江西省宜春市丰城第九中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题(含答案)

丰城九中2023-2024学年高一年级上学期期末考试数学试卷考试时间：120min试卷总分150分一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．集合，，则的子集的个数为（）A．2 B．5 C．6 D．82．若是第一象限角，则下列各角中第四象限的角是（）A． B． C． D．3．已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则此扇形的弧长为（）A．4 B．6 C．8 D．104．“函数在区间上单调递增”的充要条件是（）A． B． C． D．5．若幂函数的图像经过点，则函数的最小值为（）A． B． C．6 D．6．某种药物作用在农作物上的分解率为v，与时间t（小时）满足函数关系式（其中a，b为非零常数），若经过12小时该药物的分解率为10%，经过24小时该药物的分解率为20%，那么这种药物完全分解，至少需要经过（）（参考数据：）A．48小时 B．52小时 C．64小时 D．120小时7．已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于x的不等式的解集是（）A． B． C． D．8．已知函数，，若，则的零点个数为（）A．2 B．4 C．6 D．8二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9．为调研某地空气质量，测得该地连续10天PM2.5（PM2.5是衡量空气质量的重要指标，单位：）的日均值，依次为36，26，17，23，33，106，42，31，30，33，则（）A．中位数为31或33 B．第60百分位数与众数相同C．前4天的极差大于后4天的极差 D．前4天的方差小于后4天的方差10．下列说法正确的是（）A．与的终边相同B．若为第二象限角，则为第一象限角C．终边经过点的角的集合是D．若一扇形的圆心角为2，圆心角所对应的弦长为2，则此扇形的面积为11．已知命题p：函数在上单调递减，则下列是命题p的一个必要不充分条件是（）A． B． C． D．11．已知实数，，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13．计算结果是_________．14．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则在R上的解析式为_________．15．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．16．已知函数，，则函数的值域为_________．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算）17．（10分）已知函数的定义域为A．（1）求A；（2）设集合，若，求实数a的取值范围．18．（12分）已知a，b为正实数，函数（1）若，求的最小值；（2）若，求不等式的解集（用a表示）．19．（12分）从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．（1）求第七组的频率；（2）估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数；（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求．20．（12分）已知函数．（1）若，求的取值范围；（2）若，且，求实数n的取值范围．21．（12分）某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为200万元，最大产能为100台．每生产x台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．（1）写出年利润万元关于年产量x台的函数解析式（利润销售收入成本）；（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？22．（12分）已知函数（且）．（1）若当时，函数在有且只有一个零点，求实数b的取值范围；（2）是否存在实数a，使得当的定义域为时，值域为，若存在，求出实数a的范围；若不存在，请说明理由．丰城九中2023-2024年高一年级上学期期末考试数学试卷参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分；共60分）1-8DCADCBDD9-12BCACDCDABC二、填空题（本大题共4小题，每小题5分；共20分）13．4 14． 15． 16．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17、（1）由，得，函数的定义域为，即.（2）集合，又，，，即，实数a的取值范围.18、（1）因为，所以，由于a，，所以，当且仅当取“=”.（2）由题，所以，所以所以①当时，原不等式的解集为，②当时，原不等式的解集为，③当时，原不等式的解集为.19、解：（1）第六组的频率为，∴第七组的频率为．（2）由直方图得，由于，，设这所学校的800名男生的身高中位数为m，则，由得，所以这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5cm，平均数为．（3）第六组的抽取人数为4，设所抽取的人为a，b，c，d，第八组的抽取人数为，设所抽取的人为A，B，则从中随机抽取两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况，因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以．20、（1）当，令，所以，则在上单调递减，所以，，故的取值范围为；（2）设，，因为，所以，即，则的两根为，，整理得，所以，，所以，则，所以，则，即实数的取值范围为.21、（1）由题意可得：当时，，当时，，故．（2）当时，，得时万元；当时，，当且仅当，即时等号成立，此时万元.综上可知，该产品的年产量为70台时，公司所获利润最大，最大利润是1760万元.22、（1）由，得或.的定义域为；令，任取，，，则，因为，，，所以，即函数在上单调递增；又，在上为单调递减，且当，，，，函数在有且只有一个零点，即在有且只有一个解，