新教材同步备课2024春高中数学第7章随机变量及其分布7.2离散型随机变量及其分布列课件新人教A版选择性必修第三册

第七章随机变量及其分布7.2离散型随机变量及其分布列学习任务1．借助教材实例，了解离散型随机变量及其分布列．(数学抽象)2．了解离散型随机变量的性质、两点分布的概念．(数学抽象)3．会求简单的离散型随机变量的分布列．(数学建模、数据分析)必备知识·情境导学探新知01

知识点1随机变量(1)随机变量的概念一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有____的实数______与之对应，我们称X为随机变量．(2)随机变量的特点①取值依赖于样本点．②所有可能取值是明确的．唯一X(ω)(3)随机变量的表示通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z．(4)离散型随机变量可能取值为______或可以________的随机变量，称为离散型随机变量．有限个一一列举(5)离散型随机变量的特征①可用数值表示；②试验之前可以判断其出现的所有值；③在试验之前不能确定取何值；④试验结果能一一列出．提醒(1)所谓随机变量，就是随机试验的试验结果与实数之间的一种对应关系，这种对应关系是人为建立起来，但又是客观存在的．(2)随机试验的结果可用数量来表示，有些随机试验的结果虽然不是数量，但可以将它数量化，如抛一枚硬币，所有可能的结果是“正面向上”“反面向上”，在数学中可以用“1”代表正面向上，用“0”代表反面向上．思考1．随机变量与函数有类似的地方吗？[提示]

随机变量和函数都是一种对应关系，随机变量把样本点与实数对应，函数把实数与实数对应，由随机变量的定义知，样本点ω相当于函数定义中的自变量，样本空间Ω相当于函数的定义域．知识点2概率分布列(1)概念一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．(2)表示离散型随机变量的分布列可以用____或图形表示．(3)性质①pi__0，i＝1，2，…，n．②p1＋p2＋…＋pn＝__．Xx1x2…xnPp1p2…pn表格≥1提醒

对分布列的理解应注意的问题(1)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象，与函数的表示法一样，离散型随机变量的分布列也可以用表格、等式P(X＝xi)＝pi和图象表示．(2)离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且也能清楚地看到取每一个值的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布状况，是进一步研究随机变量数字特征的基础．思考2．求离散型随机变量的分布列的步骤是什么？[提示]

求离散型随机变量的分布列的步骤：(1)找出随机变量X所有可能的取值xi(i＝1，2，3，…，n)；(2)求出相应的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，3，…，n)；(3)列成表格形式．

X01P1－pp两点分布1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个． (

)(2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量． (

)(3)试验之前可以判断离散型随机变量的所有值． (

)(4)两点分布中只有两个结果，且两个结果是对立的． (

)1234√√√√2．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用X表示甲的得分，则{X＝3}表示(

)A．甲赢三局

B．甲赢一局C．甲、乙平局三次

D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次1234√D

[由题意得{X＝3}有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．]3．下列四个选项：①某机场候机室中一天的旅客数量X；②连续投掷一枚均匀硬币4次，正面向上的次数X；③某篮球下降过程中离地面的距离X；④某道路斑马线一天经过的人数X．其中不是离散型随机变量的是(

)A．①中的X B．②中的XC．③中的X D．④中的X1234√C

[①、②、④中的随机变量X可能取的值，我们都可以按一定次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量；③中的X可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故③中的X不是离散型随机变量．]12344．若P(X>0)＝0.3，则P(X≤0)＝________．12340.7

[P(X≤0)＝1－P(X>0)＝1－0.3＝0.7．]0.7关键能力·合作探究释疑难02类型1随机变量的概念类型2随机变量的可能取值及试验结果类型3分布列及其性质的应用类型4离散型随机变量的分布列【例1】

(1)10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是(

)A．取到产品的件数 B．取到正品的概率C．取到次品的件数 D．取到次品的概率◆

类型1随机变量的概念C

①对于A中取到产品的件数，是一个常量不是变量，B，D也是一个常量，而C中取到次品的件数可能是0，1，2，是随机变量．√(2)下列随机变量中不是离散型随机变量的是________．(填序号)①某宾馆每天入住的旅客的数量X；②某水文站观测到一天中珠江的水位X；③深圳欢乐谷一天接待游客的数量X；④虎门大桥一天经过的车辆数量X．②

①③④中的随机变量X的可能取值都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；②中的随机变量X可以取某一区间内的一切值，但无法按照一定的次序一一列出，故不是离散型随机变量．②反思领悟

判断一个随机变量X是否为离散型随机变量的具体方法(1)明确随机试验的所有可能结果．(2)将随机试验的试验结果数量化．(3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．[跟进训练]1．指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由．(1)某座大桥一天经过的车辆数X；[解]

车辆数X的取值可以一一列出，故X为离散型随机变量．(2)某超市5月份每天的销售额；[解]

某超市5月份每天销售额可以一一列出，故为离散型随机变量．(3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；[解]

实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．(4)某水位监测站所测水位在(0，29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ．[解]

不是离散型随机变量，水位在(0，29]这一范围内变化，不能按次序一一列举．◆类型2随机变量的可能取值及试验结果【例2】写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X．[解]

X可取0，1，2，3．X＝0表示取5个球全是红球；X＝1表示取1个白球，4个红球；X＝2表示取2个白球，3个红球；X＝3表示取3个白球，2个红球．(2)一个袋中有5个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个球，取出的球的最大号码记为X．[解]

X可取3，4，5．X＝3表示取出的球编号为1，2，3；X＝4表示取出的球编号为1，2，4；1，3，4或2，3，4．X＝5表示取出的球编号为1，2，5；1，3，5；1，4，5；2，3，5；2，4，5或3，4，5．[母题探究]1．(变条件、变设问)在本例(1)条件下，规定每取出一个红球赢2元，而每取出一个白球输1元，以ξ表示赢得的钱数，结果如何？[解]

ξ可取1，4，7，10．ξ＝10表示取5个球全是红球；ξ＝7表示取1个白球，4个红球；ξ＝4表示取2个白球，3个红球；ξ＝1表示取3个白球，2个红球．2．(变设问)本例(2)中，“最大”改为“最小”，其他条件不变，应如何解答？[解]

X可取1，2，3．X＝3表示取出的3个球的编号为3，4，5；X＝2表示取出的3个球的编号为2，3，4或2，3，5或2，4，5；X＝1表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或1，2，4或1，3，4或1，2，3．反思领悟

用随机变量表示随机试验的结果的关键点和注意点(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果．(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．[跟进训练]2．写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)在2023年北京大学的自主招生中，参与面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；[解]

X可能取值0，1，2，3，4，5，X＝i表示面试通过的有i人，其中i＝0，1，2，3，4，5．(2)射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射手在一次射击中的得分用ξ表示．[解]

ξ可能取值为0，1，当ξ＝0时，表明该射手在本次射击中没有击中目标；当ξ＝1时，表明该射手在本次射击中击中目标．

反思领悟

离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用离散型随机变量的分布列的性质可以求与概率有关的参数的取值或范围，还可以检验所求分布列是否正确．(2)由于离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的，所以离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．[跟进训练]3．若离散型随机变量X的分布列为试求出离散型随机变量X的分布列．X01P9c2－c3－8c

X01P◆

类型4离散型随机变量的分布列角度1

离散型随机变量的分布列【例4】同时掷两枚质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数，求两枚骰子中出现的最大点数X的分布列．

[解]

同时掷两枚质地均匀的骰子，朝上一面出现的点数有36种等可能的情况，X的可能取值为1，2，3，4，5，6，记(a，b)为两枚骰子朝上一面出现的点数，其中a为第一枚骰子掷出的点数，b为第二枚骰子掷出的点数，则可得出下表．X出现的点数情况数1(1，1)12(2，2)，(2，1)，(1，2)33(3，3)，(3，2)，(3，1)，(2，3)，(1，3)54(4，4)，(4，3)，(4，2)，(4，1)，(3，4)，(2，4)，(1，4)75(5，5)，(5，4)，(5，3)，(5，2)，(5，1)，(4，5)，(3，5)，(2，5)，(1，5)96(6，6)，(6，5)，(6，4)，(6，3)，(6，2)，(6，1)，(5，6)，(4，6)，(3，6)，(2，6)，(1，6)11由古典概型可知X的分布列为X123456P

X01P反思领悟

求离散型随机变量分布列时应注意的问题(1)确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是要搞清ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出ξ取每一个值的概率．(2)在求离散型随机变量ξ的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可以验证分布列是否正确．[跟进训练]4．(源自北师大版教材)一袋中装有6个完全相同的黑球，编号分别为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，用X表示取出球的最大编号，求X的分布列．

X3456P学习效果·课堂评估夯基础03ABD

[∵B，D中X的取值有限，且可以一一列举出来，故B，D中的X均为离散型随机变量．∵A中X的取值依次为1，2，3，…，虽然无限，但可一一列举出来，故为离散型随机变量．而C中X的取