北京市通州区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

通州区2023-2024学年第一学期九年级期末质量检测

数学试卷2024年1月

考生须知

1.本试卷共6页，共三道大题，28个小题，满分为100分，考试时间为120分钟.

2.请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名.

3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.

4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.

5.考试结束后，请将答题卡交回.

一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只

有一个.

1.在RtZVlBC中，ZC=90°,AC=4,AB=5,贝UsinA的值是（）

2.已知。的半径为6,点尸到圆心。的距离为4,则点P在，）。（）

A.内B.上C.外D.无法确定

3.在平面直角坐标系中，将抛物线＞=2/先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后所得到的

抛物线的表达式为（）

A.y=2（x-3）2+4B.y=2（x-3）2-4

C.y=2（x+3）2+4D.y=2（x+3p-4

C在，。上,△0A6是等边三角形，则NACB的大小为（）

B.30°C.40°D.60°

5.如图，在方格纸中，△ABC和的顶点均在格点上，要使△ABCs^EPD,则点尸所在的格点为

A.B.P2C.P3D.舄

6.下列关于二次函数y=3/的说法正确的是（）

A.它的图象经过点（—1,—3）B.它的图象的对称轴是直线x=3

C.当为<0时，y随x的增大而减小D.当x=0时，y有最大值为0

7.如图，在平行四边形A8C。中，E为。C边的中点，AE交8。于点。，若△DQE的面积为9,则

D

B.27C.36D.45

nx

8.兴趣小组同学借助数学软件探究函数y=万的图象，输入了一组°,人的值，得到了它的函数图象,

（〜）

借助学习函数的经验，可以推断输入的a,匕的值满足（）

A.a<0,b>0B.a>Ofb<0C.a>0,b>0D.〃<0,b<0

二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）

9.若扇形的圆心角为60°,半径为2,则该扇形的弧长是（结果保留〃）.

10.如图，△A3C的顶点都是正方形网格中的格点，则tan/ABC=.

第10题

11.某市开展植树造林活动.如图，在坡度，=1：石的山坡AB上植树，要求相邻两树间的水平距离AC为

28米，则斜坡上相邻两树间AB的坡面距离为米.

12.唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导.如图，某桨轮船的

轮子被水面截得的弦A8长为8米，轮子的半径A。为5米，则轮子的吃水深度C。为米.

第12题

13.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流/（单位：A）与电阻R（单位：Q）是反比例函数关系，

它的图象如图所示.如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过6A,那么用电器的可变电阻R应控

14.如图，AB为.。的直径，点P在的延长线上，PC,尸。分别与「0相切于点C,D,若NCR4=40°,

则NC4。的度数为.

4

15.如图，A,B两点在反比例函数y=—（x>0）的图象上，分别过点42向坐标轴作垂线段.若四边形OCEF

面积为1,则阴影部分的面积之和为.

16.在平面直角坐标系尤Oy中，点A的坐标为（4,0）,P是第一象限内任意一点，连接PO,PA.若NPOA=m。,

ZPAO=n0,则我们把P（松小叫做点尸的“角坐标”.

（1）点（2,2）的“角坐标”为；

（2）若点P到x轴的距离为2,则根+〃的最小值为.

三、解答题（本题共68分，第17-22题每题5分；第23-26题每题6分；第27-28题每题7分）

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.2sin2600-tan450+4cos60°.

3

18.如图，在Rtz^ABC中，ZC=90°,BC=6,tanA=—.求AC的长和cos3的值.

4

19.已知二次函数几组尤与y的对应值如下表:

X•・・-3-2-1134・・・

y•・・1250-405・・・

（1）写出此二次函数图象的对称轴;

（2）求此二次函数的表达式.

20.如图，在中，ZC=90°,4。平分NC4B,交BC于点D,CD=2,AC=2&,求AB的

长.

21.无人机是利用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操纵的不载人飞机，在跟踪、定位、遥测、数据传输

等方面发挥着重要作用，在如图所示的某次测量中，无人机在小山上方的A处，测得小山两端8,C的俯角分

别是45°和30°,此时无人机距直线BC的垂直距离是200米，求小山两端8,C之间的距离.

22.下面是某同学设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程.

己知：如图1,AABC.

求作：直线80,使得5£>〃AC.

作法：如图2,

①分别作线段AC，的垂直平分线小12,两直线交于点。；

②以点。为圆心，04长为半径作圆；

③以点A为圆心，长为半径作弧，交劣弧于点D；

④作直线BD.

所以直线BD就是所求作的直线.

根据设计的尺规作图过程，

(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)

(2)完成下面的证明.

证明：连接AD,

:点A,B,C,。在上，AD=BC,

AD=.

；.ZDBA=NCAB()(填推理的依据).

：.BD//AC.

23.如图，△ABC中，CA=CB,以8C为直径的半圆与AB交于点。，与AC交于点E.

(1)求证：点。为AB的中点;

(2)求证：AD=DE.

6

24.在平面直角坐标系xOy中，直线y=A%+2与双曲线y二一的一个交点是A(〃3).

(1)求相和人的值；

(2)设点尸是双曲线y=9上一点，直线AP与无轴交于点艮若AB=3尸3,结合图象，直接写出点尸的

x

坐标.

25.如图，点C在以A8为直径的。上，C。平分NACB交［。于点。，交于点E,过点。作。尸〃AB

交CO的延长线于点F.

(1)求证：直线。尸是【。的切线；

(2)若ZA=30°,AC=4A/3,求。尸的长.

26.在平面直角坐标系尤0y中，。(七,%)，。(々，方)是抛物线丁=f-27汽+苏-1上任意两点.

(1)求抛物线的顶点坐标(用含机的式子表示)；

(2)若玉=加一2,x2=777+5,则/为；(用“＜"，"="，或填空)

(3)若对于—1＜占＜4,々=4,都有％＜为，求机的取值范围.

27.如图，△ABC中，NACB=90°,AC=BC,点。在AB的延长线上，取AD的中点R连结CD、CF,

将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE,连结AE、BE.

----------A

K(1)依题意，请补全图形；

(2)判断BE、CF的数量关系及它们所在直线的位置关系，并证明.

28.在平面直角坐标系xOy中，。。的半径为1.给出如下定义：过；。外一点尸做直线与(。交于点/、

N,若M为线段PN的中点，则称线段PN是。的“外倍线”.

(1)如图1,点耳，P2,P3,M，N2,N3的横、纵坐标都是整数.在线段［N］,P,N2,P3N3中,0

的“外倍线”是；

(2)：。的“外倍线”PN与直线x=2交于点P,求点尸纵坐标力,的取值范围；

(3)如图2,若。的“外倍线”PMN的坐标为(—1,0),直线y=x+b与线段PN有公共点,直接写出6

通州区2023-2024学年第一学期九年级期末质量检测

数学试卷参考答案及评分标准

2024年1月

一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）

题号12345678

答案DADBCCCA

二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）

2兀1/、

9.—10.y11.412.213.R>114.50°15.616.（1）（45,45）（2）90

三、解答题（本题共68分，第17-22题每题5分；第23-26题每题6分；第27-28题每题7分）

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.解：原式=2x[#—i+4xg…3分

5八

-------5分

2

3

18.解：在RtZVLBC中，BC=6,tanA=—,

4

・・・AC=8…2分

AB-10…3分

BC3八

cosBn=-----5分

AB5

19.解：（1）•••二次函数图象经过点（一1,0）和（3,0）

该二次函数图象的对称轴为直线x=l…2分

（2）由题意可知：二次函数图象的顶点坐标为。，-1）…3分

设该二次函数表达式为：y=a（x—Ip—4（a/0）

将（3,0）点代入得：4a—4=0

…4分

y=X2-2x-3…5分

20.解：在Rt^ADC中，CD=2,AC=2也,

...tan“3普己邛7分

/.NC4D=30。…2分

平分NC4B,NC4B=2NC4D=60°…3分

在Rtz^ABC中，ZB=30°,AB=2AC=4G.…5分

21.解：过点4作40_£8。于点。…1分

...NB=45°,ZC=30°,

在Rt2\AB£)中，AD=6Z)=200…2分

在RtZ^ACD中,CD=6AD=200A/3-3分

A=200+20073.…4分

答：小山两端3,C之间的距离为（200+2006）米…5分

（2）证明：连接AD,

:点A,B,C,。在（。上，AD=BC,

AD=BC.…4分

：.ZDBA=ZCAB（等弧所对的圆周角相等）（填推理的依据）.…5分

：.BD//AC.

23.（1）证明：连结CD-1分

为半圆的直径，NB£>C=90°…2分

:.BDLCD,

：C4=CB,.。.点。为AB的中点…3分

(2)方法一：

证明：：C4=CB,NB=NA,

:四边形8CED为圆内接四边形，…4分

ZAED=ZA-5分

AD=DE.…6分

方法二：证明：连结。。，E0,

CA—CB,AD=^ACD=N5CD…4分

VZDOE=2ZACD,ZDOB=2ZBCD,

：.ZDOE=ZDOB.:.BD=DE,：.BD=DE.…5分

AD=BD,:.AD=DE.…66

6

24.解：（1）•.•直线丁=丘+2与双曲线y=—的一个交点是A（7%3）,

6

，把点A（仪3）代入y=—中，得3根=6,加=2…1分

・•・把点A(2,3)代入y="+2,得2左+2=3,左二Q.…2分

（2）点尸（6,1）或（—6,—1）.…6分

25.（1）证明：连结0D

TAB为（0的直径，・・.NACB=90。

・・・CD平分NACB,・・・NACE>=450・・・1分

ZAOD=2ZACD=90°…2分

DF//AB,：.ZAOD+ZODF=180°,/.ZODF=90°

，直线。尸是。的切线.…3分

(2)解：在中，ZA=30°,AC=4A/3,

BC-4,AB=8…4分

:.OD-4,

・・・"05=60。

又尸〃AB,・•・/月=60。…5分

在RtZ\O£>尸中，=罕=]=拽.…6分

V3V33

26.解：(1)Vy=x2—2mx+m—1=(%—m)"—1

抛物线顶点坐标为（口,—1）.…2分

（2）%<%.…3分

（3）...抛物线对称轴为直线