广东省深圳市宝安区2022-2023学年高二年级上册数学期末试卷

oo

广东省深圳市宝安区2022-2023学年高二上学期数学期末试卷

姓名：班级：考号：

题号——四总分

4

评分

阅卷人

——、单选题

得分

oo

1.已知点4（1,0）,B（2,V3）,则直线的倾斜角是（）

A.60°B.120°C.30°D.150°

n|p

即2."5<m<7”是“方程占+匕=1表示椭圆”的（）

7—mm—5

faA.充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

3.在棱长为1的正方体ABC。中，\AB-CB+CBi\=（）

A.1B.V2C.V3D.2

o

o4.已知数列的前4项为2,0,2,0,则依次归纳该数列的通项不可能是（）

2,n为奇数

A.0n=(一1尸+1

0,n为偶数

段

C.an=Zsin-2-D.an=cos(n—1)TT+1

照媒

5.在空间四边形0ABe中，0A=a,~0B=b,沆=小点M在OB上，且布=3丽，N

为AC的中点，则而=（）

彝

和

A.—^a+^b—^cB.—5a+lb+ic

Z4ZZJZ

oo

C.b+D.④方一+；及

6.双曲线鸟-4=1(a>0,b>0)的离心率为V3,则其渐近线方程为()

ab

A.y=+V2xB.y—±y[3xC.y—D.y=±孚X

氐-£

7.若直线ar+by-1=0(a>0,b>0)平分圆(比一+(y-1/=4,贝哈十号的最

小值是()

A.2B.5C.3+2V2D.4V2

o

o8.已知点M,N是抛物线y=4/上不同的两点，F为抛物线的焦点，且满足ZMFN

弦MN的中点P到直线/：y=—我的距离记为d,若不等式|MN1224d2恒成立，贝4

的取值范围（）

A.(—oo,v2]B.（—oo,2]C.（—oo,1+V2]D.（—oo,3]

阅卷人

二、多选题

得分

9.若是等差数列,则下列数列中仍为等差数列的是（）

aa

A.{|CLn|）B-{n+l-n}

c.[pan+q）（p,q为常数）D.{2an+n}

10.圆Op/+y2—2%=o和圆。2：/+y2+2久—4y=0的交点为A,B,则有

（）

A.公共弦AB所在直线方程为久-y=0

B.公共弦AB的长为孝

C.线段AB中垂线方程为％+y-1=0

D.P为圆。2上一动点，则P到直线AB距离的最大值为芋+1

11.某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已

知它的近地点A（离地面最近的点）距地面m千米，远地点B（离地面最远的点）

距地面n千米，并且F、A、B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆

的长轴长、短轴长、焦距分别为2a、2b,2c,则（）

A.a—c=m+RB.a+c=n+R

C.2a=m+nD.b-yj（m+R）（n+/?）

12.如图，棱长为2的正方体ABC。—力道1Ci%中，E,F分别为棱公氏，Aa的中点,

G为面对角线BiC上一个动点，则（）

2/23

oo

4

A.三棱锥&-EFG的体积为定值

B.线段BiC上存在点G,使平面EFG//平面BCG

oo

C.当西=梳函时，直线EG与平面ABCD所成角的正弦值为，

4O

D.三棱锥&-EFG的外接球半径的最大值为挈

n|p

即

阅卷人

-----------------三、填空题

fa

得分_________

13.已知数列国"的通项公式为：an=|n-学|,则斯的最小值为，此时n的

值为.

oo14.在等差数列｛即｝中，前〃项和记作Sn,若S15=5(CZ2+a6+ak),则k=.

15.已知Fi，心分别是双曲线E：*^=l(a>0)的左、右焦点，过2的直线与双曲

段线E的左、右两支分别交于A,B两点，若|BFz|：|AB|：IAF2I=5：12：13,则4

ABF2的面积为.

照媒

16.已知数列｛a3满足的=4,nan+r=2(n+l)an,则数列｛a"的通项公式

为,若数歹U｛(n+：：+2)｝的前葭项和Sn，则满足不等式Sn>30的n的最小

彝

和

值为.

o

o阅卷人

四'解答题

得分

17.已知直线m：(a—l)x+(2a+3)y—a+6—n：%—2y+3=0.

氐-£(1)当a=0时，直线I过血与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线珀勺方

程；

(2)若坐标原点O到直线血的距离为1,求实数a的值.

18.如图在边长是2的正方体ABCD—&BCD1中，E,F分别为AB,&C的中点.

oo

(1)求异面直线EF与CD］所成角的大小.

(2)证明：平面&CD.

1

19.记Sn为数列｛eJ的前n项和，2Sn-an=(nGN*).

(1)求CLn+dn+i;

(2)令bn^an+2-an,证明数列｛0｝是等比数列，并求其前n项和Tn.

20.已知：圆C过点D(0,l),E(—2,1),F(-1,V2)，P是直线Zi：y=x-2上的

任意一点，直线l2.y-X+1与圆C交于A、B两点.

(1)求圆C的方程；

(2)求\PA\2+\PB\2的最小值.

21.如图，在三棱锥4-BCD中，AB=AD,。为BC的中点，OA1CD.

(1)证明：平面ABD_L平面BCD；

(2)若小。。。是边长为1的等边三角形，点E在棱2。上，DE=2EA,三棱锥B—

AC。的体积为苧，求平面BCD与平面BCE的夹角的余弦值.

22.在平面直角坐标系中，椭圆C：4+g=19>6>0)的离心率为堂，焦距为2.

CL乙b3

(1)求椭圆C的方程；

(2)动直线［：y—空交椭圆于A、B两点，D是椭圆C上一点，直线OD的斜

4/23

oo率为n,且nrn=JT是线段0D延长线上一点，且pr|=*|AB|，OT的半径为

\DT\,OP,OQ是。7的两条切线，切点分别为P,Q,求NQOP的最大值.

4

oo

n|p

即

fa

oo

段

照媒

彝

和

oo

氐-£

oo

答案解析部分

1.【答案】A

【知识点】直线的倾斜角

【解析】【解答】因为点A(l,0),B(2,V3);所以心8=姿?=百，

郑

设直线的倾斜角为a,则0°<a<180°,

所以a=60°.

故答案为：A.

O※

※

【分析】利用已知条件结合两点求斜率公式得出直线的斜率，再结合直线的斜率和直线制

※

的倾斜角的关系式，进而结合直线的倾斜角的取值范围得出直线AB的倾斜角。※

即

※

2.【答案】C※

E

【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断口※

※

郑

【解析】【解答】由题意，方程占+工=1表示一个椭圆，则※

7—mm—5※

'7-m>0f※e

※

m—5>0，解得5<m<7且m6,

照

7—mm—5※

O※

所以"5<m<7”是“方程占+工=i”的必要不充分条件，出

※

7—mm—5※

腑

故答案为：C.※

※

K※-

※

【分析】利用已知条件结合椭圆的定义和充分条件、必要条件的判断方法，从而推出«

※

-5<m<7”是“方程二+二=1”的必要不充分条件。※

7-mm—5

3.【答案】B

【知识点】向量的模

O

【解析】【解答】\AB-CB+'CB^\=\AB+BC+~CB[\=\AC+'CB^\=\AB^\=V2.

故答案为：B.

【分析】利用已知条件结合相反向量的定义和三角形法则，再结合向量的模求解方法得

出|/一己+的值。

4.【答案】C

【知识点】数列的概念及简单表示法；归纳推理

O

【解析】【解答】令n=L2,3,4分别代入验证：可知C：a3=-2,因此不成立.

6/23

oo故答案为：c.

【分析】利用已知条件结合代入验证法，进而找出不可能的数列的通项公式。

5.【答案】A

4【知识点】平面向量的基本定理

【解析】【解答】NM=OM-ON=^OB-^(OA+OC)=^b-^(a+c)=-^a+^b-

1-

2a

oo故答案为：A

n|p【分析】利用已知条件结合三角形法则、向量共线定理和平面向量基本定理，进而得出

那

71T371T

NM=—ci+b—c°

fa

6.【答案】A

【知识点】双曲线的简单性质

【解析】【解答】：e=也=三,

oo-3=c2_a2+b2=b2=?

a2a2a2

A-a=-+V2

段...渐近线方程为：y=±V2x

故答案为：A

塌媒

【分析】由离心率e=K可a得，进而可求-d,即可求渐近线方程。

7.【答案】C

彝

和

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用

o

o【解析】【解答】直线平分圆，则直线过圆心，即a+b=l,

所以：+,=4+软a+b)=3+,+与23+2鱼(当且仅当缶=b时，取等号)

故答案为：C.

氐-£

【分析】利用已知条件结合直线平分圆，则直线过圆心，即a+b=l,再利用均值不等

式变形求最值的方法得出工+"的最小值。

ab

8.【答案】D

o

o【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【解答】在△MFN中，令=a,|NF|=b,由余弦定理得|MN『=|MF『+

\NF\2-2\MF\■\NF\COSAMFN,

则有|MN『=a2+b2+ab,

显然直线1：y=-右是抛物线y=4/的准线，过“，P,N作直线1的垂线，垂足分别为

郑

A,B,C,如图,

O※

※

制

※

※

即

※

而P为弦MN的中点，PB为梯形MACN的中位线，由抛物线定义知，d=\PB\=※

E

11口※

2(|MA|+|NC|)=]Q+b)，※

郑

※

222

,r\MN\_.a+b+ab_.4abA4..4_Q※

因此二4,,,2,,=4—,,=4~-4~.:3,

aa，2+b+27aba^+b2+27ab万+互+22f※e

※

2照

当且仅当a=b时取等号，又不等式|MN|224d2恒成立，等价于％w粤L恒成立，则※

dO※

出

A<3,※

※

腑

所以4的取值范围是(-8,3].※

※

故答案为：DK※-

※

«

※

※

【分析】在△MFN中，令|MF|=a,\NF\=b,由余弦定理得出|MN『=a?+接+ab,

显然直线/：y=—春是抛物线y=4X2的准线，过M,P,N作直线Z的垂线，垂足分别为

O

A,B,C,而P为弦MN的中点，PB为梯形MACN的中位线，由抛物线定义知d=|PB|=

2

|(a+b),再结合均值不等式变形求最值的方法得出吗L的最小值，再利用不等式

2

\MN\2>2d2恒成立，等价于4<吗L恒成立，再结合不等式恒成立问题求解方法得出

a

■£

实数2的取值范围。

9.【答案】B,C,D

【知识点】等差数列概念与表示

【解析】【解答】对于A,数列-1,1,3是等差数列，取绝对值后1,1,3不是等差数

O

8/23

列，A不符合题意;

对于B,若为等差数列，根据等差数列的定义可知：数列｛an+i-a"为常数列，故

｛厮+1-%｝为等差数列，B符合题意；

对于C,若｛即｝为等差数列，设其公差为d,则p&i+i+q-p%t-4=P（&i+i-=

pd为常数列，

故｛pan+q｝为等差数列，C符合题意；

对于D,若｛%｝为等差数列，设其公差为d,贝吃%1+1+n+1-2%1-几=2£/+1为常

数，故｛2册+切为等差数列，D符合题意，

故答案为：BCD.

Q|P

淤；【分析】利用已知条件结合等差数列的定义，进而找出仍为等差数列的选项。

10.【答案】A,C

【知识点】直线的一般式方程；平面内点到直线的距离公式；圆与圆的位置关系及其判定

【解析】【解答】因为圆。1：/+,2-2%=0和圆。2：/+y2+2%-4y=0的交点为

A,B,

作差得4x-4y=0,

所以圆。1与圆。2的公共弦AB所在的直线方程为久-y=0,A符合题意；

因为圆心。1（1,0）,。2（-1，2）,。1。2所在直线斜率为二各=一1，

所以线段AB的中垂线的方程为y—0=—（久―1）,即x+y—1=0,C符合题意；

圆。2：久2+y2+2久一4y=0的圆心为。2（-1,2）,半径厂2=遮，圆心。2（-1，2）到直线

久_y=o的距离d=上詈1=孥，所以P到直线AB的距离的最大值为挈+四，圆

J2z幺

。1与圆。2的公共弦AB的长为2（V5）2-2=瓜B,D不符合题意.

故答案为：AC.

【分析】利用圆。1：/+y2-2%=0和圆。2：/+y2+2久一4y=0的交点为A,B,作

差得轨-4y=0,所以得出圆Oi与圆。2的公共弦AB所在的直线方程；利用圆心

。1（1，0）,。2（-1,2）结合两点求斜率公式得出。1。2所在直线斜率，再结合两直线垂直

斜率之积等于-1和中点坐标公式得出线段AB的中垂线的方程；再利用圆。2：x2+y2+

2光-4y=0得出圆心坐标和半径长，再结合点到直线的距离公式得出圆心。2（-1,2）到

直线久-y=0的距离，再利用几何法得出点P到直线AB的距离的最大值，再结合弦长

.

.

.

.

O

公式得出圆01与圆。2的公共弦AB的长，进而找出正确的选项。.

.

".【答案】A,B,D.

.

【知识点】椭圆的简单性质.

.

.

【解析】【解答】因为地球的中心是椭圆的一个焦点，邹

并且根据图象可得[m=a7c-f,(*).

=a+c—R.

.

符合题意；.

a—c=m+R,A.

.

a+c=n+R,B符合题意；.

.

O

(*)两式相加m+n=2a—2R,可得2Q=TH+九+2R,C不正确；

.

O※.

由(*)可得｛:；建二〉两式相乘可得(血+/?)5+夫)=。2—2※.

髭.

※.

※.

a2—c2=b2,.

切.

※.

b2=(m+/?)(n+R)=b=J(m+7?)(n+/?)，D符合题意.※

*K

※

※

故答案为：ABD.

郑.

※.

【分析】根据条件数形结合可知[m=a-c-^,然后变形后，逐一分析选项，得到正※.

.

t※a.

确答案.※.

骐

※O

12.【答案】A,C,Do※

出.

【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体；平面与平面平行的判定；直线与平面所※.

※.

腼.

成的角※.

※.

【解析】【解答】对于A选项，因为平面平面而以Cu平面BCG/,.

K※-堞

故BiC//平面40D14,堞※.

患.

.

因为点G为面对角线BiC上一个动点，故G点到面4。。遇1距离不变，为2,X.

.

.

因为E,F分别为棱的中点，故S441EF=：X1X1=：为定值，.

.

.

O

故三棱锥VG-EFAI=/XS441EFX2=/，而三棱锥的体积，41-EFG=UG-EF4『A选项正

o.

.

确；.

.

对于B选项，如图1,以。为坐标原点，DA所在直线为％轴，DC所在直线为y轴，所.

.

.

在直线为z轴建立空间直角坐标系，.

氐

■£

则3(2,2,0),£)(0,0,0),5(0,2,2),E(l,0,2),F(2,0,1),设.

.

.

G(m,2,m)(0<m<2),.

.

.

-DB—2xi+2yl=0.

平面的法向量为汨=(%%,zi),贝！J__,1，令Yi=l,贝UO

(71]•DC1=2y+2Z]=0

1•

o・

・

10/23

oo%1=-1,Z1一1,则下=(一1,1,-1),

设平面EFG的法向量雨=(%2,Z2),则

n7-EF=x7—z7=0.,3—2m

_,—>,令%2=L则Z2=1,y„=

22