设两球的半径分别为R，r(R>r)，则由题意得4π3R3+4π3三、解答题9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．[解]该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π．该组合体的体积V＝43πr3＋πr2l＝43π×13＋π×12×3＝10．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为()A．4π3C．3π2A[由题意知，此球是正方体的内切球，依据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是43×π×13＝411．已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的表面积为()A．153π B．160πC．169π D．360πC[由于直三棱柱的底面是直角三角形，所以可以把此三棱柱补成长方体，其体对角线就是外接球的直径，所以球O的半径R＝1232+42+122＝132，所以球O12．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为323π，那么这个正三棱柱的体积是(A．963 B．163C．243 D．483D[由题意可知正三棱柱的高等于球的直径，从棱柱中间平行棱柱底面截得球的大圆内切于正三角形，正三角形与棱柱底面三角形全等，设三角形边长为a，球半径为r，由V球＝43πr3＝323π，得r＝2．由S柱底＝12a×r×3＝34a2，得a＝23r＝43，所以V柱＝S柱底·2r13．圆柱内接于球，圆柱的底面半径为3，高为8，则球的表面积为________．100π[如图，由条件知，O1A＝3，OO1＝4，所以OA＝5，所以球的表面积为100π．]14．已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的表面积和体积．[解]由于AB∶BC∶AC＝18∶24∶30＝3∶4∶5，