第一节 样本空间与概率

概率论与数理统计河南财经政法大学数学系任煜东生活中的概率实例：病人家属和护士的对话1.1序言第一章样本空间与概率试验事件A事件B样本空间（可能结果的集合）AB事件概率律P(A)P(B)概率模型的基本构成1.2概率模型概率模型的基本构成：

样本空间Ω，这是一个实验的所有可能结果的集合

概率律，概率律为实验结果的集合A（称之为事件）确定一个非负数P（A）（称为事件A的概率）。这个非负数刻画了我们对事件A的认识或所产生的信念的程度。概率律必须满足某些性质。1.2.1试验、样本空间和事件每一个概率模型都关联着一个试验,(试验有三个基本特性)试验将产生一个试验结果，称为样本点，用ω表示;该试验的所有可能结果形成样本空间，用Ω表示;样本空间的子集，即某些试验结果的集合，称为事件，用大写字母A，B，C等表示例：E1：抛掷一枚硬币，观察正面向上还是反面向上。Ω={正面，反面}E2：掷一枚骰子，观察出现的点数Ω={1,2,3,4,5,6}E3：在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命Ω=[0，+∞)（无限多个结果）注：在我们所讨论的概率模型的问题中，只涉及一个试验.例如:连续抛掷两次硬币的实验,只能作为一次试验,样本空间为Ω={(正面,正面)，(正面,反面)，(反面,正面)，(反面,反面)}若事件A表示“第一次出现正面”，则A={(正面,正面)，(正面,反面)1.2.2选择适当的样本空间1、在确定样本空间的时候，不同的实验结果必须相互排斥。例如，掷骰子的试验中，我们可以把{1,2,3}定义为一个结果，记为ω1，把{4,5,6}定义为另一个结果，记为ω2，于是样本空间为

Ω={ω1，ω2}但是不能把{1,2,3}定义为一个结果，同时把{1,4,5}也定义为一个结果，因为如果这样定义，当出现“1”时，就不知道得到什么结果了。2、对同一个实验，根据我们的兴趣可以确定不同的模型。注：但在确定模型时，不能遗漏样本空间中的任何一个结果，也就是实验过程中总能够得到样本空间中的一个结果。另外，建立样本空间时，一方面要避免不必要的麻烦，同时清楚的刻画我们感兴趣的事件。例:考虑两个不同的游戏，他们都涉及连续抛掷10次硬币。游戏1：每次抛掷硬币的时候，只要正面向上，我们就赢1元游戏2：在抛掷硬币的时候，知道第一次出现正面朝上（含正面朝上的那一次),以前的每次抛掷都赢1元（若10次都正面向下，赢10元）。若第一次正面朝上以后还有机会抛掷硬币，则以后每次赢2元，直到第二次出现正面向上。每次抛掷得到正面向上的时候，以后每次抛掷硬币所赢的钱数比以前每次抛掷硬币所赢得的钱数加倍。游戏1中，赢钱数只与10次抛掷中正面向上的次数有关，样本空间可由11个实验结果组成：Ω={0，1，2，...，10}游戏2中，赢钱数不仅与正面出现的次数有关，也与正面出现的顺序有关，样本空间由所有长度为10的正反序列组成。注：游戏2的样本空间是古典概型，有个样本点1.2.3事件间的关系和运算集合(事件)称为A相对于Ω的补集(对立事件),记为并集（和事件）交集（积事件）ΩAB阴影部分是ΩAB阴影部分是ΩAB阴影部分是或ΩAB阴影部分是此处ΩABCA，B，C互不相交ΩABCA，B，C形成Ω的一个完备事件组（分割）1.2.5特殊事件必然事件：每次试验中一定出现的事件。用Ω表示。不可能事件：每次试验中一定不出现的事件,用φ表示基本事件：只包含一个样本点的单点子集。1.2.4集合（事件）的代数运算摩根定律：一般情形：

例1观察人的寿命：A=“活到七十岁”,B=“活到六十岁”，则A,B的关系为：解：设x表示人的寿命，则故例2甲乙二人向同一目标射击，事件A表示“甲至少中2发，乙最多中3发”，则A.甲最多中2发，乙最少中3发。B.甲最多中2发或乙最少中3发。C.甲最多中1发，乙最少中4发。D.甲最多中1发或乙最少中4发。表示（）解：设x表示击中发数，y表示乙击中发数，则所以故表示“甲最多中1发或乙最少中4发”。例3（课本例4）某射手连续3次向某一目标射击。用“1”表示击中，“0”表示未击中，其样本空间可用树状图表示如下：根10110011110000每一个实验结果可以用一个末端的树叶表示，或等价的用由树叶到根部的一个路径表示。树状图的优点是可以表示实验的顺序特征。“第一次击中目标”表示为：{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,0,0)}而{(1,1,0),(1,0,0),0,1,0),(0,0,0)}表示“第三次没有击中”自学：课本例4~例7练习1：若A表示“甲产品是优质品，乙产品是合格品”，则A.甲产品是合格品，乙产品是优质品B.甲产品不是优质品，乙产品不是合格品C.甲产品不是优质品或乙产品是次品D.甲产品不是优质品或乙产品不是合格品表示（）练习2：袋子中有一个黑球，两个白球，3个红球，有放回取两次，用树状图表示概率空间。根红红红红白白白白黑黑黑黑1.2.6概率律的定义假定我们已经确定了样本空间Ω以及与之联系的实验，为了刻画每一个结果或结果的集合（事件）的似然程度，对每一个事件A,确定一个数P(A)与之对应，称为事件A的概率，如果满足下面几条公理：概率公理：（1）（非负性）对一切事件A，满足

（2）（可加性）设A和B是两个互不相容的事件（互不相交的集合），则他们的并满足更一般的，若是一个互不相容的事件序列，则他们的并满足（3）（归一化）整个样本空间Ω（必然事件）的概率为11、为了形象的理解概率的概念，可以把样本空间中的实验结果看成是质点每个质点有一个质量。P(A)就是这个质点集合的总质量，而全空间的总质量为1.这样，可加性的公理理解为：不相交的事件序列的总质量等于各个事件的质量总和。2、概率更具体的解释是频率。例如P(A)=2/3表示：在大量重复试验中事件A出现的频率约为2/3.(p8投硬币实验）3、概率的很多性质没有包含在公理中，但可以从公理系统中推导出来。例如，由可加性和归一性可得：由此可知空事件（不可能事件）的概率为0，即又如：1.2.7离散概率模型与古典概型例考虑抛掷一枚硬币。共两个结果：正面向上{H}和反面向上{T}，样本空间为Ω={H,T},事件为{H,T}，{H}，{T}，Ф若硬币均匀，则两面出现机会相同，由可加性和归一性可知：P({H,T})=P({H})+P({T})=1由此可得概率律：P({H,T})=1，P({H})=0.5，P({T})=0.5，P(Ф)=0考虑另一个试验：依次抛掷三枚硬币，样本空间为：Ω={HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}.假定上述8种结果可能性相同，每个结果出现的概率为1/8.现利用三条公理建立概率。例如事件：A={两个正面向上，一个反面向上}={HHT,HTH,THH}利用可加性：P({HHT,HTH,THH})=P({HHT})+P({HTH}+P({THH})=1/8+1/8+1/8=3/8相似的，任何事件的概率等于1/8乘以该事件包含的结果数。离散概率律设样本空间由有限个可能结果组成，则事件的概率可由组成这个事件的实验结果（样本点或基本事件）的概率所决定。即：若每个实验结果是等概率的，利用归一化定理的得到：离散均匀概率律（古典概型）设样本空间由n个等可能性的试验结果组成，则古典概型中必须清楚概率空间及这个事件包含的结果数（基本事件数）解:基本事件总数为(1)A含有的基本事件总数为(2)B含有的基本事件总数为

例1

有10只晶体管,其中有2只次品,从中随机地抽取3只,求:(1)其中恰有1只次品的概率P(A);(2)其中至少有1只次品的概率P(B).所以

例2

一部五卷的文集按任意顺序放到书架上,求下列事件的概率:(1)A=“各卷自左向右或自右向左的卷号恰为1,2,3,4,5”;(2)B=“第一卷及第五卷分别在两端”.解基本事件总数为(1)事件A包含两个基本事件，所以(2)事件B包含个基本事件，所以例3

有三个打字员为四个科室服务,如果四个科室各有一份文件要打字,且各科室对打字员的选择是随机的,试求:(1)四个科室把任务交给同一个打字员的概率;(2)每个打字员都有任务的概率.解:基本事件总数为（1）事件A包含的基本事件总数为所以（2）事件B包含的基本事件总数为所以例4假设有100件产品,其中有60件一等品,30件二等品,10件三等品.(1)从中随机一次抽取两件,求两件均为一等品的概率;(2)从中每次随机抽取1件,连续两次,求抽到两件一等品的概率;解(1)略

(2)分为两种情形:重复抽样(有放回抽样),基本事件总数1002,A所含基本事件个数为602,所以不重复抽样(无放回抽样)基本事件总数为100×99,A所含的基本事件个数为60×59,所以1.2.8连续模型例1赌场中有一种叫做幸运轮的赌具，在轮子上有均匀连续的刻度，范围为0~1,。当转动的轮子停止时，固定的指针会留在刻度上。这样，产生的实验结果是[0,1]之间的一个数，是指针所指向的位置的刻度。因此样本空间为Ω=[0,1]。假如轮子是均匀的，可以认为轮子上的每一个点在实验中都是等可能的。但一个单点在试验中出现的可能性是多大呢？它不可能是正数。否则的话，若单点出现的概率为正，看利用可加性，可导致某些事件的概率大于1的荒谬结论。因此，单点所组成的事件的概率必定为0.对于连续模型，若每一个结果在试验中的出现是等可能的，称为几何概型，并且有：例2两人相约于8时至9时在某地会面,先到者等候另一人15分钟后即可离开,求两人能够会面的概率.(p13)解:依题意,两人在8时至9时的任意时刻到达,用x,y分别表示两人到达的时刻(单位:分),则(x,y)分别在区间[0,60]上取值,于是,Ω={(x,y)|0≤x≤60,0≤y≤60}yΩx6015015

60设A表示“两人能够会面”,则A发生等价于(x,y)落在G上,

G={(x,y)||x-y|≤15},故例7平面上画有彼此间距为2a的平行线,向平面任意投一长为2L(L<a)的针,试求针与平行线相交的概率.(p14)解:设x表示从针的中点到最近一条平行线的距离,φ表示针与此线的夹角.x取值为[0,a],φ取值为[0,π],如图:Ω={(x,φ)|0≤x≤a,0≤φ≤π}2aφx设A表示“针与平行线相交”,则={(x,φ)|0≤x≤Lsinφ}0πφax1.2.9概率律的性质a）若A

B，则P(B-A)=P(B)-P(A)b)c)d)e)或ABABC

例1、某班有n个人（n<365)，求这n个人中至少两个人的生日是同一天的概率。n=23，p（A）=0.507n=50，p（A）=0.970n=100，p（A）=0.9999967设A=“至少有两个人的生日在同一天”则“任何两人的生日不在同一天”，含有解：基本事件的总数为个基本事件所以

例2一部5卷文集任意排在书架上，求第一卷排在左端或第五卷排在右端的概率设A=“第一卷安排在左端”，B=“第五卷排在右端”解：基本事件总数为5！“第一卷排在左端或第五卷排在右端”练习：随机掷两颗均匀的骰子，A表示“出现的点数之和